第12章 定义 命题 证明单元复习（4大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年苏科版七年级数学下册

该初中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理定义、命题、证明的核心概念，用对比表格呈现定理与逆命题、证明依据等要点，按基础必考、培优高频、压轴素养分层设置题型，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层精练设计，如补全证明过程、反证法应用等题型，结合命题改写“如果…那么…”形式、反例构造等方法技巧，培养推理意识与逻辑思维。基础题巩固概念，压轴题提升探究能力，助力不同层次学生发展，为教师精准教学提供有效支持。

第12章 定义 命题 证明 知识点1：定义与命题 1.定义：对名称或术语的含义进行描述、作出规定的句子。 特点：具有确定性和唯一性，不能模糊不清。 2.命题：判断一件事情的语句。 基本特征：必须是陈述句，且对事情作出肯定或否定的判断。 组成：每个命题都由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。 形式：通常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后面的部分是条件，“那么”后面的部分是结论。 3.真假命题 真命题：如果条件成立，那么结论一定成立的命题。 假命题：条件成立时，不能保证结论一定成立的命题。 反例：举一个符合命题条件，但不满足命题结论的例子，即可证明该命题是假命题。 知识点2：定理与逆命题、逆定理 1.定理：经过证明的真命题，可作为证明其他命题的依据。 2.逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题。 3.逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理互为逆定理。 注意：所有命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理。 知识点3：证明与反证法 1.证明：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的推理过程。 证明的一般步骤： 1.根据题意，画出图形； 2.根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证； 3.经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 2.反证法 定义：先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾，从而证明原命题成立的方法。 步骤： 1.假设命题的结论不成立； 2.从这个假设出发，经过推理，得出与已知条件、定义、定理、公理相矛盾的结果； 3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。 知识点4：常用几何证明依据 类别 核心依据 平行线 判定：同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行 性质：两直线平行，同位角相等/内错角相等/同旁内角互补 三角形 内角和定理：三角形内角和等于 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 多边形 内角和公式：边形内角和为 外角和定理：任意多边形外角和恒为 角与线段 对顶角相等；同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等；垂线段最短 【基础必考题型】 【题型1】定义与命题的判断 1.核心知识点: 定义的概念与特征 命题的定义（必须是作出判断的陈述句） 2.解题方法技巧: 排除法：疑问句、祈使句、感叹句一定不是命题 定义是对术语的“规定”，命题是对事情的“判断” 【例题1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】D 【详解】解：选项A、两点确定一条直线，不是定义，不符合题意； 选项B、对顶角相等，不是定义，不符合题意； 选项C、垂线段最短吗，不是定义，不符合题意； 选项D、含有未知数的等式叫做方程，是定义，符合题意． 【变式题1-1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）下列句子中，是定义的是（    ） A．在正数前面加上符号“”的数是负数 B．，两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【分析】定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：在正数前面加上符号“”的数是负数，描述了负数的本质，是定义，符合题意； 对于选项B：“，两条直线平行吗”是疑问句，不是定义，不符合题意； 对于选项C：“画一个角等于已知角”是描述操作的句子，不是定义，不符合题意； 对于选项D：“过一点画已知直线的垂线”是描述操作的句子，不是定义，不符合题意． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·福建莆田·期中）下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 【答案】A 【详解】解：∵选项A是对事件作出明确判断的陈述语句，∴A是命题； ∵选项B是疑问句，未对事情作出判断，∴B不是命题； ∵选项C是祈使句，未对事情作出判断，∴C不是命题； ∵选项D是操作指令，未对事情作出判断，∴D不是命题． 【变式题1-3】.（2026七年级下·江苏·专题练习）下列语句中，哪些是命题？ (1)过点作一条射线． (2)线段的长是吗？ (3)如果，那么． 【答案】(1)不是命题 (2)不是命题 (3)是命题 【分析】判断一件事情的句子叫做命题． 【详解】（1）解：“过点作一条射线”是描述操作的句子，不是命题； （2）解：“线段的长是吗？”是疑问句，不是命题； （3）解：“如果，那么”是命题． 【题型2】命题的改写与条件、结论辨析 1.核心知识点: 命题的组成（条件+结论） “如果……那么……”形式的改写 2.解题方法技巧: 先找出命题中“已知事项”和“推出事项” 补充省略的词语，使语句通顺后再改写 【例题2】.（25-26七年级下·云南红河·阶段检测）“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】找出原命题的题设与结论，明确“如果”后接题设，“那么”后接结论即可完成改写． 【详解】解：原命题“同角的余角相等”中，题设为两个角是同一个角的余角，结论为这两个角相等， 因此可得：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·广东江门·期中）将命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____，那么______． 【答案】 两个角是邻补角 这两个角互补 【详解】解：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项， 因此将命题“邻补角互补”改写为“如果……那么……”的形式为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·广东广州·期中）命题“对顶角相等”的题设是：___________． 【答案】 两个角是对顶角 【分析】本题考查命题的结构，命题由题设和结论组成，将原命题改写为“如果…那么…”的形式，“如果”引出的部分即为题设，据此求解即可. 【详解】解：将命题“对顶角相等”改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，其中“如果”引领的部分是题设， 因此该命题的题设是两个角是对顶角. 【变式题2-3】.（2026七年级下·江苏·专题练习）指出下列命题的条件与结论： (1)如果，那么的补角与的补角相等； (2)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 【答案】(1)条件为，结论为的补角与的补角相等； (2)条件为两条直线都平行于同一条直线；结论为这两条直线平行． 【分析】（1）如果后面为条件，那么后面为结论； （2）先可以用“如果…那么…”形式表述命题，则如果后面为条件，那么后面为结论． 【详解】（1）条件为； 结论为的补角与的补角相等； （2）条件为两条直线都平行于同一条直线； 结论为这两条直线平行． 【题型3】真假命题的判断与反例列举 1.核心知识点: 真命题与假命题的定义 反例的作用与构造方法 2.解题方法技巧: 假命题只需举一个符合条件但不符合结论的反例 真命题需要通过推理证明，不能仅靠举例 【例题3】.（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）下列命题中是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．若实数a，b满足，则 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及对顶角概念，平行线的性质，平方的性质等初中知识点，逐一分析选项即可得到结论． 【详解】解：对于A选项，相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时同位角相等，但同位角不是对顶角，∴A是假命题； 对于B选项，只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上则不存在符合要求的平行线，∴B是假命题； 对于C选项，若，则或，例如满足但，∴C是假命题； 对于D选项，“两直线平行，同位角相等”是平行线的基本性质，是真命题． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中：①点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直同一条直线的两条直线平行；⑤平行于同一条直线的两条直线平行．其中真命题的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离定义、对顶角性质、平行线相关定理，逐个判断命题真假，统计真命题个数即可得到结果． 【详解】解：①∵点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，不是垂线段本身， ∴①是假命题； ②∵对顶角相等是对顶角的基本性质， ∴②是真命题； ③∵只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上则不成立， ∴③是假命题； ④∵垂直于同一条直线的两条直线平行的结论仅在同一平面内成立，结论不成立， ∴④是假命题； ⑤∵根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线平行， ∴⑤是真命题； 综上，真命题共2个． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河南南阳·期中）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．这个反例中的x可以为________． 【答案】2（答案不唯一，即可） 【分析】本题考查了举反例．要判断命题为假命题，需举出反例， “如果，那么”，其反例为大于0的数而且能使． 【详解】解：当，则 ，条件成立； 故 为反例． 故答案为2（答案不唯一，即可）． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·贵州遵义·阶段检测）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了举反例解题，准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键．先比较大小，确定满足条件的数，再代入计算判断即可． 【详解】解：当时，满足，但是， 故A符合题意； 当n=时，满足＜1，但是， 故B不符合题意； 当时，满足，但是， 故C不符合题意； ∵1不符合条件， ∴D不符合题意； 故选A． 【题型4】逆命题与逆定理的辨析 1.核心知识点: 逆命题的写法（交换条件与结论） 逆定理的判断（逆命题必须是真命题） 2.解题方法技巧: 先将原命题改写成“如果……那么……”形式，再交换条件和结论 定理一定是真命题，但逆命题不一定是真命题，因此不一定有逆定理 【例题4】.（2026·安徽合肥·模拟预测）已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 【答案】 对应边相等的两个三角形全等 【分析】本题考查逆命题的概念，找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“全等三角形对应边相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“两个三角形对应边相等”，将条件和结论互换，得到逆命题为：对应边相等的两个三角形全等. 故答案为对应边相等的两个三角形全等． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如果，那么 的逆命题为_____________________ 【答案】 如果，那么 【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“如果，那么”中，条件为，结论为， 交换条件与结论，可得逆命题为：如果，那么． 【变式题4-2】.（2026七年级下·江苏·专题练习）下面两个命题是互逆命题吗？ （1）如果是整数，那么是有理数； （2）如果是有理数，那么是整数． 【答案】是互逆命题 【分析】互逆命题是指两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．‌ 【详解】解：是互逆命题，理由如下： 命题（1）的条件为“是整数”，结论为“是有理数”； 命题（2）的条件为“是有理数”，结论为“是整数”； ∴这两个命题是互逆命题． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）写出下列命题的逆命题． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)如果两个角是直角，那么这两个角相等． (3)能被4整除的数一定能被8整除． 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补 (2)如果两个角相等，那么这两个角是直角 (3)如果一个数能被8整除，那么这个数能被4整除 【分析】根据逆命题是将原命题的条件与结论互换后得到的新命题进行逐项分析，即可作答． 【详解】（1）解：逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”； （2）解：逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是直角”； （3）解：逆命题是“如果一个数能被8整除，那么这个数能被4整除”． 【培优高频题型】 【题型5】多边形内角和与外角和计算 1.核心知识点: 多边形内角和公式： 多边形外角和定理：恒为 2.解题方法技巧: 已知内角和求边数，用公式列方程求解 涉及正多边形时，优先利用外角和计算更简便 【例题5】.（2026·河北唐山·二模）如图，在正五边形中，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正五边形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可求解． 【详解】解：∵是正五边形， ∴，， ∴． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·四川巴中·期中）若正多边形的内角和是，则正多边形的一个外角为_______． 【答案】 【分析】先根据已知内角和求出正多边形的边数，再根据多边形外角和性质计算一个外角的度数． 【详解】解：设该正多边形的边数为， 根据多边形内角和公式可得：， 解得：， 多边形的外角和为，且正多边形的每个外角都相等， 该正多边形的一个外角为． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·全国·暑假作业）一个多边形的内角和等于，则这个多边形是（    ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．十边形 【答案】D 【详解】解：设这个多边形的边数为，根据多边形内角和定理，边形的内角和为，其中且为整数． ∵该多边形内角和为 ∴可得方程 解得． 【变式题5-3】.（2026·广东广州·三模）文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：八边形的内角和为． 【题型6】补全证明过程缺步 1.核心知识点: 几何证明的逻辑推理 常用证明依据的准确表述 2.解题方法技巧: 结合上下文和图形，分析每一步的推理依据 注意前后逻辑的连贯性，填写的内容要与已知条件和结论呼应 【例题6】.（25-26七年级下·广西玉林·期中）填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【答案】对顶角相等；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明： ∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 【变式题6-1】.（24-25八年级下·广东揭阳·阶段检测）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截．求证：． 证明：假设________， ， ________， ________， ________，这和“平角的定义”矛盾， 假设________不成立，即． 【答案】，，，， 【分析】本题主要考查了反证法（用反证法证明命题），平行线的性质（两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补）等知识点，熟练掌握用反证法证明命题的一般步骤是解题的关键：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 按照用反证法证明命题的一般步骤进行推理论证即可． 【详解】证明：假设， ， ， ， ，这和“平角的定义”矛盾， 假设不成立，即， 故答案为：，，，，． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是___________， 不全为0， 中至少有一个为正数， ________0，这与已知相___________， ∴___________，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 【答案】 负数 矛盾 假设不成立 【分析】本题主要考查了反证法的应用，准确分析判断是解题的关键． 首先假设a，b，c都不是负数，然后证明出a，b，c这三个数中至少有一个负数即可求解． 【详解】证明：假设a，b，c都不是负数， 不全为0， 中至少有一个为正数， ，这与已知相矛盾， ∴假设不成立，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 故答案为：负数，，矛盾，假设不成立． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，与是直线被直线所截的同位角，且，用反证法证明与不平行，完成下列填空： 证明：假设___________， （_____________）． 这与___________相矛盾，故___________不成立． 与不平行． 【答案】 两直线平行，同位角相等 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，先假设，根据平行线的性质得出，说明与矛盾，从而证明原结论正确． 【详解】证明：假设， （两直线平行，同位角相等）． 这与相矛盾，故不成立． 与不平行． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；． 【压轴素养题型】 【题型7】构造命题并证明 1.核心知识点: 命题的构造方法 几何证明的综合应用 2.解题方法技巧: 从已知条件出发，组合不同的论断，构造合理的命题 证明时先明确条件和结论，再选择合适的证明方法 【例题7】.（25-26八年级上·山东菏泽·期末）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了证明几何命题，对顶角相等．根据证明几何命题的步骤画图，写出已知求值，再推理证明即可． 【详解】已知：如图，直线与相交于点， 求证：． 证明：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴． 【变式题7-1】.（2025七年级下·全国·专题练习）已知命题“等底等高的两个三角形的面积相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． 【答案】(1)真命题，证明见解析 (2)逆命题为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是等底等高的三角形，此命题是假命题；举例见解析 【分析】本题主要考查命题真假的判断和逆命题的知识，解题的关键是熟知课本中有关的定义和性质定理； （1）判断命题，需要分析由题设是否能推出结论，若为真，然后证明即可； （2）先写出逆命题，再按照由题设是否能推出结论进行判断，在举出反例即可． 【详解】（1）解：真命题，证明如下： 设这两个三角形分别为，， 的底为a，高为h，的底为，高为， ∴， ∵，， ∴， 故命题为真命题； （2）解：逆命题为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是等底等高的三角形， 此命题是假命题； 举例：若的底为2，高为6，的底为3，高为4，此时，，面积相等，但不是等底等高的另两个三角形， 故逆命题为假命题． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·广东中山·期中）如图，有三个论断： ①；②；③． (1)如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题，并判断该命题是真命题还是假命题； (2)若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由． 【答案】(1)若，则，此命题为真命题； (2)见解析 【分析】（1）根据题意写出命题； （2）根据平行线的判定和性质证明结论即可． 【详解】（1）解：若，则，此命题为真命题； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，有三个论断：①，②，③ (1)如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题__________ (用文字写出)，该命题是__________命题 (选填“真”或“假”) (2)若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由．已知__________，求证__________ 【答案】(1)若，则；真 (2)； 证明：， ， ， ， ， ， 又， ． 【分析】（1）选择①和②为题设，③作为结论写出对应的命题，再判断真假即可； （2）写出已知和求证，结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）略 （2）略． 【题型8】反证法的应用 1.核心知识点: 反证法的定义与步骤 矛盾的推导方法 2.解题方法技巧: 假设结论不成立时，要全面考虑所有反面情况 推出的矛盾可以是与已知条件、定义、定理、公理相矛盾 【例题8】.（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）在中，，，求证：．（用反证法证明） 【答案】见解析． 【分析】假设，通过三角形内角和定理可得，所以，与相矛盾，从而求证． 【详解】证明：假设， ∵， ∴， ∴， ∴，与相矛盾， ∴不成立， ∴． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）小杭抛了次骰子，记录下了抛出的点数，，…，．已知这组数据的方差，平均数为． (1)求这组数据的离差平方和； (2)求证：小杭没有抛出过点数． 【答案】(1)21 (2)证明：不妨设，次点数的平均数为， 假设有一次点数为，不妨设，由方差公式， ， 代入方差和平均数得， ， 即， 显然最大值为， 若，， 方程无整数解，所以， 若，， 方程有唯一整数解，，但此时平均数为，不合题意，所以， 若，，方程无整数解，所以， 若，则，不满足方程，所以， 综上所述，假设有一次点数为不成立，从而小杭没有抛出过点数． 【分析】（1）根据，进一步计算即可． （2）不妨设，次点数的平均数为，假设有一次点数为，不妨设，由方差公式可得：，再进一步讨论即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）略 【变式题8-2】.（25-26七年级下·上海虹口·期末）用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”．反证法是数学中常用的一种证明方法，其步骤是：（1）先假设求证的结论是错误的；（2）由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果；（3）从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性． 如图，已知：直线、被直线所截，分别交、于点、，， 求证：． 把以下证明过程补充完整 (1)证法一：如图1，假设直线与直线不平行，且与相交于点， 所以____________（                        ）， 所以____________ ，这与“”矛盾， 故假设不成立，所以． (2)证法二：如图2，假设直线与直线不平行，那么可以过点作直线，则． 因为， 所以（                          ）， 因为， 所以_________________（                         ）， 这与“”矛盾，故假设不成立，所以． 【答案】(1)；三角形内角和等于；； (2)两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等 【分析】根据反证法的基本步骤，结合三角形内角和定理以及平行线的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题8-3】.（25-26七年级下·上海·期中）证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”是真命题． 首先要证明一个命题是真命题，通常步骤是： ① 根据题意画出示意图，如图1； ② 根据条件和结论，参照示意图写出“已知”和“求证”； 即：已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线a与不平行． ③ 写出由条件推出结论的完整过程（根据以下证明过程完成填空） 证明：假设所求证的结论不成立，即a ， 则 （ ） 这与 矛盾，故 不成立． 所以 ． 上述证明过程的证明方式是 ． 【答案】；；两直线平行，同旁内角互补；；假设；直线与不平行；反证法． 【分析】根据反证法完成填空即可． 【详解】解：填空如下： 证明：假设所求证的结论不成立，即， 则（两直线平行，同旁内角互补） 这与矛盾，故假设不成立． 所以，直线与不平行． 上述证明过程的证明方式是反证法． 易错点 1.概念混淆：将定义误认为命题，或将祈使句、疑问句误认为命题；混淆“定理”与“逆定理”，认为所有定理都有逆定理。 2.命题改写错误：改写“如果……那么……”形式时，条件和结论划分不清，或补充内容改变了原命题的意思。 3.反例构造错误：举反例时，只满足结论不满足条件，或同时满足条件和结论，无法证明命题为假。 4.证明依据错误：平行线的判定与性质混用；三角形外角性质中忽略“不相邻”的条件。 5.多边形剪角问题漏解：只考虑一种剪角情况，忽略边数增加1、不变、减少1三种可能性。 6.反证法假设错误：假设结论不成立时，没有全面否定原结论，或假设与原结论一致。 7.证明过程不规范：跳步推理，不标注证明依据；图形与已知条件不符。 重点 1.命题的改写、真假判断与反例列举（选择题、填空题必考）。 2.几何证明的规范书写：包括已知、求证的表述和每一步推理依据的标注。 3.平行线的判定与性质、三角形内角和定理的综合应用（解答题核心考点）。 4.多边形内角和与外角和公式的计算与应用。 5.补全证明过程：考查逻辑推理能力，是期末常考题型。 难点 1.复杂图形的角度计算：涉及多个基本图形的组合，需要分解图形并逐步推导。 2.多结论判断题：需要对每个结论进行严谨的推理，容易出现漏判或错判。 3.反证法的应用：正确作出假设并推导出矛盾，需要较强的逻辑思维能力。 4.新定义与逻辑推理探究题：需要快速理解新定义，并结合已有知识进行创新推理。 5.开放性构造命题与证明：需要自主组合条件和结论，并完成严谨的证明。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列命题中，是真命题的是(     ) A．内错角相等 B．相等的角是对顶角 C．互补的两个角一定一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】分别根据平行线的性质，对顶角的含义，补角的定义，垂线的定义对选项依次判断即可． 【详解】解： A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； C、互补的两个角可以都是直角，原命题是假命题，不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，符合题意， 2．关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 【答案】A 【分析】先找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换得到逆命题，再和选项对比得到答案． 【详解】解：原命题“同旁内角互补，两直线平行”中，条件为“同旁内角互补”，结论为“两直线平行”. ∵逆命题的定义是将原命题的条件与结论互换得到新命题， ∴该命题的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”. 对照选项可知A正确． 3．下列命题是假命题的是（   ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等 ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 ③相等的角是对顶角 ④互补的角是邻补角 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据错误的命题是假命题，平行线的性质与判定，对顶角，邻补角的定义，逐一判断各命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，命题未说明两直线平行，①是假命题； 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线形成的同位角均为，根据平行线的判定定理可得两条直线互相平行， ②是真命题； 对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，任意两个度数相等的角都不一定是对顶角， ③是假命题； 互补的角仅满足度数和为，邻补角还需要满足有公共顶点和公共边的位置要求， 因此互补的角不一定是邻补角， ④是假命题； 综上，假命题为①③④． 二、填空题 4．将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【分析】把命题改写成“如果……那么……”形式时，“如果”的部分接命题的条件，“那么”的部分接命题的结论；原命题“对顶角相等”中，条件是两个角为对顶角，结论是这两个角相等，按要求拆分填写即可． 【详解】解：如果两个角为对顶角，那么两个角相等． 5．若用反证法来证明命题“若，则”，第一步应假设_________． 【答案】 【分析】根据反证法的步骤，第一步需要假设原命题的结论不成立，找出原结论的反面即可得到结果． 【详解】解：结论的反面是，所以用反证法来证明，第一步应假设． 6．“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是：___________________________，该逆命题是一个________命题（填“真”或“假”）． 【答案】 如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 假 【分析】根据逆命题定义将原命题的题设和结论互换得到逆命题，再判断逆命题的真假即可． 【详解】解：原命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”中，题设为“两个角是同一个角的余角”，结论为“这两个角相等”．将题设与结论互换，得到逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角． 判断真假：两个相等的角，不一定是同一个角的余角，例如：，，是的余角，是另一个的余角，两角相等但不一定是同一个角的余角，因此逆命题不成立，是假命题． 三、解答题 7．证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 【答案】见解析 【分析】根据逆否命题以及完全平方公式进行判断即可． 【详解】证明：设整数个位数为5，可表示为， ∴， 因此，这个整数平方的个位数为5， ∴如果一个数的个位数是5，那么这个数的平方的个位数是5为真命题， ∴一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 8．说出它们的定义： (1)角； (2)角的平分线； (3)数轴； (4)一元一次方程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【详解】（1）解：角的定义：由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角； （2）解：角的平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线； （3）解：数轴的定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴； （4）解：一元一次方程的定义：含有一个未知数，且含有未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程． 9．将下列命题改成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的条件和结论． (1)平行于同一条直线的两条直线平行； (2)两个有理数相乘，同号得正． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）找出命题的条件和结论，进而得出答案； （2）找出命题的条件和结论，进而得出答案． 【详解】（1）解：如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行．条件：两条直线都平行于同一条直线，结论：这两条直线平行； （2）解：如果两个有理数同号，那么它们相乘的积为正．条件：两个有理数同号，结论：它们相乘的积为正． 10．探究与证明 【推理证明】 (1)如图，，垂足为， ，垂足为，，求证． 请补全下面的证明过程． 证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）． ∴ （________________________）． ∴ （两直线平行，同位角相等）． 又∵ （已知）， ∴ （ ）． ∴ （________________________）． 【拓展证明】 (2)若把（1）中的题设“”与结论“”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题？若是真命题，则仿照（1）写出证明过程；若是假命题，则请举出反例． 【迁移应用】 (3)如图，有下列四个条件：，，，．从中选出三个作为题设，另一个作为结论，构成命题，其中，有 个真命题． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行；3；3；两直线平行，内错角相等；等量代换 (2)真命题，理由见解析 (3)4 【分析】（1）根据平行线的判定和性质进行证明即可； （2）根据平行线的判定和性质进行证明即可； （3）分别写出四种情况，分别进行说明和证明即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）， ∴ （同位角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同位角相等）， 又∵ （已知）， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）； （2）解：真命题，理由如下： ∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）； （3）解： 在（1）中已经证明，条件：①②④，结论：③，为真命题； 在（2）中已经证明，条件：①②③，结论：④，为真命题； 条件：②③④，结论：①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此命题为真命题； 条件：①③④，结论：②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此命题为真命题； 综上可知，共4个真命题． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 定义 命题 证明 知识点1：定义与命题 1.定义：对名称或术语的含义进行描述、作出规定的句子。 特点：具有确定性和唯一性，不能模糊不清。 2.命题：判断一件事情的语句。 基本特征：必须是陈述句，且对事情作出肯定或否定的判断。 组成：每个命题都由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。 形式：通常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后面的部分是条件，“那么”后面的部分是结论。 3.真假命题 真命题：如果条件成立，那么结论一定成立的命题。 假命题：条件成立时，不能保证结论一定成立的命题。 反例：举一个符合命题条件，但不满足命题结论的例子，即可证明该命题是假命题。 知识点2：定理与逆命题、逆定理 1.定理：经过证明的真命题，可作为证明其他命题的依据。 2.逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题。 3.逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理互为逆定理。 注意：所有命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理。 知识点3：证明与反证法 1.证明：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的推理过程。 证明的一般步骤： 1.根据题意，画出图形； 2.根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证； 3.经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 2.反证法 定义：先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾，从而证明原命题成立的方法。 步骤： 1.假设命题的结论不成立； 2.从这个假设出发，经过推理，得出与已知条件、定义、定理、公理相矛盾的结果； 3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。 知识点4：常用几何证明依据 类别 核心依据 平行线 判定：同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行 性质：两直线平行，同位角相等/内错角相等/同旁内角互补 三角形 内角和定理：三角形内角和等于 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 多边形 内角和公式：边形内角和为 外角和定理：任意多边形外角和恒为 角与线段 对顶角相等；同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等；垂线段最短 【基础必考题型】 【题型1】定义与命题的判断 1.核心知识点: 定义的概念与特征 命题的定义（必须是作出判断的陈述句） 2.解题方法技巧: 排除法：疑问句、祈使句、感叹句一定不是命题 定义是对术语的“规定”，命题是对事情的“判断” 【例题1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 【变式题1-1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）下列句子中，是定义的是（    ） A．在正数前面加上符号“”的数是负数 B．，两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【变式题1-2】.（25-26七年级下·福建莆田·期中）下列语言叙述是命题的是（ ） A．2026年“全到莆田过大年”是莆田市重点打造的春节文旅品牌． B．你喜欢吃枇杷吗？ C．赶紧写作业！ D．画一条端点为A的射线 【变式题1-3】.（2026七年级下·江苏·专题练习）下列语句中，哪些是命题？ (1)过点作一条射线． (2)线段的长是吗？ (3)如果，那么． 【题型2】命题的改写与条件、结论辨析 1.核心知识点: 命题的组成（条件+结论） “如果……那么……”形式的改写 2.解题方法技巧: 先找出命题中“已知事项”和“推出事项” 补充省略的词语，使语句通顺后再改写 【例题2】.（25-26七年级下·云南红河·阶段检测）“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·广东江门·期中）将命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____，那么______． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·广东广州·期中）命题“对顶角相等”的题设是：___________． 【变式题2-3】.（2026七年级下·江苏·专题练习）指出下列命题的条件与结论： (1)如果，那么的补角与的补角相等； (2)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 【题型3】真假命题的判断与反例列举 1.核心知识点: 真命题与假命题的定义 反例的作用与构造方法 2.解题方法技巧: 假命题只需举一个符合条件但不符合结论的反例 真命题需要通过推理证明，不能仅靠举例 【例题3】.（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）下列命题中是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．若实数a，b满足，则 D．两直线平行，同位角相等 【变式题3-1】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中：①点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直同一条直线的两条直线平行；⑤平行于同一条直线的两条直线平行．其中真命题的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河南南阳·期中）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．这个反例中的x可以为________． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·贵州遵义·阶段检测）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（   ） A． B． C．0 D．1 【题型4】逆命题与逆定理的辨析 1.核心知识点: 逆命题的写法（交换条件与结论） 逆定理的判断（逆命题必须是真命题） 2.解题方法技巧: 先将原命题改写成“如果……那么……”形式，再交换条件和结论 定理一定是真命题，但逆命题不一定是真命题，因此不一定有逆定理 【例题4】.（2026·安徽合肥·模拟预测）已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如果，那么 的逆命题为_____________________ 【变式题4-2】.（2026七年级下·江苏·专题练习）下面两个命题是互逆命题吗？ （1）如果是整数，那么是有理数； （2）如果是有理数，那么是整数． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）写出下列命题的逆命题． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)如果两个角是直角，那么这两个角相等． (3)能被4整除的数一定能被8整除． 【培优高频题型】 【题型5】多边形内角和与外角和计算 1.核心知识点: 多边形内角和公式： 多边形外角和定理：恒为 2.解题方法技巧: 已知内角和求边数，用公式列方程求解 涉及正多边形时，优先利用外角和计算更简便 【例题5】.（2026·河北唐山·二模）如图，在正五边形中，的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·四川巴中·期中）若正多边形的内角和是，则正多边形的一个外角为_______． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·全国·暑假作业）一个多边形的内角和等于，则这个多边形是（    ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．十边形 【变式题5-3】.（2026·广东广州·三模）文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（     ） A． B． C． D． 【题型6】补全证明过程缺步 1.核心知识点: 几何证明的逻辑推理 常用证明依据的准确表述 2.解题方法技巧: 结合上下文和图形，分析每一步的推理依据 注意前后逻辑的连贯性，填写的内容要与已知条件和结论呼应 【例题6】.（25-26七年级下·广西玉林·期中）填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【变式题6-1】.（24-25八年级下·广东揭阳·阶段检测）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截．求证：． 证明：假设________， ， ________， ________， ________，这和“平角的定义”矛盾， 假设________不成立，即． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是___________， 不全为0， 中至少有一个为正数， ________0，这与已知相___________， ∴___________，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，与是直线被直线所截的同位角，且，用反证法证明与不平行，完成下列填空： 证明：假设___________， （_____________）． 这与___________相矛盾，故___________不成立． 与不平行． 【压轴素养题型】 【题型7】构造命题并证明 1.核心知识点: 命题的构造方法 几何证明的综合应用 2.解题方法技巧: 从已知条件出发，组合不同的论断，构造合理的命题 证明时先明确条件和结论，再选择合适的证明方法 【例题7】.（25-26八年级上·山东菏泽·期末）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 【变式题7-1】.（2025七年级下·全国·专题练习）已知命题“等底等高的两个三角形的面积相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·广东中山·期中）如图，有三个论断： ①；②；③． (1)如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题，并判断该命题是真命题还是假命题； (2)若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，有三个论断：①，②，③ (1)如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题__________ (用文字写出)，该命题是__________命题 (选填“真”或“假”) (2)若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由．已知__________，求证__________ 【题型8】反证法的应用 1.核心知识点: 反证法的定义与步骤 矛盾的推导方法 2.解题方法技巧: 假设结论不成立时，要全面考虑所有反面情况 推出的矛盾可以是与已知条件、定义、定理、公理相矛盾 【例题8】.（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）在中，，，求证：．（用反证法证明） 【变式题8-1】.（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）小杭抛了次骰子，记录下了抛出的点数，，…，．已知这组数据的方差，平均数为． (1)求这组数据的离差平方和； (2)求证：小杭没有抛出过点数． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·上海虹口·期末）用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”．反证法是数学中常用的一种证明方法，其步骤是：（1）先假设求证的结论是错误的；（2）由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果；（3）从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性． 如图，已知：直线、被直线所截，分别交、于点、，， 求证：． 把以下证明过程补充完整 (1)证法一：如图1，假设直线与直线不平行，且与相交于点， 所以____________（                        ）， 所以____________ ，这与“”矛盾， 故假设不成立，所以． (2)证法二：如图2，假设直线与直线不平行，那么可以过点作直线，则． 因为， 所以（                          ）， 因为， 所以_________________（                         ）， 这与“”矛盾，故假设不成立，所以． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·上海·期中）证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”是真命题． 首先要证明一个命题是真命题，通常步骤是： ① 根据题意画出示意图，如图1； ② 根据条件和结论，参照示意图写出“已知”和“求证”； 即：已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线a与不平行． ③ 写出由条件推出结论的完整过程（根据以下证明过程完成填空） 证明：假设所求证的结论不成立，即a ， 则 （ ） 这与 矛盾，故 不成立． 所以 ． 上述证明过程的证明方式是 ． 易错点 1.概念混淆：将定义误认为命题，或将祈使句、疑问句误认为命题；混淆“定理”与“逆定理”，认为所有定理都有逆定理。 2.命题改写错误：改写“如果……那么……”形式时，条件和结论划分不清，或补充内容改变了原命题的意思。 3.反例构造错误：举反例时，只满足结论不满足条件，或同时满足条件和结论，无法证明命题为假。 4.证明依据错误：平行线的判定与性质混用；三角形外角性质中忽略“不相邻”的条件。 5.多边形剪角问题漏解：只考虑一种剪角情况，忽略边数增加1、不变、减少1三种可能性。 6.反证法假设错误：假设结论不成立时，没有全面否定原结论，或假设与原结论一致。 7.证明过程不规范：跳步推理，不标注证明依据；图形与已知条件不符。 重点 1.命题的改写、真假判断与反例列举（选择题、填空题必考）。 2.几何证明的规范书写：包括已知、求证的表述和每一步推理依据的标注。 3.平行线的判定与性质、三角形内角和定理的综合应用（解答题核心考点）。 4.多边形内角和与外角和公式的计算与应用。 5.补全证明过程：考查逻辑推理能力，是期末常考题型。 难点 1.复杂图形的角度计算：涉及多个基本图形的组合，需要分解图形并逐步推导。 2.多结论判断题：需要对每个结论进行严谨的推理，容易出现漏判或错判。 3.反证法的应用：正确作出假设并推导出矛盾，需要较强的逻辑思维能力。 4.新定义与逻辑推理探究题：需要快速理解新定义，并结合已有知识进行创新推理。 5.开放性构造命题与证明：需要自主组合条件和结论，并完成严谨的证明。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列命题中，是真命题的是(     ) A．内错角相等 B．相等的角是对顶角 C．互补的两个角一定一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 3．下列命题是假命题的是（   ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等 ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 ③相等的角是对顶角 ④互补的角是邻补角 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 4．将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 5．若用反证法来证明命题“若，则”，第一步应假设_________． 6．“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是：___________________________，该逆命题是一个________命题（填“真”或“假”）． 三、解答题 7．证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 8．说出它们的定义： (1)角； (2)角的平分线； (3)数轴； (4)一元一次方程． 9．将下列命题改成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的条件和结论． (1)平行于同一条直线的两条直线平行； (2)两个有理数相乘，同号得正． 10．探究与证明 【推理证明】 (1)如图，，垂足为， ，垂足为，，求证． 请补全下面的证明过程． 证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）． ∴ （________________________）． ∴ （两直线平行，同位角相等）． 又∵ （已知）， ∴ （ ）． ∴ （________________________）． 【拓展证明】 (2)若把（1）中的题设“”与结论“”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题？若是真命题，则仿照（1）写出证明过程；若是假命题，则请举出反例． 【迁移应用】 (3)如图，有下列四个条件：，，，．从中选出三个作为题设，另一个作为结论，构成命题，其中，有 个真命题． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $