第十四讲 函数的概念-2026年初高中数学衔接专题讲义

2026年初高中衔接专题讲义 第十四讲 函数的概念（原卷版） 【知识点透析】 一、函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。 （1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：A→B 函数的三要素：定义域、对应关系和值域． 函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 二、函数相等 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 三、区间 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 四、求函数的定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. 3、零次幂的底数不能为零，即中. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。 【知识点精讲】 题型一 函数的概念 【例1】（25-26高一上·山东烟台·期中）设集合，，则从到的函数可能为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A． B． C． D． 【例3】（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【变式1】下列各式为y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．下列图象中，表示函数关系的是　　 A． B． C． D． 【变式3】．（2022·银川一中高一课时检测）函数与轴的交点个数为（    ） A．至少1个 B．至多一个 C．有且只有一个 D．与有关，不能确定 【变式2】．（2022银川一中高一检测）下列各组函数是同一函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 知识点二 区间的概念 【例4】．下列区间与集合或相对应的是（   ）. A． B． C． D． 【例5】设全集，，，则图中阴影部分表示的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．不等式的解集用区间可表示为 A． B． C． D． 【变式2】．已知为一确定区间，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型三 求具体函数的定义域 【例5】．（25-26高一上·山西阳泉·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【例题6】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【例7】．将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，矩形的面积关于的函数关系式是，则函数的定义域为 A． B． C． D． 【变式1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】求下列函数的定义域 (1) (2) 【变式3】．已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则函数的定义域为(       ) A．{x|x∈R} B．{x|x>0} C．{x|0<x<5} D． 题型4 求抽象函数的定义域 【例8】若函数的定义域为，则函数的定义域为________. 【例9】已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例10】．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________． 【变式4】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型五 判断函数相等问题 【例11】．下列各组函数是同一函数的是（    ） ①与；    ②与； ③与；    ④与 A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【例12】．下列函数中与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．）以下各组函数中，表示同一函数的是（       ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（多选题）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型六 函数求值 【例13】．已知函数，则等于（ ） A． B．1 C．2 D．3 【例14】设（、为常数），若，则______ 【例15】．函数的定义域为，且对于定义域内的任意都有，且，则的值为（ ）. A． B． C． D． 【变式1】．已知函数，则等于（    ） A． B． C． D．0 【变式2】已知函数的定义域为，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】若函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数． (1)求，的值； (2)求证：的定值； (3)求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初高中衔接专题讲义 第十四讲 函数的概念（解析版） 【知识点透析】 一、函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。 （1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：A→B 函数的三要素：定义域、对应关系和值域． 函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 二、函数相等 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 三、区间 1．区间概念(a，b为实数，且a<b) 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 四、求函数的定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. 3、零次幂的底数不能为零，即中. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。 【知识点精讲】 题型一 函数的概念 【例题1】（25-26高一上·山东烟台·期中）设集合，，则从到的函数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的定义判断D，利用特殊值判断A、B、C. 【解答过程】对于A：，，则，故A错误； 对于B：，，则，故B错误； 对于C：，，则，故C错误； 对于D：，当时，，即， 又， 所以为从到的函数，故D正确. 故选：D. 【例2】（24-25高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义判断. 【解答过程】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确. 故选：B. 【例3】（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C 【解题思路】由函数的定义逐项判断即可. 【解答过程】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系，所以②正确； 对于③中，集合的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应，所以③正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：C. 【变式1】下列各式为y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义逐个分析判断即可 【详解】A项，，定义域为R，定义域内每个值按对应法则不是唯一实数与之对应，所以不是函数，A项错误；B项，，定义域为，无解，所以不是函数，B项错误；C项，，定义域为R，对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数，C项正确；D项，，当时，y有两个值0，1与之对应，所以不是函数，D项错误. 故选：C. 【变式2】．下列图象中，表示函数关系的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数的定义知，一个有唯一的对应，由图象可看出，只有选项的图象满足这一点．故选D． 【变式3】．（2022·银川一中高一课时检测）函数与轴的交点个数为（    ） A．至少1个 B．至多一个 C．有且只有一个 D．与有关，不能确定 【答案】B 【分析】根据函数的定义，即可判断选项. 