第7章 幂的运算（6大知识点+12 大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版七年级数学下学期培优讲义

该初中数学《幂的运算》单元复习讲义通过分层梳理知识点，以表格呈现零指数幂与负整数指数幂的定义、法则及注意事项，用要点罗列同底数幂乘除、幂的乘方等运算的法则、拓展与逆用，清晰构建知识脉络并突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型巩固法则应用如同底数幂乘法运算，培优题型提升综合能力如幂的混合运算与代数式求值，压轴题型如规律探究题培养推理意识与创新意识。每个题型配解题技巧与变式题，帮助不同层次学生提升，教师可据此实施精准教学。

第7章 幂的运算 知识点1：同底数幂的乘法 1.法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即（，、为正整数）。 2.拓展：多个同底数幂相乘，法则依然适用，即（，、、为正整数）。 3.逆用：（，、为正整数），可用于拆分幂的指数进行简便计算。 知识点2：幂的乘方 1.法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（，、为正整数）。 2.注意：底数为负数时，需根据指数的奇偶性判断结果的符号，即（，、为正整数）。 3.逆用：（，、为正整数），常用于幂的大小比较或化简。 知识点3：积的乘方 1.法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（，，为正整数）。 2.拓展：多个因式的积的乘方，法则同样适用，即（，，，为正整数）。 3.逆用：（，，为正整数），是进行简便计算的重要工具。 知识点4：同底数幂的除法 1.法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（，、为正整数，且）。 2.拓展：多个同底数幂相除，法则仍成立，即（，、、为正整数，且）。 3.逆用：（，、为正整数，且），可用于代数式的化简求值。 知识点5：零指数幂与负整数指数幂 类型 定义/法则 注意事项 零指数幂 （） 底数不能为0，否则无意义 负整数指数幂 （，为正整数） 底数不为0，结果是正整数指数幂的倒数 拓展应用 （，为正整数） 可实现负指数与正指数的相互转化 知识点6：科学记数法 1.表示形式：绝对值大于1的数：（，为正整数，等于原数的整数位数减1）； 2.绝对值小于1的数：（，为正整数，等于原数左起第一个不为0的数字前面所有0的个数）。 【基础必考题型】 【题型1】同底数幂的乘法运算 1.核心知识点: 同底数幂的乘法法则；指数的和差运算 2.解题方法技巧: 确定底数是否相同，若底数互为相反数，可转化为相同底数（如当为奇数时，当为偶数时）； 严格遵循“底数不变，指数相加”法则，计算后整理结果，确保底数不为0。 【例题1】.（24-25八年级下·北京·开学考试）计算：________． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加即可求解． 【详解】解：． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·广东江门·月考）若，则___． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则. 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加得到，再把代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题1-2】.（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，则的值为___________． 【答案】8 【分析】利用同底数幂的乘法法则、乘方的意义进行求解． 【详解】解：因为，所以； 因为，所以； ∴． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方，同底数幂相乘，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先将多个相同数的和与积转化为乘法和乘方形式，再利用等式性质求出的值，最后代入所求式子计算． 【详解】解：∵2025个相加可表示为，2026个相乘可表示为， ∴根据题意得， 又∵， 等式两边同时除以，得， 将代入，得， 故选：B． 【题型2】幂的乘方与积的乘方运算 1.核心知识点: 幂的乘方法则；积的乘方法则；指数的乘法运算 2.解题方法技巧: 幂的乘方：聚焦“底数不变，指数相乘”，避免与同底数幂乘法混淆（指数不可相加）； 积的乘方：将每个因式分别乘方后再相乘，注意系数的乘方运算。 【例题2】.（25-26八年级上·吉林白山·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的相关运算法则及同类项的合并规则，需根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方的运算法则，以及同类项的定义逐一判断选项． 【详解】∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故A选项错误； ∵积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ∴，故B选项正确； ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，故C选项错误； ∵与所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并， ∴，故D选项错误． 【变式题2-1】.（22-23七年级下·山东青岛·月考）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵， ∴ 【变式题2-2】.（25-26八年级上·湖北荆州·期末）已知，，m，n为正整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方与同底数幂的乘法的逆运算，先将32转化为2的5次方，再利用幂的运算法则把所求式子变形为含已知式的形式，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 又∵，， ∴， 故选：A． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）若，则“？”是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂的乘方法则建立方程求解即可． 【详解】解：设“？”为， ∵， ∴， ∴， 解得：，即“？”是． 【题型3】同底数幂的除法运算 1.核心知识点: 同底数幂的除法法则；零指数幂的定义 2.解题方法技巧: 确认底数相同且不为0，按“底数不变，指数相减”计算； 若指数相等，结果为1（即，）； 避免出现“指数相除”的错误。 【例题3】.（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）计算__________． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算． 依据同底数幂的除法法则即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题3-1】.（2024·甘肃武威·二模）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法运算，同底数幂相除，底数不变，指数相减进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（m是正整数）． 【答案】(1)9 (2)32 (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据同底数幂的除法求解即可； （2）根据同底数幂的除法求解即可； （3）先算幂的乘方，再根据同底数幂的乘法和除法求解即可； （4）先算幂的乘方，再根据同底数幂的乘法和除法求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)（m是正整数）； (4)（，n是正整数）． 【答案】(1) (2) (3)5 (4) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，负指数幂的概念，熟练掌握同底数幂的除法法则及负指数幂的概念是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可； （3）根据同底数幂的除法法则计算即可； （4）先根据同底数幂的除法法则计算，再根据负指数幂的概念化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型4】零指数幂与负整数指数幂的计算 1.核心知识点: 零指数幂的定义；负整数指数幂的定义；分数与负指数的转化 2.解题方法技巧: 先判断底数是否为0，再应用对应法则计算； 负整数指数幂转化为分数形式时，注意符号（如，而非）； 混合运算时，先算零指数幂和负指数幂，再算乘除，最后算加减。 【例题4】.（24-25八年级下·北京·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】先计算负整数幂，零指数幂，求绝对值，再加减即可． 【详解】解：原式 ． 【变式题4-1】.（24-25八年级下·湖北武汉·月考）______；    ______；    ______． 【答案】 1 【分析】本题考查零指数幂与负整数指数幂的运算，需依据对应的运算法则进行计算即可． 【详解】解：根据零指数幂的运算法则：任何不等于0的数的0次幂都等于1，可得； 根据负整数指数幂的运算法则：任何不等于0的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，可得 ，． 故答案为：1；； 【变式题4-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 ； ； ． 【分析】本题考查指数运算，包括零指数幂、负整数指数幂、幂的乘方和同底数幂相乘的法则，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先计算零次幂，负整数指数幂，再计算加法即可； （2）先计算零次幂，负整数指数幂，再计算加法即可； （3）根据整数指数幂的运算法则，先计算负整数指数幂，再计算同底数幂相乘即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； 故答案为：（1）；（2）；（3）． 【变式题4-3】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查同底数幂的乘除，积的乘方，幂的乘方，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型5】科学记数法的表示与转化 1.核心知识点: 科学记数法的定义；正、负指数的应用 2.解题方法技巧: 表示大数时，确定（）和（整数位数减1）； 表示小数时，为左起第一个非0数字前0的个数； 逆向转化时，正数指数向右移小数点，负数指数向左移小数点，确保位数准确。 【例题5】.（25-26七年级上·贵州遵义·期末）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，约为149000000千米，则149000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值大于1的数，需掌握科学记数法的表示形式为（其中，为整数），确定和的值是解题关键． 【详解】解：． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·全国·期末）用科学记数法表示一个数记为，则这个数原来是____________． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法表示的数变回原数，科学记数法指把一个数写成（其中 ，为整数）的形式，据此解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式题5-2】.（22-23七年级下·山东青岛·月考）芝麻可以作为食品和药物，均被广泛使用，经测算，一粒芝麻约有千克，用科学记数法表示为__________． 【答案】 【详解】解： 【变式题5-3】.（25-26六年级下·全国·课后作业）用小数表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了将用科学记数法表示的数化为小数，解题的关键是掌握科学记数法中指数与小数点移动位数的关系； （1）表示小数点向左移动5位，将的小数点向左移5位，得到； （2）表示小数点向左移动8位，将的小数点向左移8位，得到； （3）表示小数点向左移动5位，将的小数点向左移5位，得到； （4）表示小数点向左移动7位，将的小数点向左移7位，得到． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【培优高频题型】 【题型6】幂的混合运算（含多种运算法则） 1.核心知识点: 幂的四种运算法则；运算顺序；符号的确定 2.解题方法技巧: 遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序，有括号先算括号内的； 同级运算从左到右依次进行，每一步运算后及时化简； 注意负数的乘方、积的乘方的符号判断，避免符号错误。 【例题6】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法以及整式的加减运算． 解题的关键是严格遵循幂的运算规则，先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后合并同类项． 【详解】（1）解： （2） （3） 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江西宜春·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂、幂的混合运算及合并同类项等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值，然后再计算减法即可； （2）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、单项式乘以单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算单项式乘以单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得答案； （2）先化简绝对值、计算有理数的乘方、负整数指数幂与零指数幂，再计算加减法即可得答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、零指数幂、负整数指数幂、有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂法则、负整数指数幂法则、有理数的混合运算法则进行解题即可； （2）根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型7】幂的运算与代数式求值 1.核心知识点: 幂的运算法则；整体思想；代数式的变形 2.解题方法技巧: 分析已知条件与所求代数式的结构，构造整体； 将所求代数式变形为含已知整体的形式； 代入整体值计算，避免直接求解字母的值，简化运算。 【例题7】.（25-26七年级上·江苏淮安·月考）若，则___________ 【答案】2 【分析】逆用同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方逆运算．将看作一个整体并求出其值，然后逆用幂的乘方，同底数幂相乘将变形为，再整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·江苏泰州·月考）规定，求： (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据规定运算法则，利用同底数幂的乘法法则进行计算； （2）根据规定运算法则，利用同底数幂的乘法法则以及负整数指数幂进行计算． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ∴， 解得 【变式题7-3】.（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)9 (2)3 【分析】（1）利用幂的乘方的逆应用进行求解； （2）利用同底数幂的除法的逆应用，幂的乘方的逆应用进行求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】注意掌握幂的运算的逆应用． 【题型8】幂的运算之简便计算 1.核心知识点: 积的乘方逆用；同底数幂的乘除法逆用；指数的拆分与合并 2.解题方法技巧: 观察式子结构，若有指数相同的幂相乘/相除，逆用积的乘方/同底数幂法则； 对于形如的式子，逆用积的乘方化为； 拆分指数（如），构造可简便计算的形式。 【例题8】.（25-26八年级上·全国·课后作业）简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算， （1）根据积的乘方的逆运算及有理数的乘方运算法则计算即可； （2）将原式转化为，再利用有理数的乘方运算法则计算即可； 掌握相应的运算法则、运算律及运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式题8-1】.（2025七年级下·全国·专题练习）用简便方法计算． (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查积的乘方的逆用，掌握掌握积的乘方运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方运算法则进行简便计算； （2）根据积的乘方运算法则进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题8-2】.（23-24七年级上·福建泉州·期中）计算并认真观察： (1)计算： ①___________；___________；②___________；___________． (2)根据以上两组计算结果的规律，猜想：___________（是正整数）； (3)根据你发现的规律与猜想，简便计算：． 【答案】(1)①；；②； (2) (3) 【分析】本题考查数与式的变化规律， （1）①通过计算得出结论；②通过计算得出结论； （2）根据（1）计算结果的规律猜想得出结论； （3）根据发现的规律与猜想进行计算； 根据算式中数的变化找出变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：①；， 故答案为：；； ②；， 故答案为：；； （2）根据以上两组计算结果的规律，猜想：， 故答案为：； （3） ． 【变式题8-3】.（24-25七年级上·四川南充·月考）简便运算 (1) (2) 【答案】(1)0 (2)8 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，乘法运算律，积的乘方的逆用，掌握相关运算法则是解题关键． （1）结合乘法运算律简便计算即可； （2）利用积的乘方的逆用简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型9】幂的大小比较 1.核心知识点: 幂的乘方法则；同底数幂或同指数幂的大小比较 2.解题方法技巧: 同底数幂比较：底数＞1时，指数越大幂越大；底数在0~1之间时，指数越大幂越小； 不同底数不同指数：转化为同指数幂（逆用幂的乘方），比较底数大小；或转化为同底数幂，比较指数大小； 对于负指数幂，先转化为正指数幂的倒数，再进行比较。 【例题9】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： (1)比较和的大小； (2)已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； (3)比较大小： （填“”“”或“”） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，结合即可比较； （2）根据题意可知，，结合，再逆向推导a、b的大小即可； （3）由指数幂的运算，得，，再结合即可比较； 【详解】（1）解：，且， ，即； （2）解：， ， ， ， ； （3）解： ， ， 又， ， 即． 故答案为：． 【变式题9-1】.（23-24六年级下·山东济南·月考）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方，有理数大小比较，解题的关键是明确有理数大小的比较方法及幂的乘方运算法则． （1）根据材料一的结论解答本题； （2）根据材料二的结论解答本题． 【详解】（1）∵，，， ∵， ∴； （2）∵，，， ∵， ∴． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·河南周口·月考）我们知道：对于正整数，若，则；若，则．因此在比较幂的大小时，我们可以把它们化成底数相同的数，比较次数的大小，或者化成次数相同的数，比较底数的大小．请运用此方法解决下列问题： (1)比较大小：___________；（填“”“”或“”） (2)已知，试比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方以及幂的乘方的逆用，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则． （1）根据幂的乘方运算法则解答即可； （2）根据幂的乘方的逆用解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 又， ， ． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·陕西西安·开学考试）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，解：，∵，∴ (1)比较，的大小． (2)比较，，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键． （1）转化为同底数幂，比较指数即可； （2）转化为同指数，比较底数即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， 即； （2）解：∵，，， 又∵，，， ∴， ∴． 【压轴素养题型】 【题型10】幂的运算之规律探究题（素养型） 1.核心知识点: 幂的运算法则；归纳推理；数字规律 2.解题方法技巧: 计算前3~4个特殊式子的结果，分析结果与序号、指数的关系； 归纳总结通用规律（如的个位数字循环规律：3、9、7、1）； 利用规律求解后续问题，并用特殊值验证规律的正确性。 【例题10】.（25-26八年级上·河南周口·期末）观察下列等式： 按此规律，第n个等式为_______ 【答案】 【分析】观察给定等式，右边数字均为2乘以3的从到次幂之和，符合因式分解规律． 本题是对数字变化规律的考查，观察等式的变化是解题关键． 【详解】根据因式分解公式， ； ； ； ； ， 故答案为：， 【变式题10-1】.（2025·浙江台州·一模）观察下面三行数： ① ② ③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字规律、同底数幂相乘等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先观察数据，发现规律，确定的值，然后代入计算即可． 【详解】由题知，第①行是以2为底数，从1开始的连续自然数为指数，奇数位置为负，偶数位置为正的数，所以第①行的第20个数为， 第②行的数比第①行对应的数大2，所以第②行的第20个数为，即， 第③行的数由第①行对应的数除以2所得，所以第③行的第20个数为， 所以 ． 故选B． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·贵州毕节·期中）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． (3)若，请求出n的值． 【答案】(1)， (2)①，  ② (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题意计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解即可； （3）根据幂的乘方和积的乘方逆运算法则解答即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：①； ； 故答案为：，； ② ； （3）解：， ∴， 解得． 【变式题10-3】.（24-25七年级下·安徽安庆·期末）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．如；． (1)请你写出和的展开式； (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期五，再过7天还是星期五，则再过天是星期___________． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (4)你能在（3）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． 【答案】(1)； (2)六 (3) (4) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，掌握“杨辉三角”揭示（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，是解决问题的关键． （1）由题中所给杨辉三角形，由各项系数的有关规律即可得到和的展开式； （2）由（1）中可知，，从而得到除以7余1，即可得到答案； （3）由题中令，则，从而令，则，即可得到答案； （4）由（3）中的方法，令，列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由杨辉三角规律，如图所示： ；； （2）解：由（1）中可知， ， 除以7余1，则今天是星期五，再过7天还是星期五， 再过天是星期六， 故答案为：六； （3）解：由题意可知，令，则， 令，则， ； （4）解：令，则，， ． 【题型11】阅读理解型幂的求和运算（错位相减法） 1.核心知识点: 同底数幂的乘法；等式的性质；错位相减的解题思想 2.解题方法技巧: 设S表示所求幂的和（明确求和的首项、末项及公比）； 将等式两边同时乘公比（如求和式含则乘5），得到新的等式； 用新等式减去原等式，消去中间重叠项，转化为含S的一元一次方程，求解即可； 注意首项为1或含负指数幂时，公比的符号与取值需准确对应。 【例题11】.（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 解：设①， 则②， 由，得． 请仿照小明的方法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，同底数幂的乘法，解一元一次方程等知识点，理解题意，正确模仿小明的方法解决问题是解题的关键．模仿小明的方法列出算式，进而得出一元一次方程，解之，即可得出答案． 【详解】解：设①， 则②， 由②－①， 得 原式． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的文字，按要求解答问题． 求的值． 解：令，① 将等式两边同时乘5，得．② ②-①，得， ． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了等式的性质，有理数的混合运算，利用类比的方法找出数字之间的运算规律，进一步解决问题． （1）根据所给阅读材料，依照所给方法，在所令的等式两边都乘即可解决问题； （2）根据所给阅读材料，依照所给方法，先提出，然后在所令的等式两边都乘即可解决问题． 【详解】（1）解：（1）令，① 将等式两边同时乘2，得．② ②-①，得． （2）解：（2）． 令，① 令 ，则． 两式相减得： 原式． 【变式题11-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设①， 则②， ，得． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)______； (2)______； (3)求的和（请写出计算过程）； (4)求的和（其中且）（请写出计算过程）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，解题的关键是理解题中所给方法； （1）根据题中所给方法可设，则有，然后问题可求解； （2）设，则有，然后问题可求解； （3），则有，然后问题可求解； （4）设，则有，然后可得，则可设，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设①， ∴②， 得； 故答案为． （2）解：设①， ∴②， ，得， ； 故答案为． （3）解：设①， ∴②， ，得， ． （4）解：设①， ②， ，得． 设③， ④， ，得， ， ， ． 【变式题11-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读材料： 求的值． 解：令①． 将等式①两边同时乘2，得 ②． ②①，得，即， 所以 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)计算：． (2)已知数列：，9，，，，…． ①它的第100个数是_____； ②求该数列中前100个数的和． 【答案】(1) (2) 该数列中前个数的和是 【分析】（1）根据阅读材料即可解决问题； （2）①观察数列的特征，发现后一个数是前一个数的-9倍，即可解决问题； ②表示出前100个数的和，再依据规律即可解题． 【详解】（1）解：由题知：令 将等式①两边同时乘3，得： 得：， 即 ． （2）解：①观察所给数列的特征可知，后一个数是前一个数的倍，且第一个数是.所以第个数是； ②前100个数的和为： 令 两边同时乘以，得 两式相减去，得： ，即， 所以这列数中前个数的和为． 【点睛】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解题中所给计算方式是解题的关键． 【题型12】新定义下的幂的运算（探究型） 1.核心知识点: 幂的基本运算法则；新定义的理解与应用；逻辑推理能力 2.解题方法技巧: 仔细阅读新定义规则，明确运算本质（如）； 将新定义运算转化为熟悉的幂的运算，逐步推导； 结合幂的运算法则验证结果，确保符合定义要求。 【例题12】.（24-25八年级上·湖北荆州·期末）【概念学习】我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． （2）小颖发现也成立，并证明如下： 设，则， 因为，所以， 所以， 仿照以上证明，计算[， ]，写出计算过程； （3）猜想[， ]，并说明理由． 【答案】（1）3，4；（2）24，见解析；（3）6，理由见解析 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，熟练掌握同底数幂的乘除法及题意是解题的关键； （1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）设，，则，，然后根据同底数的乘法可进行求解； （3）设，，则，，进而根据新定义运算及同底数幂的除法可进行求解． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：3，4； （2）设，，则，， ∵， ∴， ∴； （3），理由如下： 设，，则，， ∵， ∴， ∴． 【变式题12-1】.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，则． ∴． ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ① ， ；②若，则 ． (2)计算： ，并说明理由． (3)记．求证：． 【答案】(1)① 3，5；② (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了幂的运算和新定义运算，解题关键是准确理解题意，熟练运用幂的运算法则进行计算． （1）①按照题目给出的运算方法计算即可；②根据新定义列出方程求解即可； （2）按照题目给出的运算方法计算即可； （3）按照题目给出的运算方法计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：3，5， ②∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：设，则． ∴． ∴，即； 故答案为：． （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题12-2】.（24-25七年级下·江苏常州·月考）规定两数、之间的一种运算，记作．定义：如果，那．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：___________；___________． (2)已知，求（用含、的代数式表示）； (3)若，则、的大小关系是：___________（填“>、”或“”）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查了新定义运算，同底数幂的运算及逆运算，幂的乘方运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练掌握幂的有关运算． （1）根据新定义运算，求解即可； （2）根据新定义运算，对式子进行变形，得出，进而结合定义，即可求解； （3）根据新定义运算对式子进行变形得出，，比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：， （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ （3）解：∵ ∴， ∵ ∴ 【变式题12-3】.（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． (2)【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． (3)【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 【答案】(1) (2)①；②；③见详解 (3)①；②2 【分析】本题考查了新定义，同底数幂相乘，同底数幂相除，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，运用题干的性质内容进行解题，即可作答． （2）①结合，得； ②根据①进行总结归纳，得（，且，，）． ③设，，（m，n是正整数），结合，，，得，即； （3）模仿（2）的③，进行分析，即可作答． ②结合，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； （2）解：①由（1）得，，， ∵， ∴； ②由①得，且 ∴（，且，，）． ③设，，（m，n是正整数） 则根据对数定义，, 利用同底数幂的乘法性质：， ∴, 即； （3）解：①当且，，时， 设，， 则根据对数定义，， 利用同底数幂的除法性质：， ∴， 即， ， ②， ∵， ∴， ∴． 易错点 1.混淆幂的运算法则，如将同底数幂相乘误算为“底数相乘，指数相加”，或幂的乘方误算为“底数不变，指数相加”。 2.忽略零指数幂、负整数指数幂中“底数不为0”的前提条件，导致无意义的运算（如、均无意义）。 3.积的乘方运算时，漏算系数或某个因式的乘方（如，漏算）。 4.负整数指数幂转化时符号错误，如将误写为，或误写为。 5.科学记数法表示小数时，错误确定的值（如将表示为，未满足）。 重点 1.掌握同底数幂的乘、除，幂的乘方，积的乘方四种核心法则，能熟练进行正向和逆向运算。 2.理解零指数幂、负整数指数幂的定义，能准确进行相关计算和转化。 3.熟练运用科学记数法表示大数和小数，并能进行逆向转化和相关运算。 4.掌握幂的混合运算顺序，能正确处理符号问题，确保运算结果准确。 5.学会运用整体思想、逆向思维解决幂的化简求值问题，提升运算效率。 难点 1.幂的运算法则的逆向应用，尤其是在简便计算、规律探究、代数式求值中的灵活运用。 2.含参数的幂的问题（如求字母值、解含幂的方程），需要结合分类讨论思想和方程思想求解。 3.跨学科、新定义等创新题型的处理，需准确理解题意，将陌生情境转化为熟悉的幂的运算问题。 4.幂的大小比较，特别是不同底数、不同指数的幂的比较，需要灵活运用转化思想。 5.复杂幂的混合运算，涉及多种法则和符号判断，需具备严谨的逻辑思维和运算能力。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北衡水·期末）代数式可以表示为（   ） A．（15个相加） B．（15个相乘） C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方运算的概念，同底数幂的除法，合并同类项等知识，熟练掌握乘方的定义是解题的关键．根据合并同类项法则、同底数幂的除法、运算的概念，逐项分析即可． 【详解】解：A、（15个相加）可以表示，不能表示，故该项不正确，不符合题意； B、（15个相乘）可以表示，故该项正确，符合题意； C、，不能表示，故该项不正确，不符合题意； D、，不能表示，故该项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26八年级上·福建福州·期末）计算，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，先将等式左边的加法运算转化为乘法运算，再把等式左右两边的底数统一为2，进而推导m与n的关系． 【详解】∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法，积的乘方法则进行计算即可. 【详解】解：A、不能合并，原计算错误； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算正确. 4．（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知，则的值为（   ） A．27 B．9 C．6 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘、除法法则是解决问题的关键． 利用幂的乘方法则，同底数幂的乘、除法法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则进行计算． 【详解】∵ ， ， ， ， 又∵ ， ∴ ． 二、填空题 6．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）用科学记数法表示0.0000000108为______． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为正整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n为原数第一个非0数字在小数点后第几位．据此求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示0.0000000108为． 故答案为： 7．（25-26八年级上·广东中山·开学考试）如果，（，是正整数），那么_____，_____． 【答案】 【分析】运用幂的乘方与同底数幂的乘法法则，将所求式子转化为含已知条件的形式，再代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·山东临沂·期末），，则______． 【答案】8 【详解】解：∵，， ∴． 9．（25-26八年级上·广东韶关·月考）已知，，那么的值为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法逆运算，准确计算是解题的关键． 利用同底数幂的除法法则，将所求式子转化为已知幂的除法形式，再代入已知值计算即可． 【详解】 ，， ； 故答案是． 10．（22-23七年级下·山东青岛·月考）已知，，，则、、的大小关系是___________． 【答案】/ 【详解】解： ，， 三、解答题 11．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方进行计算； （2）利用同底数幂的乘法，积的乘方进行计算； （3）利用负整数指数幂，有理数的乘方，求一个数的绝对值，零指数幂进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】注意掌握幂的运算以及求一个数的绝对值运算法则． 12．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知：，求的值． 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆应用求出的值，利用幂的乘方，同底数幂的乘法以及同底数幂相除法则化简整式，最后代数求值． 【详解】解：∵ ， ∴， 解得， 将代入上式得， 原式． 【点睛】注意掌握幂的运算的法则． 13．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知 (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用同底数幂的乘法和除法的逆运算，进行求解； （2）利用幂的乘方和同底数幂的除法的逆运算进行求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】重点掌握幂的运算法则． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知，求的值． （2）已知，求所有满足条件的整数的值． 【答案】（1）8；（2）整数的值为或0或2 【分析】本题考查了幂的运算法则、整体代入思想以及乘方为的分类讨论思想，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）考察幂的运算法则和整体代入思想，核心是将不同底数的幂统一为同底数，再结合已知条件整体代入求值； （2）考察乘方结果为的分类讨论，需考虑“的任何次幂为”“的偶次幂为”“非零数的次幂为”三种情况，全面求解并验证条件． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴． （2）①当，时，； ②当时，； ③当且为偶数时，． 综上所述，所有满足条件的整数的值为或或． 15．（25-26七年级上·山东济南·期末）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____． (2)①若，，，请你尝试证明：；②若，，，则_____（用含的式子表示）． 进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设， ， ， ，即． ． (3)结合上文结论，求的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② (3) 【分析】本题考查新定义运算，理解新定义，熟记指数幂相关运算法则是解决问题的关键． （1）由新定义运算法则直接求解即可得到答案； （2）①由新定义运算法则及同底数幂的乘法运算法则证明即可；②按照①的证明思路求解即可得到答案； （3）按照材料中的探究过程，结合新定义运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如果，那么， ， ； ， ； 则， 故答案为：； （2）①证明：，，， ，，， ， ，即， ； ②由①的证明过程可知，，， ， ，即， 则， 故答案为：； （3）解： ； 设，，则， ， ， ， ， 即． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 幂的运算 知识点1：同底数幂的乘法 1.法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即（，、为正整数）。 2.拓展：多个同底数幂相乘，法则依然适用，即（，、、为正整数）。 3.逆用：（，、为正整数），可用于拆分幂的指数进行简便计算。 知识点2：幂的乘方 1.法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（，、为正整数）。 2.注意：底数为负数时，需根据指数的奇偶性判断结果的符号，即（，、为正整数）。 3.逆用：（，、为正整数），常用于幂的大小比较或化简。 知识点3：积的乘方 1.法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（，，为正整数）。 2.拓展：多个因式的积的乘方，法则同样适用，即（，，，为正整数）。 3.逆用：（，，为正整数），是进行简便计算的重要工具。 知识点4：同底数幂的除法 1.法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（，、为正整数，且）。 2.拓展：多个同底数幂相除，法则仍成立，即（，、、为正整数，且）。 3.逆用：（，、为正整数，且），可用于代数式的化简求值。 知识点5：零指数幂与负整数指数幂 类型 定义/法则 注意事项 零指数幂 （） 底数不能为0，否则无意义 负整数指数幂 （，为正整数） 底数不为0，结果是正整数指数幂的倒数 拓展应用 （，为正整数） 可实现负指数与正指数的相互转化 知识点6：科学记数法 1.表示形式：绝对值大于1的数：（，为正整数，等于原数的整数位数减1）； 2.绝对值小于1的数：（，为正整数，等于原数左起第一个不为0的数字前面所有0的个数）。 【基础必考题型】 【题型1】同底数幂的乘法运算 1.核心知识点: 同底数幂的乘法法则；指数的和差运算 2.解题方法技巧: 确定底数是否相同，若底数互为相反数，可转化为相同底数（如当为奇数时，当为偶数时）； 严格遵循“底数不变，指数相加”法则，计算后整理结果，确保底数不为0。 【例题1】.（24-25八年级下·北京·开学考试）计算：________． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·广东江门·月考）若，则___． 【变式题1-2】.（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，则的值为___________． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 故选：B． 【题型2】幂的乘方与积的乘方运算 1.核心知识点: 幂的乘方法则；积的乘方法则；指数的乘法运算 2.解题方法技巧: 幂的乘方：聚焦“底数不变，指数相乘”，避免与同底数幂乘法混淆（指数不可相加）； 积的乘方：将每个因式分别乘方后再相乘，注意系数的乘方运算。 【例题2】.（25-26八年级上·吉林白山·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（22-23七年级下·山东青岛·月考）已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题2-2】.（25-26八年级上·湖北荆州·期末）已知，，m，n为正整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）若，则“？”是（    ） A． B． C． D． 【题型3】同底数幂的除法运算 1.核心知识点: 同底数幂的除法法则；零指数幂的定义 2.解题方法技巧: 确认底数相同且不为0，按“底数不变，指数相减”计算； 若指数相等，结果为1（即，）； 避免出现“指数相除”的错误。 【例题3】.（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）计算__________． 【变式题3-1】.（2024·甘肃武威·二模）计算：______． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（m是正整数）． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)（m是正整数）； (4)（，n是正整数）． 【题型4】零指数幂与负整数指数幂的计算 1.核心知识点: 零指数幂的定义；负整数指数幂的定义；分数与负指数的转化 2.解题方法技巧: 先判断底数是否为0，再应用对应法则计算； 负整数指数幂转化为分数形式时，注意符号（如，而非）； 混合运算时，先算零指数幂和负指数幂，再算乘除，最后算加减。 【例题4】.（24-25八年级下·北京·开学考试）计算：． 【变式题4-1】.（24-25八年级下·湖北武汉·月考）______；    ______；    ______． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）______； （2）______； （3）______． 【变式题4-3】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【题型5】科学记数法的表示与转化 1.核心知识点: 科学记数法的定义；正、负指数的应用 2.解题方法技巧: 表示大数时，确定（）和（整数位数减1）； 表示小数时，为左起第一个非0数字前0的个数； 逆向转化时，正数指数向右移小数点，负数指数向左移小数点，确保位数准确。 【例题5】.（25-26七年级上·贵州遵义·期末）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，约为149000000千米，则149000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·全国·期末）用科学记数法表示一个数记为，则这个数原来是____________． 【变式题5-2】.（22-23七年级下·山东青岛·月考）芝麻可以作为食品和药物，均被广泛使用，经测算，一粒芝麻约有千克，用科学记数法表示为__________． 【变式题5-3】.（25-26六年级下·全国·课后作业）用小数表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【培优高频题型】 【题型6】幂的混合运算（含多种运算法则） 1.核心知识点: 幂的四种运算法则；运算顺序；符号的确定 2.解题方法技巧: 遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序，有括号先算括号内的； 同级运算从左到右依次进行，每一步运算后及时化简； 注意负数的乘方、积的乘方的符号判断，避免符号错误。 【例题6】.（25-26六年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·江西宜春·期末）计算： (1)； (2) 【变式题6-2】.（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【变式题6-3】.（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 【题型7】幂的运算与代数式求值 1.核心知识点: 幂的运算法则；整体思想；代数式的变形 2.解题方法技巧: 分析已知条件与所求代数式的结构，构造整体； 将所求代数式变形为含已知整体的形式； 代入整体值计算，避免直接求解字母的值，简化运算。 【例题7】.（25-26七年级上·江苏淮安·月考）若，则___________ 【变式题7-1】.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）若，则______． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·江苏泰州·月考）规定，求： (1)求； (2)若，求的值． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知：． (1)求的值； (2)求的值． 【题型8】幂的运算之简便计算 1.核心知识点: 积的乘方逆用；同底数幂的乘除法逆用；指数的拆分与合并 2.解题方法技巧: 观察式子结构，若有指数相同的幂相乘/相除，逆用积的乘方/同底数幂法则； 对于形如的式子，逆用积的乘方化为； 拆分指数（如），构造可简便计算的形式。 【例题8】.（25-26八年级上·全国·课后作业）简便计算： (1) (2) 【变式题8-1】.（2025七年级下·全国·专题练习）用简便方法计算． (1)； (2)． 【变式题8-2】.（23-24七年级上·福建泉州·期中）计算并认真观察： (1)计算： ①___________；___________；②___________；___________． (2)根据以上两组计算结果的规律，猜想：___________（是正整数）； (3)根据你发现的规律与猜想，简便计算：． 【变式题8-3】.（24-25七年级上·四川南充·月考）简便运算 (1) (2) 【题型9】幂的大小比较 1.核心知识点: 幂的乘方法则；同底数幂或同指数幂的大小比较 2.解题方法技巧: 同底数幂比较：底数＞1时，指数越大幂越大；底数在0~1之间时，指数越大幂越小； 不同底数不同指数：转化为同指数幂（逆用幂的乘方），比较底数大小；或转化为同底数幂，比较指数大小； 对于负指数幂，先转化为正指数幂的倒数，再进行比较。 【例题9】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）某初中数学小组在学完“幂的运算”章节后就“幂的大小”展开了交流，请你仔细阅读并完成任务． 小亮：在比较幂的大小时，我想到了可以通过比较底数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小丽：你的思路没问题，我想到了可以通过比较指数的大小来解决，比如比较 和 的大小时，先转换 因为，所以 即 小佳：你们两个人的思路不同，角度不同，举一反三，值得学习． 任务： (1)比较和的大小； (2)已知且a，b均为正数，比较a、b的大小； (3)比较大小： （填“”“”或“”） 【变式题9-1】.（23-24六年级下·山东济南·月考）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小． 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即． 解：因为，且，所以，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，，的大小； (2)比较，，的大小． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·河南周口·月考）我们知道：对于正整数，若，则；若，则．因此在比较幂的大小时，我们可以把它们化成底数相同的数，比较次数的大小，或者化成次数相同的数，比较底数的大小．请运用此方法解决下列问题： (1)比较大小：___________；（填“”“”或“”） (2)已知，试比较的大小． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·陕西西安·开学考试）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，，在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，解：，∵，∴ (1)比较，的大小． (2)比较，，的大小． 【压轴素养题型】 【题型10】幂的运算之规律探究题（素养型） 1.核心知识点: 幂的运算法则；归纳推理；数字规律 2.解题方法技巧: 计算前3~4个特殊式子的结果，分析结果与序号、指数的关系； 归纳总结通用规律（如的个位数字循环规律：3、9、7、1）； 利用规律求解后续问题，并用特殊值验证规律的正确性。 【例题10】.（25-26八年级上·河南周口·期末）观察下列等式： 按此规律，第n个等式为_______ 【变式题10-1】.（2025·浙江台州·一模）观察下面三行数： ① ② ③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（　　） A．0 B． C． D． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·贵州毕节·期中）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． (3)若，请求出n的值． 【变式题10-3】.（24-25七年级下·安徽安庆·期末）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．如；． (1)请你写出和的展开式； (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期五，再过7天还是星期五，则再过天是星期___________． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (4)你能在（3）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． 【题型11】阅读理解型幂的求和运算（错位相减法） 1.核心知识点: 同底数幂的乘法；等式的性质；错位相减的解题思想 2.解题方法技巧: 设S表示所求幂的和（明确求和的首项、末项及公比）； 将等式两边同时乘公比（如求和式含则乘5），得到新的等式； 用新等式减去原等式，消去中间重叠项，转化为含S的一元一次方程，求解即可； 注意首项为1或含负指数幂时，公比的符号与取值需准确对应。 【例题11】.（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 解：设①， 则②， 由，得． 请仿照小明的方法计算：． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的文字，按要求解答问题． 求的值． 解：令，① 将等式两边同时乘5，得．② ②-①，得， ． (1)求的值． (2)求的值． 【变式题11-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设①， 则②， ，得． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)______； (2)______； (3)求的和（请写出计算过程）； (4)求的和（其中且）（请写出计算过程）． 【变式题11-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读材料： 求的值． 解：令①． 将等式①两边同时乘2，得 ②． ②①，得，即， 所以 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)计算：． (2)已知数列：，9，，，，…． ①它的第100个数是_____； ②求该数列中前100个数的和． 【题型12】新定义下的幂的运算（探究型） 1.核心知识点: 幂的基本运算法则；新定义的理解与应用；逻辑推理能力 2.解题方法技巧: 仔细阅读新定义规则，明确运算本质（如）； 将新定义运算转化为熟悉的幂的运算，逐步推导； 结合幂的运算法则验证结果，确保符合定义要求。 【例题12】.（24-25八年级上·湖北荆州·期末）【概念学习】我们规定两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作． 【初步探究】 （1）根据以上规定直接写出结果： ； ； 【深入思考】 对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如． （2）小颖发现也成立，并证明如下： 设，则， 因为，所以， 所以， 仿照以上证明，计算[， ]，写出计算过程； （3）猜想[， ]，并说明理由． 【变式题12-1】.（25-26七年级上·江苏盐城·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：∵，∴．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，则． ∴． ∴， 即． (1)根据上述规定，填空： ① ， ；②若，则 ． (2)计算： ，并说明理由． (3)记．求证：． 【变式题12-2】.（24-25七年级下·江苏常州·月考）规定两数、之间的一种运算，记作．定义：如果，那．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：___________；___________． (2)已知，求（用含、的代数式表示）； (3)若，则、的大小关系是：___________（填“>、”或“”）． 【变式题12-3】.（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（）才发现指数与对数之间的联系．我们知道，n个相同的因数a相乘记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为，即． 一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为，即． (1)【概念理解】计算下列各对数的值：__________，__________，__________． (2)【性质发现】 ①观察、、之间满足的关系式是__________． ②归纳：__________（，且，，）． ③请你根据同底数幂的乘法的运算性质（m，n是正整数）以及对数的含义说明上述结论． (3)【拓展延伸】 ①当且，，时，__________． ②计算：__________． 易错点 1.混淆幂的运算法则，如将同底数幂相乘误算为“底数相乘，指数相加”，或幂的乘方误算为“底数不变，指数相加”。 2.忽略零指数幂、负整数指数幂中“底数不为0”的前提条件，导致无意义的运算（如、均无意义）。 3.积的乘方运算时，漏算系数或某个因式的乘方（如，漏算）。 4.负整数指数幂转化时符号错误，如将误写为，或误写为。 5.科学记数法表示小数时，错误确定的值（如将表示为，未满足）。 重点 1.掌握同底数幂的乘、除，幂的乘方，积的乘方四种核心法则，能熟练进行正向和逆向运算。 2.理解零指数幂、负整数指数幂的定义，能准确进行相关计算和转化。 3.熟练运用科学记数法表示大数和小数，并能进行逆向转化和相关运算。 4.掌握幂的混合运算顺序，能正确处理符号问题，确保运算结果准确。 5.学会运用整体思想、逆向思维解决幂的化简求值问题，提升运算效率。 难点 1.幂的运算法则的逆向应用，尤其是在简便计算、规律探究、代数式求值中的灵活运用。 2.含参数的幂的问题（如求字母值、解含幂的方程），需要结合分类讨论思想和方程思想求解。 3.跨学科、新定义等创新题型的处理，需准确理解题意，将陌生情境转化为熟悉的幂的运算问题。 4.幂的大小比较，特别是不同底数、不同指数的幂的比较，需要灵活运用转化思想。 5.复杂幂的混合运算，涉及多种法则和符号判断，需具备严谨的逻辑思维和运算能力。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26八年级上·河北衡水·期末）代数式可以表示为（   ） A．（15个相加） B．（15个相乘） C． D． 2．（25-26八年级上·福建福州·期末）计算，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·四川眉山·期末）已知，则的值为（   ） A．27 B．9 C．6 D．1 5．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）用科学记数法表示0.0000000108为______． 7．（25-26八年级上·广东中山·开学考试）如果，（，是正整数），那么_____，_____． 8．（25-26八年级上·山东临沂·期末），，则______． 9．（25-26八年级上·广东韶关·月考）已知，，那么的值为_____． 10．（22-23七年级下·山东青岛·月考）已知，，，则、、的大小关系是___________． 三、解答题 11．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 12．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知：，求的值． 13．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知 (1)求的值． (2)求的值． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知，求的值． （2）已知，求所有满足条件的整数的值． 15．（25-26七年级上·山东济南·期末）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____． (2)①若，，，请你尝试证明：；②若，，，则_____（用含的式子表示）． 进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设， ， ， ，即． ． (3)结合上文结论，求的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $