10.1.1 有限样本空间与随机事件&10.1.2 事件的关系和运算-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

易错点5数字特征应用错误 的成绩稳定， 10.解：由题意，得x,=号×(9.8+9.9十 (4)从成绩统计表看，甲组成绩大于或 等于90分的有20人，乙组成绩大于或 10.1+10+10.2)=10, 等于90分的有24人，所以乙组成绩在 x2=号×(9.4+10.3+10.8+9.7+ 高分段的人数多.同时，乙组满分比甲 9.8)=10, 组多6人，从这一角度看，乙组成绩 较好. s=号×[(9.8-102+(9.9-102+ 总体来看，甲组的成绩比乙组好 (10.1-10)2+(10-10)2+(10.2 运用数字特征进行评价时，要全面 10)2]=0.02, 误 警 考虑各数字特征的优缺点，从不同 2-号×[(9.4-102+(10.3-10)2+ 区 》 层面或两两结合进行评价，才能得 到较为可靠的估计： (10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8 10)2]=0.244, 小题限时强化练 甲、乙两种冬小麦的平均产量都等于 1.C2.A3.B4.C5.A6.B7.C 10,且p<s2,所以产量比较稳定的为 8.B 9.ABCD 10.AB 11.BD 甲种冬小麦，故推荐引进甲种冬小麦大 12.3013.44%14.①④ 量种植 平均数反映的是样本个体的平均水平，方 大题冲关规范练 误 差和标准差则反映了样本的波动、离散程 1.解：(1)该试验田种植的“超优千号”杂交水 区 度.对于形如“谁发挥更好”“谁更稳定” 稻的平均亩产量为600×100×0.0010十 警 “谁更优秀”的题目，除比较数据的平均值 示 700×100×0.0020+800×100×0.0035+ 外，还应该比较方差或标准差的大小，以 900×100×0.0025+1000×100× 作出更为公正、合理的判断， 0.0010=805>800, 11.解：(1)甲组成绩的众数为90分，乙组 所以这100亩试验田种植的“超优千号” 成绩的众数为70分，从成绩的众数这 杂交水稻高产。…6分 一角度看，甲组成绩好些， (2)该试验田中亩产量低于750kg的频率 (2)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都 为100×0.0010+100×0.0020=0.3， 是80分，其中甲组成绩在80分以上 所以估计2000亩试验田中亩产量低于 (含80分)的有33人，乙组成绩在80 750kg的试验田有2000X0.3=600(亩). 分以上（含80分）的有26人，从这一角 …………………13分 度看，甲组成绩总体较好！ 2.解：(1)样本中“阅读爱好者”出现频率为 1 (3)号=2+5+10+13+14+6×[2× (0.16+0.10+0.06)×0.5=16%, (50-80)2+5×(60-80)2+10× “阅读爱好者”的人数为200×16%= (70-80)2+13×(80-80)2+14× 32(万)， (90-80)2+6×(100-80)2]=172.同 “读书迷”人数为200×(0.06×0.5)= 理52=256， 6(万)， 因为<2，所以甲组的成绩比乙组 所以32万“阅读爱好者”中，“读书迷”约 191 有6万人，……4分 .A={2,4,6},B={1,3,5},D= (2)由题意知至多有45%的成年人每天 {1,2},E={1,2,4,5} 读书时长少于a, ∴.(1)A∩B=0,BC={2}; 即找到45%分位数， (2)AUB={1,2,3,4,5,6},B+C= 又0.5×0.72=0.36<45%，0.5× {1,2,4,6}; (0.72+0.44)=0.58>45%, (3)D={1,2};AC=BC={2};BUC= 所以0.72×0.5+0.44×(a-0.5)= AUC={1,2,3,5};D+E={1,2,4,5. 46%,可得a=沿=0.7， 12.解：(1)是互斥事件，不是对立事件. 理由：从40张扑克牌中任意抽取1张， 即参考标准a不能高于0.7小时(42 “抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同 分钟) 9分 时发生的，所以是互斥事件.同时，不能 (3)“阅读爱好者”中非“读书迷”约有 保证其中必有一个发生，这是由于还可 26(1-0）万人， 能抽出“方块”或“梅花”，因此，二者不 “读书迷”约有6(1一 nx+1i)万人， In x 是对立事件. (2)既是互斥事件，又是对立事件 令26(1-1)+61-h千 理由：从40张扑克牌中任意抽取1张， 32-131nx 6In x “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件 5 nx+17≤20， 不可能同时发生，且其中必有一个发生， 化简得13(1nx)2+113lnx-660≥0， 所以它们既是互斥事件，又是对立事件. 解得1nK管或n≥4，所以≥e, (3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件 理由：从40张扑克牌中任意抽取1张， 所以会费参数x至少定为e时，才能使 “抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的 入会的人员不超过20万人.…15分 牌点数大于9”这两个事件可能同时发 第十章 概率 生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不 是互斥事件，当然不可能是对立事件 课时夯基过关练 规 两个事件之间的关系有包舍关系、相等关 10.1随机事件与概率 律 系、互为互斥事件、互为对立事件，判断两 总 个事件的关系，只需要根据这些关系的定 10.1.1有限样本空间与随机事件 结 义进行判断即可. 核心素养培优·拓展提升 10.1.2 事件的关系和运算 1.D2.AC3.② 核心素养达标·夯实基础 4.B∩(CUD)或(BC)U(BD)解析：要 1.D2.C3.C4.BD5.B6.AD 使电灯变亮，则开关I必须闭合，且开关 7.A8.EUF9.16 Ⅱ和Ⅲ至少有一个闭合，即要使“事件B 10.2抽出优等品抽出非优等品 发生”且“事件C发生或事件D发生”， 11.解：A={1,3,5},B={2,4,6},C= 用符号表示为B∩(CUD);也可分类讨 {1,2},D={3,4,5,6},E={3,6} 论，即开关I和Ⅱ闭合或开关I和Ⅲ闭 192 合，即事件BC发生或事件BD发生，用 符号表示为(BC)U(BD). 5.解：(1)由图可知： 区域1表示该生数学、语文、英语三种资 料都订阅； 区域4表示该生只订阅数学、语文两种 资料； 区域5表示该生只订阅了语文资料； 区域8表示该生三种资料都未订阅. (2)①“恰好订阅一种学习资料”包括：只 订阅数学：ABC;只订阅语文：ABC;只 订阅英语：ABC,并且这三种相互互斥， 所以“恰好订阅一种学习资料”用A,B, C表示为ABC+ABC+ABC. ②“没有订阅任何学习资料”用A,B,C 表示为ABC. 6.解：由题意可知试验E的样本空间为2= {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1, 6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3, 5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), (4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5, 4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3), (6,4),(6,5),(6,6)}. (1)因为事件A表示随机事件“第一次掷 出的点数为1”，所以满足条件的样本点 有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (1,6),即A={(1,1),(1,2),(1,3),(1, 4),(1,5),(1,6)}. 因为事件B表示随机事件“2次掷出的 点数之和为6”，所以满足条件的样本点 有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，即 B={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2), (5,1)}. 所以A∩B={(1,5)},AUB={(1,1), (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2, 4),(3,3),(4,2),(5,1)}. (2)因为事件C表示随机事件“第二次掷 由图知基本事件共有27个. 出的点数比第一次的大3”，所以C {(1,4),(2,5),(3,6)}. 昭 Z☑ 昭 因为A∩B={(1,5)}≠必，A∩C={(1, D2口 四 ☑ 汤 ☑ 4)}≠⑦，B∩C=心，所以事件A与事件 B,事件A与事件C不是互斥事件，事件 B与事件C是互斥事件. (1)记“3个矩形颜色都相同”为事件 (3)因为事件A,表示随机事件“第一次 A,由图知事件A的基本事件有3个， 掷出的点数为1，第二次掷出的点数为 故P(A)=品=g 31 ”,所以A1={(1,1)},A2={(1,2)}, A3={(1,3)},A4={(1,4)},A={(1, (2)记“3个矩形颜色都不相同”为事件 5)},A6={(1,6)},所以A=A1UA2U B,由图知事件B的基本事件有6个， A:UA:UAs UA. 故P(B)-易-号 10.1.3古典概型 (3)记“3个矩形颜色不都相同”为事件C 方法一：由图知事件C的基本事件有 核心素养达标·夯实基础 248 1.C2.A3.BC4.D5.D6.D 24个，故P(C)- 27-9 7.号8号9号10司 方法二：事件C与事件A互为对立事 11.解：随机地抽取两个小球，记事件A为 件，故PC)=1-P(4)=1。=8 9 “两个小球上的数字为相邻整数”，可能 在求概率时，若事件可以表示成有序数对 结果为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5， 的形式，则可以把全体基本事件用平面直 6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(2, 角坐标系中的点表示，即采用图表的形式 1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(7,6), 可以准确地找出基本事件的个数.故采用 结 (8,7),(9,8),(10,9),共18种.(1)如 数形结合法求概率可以使解决问题的过程 果小球是不放回的，按抽取顺序记录结 变得形象、直观，给问题的解决带来方便 果(x,y),则x有10种可能，y有9种 核心素养培优·拓展提升 可能，共有90种可能结果.因此，事件 1.D2.B3.BD4号 A的瓶率是站8号(2)如果小球是有 5.解：(1)样本空间2={(1，-1)，(1,1)， 放回的，按抽取顺序记录结果(x,y),则 (1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1), x有10种可能，y有10种可能，共有 (2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1), 100种可能结果，因此，事件A的概率 (3,2),(3,3),(3,4)},共15个样本，点. 是品-最 函数y=f(x)有零，点等价于△=b2 4ac≥0，满足条件的样本空间21={(1 12.解：设3个矩形从左到右依次为矩形1、 2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}, 矩形2、矩形3.用三种不同的颜色给题 共6个样本，点，所以函数y=f(x)有零 目中所示的3个矩形随机涂色，可能的 结果如图所示， 点的耗率P-品-号 193 (2)因为a>0,函数y=f(x)图象的对称 雨量频率分布表为 轴为直线x一品在区间[1，十∞)上是 降雨量/毫米70110140160200220 3 3 频率 20 20 20 20 20 20 增画数，所以有品≤1，满足条件的样本 (2)P(发电量低于490万千瓦时或超过 空间22={(1，-1)，(1,1)，(1,2)，(2， 530万千瓦时)=P(Y<490或Y> -1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3, 530)=P(X<130或X>210)=P(X= -1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)},共 13个样本，点，所以函数y=f(x)在区间 70)+P(X=110)+P(X=220)=20 [1,十∞)上是增离教的桃奉为号 3+2_3 20F2010 6.解：(1)由题可知沿=0.25，M=40,m= 故今年六月份该水力发电站的发电量 低于490万千瓦时或超过530万千瓦 40-36=4,p=6=0.1, 时的概率为 3 n=1-0.25-0.1-0.05=0.6, 运用互斥事件的概率加法公式解题的步骤： ∴.5a=0.6→a=0.12. 规 (1)确定题中哪些事件彼此互斥； (2)在样本中，处于[20,25)内的人数为 律 (2)将待求事件拆分为儿个互斥事件 4,可分别记为A,B,C,D 总 的和； 结 (3)先求各互斥事件分别发生的概率，再 处于[25,30]内的人数为2，可分别记为 求和 a,b. 12.解：设“A机构在一定时期研制出疫苗” 从该6名学生中取出2人的取法有： 为事件D,“B机构在一定时期研制出 (A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a), 疫苗”为事件E,“C机构在一定时期研 (C,b),(D,a),(D,b),(A,B),(A,C), 制出疫苗”为事件F, (A,D),(B,C),(B,D),(C,D),(a,b), (1)他们都研制出疫苗的概率为 共15种， 至少1人在[25,30)内的情况共有9种， P(DEF)-P(D)P(E)P(F)- ,.至少1人参加社区服务次数在区间 11 3601 [25,30)内的概率为亏· 3 (2)他们都失败的概率为 10.1.4概率的基本性质 PDEF)-PDP(EPD-号XX 、4 核心素养达标·夯实基础 号- 1.C2.B3.C4.C5.D6.CD (3)只有一个机构研制出疫苗的概率为 7B88 9.0.520.48100.35 P(DE FUDE FUDEF) =P(DE F+P(DE F)+P(DEF) 0.760.0710.7号 =号××号+号××号+×是× 11.解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫 1_13 米的有3个，为160毫米的有7个，为 3-309 200毫米的有3个.故近20年六月份降 (4)至多有一个机构研制出疫苗的概率为 194 PDE FUDE FUDEFUDEF =PDEF)十PDEF)十PDEF)+PDEF) =××号+号×号×号+号×× +号××号- 核心素养培优·拓展提升 1.C2.D3.84.0.88 5.解：(1)由已知得25+y+10=55,x+ y=35, 所以x=15,y=20, 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成 一个总体，所收集的100位顾客一次购物 的结算时间可视为一个容量为100的简单 随机样本，顾客一次购物的结算时间的平 均值可用样本平均数估计，其估计值为 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10_ 100 1.9(分钟). （2)记A为事件“一位顾客一次购物的结 算时间不超过2分钟”，A1,A2,A3分别 表示事件“该顾客一次购物的结算时间 为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间 为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时 间为2分钟”.将频率视为概率，得 PA,)=品-品，P(A)=0-最 P(A)=80-4 25=1 因为A=A1UA2UA3,且A1,A2,A3是 互斥事件， 所以P(A)=P(A1UA2UA)=P(A)+ PA)+PA)-品+8+}-O 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2分钟的概率为0 10.2事件的相互独立性 核心素养达标·夯实基础 1.B 2.A 3.B 4.BCD 5.A 6.BD 7.080.659号第十章概率 课时夯基过关练 10.1 随机事件与概率 10.1.1有限样本空间与随机事件 10.1.2事件的关系和运算 素养目标 1.掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概念； 2.正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件以及互斥事件、对立事件的概念； 3.培养学生探索、归纳的能力和自主学习的能力，培养学生数学建模和逻辑推理的核心 素养。 核心素养达标 夯实基础 一、选择题 事件的是( 1.在12件同类产品中，有10件正品和2件次 品，从中任意抽出3件.其中为必然事件的 是() A.3件都是正品 A.A灯亮，B灯不亮 B.至少有1件是次品 B.A灯不亮，B灯亮 C.3件都是次品 C.A,B两盏灯均亮 D.至少有1件是正品 D.A,B两盏灯均不亮 2.同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事 4.（多选)在一次随机试验中，A,B,C,D是彼 件A,“向上的面至少有一枚是正面”为事件 此互斥的事件，且A十B十C+D是必然事 B,则有() 件，则下列说法正确的有( A.A=B A.A十B与C是互斥事件，也是对立事件 B.A2B B.B十C与D是互斥事件，但不是对立事件 C.A≤B C.A十C与B+D是互斥事件，但不是对立 D.A与B之间没有关系 事件 3.如图所示，由A,B两盏正常的小灯泡组成 D.A与B+C十D是互斥事件，也是对立 并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然 事件 …数学· 107 、第十章概率 5.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、 10.某厂生产的电器是家电下乡政府补贴的指 丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得 定品牌，其产品的优等品率为90%，现从该 红牌”与事件“乙分得红牌”是() 厂生产的产品中任意地抽取10件进行检 A.对立事件 验，结果前9件产品中有8件是优等品，1 B.互斥但不对立事件 件是非优等品，那么第10次抽取的结果有 C.不可能事件 种，即 D.以上说法都不对 三、解答题 6.（多选)某人打靶时连续射击两次，记事件A 11.掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”， 为“第一次中靶”，事件B为“至少一次中 B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D= 靶”，事件C为“至多一次中靶”，事件D为 “点数大于2”，E=“点数是3倍数” “两次都没中靶”.下列说法正确的有( ) 求：(1)A∩B,BC; A.A∩B=A (2)AUB,B+C; B.B与C是互斥事件 (3)记H为事件H的对立事件，求D,AC,BU C.CUD=0 C,D+E. D.B与D是互斥事件，且是对立事件 7.口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张， 一次取出2张卡片，给出以下事件： ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片中恰有1张红色； ③2张卡片中至少有1张红色； ④2张卡片都为绿色， 12.从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点 其中与事件“2张卡片都为红色”互斥但不 数从1~10各10张)中，任取1张.判断下 对立的事件是( 列给出的每对事件是否为互斥事件，是否 A.①②④ B.①③④ 为对立事件，并说明理由. (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； C.②③④ D.①②③④ (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； 二、填空题 (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的 8.甲、乙两个元件构成一串联电路，设E=“甲 牌点数大于9” 元件故障”，F=“乙元件故障”，则表示电路 故障的事件为 .(用E,F的运算 表示) 9.一袋中有10个红球，8个白球，7个黑球，现 在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在 第k次或第次之前能首次摸出红球，则 的最小值为 108·数学· 课时夯基过关练了 核心素养培优 拓展提升 1.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射 5.如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英 一枚炮弹，设A={两弹都击中飞机}，B= 语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学 {两弹都没击中飞机}，C={恰有一弹击中飞 习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的 机}，D={至少有一弹击中飞机}.下列说法 学生，C表示订阅英语学习资料的学生. 不正确的是() A.A∈D B.B∩D=0 C.AUC=D D.AUC=BUD (1)从这个班任意选择一名学生，用自然语 2.（多选)下列各对事件中，是互斥事件的有 言描述1,4,5,8各区域所代表的事件； ( (2)用A,B,C表示下列事件： A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中 ①恰好订阅一种学习资料； 8环” ②没有订阅任何学习资料. B.甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中 10环”与“乙射中9环” C.甲、乙两名运动员各射击一次，“甲、乙都 射中目标”与“甲、乙都没有射中目标” D.甲、乙两名运动员各射击一次，“至少有1 6.在试验E“连续抛掷一枚骰子2次，观察每 人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中 次掷出的点数”中，事件A表示随机事件“第 目标” 一次掷出的点数为1”，事件A,表示随机事 3.如果事件A,B互斥，记A,B分别为事件A, 件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点 B的对立事件，那么①AUB是必然事件； 数为”，事件B表示随机事件“2次掷出的 ②AUB是必然事件；③A与B一定互斥；④A 点数之和为6”，事件C表示随机事件“第二 与B一定不互斥.其中正确的是 次掷出的点数比第一次的大3” 4.如图是一个连有电灯的含有三个开关的电 (1)试用样本点表示事件A∩B与AUB; 路.用A表示事件“电灯变亮”，用B,C,D (2)试判断事件A与B,A与C,B与C是否 依次表示“开关I闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关 为互斥事件； Ⅲ闭合”，则A= .(用B,C,D间 (3)试用事件A;表示随机事件A. 的运算关系式表示) ·数学· 109