【详解】由函数定义可知，定义域包含时，则与轴有1个交点，当定义域不包含时，则与轴无交点，所以函数与轴的交点个数为0个. 故选：B 【变式2】．（2022银川一中高一检测）下列各组函数是同一函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】．D 【解析】 A. 定义域为与定义域为R，故不是同一函数； B. 定义域为R， 定义域为，故不是同一函数； C. 与，解析式不同，故不是同一函数； D. 因为，，定义域都为R，解析式相同，故是同一函数. 故选：D 知识点二 区间的概念 【例4】．下列区间与集合或相对应的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据区间的概念判断即可. 【详解】集合中的可以表示为区间， 集合中的可以表示为区间， ∵或是并集关系， ∴集合表示为 故选：C. 【例5】设全集，，，则图中阴影部分表示的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由韦恩图的意义结合区间集合的运算即可得解. 【详解】集合，， ， . 故选：B. 【变式1】．不等式的解集用区间可表示为 A． B． C． D． 【答案】．D 【解析】 由解得，用区间表示为，故选D. 【变式2】．已知为一确定区间，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意得，解不等式即可求解． 【详解】因为为一确定区间，则 故选：A 题型三 求具体函数的定义域 【例5】．（25-26高一上·山西阳泉·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据根号和分式定义去求解. 【解答过程】由得，，解得, 由得，，解得, 综合两个条件，函数的定义域为. 故选：C. 【例题6】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得且． 函数的定义域为． 故选：C． 【例7】．将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，矩形的面积关于的函数关系式是，则函数的定义域为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意易得，从而得到结果. 【详解】将长度为2的一根铁丝折成长为的矩形，则宽为， ∴，解得 ∴函数的定义域为 故选D 【变式1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使函数有意义，则有，解得且，所以其定义域为． 故选：C. 【变式2】求下列函数的定义域 (1) (2) 【分析】（1）由解析式有意义可知，，联立求解即可； （2）由解析式有意义可知，，联立求解即可； 【详解】（1）解：由得且 所以函数的定义域为 （2）由，得， 即且 所以函数的定义域是. 【变式3】．已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则函数的定义域为(       ) A．{x|x∈R} B．{x|x>0} C．{x|0<x<5} D． 【答案】D 【分析】根据三角形三边为正、两边之和大于第三边，列出关于的不等式组，解出即可. 【详解】由题意知解得<x<5 即定义域为 故选：D. 题型4 求抽象函数的定义域 【例8】若函数的定义域为，则函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 函数的定义域为，则函数的定义域满足： 解得 故答案为： 【例9】已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可. 【详解】由题可知的定义域为， 则为使有意义必须且只需， 解得， 所以的定义域为. 故选：D 【例10】．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为. 故选：C. 【变式1】．函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的定义域，得即函数的定义域，再整体代入求函数的定义域. 【详解】函数的定义域为，由，有， 即函数的定义域为， 令，解得，函数的定义域为. 故选：C 【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可； 【解答过程】由题意：要使有意义，则 解得，所以的定义域为． 故选：C. 【变式3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 解：函数的定义域为，，即函数的定义域为． 函数的定义域需满足，即，函数的定义域为 【变式4】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为. 故选：C. 题型五 判断函数相等问题 【例11】．下列各组函数是同一函数的是（    ） ①与；    ②与； ③与；    ④与 A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【分析】利用两函数为同一函数则定义域和对应法则要相同，逐项分析即得. 【详解】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数；②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；③与的定义域是，并且，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；④与是同一函数； 所以是同一函数的是③④. 故选：C. 【例12】．下列函数中与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A、B：定义域不同，即可判断； 对于C：定义域相同，但解析式不同，即可判断； 对于D：定义域相同，解析式也相同，即可判断是同一函数. 【详解】函数的定义域为R. 对于A：的定义域为，故与函数不是同一函数.故A错误； 对于B：的定义域为，故与函数不是同一函数.故B错误； 对于C：的定义域为R，但是，故与函数不是同一函数.故C错误；对于D：的定义域为R，且，故与函数是同一函数.故D正确. 故选：D. 【变式1】．）以下各组函数中，表示同一函数的是（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，即定义域，对应法则和值域，观察每一选项中的函数即可得到结论． 【详解】对于A，，对应法则不同，故不是同一函数； 对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数；对于C，的定义域为，的定义域为，故是同一函数；对于D，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数. 故选：C． 【变式2】下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】CD 【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于A：函数的定义域为，函数定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；对于B：函数定义域为R，化简可得，与解析式不同，故不是同一函数；对于C：函数定义域为，化简可得，函数定义域为，化简可得，故为同一函数； 对于D：函数定义域为R，化简可得，与为同一函数. 故选：CD 题型六 函数求值 【例13】．已知函数，则等于（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】．A 【解析】解：令，则， 所以. 故选：A. 【例14】设（、为常数），若，则______ 【答案】40 【解析】由题意，则，即， 由， 故答案为：40. 【例15】．函数的定义域为，且对于定义域内的任意都有，且，则的值为（ ）. A． B． C． D． 【答案】．D 【解析】 ，∴，又，∴， ∴，∴，∴. 故选：D 【变式1】．已知函数，则等于（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】令，求得，代入函数解析式，即可求解. 令，可得. 【详解】由题意，函数，令，解得， 令，可得. 故选：D. 【变式2】已知函数的定义域为，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用赋值法求解. 【解答过程】因为，， 所以令，得， 所以令6，得. 故选：D. 【变式3】若函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，可求出的值，令可求出的值，令可求出的值. 【解答过程】令，可得，故， 令可得，即，解得， 令可得，即，解得. 故选：D. 【变式4】已知函数． (1)求，的值； (2)求证：的定值； (3)求的值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)2022 【解析】（1）因为，所以 ，； （2），是定值； （3）由（2）知，因为， ，，……，， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $