第十三讲 基本不等式-2026年初高中数学衔接专题讲义

2026年初高中衔接专题讲义 第十三讲 基本不等式（精讲）（解析版） 【知识点透析】 【知识点1 两个不等式】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2) 【知识点2 基本不等式与最值】 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【知识点精讲】 题型一 对基本不等式的理解 【例1】下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【解答过程】当时，不等式显然不成立，故选项A错误； 因为，故选项B正确； ，不等式显然不成立，故选项C错误； 不等式成立的条件为，，故选项D错误. 故选：B. 【例2】．对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（       ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】当时，可判断A；当时，可判断B；当时，可判断C；利用均值不等式，可判断D. 【详解】选项A：当时，，，不成立，故A错误； 选项B：当时，，，不成立，故B错误； 选项C：当时，，不成立，故C错误； 选项D：由有意义，故，因此 由均值不等式，，当且仅当，即时等号成立 故D正确 故选：D 【变式1】已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D. 【解答过程】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D. 【变式2】（25-26高一上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式性质和基本不等式进行分析，再结合特殊值法进行判断即可. 【解答过程】对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于A ，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于D，由题干无法判断，故D错误. 【变式3】．已知a>0，b>0，则，，，中最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【详解】因为a>0，b>0，所以≤＝，≥，＝≥＝ (当且仅当a＝b>0时，等号成立)．所以，，，中最小的是. 故选：D 题型二 基本不等式求积的最大值 【例3】设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【解答过程】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 【例4】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意结合基本不等式运算求解即可. 【解答过程】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：C. 【变式1】（2022·河南南阳高一检测）已知，且，则的最大值为 A．2 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】直接由基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：D 【变式2】（25-26高一上·湖南益阳·期末）已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用基本不等式，代入计算，即可求解. 【解答过程】因为且，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 【变式3】函数的最大值为__________． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】函数， 当且仅当 ，即时，等号成立， 所以函数的最大值为， 故答案为： 题型三 基本不等式求和的最小值 【例5】．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解题思路】根据基本不等式可求最小值. 【解答过程】 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C. 【例6】．已知，则的最小值是(       ) A．5 B．4 C．8 D．6 【答案】A 【分析】利用基本不等式即可求解． 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值是5．故选：A． 【例7】函数的最小值为　　 A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】，， ， 当且仅当，即时取等号， 函数的最小值为3． 【例8】．当时，求函数的最大值_________． 【答案】## 【分析】由基本不等式求最值． 【详解】，则，， ，当且仅当，即时等号成立． 故答案为：． 【变式1】．（2023·江苏扬州市·仪征市第二中学高一月考）若，则函数的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】 解：若，则， ， 当且仅当，即时，取等号， 所以函数的最小值为8. 故选：D. 【变式2】．下列函数中，最小值为2的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据基本不等式的应用中需要注意三个点，一是为正，二是乘积为定值时可以求和的最小值，三是当且仅当时取等，三个条件求解即可. 【详解】解：对于A选项，当时，，当且仅当时取等；当时，，当且仅当时取等；所以，最小值为2，正确； 对于B选项，当时，函数值小于零，故错误； 对于C选项，，当且仅当时取等，此时无解，所以取不到最小值2，错误； 对于D选项，，当且仅当时取等，所以最小值为2，正确. 故选：AD 【变式3】（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．8 【答案】A 【解题思路】化简变形利用基本不等式计算即可． 【解答过程】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A. 【变式4】．设则的最大值是（ ） A．3 B． C． D． 【答案】．D 【解析】 因为 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：D 题型四 基本不等式“1”的妙用 【例9】．已知，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式进行求解. 【详解】因为，， 所以 （当且仅当，即时取等号）， 即的最小值为4. 故选：D. 【例10】（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知，均为正数且，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D．9 【答案】B 【解题思路】利用乘“1”法并结合基本不等式即可得到答案. 【解答过程】由题意得， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 【例11】．已知，，且，则的最小值为（       ） A．8 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】由题得，再利用基本不等式“1”的代换求最值. 【详解】因为，，，所以， ∴， 当且仅当取得等号，则的最小值为9. 故选：C 【变式1】．已知实数，且，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】．B 【解析】 ， 当且仅当，即，时等号成立 故选：B 【变式2】．已知，，且，则的最小值为（       ） A．8 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】由题得，再利用基本不等式“1”的代换求最值. 【详解】因为，，，所以， ∴， 当且仅当取得等号，则的最小值为9. 故选：C 【变式3】已知正数a，b满足，求的最小值． 【答案】 【解析】因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值. 【变式4】若，则的最小值为（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】因为，所以， ∴ ， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最小值为1. 故选：D. 题型五 与基本不等式有关的恒成立问题 【例12】已知都是正数，且恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，进而得到实数的取值范围. 【解答过程】由都是正数，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为， 又由恒成立，所以. 故选：A. 【例13】．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】由题意，利用基本不等式求出的最小值，问题等价于，求出不等式的解集即可． 【详解】若两个正实数，满足，则， ，当且仅当时取得等号， 不等式恒成立，等价为， 则，解得． 故选：A． 【例14】．已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（       ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由，知，，，由，得，结合基本不等式求出的最小值，得到m的最大值． 【详解】由，知，，， 由，得， 又， ，当且仅当， 即时，取得最小值9， ，的最大值为9． 故选：． 【变式1】．已知，且，若不等式恒成立，．则m的最大值为（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用基本不等式求的最小值，由此可得m的范围. 【详解】∵     不等式恒成立 ∴      又，， ∴   ， 当且仅当时等号成立， ∴   ， ∴   ，又，∴   ，故选：A. 【变式2】．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】 解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1， ∴（x+2y）（）4≥4+28．（当，即x＝2y时取等号）， ∵不等式m2+7m成立， ∴m2+7m≤8， 求得﹣8≤m≤1． 故选：A． 【变式3】．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】由题意，利用基本不等式求出的最小值，问题等价于，求出不等式的解集即可． 【详解】若两个正实数，满足，则， ，当且仅当时取得等号， 不等式恒成立，等价为， 则，解得． 故选：A． 【变式4】．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】由，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可. 【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可， ， ， 当且仅当即时等号成立，， 或舍去，即 所以正实数a的最小值为4. 故选：B. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初高中衔接专题讲义 第十三讲 基本不等式（原卷版） 【知识点透析】 【知识点1 两个不等式】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2) 【知识点2 基本不等式与最值】 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【知识点精讲】 题型一 对基本不等式的理解 【例1】下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【例2】．对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（       ） A． B． C． D．2 【变式1】已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·重庆·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】．已知a>0，b>0，则，，，中最小的是（     ） A． B． C． D． 题型二 基本不等式求积的最大值 【例3】设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【例4】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式1】（2022·河南南阳高一检测）已知，且，则的最大值为 A．2 B．5 C． D． 【变式2】（25-26高一上·湖南益阳·期末）已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 【变式3】函数的最大值为__________． 题型三 基本不等式求和的最小值 【例5】．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 【例6】．已知，则的最小值是(       ) A．5 B．4 C．8 D．6 【例7】函数的最小值为　　 A．1 B．2 C． D．3 【例8】．当时，求函数的最大值_________． 【变式1】．（2023·江苏扬州市·仪征市第二中学高一月考）若，则函数的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】．（多选题）下列函数中，最小值为2的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．8 【变式4】．设则的最大值是（ ） A．3 B． C． D． 题型四 基本不等式“1”的妙用 【例9】．已知，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【例10】（25-26高一上·贵州毕节·期末）已知，均为正数且，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D．9 【例11】．已知，，且，则的最小值为（       ） A．8 B． C．9 D． 【变式1】．已知实数，且，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【变式2】．已知，，且，则的最小值为（       ） A．8 B． C．9 D． 【变式3】已知正数a，b满足，求的最小值． 【变式4】若，则的最小值为（       ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型五 与基本不等式有关的恒成立问题 【例12】已知都是正数，且恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【例13】．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B．或 C． D．或 【例14】．已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（       ） A．3 B．4 C．8 D．9 【变式1】．已知，且，若不等式恒成立，．则m的最大值为（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 【变式3】．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B．或 C． D．或 【变式4】．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $