第9章 图形的变换 单元复习（5大知识点总结+8大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年苏科版数学七年级下册易错题重难点培优讲义

该初中数学讲义以“图形的变换”为核心，通过表格系统梳理平移、轴对称、旋转、中心对称等核心知识点，清晰呈现常考考点与高频易错点，结合错题警示构建知识脉络，突出各变换间的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的变换识别到提升的折叠问题，再到培优的最短路径应用，融入定义口诀、实操验证等方法，如用“翻折重合”判断轴对称，培养几何直观与空间观念，助力不同层次学生掌握，支持教师精准教学。

第9章 图形的变换 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.平移的概念与性质 1.平移的定义识别及生活实例判断； 2.平移性质的应用（对应线段、角的关系，对应点连线特征）； 3.平移作图及平移后图形面积、周长计算； 4.利用平移解决实际路径、面积问题 1.混淆平移与旋转、轴对称，误将旋转运动判定为平移； 2.平移作图时遗漏关键点，或未按同一方向、相等距离平移； 3.计算平移后图形面积时，未利用“平移不改变图形面积”简化计算； 4.忽略平移的斜向方向，仅认为平移只有水平/竖直方向 2.轴对称与轴对称图形 1.轴对称与轴对称图形的概念区分及识别； 2.线段、角的对称性应用（垂直平分线、角平分线性质）； 3.轴对称作图及对称轴的寻找与绘制； 4.利用轴对称解决最短路径问题； 5.折叠问题的轴对称性质应用 1.混淆“成轴对称”（两个图形）与“轴对称图形”（一个图形）； 2.误将线段垂直平分线画成线段/射线，忽略其直线属性； 3.折叠问题中未找准对应点、对应边，导致角度、边长计算错误； 4.解决最短路径问题时，未正确作对称点，混淆同侧/异侧点的处理方法 3.旋转的概念与性质 1.旋转的三要素（旋转中心、方向、角度）识别与确定； 2.旋转性质的应用（对应点到旋转中心距离相等，旋转角相等）； 3.旋转作图及旋转中心的找法； 4.利用旋转求角度、线段长度及图形面积 1.确定旋转中心时，未作两组对应点连线的垂直平分线，凭直观判断； 2.旋转作图时，未保证对应点到旋转中心距离相等； 3.忽略旋转的方向（顺时针/逆时针），导致旋转角计算错误； 4.误认为旋转后图形的边长、角度发生改变 4.中心对称与中心对称图形 1.中心对称与中心对称图形的概念区分及识别； 2.中心对称性质的应用（对应点连线过对称中心且被平分）； 3.中心对称作图及对称中心的确定； 4.轴对称图形与中心对称图形的综合判断 1.混淆中心对称与旋转，未明确中心对称是旋转180°的特殊情况； 2.误将中心对称图形的对称中心判定为线段/直线，忽略其点的属性； 3.中心对称作图时，未延长对应点连线至对称中心另一侧且等距； 4.综合判断图形对称性时，遗漏既是轴对称又是中心对称的情况 5.图形变换的综合应用 1.平移、轴对称、旋转的单一/组合变换作图； 2.分析图案的形成过程（判断所用变换方式）； 3.利用图形变换设计图案； 4.图形变换与几何计算、实际情境的结合应用 1.分析图案形成时，未找准基本图案，误判变换方式； 2.组合变换作图时，未按变换顺序分步作图，导致图形错误； 3.设计图案时，未结合变换性质保证图案的对称性、一致性； 4.实际情境中，未将问题转化为图形变换模型，无法提取几何信息 【易错题型】 【题型1】图形变换的概念混淆与特征误判 1.易错点总结 -概念混淆：将平移、轴对称、旋转、中心对称的定义相互混淆，尤其误将旋转180°判定为平移、将中心对称判定为轴对称； -特征误判：忽略平移“无旋转、同方向等距离”、轴对称“翻折后重合、对应点连线被对称轴垂直平分”、中心对称“旋转180°重合、对应点连线过对称中心”的核心特征； -图形判断：综合判断图形对称性时，漏判“既是轴对称又是中心对称”的图形，或误将非对称图形判定为对称图形； -要素遗漏：确定旋转、平移时，遗漏旋转中心/平移方向等关键要素，导致判断错误。 2.纠错技巧 -定义口诀记忆：平移“直移不转，方向距离不变”；轴对称“翻折重合，对称轴垂直平分对应点”；旋转“绕点转，中心方向角度定”；中心对称“绕点转180°，对应点过中心且等距”； -特征对比判断：通过表格对比四种变换的核心特征，结合图形运动方式逐一排除； -实操验证法：对疑似变换的图形，通过“描点平移、折纸翻折、绕点旋转”的实操方式验证是否符合对应变换特征； -要素标注法：判断旋转/平移时，先标注旋转中心/平移方向、距离，再结合特征验证，避免遗漏要素。 【例题1】.（25-26九年级下·辽宁本溪·月考）下列食品标识中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； 【变式题1-1】.（24-25八年级下·河南平顶山·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．“火箭冲向空中”属于旋转现象 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【答案】C 【分析】本题考查用数学知识解决问题，理解旋转定义、平移定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，原说法错误，不符合题意； B、“火箭冲向空中”属于平移现象，原说法错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，说法正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）汽车在笔直的公路上移动属于______现象，车轮绕其车轴的运动属于______现象．（填“平移”或“旋转”） 【答案】 平移 旋转 【分析】本题考查平移与旋转的认识，掌握知识点是解题的关键． 根据平移与旋转的定义，即可解答． 【详解】解：汽车在笔直的公路上移动属于平移现象，车轮运动属于旋转现象． 故答案为：平移，旋转． 【变式题1-3】.（24-25八年级下·甘肃白银·月考）如图，方格纸中的三个顶点均在格点上，将向右平移格得到再将绕点逆时针旋转得到． (1)在方格纸中画出和； (2)与是否成中心对称？若成中心对称，请指出对称中心． 【答案】(1)见解析 (2)是中心对称，点即为对称中心 【分析】（1）根据平移的性质、旋转的性质作图即可． （2）分别连接相交于点，则点即为对称中心． 【详解】（1）解：如图，和即为所求． （2）解：与成中心对称． 如图，分别连接，，相交于点， 则点即为对称中心． 【基础题型】 【题型2】平移的识别与性质直接应用 1.考点总结 -识别生活中的平移现象及平面图形的平移变换； -应用平移的性质判断对应线段、对应角的关系，确定对应点连线的特征； -利用“平移不改变图形的形状、大小、面积”进行简单的边长、面积计算。 2.解题技巧 -平移识别：抓住两个关键——图形“朝向不变”（无旋转）、所有点“同方向移动相等距离”； -性质应用：平移后对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，直接利用该性质进行等量代换； -面积计算：遇到不规则图形平移组合时，利用“平移不改变面积”将图形拼接为规则图形，简化计算。 【例题2】.（2025八年级上·全国·专题练习）下列现象：温度计中，液柱的变化；电梯上下运动；钟摆的摆动；小方块在水平地面滑动，属于平移的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平移的定义与性质，熟记平移不改变图形形状与大小是解决问题的关键．根据平移的定义与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：温度计中，液柱的变化：液柱热胀冷缩，长度改变，点之间的相对位置变化，不是平移； 电梯上下运动：电梯整体移动，所有点移动相同距离，是平移； 钟摆的摆动：钟摆沿弧线运动，有旋转，不是平移； 小方块在水平地面滑动：小方块整体滑动，所有点移动相同距离（假设无旋转），是平移． 属于平移的是和， 故选：D． 【变式题2-1】.（24-25七年级下·山西长治·期末）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（   ） ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得或与在同一条直线上，或与在同一条直线上，，故①②③正确， 根据现有条件无法证明，故④错误． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小明家的三个地暖散热片分别接入1，2，3三个分水器，分水器与散热片之间用管道相连，竖直管道之间的距离相等，且相邻管道对应平行排列，则三个散热片所用管道（    ） A．1长 B．2长 C．3长 D．一样长 【答案】D 【分析】2，3两个分水器可以看作1分水器向右，向上平移得到，根据平移的性质，作答即可 ． 【详解】解：由题意，2，3两个分水器可以看作1分水器向右，向上平移得到， 故三个散热片所用管道一样长 ． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列“小旗子”的平移作图中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移不改变图形的形状、大小和方向是解题的关键． 根据平移的性质，逐一判断各选项中小旗子的方向是否改变． 【详解】解：平移变换的核心特征是图形的形状、大小和方向保持不变， 在四个选项中，只有选项C中的“小旗子”方向发生了改变，因此它是错误的平移作图． 故选：C． 【题型3】轴对称图形与对称轴的识别及绘制 1.考点总结 -识别轴对称图形，区分“成轴对称”与“轴对称图形”； -确定轴对称图形的对称轴数量及位置，绘制简单图形的对称轴； -结合生活情境判断轴对称图形，体现数学与生活的联系。 2.解题技巧 -识别技巧：采用折纸法——想象将图形沿某条直线翻折，若直线两侧部分完全重合，则为轴对称图形； -对称轴绘制：找准图形的特殊点（顶点、交点），作特殊点连线的垂直平分线，即为对称轴； -数量判断：从“水平、竖直、斜向”三个角度逐一分析，避免遗漏斜向对称轴。 【例题3】.（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】“轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（对称轴）折叠，使得直线两侧的图形能够完全重合”，据此判断即可． 【详解】解：A选项中的图形不是轴对称图形； B选项中的图形不是轴对称图形； C选项中的图形不是轴对称图形； D选项中的图形是轴对称图形． 【变式题3-1】.（24-25八年级上·云南德宏·期末）汉字是世界上最古老的文字之一，它是中华文明的符号与象征，许多中国汉字的形体和结构充满着“对称美”，下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A．爱 B．我 C．中 D．华 【答案】C 【详解】解：A、“爱”无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后直线两旁部分完全重合，故不是轴对称图形，此选项不符合题意； B、“我”无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后直线两旁部分完全重合，故不是轴对称图形，此选项不符合题意； C、“中”沿竖直中间的直线折叠，直线两旁部分可以完全重合，是轴对称图形，此选项符合题意； D、“华”无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后直线两旁部分完全重合，故不是轴对称图形，此选项不符合题意． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知的顶点A、B、C在格点上，按要求在方格纸中画图． (1)画出向右平移4格后的图形，再画出向上平移5格后的图形． (2)画出关于水平直线l成轴对称的图形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【详解】（1）解：如图，、为所求作； （2）解：如图，为所求作． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·江苏连云港·月考）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移5个单位长度后的； (2)画出关于直线l成轴对称的； (3)在直线l上找一点P，使最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平移方式确定点的位置，描出点，并顺次连接点即可； （2）根据轴对称的特点确定点的位置，描出点，并顺次连接点即可； （3）连接交直线l于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点P即为所求． 【题型4】旋转三要素的确定与旋转性质应用 1.考点总结 -确定旋转的中心、方向、角度三要素，能从旋转图形中提取三要素信息； -应用旋转性质：对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等，进行角度、线段长度计算； -识别简单的旋转现象，区分旋转与其他图形变换。 2.解题技巧 -旋转中心确定：作两组对应点连线的垂直平分线，其交点即为旋转中心； -旋转角确定：连接对应点与旋转中心，所得线段的夹角即为旋转角； -性质应用：旋转后图形的边长、角度与原图形相等，直接利用等量关系列等式计算。 【例题4】.（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）如图，五角星旋转一定的度数，就能与它原来的图形重合，则这个旋转的角度最小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】“把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形”．根据五角星的特点，用周角除以5即可得到最小的旋转角度，从而得解． 【详解】解：∵， ∴这个旋转的角度最小是． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B， ∴旋转中心是点B． 【变式题4-2】.（2026·安徽蚌埠·二模）如图，由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（格点是网格线的交点）． (1)画出关于所在直线对称的； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作轴对称图形，画旋转图形等． （1）根据题意过点作关于直线的对称点，连接和，即可得到本题答案； （2）根据题意将绕点分别画出的对应点，再连接，即可得出． 【详解】（1）解：过点作关于直线的对称点，连接和，如图所示，即为所求； （2）解：先画出点绕点逆时针旋转的对应点，再画出点绕点逆时针旋转的对应点，再连接，和， 【变式题4-3】.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）直角三角形纸板的直角顶点O在直线上（在的右侧）． (1)如图①，当时．的度数是 ； (2)如图②，平分，若，求的度数． (3)如图③，已知，将三角形纸板（未画出）绕直角顶点O旋转，当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【分析】（1）根据平角和角的和差计算即可；、 （2）求出，根据即可求出答案； （3）分在内部和在外部两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵, ∴ （2）解：因为平分， 所以 ． 因为， 所以 ． 所以． 所以． （3）∠AOC的度数为或． 解：当在内部时， 因为， 所以． 因为， 所以．所以． 当在外部时， 因为，， 所以． 因为， 所以．所以． 综上所述，的度数为或 【提升题型】 【题型5】中心对称图形的识别与简单作图 1.考点总结 -识别中心对称图形，区分“中心对称”与“中心对称图形”； -确定中心对称图形的对称中心，完成简单图形的中心对称作图； -结合轴对称，综合判断图形的对称性类型。 2.解题技巧 -中心对称识别：采用旋转法——将图形绕某点旋转180°，若旋转后与原图形重合，则为中心对称图形； -对称中心确定：连接任意一组对应点，线段的中点即为对称中心； -中心对称作图：找准原图形的关键点，连接关键点与对称中心并延长至等距，得到对应点，依次连接对应点即可。 【例题5】.（25-26九年级下·江西鹰潭·月考）数轴上，点表示的数分别为、4和，若这三点中，其中两个点关于第3个点成中心对称，则的值不可能为（   ） A． B．3 C．1 D．10 【答案】B 【分析】中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分． 【详解】解：①如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； ②如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； ③如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； 综上，的可能值为、、，不可能为． 【变式题5-1】.（2023·辽宁葫芦岛·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义判断即可. 【详解】解：A是轴对称图形不是中心对称图形； B是轴对称图形不是中心对称图形； C不是轴对称图形是中心对称图形； D是轴对称图形也是中心对称图形； 故选：D. 【变式题5-2】.（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点O成中心对称的图形 (2)画出先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的 (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了中心对称、平移，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图； （2）根据平移的定义解题即可； （3）根据画出的图即可找到对称中心． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：若和关于某一点成中心对称， 由图可知，，， ∴该中心坐标为中点，即，化简得：． 【变式题5-3】.（2026九年级·吉林·专题练习）图①②③均为正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并且所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使其是轴对称图形，且面积为1.5； (2)在图②中画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形； (3)在图③中画一个四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且四条边长均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图，应用与设计作图．掌握平行四边形、等腰三角形、筝形的性质是解题关键． （1）根据等腰三角形的轴对称性质，结合面积画图即可； （2）可画一个平行四边形即可； （3）利用勾股定理及等腰梯形或筝形的性质画图即可． 【详解】（1）如答图①，即为所求．（答案不唯一） （2）如答图②，四边形即为所求．（答案不唯一） （3）如答图③，四边形即为所求．（答案不唯一） 【题型6】折叠问题的轴对称性质综合应用 1.考点总结 -明确折叠是轴对称变换的实际应用，折叠前后对应点、对应边、对应角相等； -利用折叠的对称性找等量关系，结合三角形内角和、勾股定理等进行角度、边长计算； -解决长方形、正方形、三角形等常见图形的折叠问题。 2.解题技巧 -核心思路：找准对应关系——折叠后重合的点为对应点，重合的边为对应边，重合的角为对应角，标注等量关系； -角度计算：结合三角形内角和、邻补角、对顶角等性质，利用折叠得到的等角进行代换计算； -边长计算：设未知数列方程，利用折叠的等边关系结合勾股定理、线段和差求解。 【例题6】.（24-25七年级下·宁夏银川·月考）如果将一个长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么与的数量关系是______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质以及翻折的性质进行求解． 【详解】解：如图所示， 根据长方形纸条得，， ∴， 根据翻折的性质得，， ∴． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·湖北武汉·月考）如图，将长方形分别沿、折叠，点落在处，点落在点处，使得，若，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，将一个长方形纸条按如图所示沿折叠，已知，则______． 【答案】/112度 【分析】先根据图形折叠的性质求出的度数，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图， 将一个长方形纸条按如图所示沿直线折叠，， ， ∵长方形纸条对边平行， ． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·广东梅州·期末）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则______； (2)折叠长方形纸片，，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为______．（用含n的式子表示） 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． （1）由折叠得出，即可得出结论； （2）①由折叠得出，，再由点在上，进而求解即可； ②首先求出，然后由折叠得到，，然后求出，进而求解即可； ③首先由折叠得，，求出，，然后根据，得到，最后由折叠的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， 由折叠知，． （2）解：①由折叠知，，， ∴当点在上时， ； ②∵ ∴ 由折叠知，，， ∴， ∴； ③∵， ∴由折叠得，， ∴， ∴由折叠得，， ∵，， ∴， ∴由折叠得，． 【培优题型】 【题型7】利用图形变换解决最短路径问题 1.考点总结 -掌握“将军饮马”模型的核心思路，利用轴对称将同侧点转化为异侧点，实现“折径变直径”； -能将实际的最短路径问题转化为几何中的轴对称问题； -解决单一直线、双直线的最短路径问题，体现数形结合思想。 2.解题技巧 -核心方法：作对称点——将其中一个点作关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为最短路径的拐点； -原理依据：两点之间，线段最短，利用轴对称保证路径长度不变； -双直线问题：依次作两个点关于两条直线的对称点，连接对称点，与两条直线的交点即为拐点，确定最短路径。 【例题7】.（2025·江苏南京·模拟预测）架桥通常会考虑多种因素，其中一个就是路线规划，确保桥两边A，B两地间的路程尽量短，以减少通行时间和成本． (1)如图①，河l的宽度忽略不计，即桥的宽度忽略不计，请你在l上画出表示桥的位置的点P，使从A地经过桥到B地的路程最短． (2)如图②，河岸m和n之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间画出表示桥的位置的线段，使桥与河岸垂直，并且从A地经过桥到B地的路程最短． (3)如图③，河岸m和n，p和q之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间、p和q之间分别画出表示桥的位置的线段和，使每座桥与相应的河岸垂直，并且从A地经过2座桥到B地的路程最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，线段的性质：两点之间线段最短． （1）连接交直线l于点P，点P即为所求； （2）作直线m，使得河宽，连接交直线n于点C，作直线m于点D，连接，线段即为所求； （3）作直线m，使得河宽，直线p，使得河宽，连接交直线n于点C，交直线q于点E，作直线m于点D，作直线p于点F，连接，，线段，即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，点P即为所求； （2）解：如图②中，线段即为所求； （3）解：如图③中，线段，即为所求． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·广西防城港·期中）如图1，“金牛”奶牛养殖区A和“绿野牛”奶牛养殖区B位于笔直的“金光”高速公路x同侧． (1)要在高速公路x旁修建一牛奶检测、收购、加工站P，收购A，B运送来的鲜牛奶．P到A，B的距离之和最小，请确定点P的位置． (2)拟建的“致富”高速公路y与“金光”高速公路垂直，建立图2所示的平面直角坐标系，若再在旁和y旁各修建一牛奶检测、收购、加工站P，Q，使P，A，B，Q组成的四边形的周长最小．试确定点P，Q的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质、线路最短的问题等知识；熟练掌握轴对称的性质，确定点P、Q的位置是解题的关键． （1）作点A关于直线x的对称点，连接交直线x于点P，点P就是要求的点． （2）过A作关于x轴的对称点，过B作关于y轴的对称点，连接，交x轴于点P，交y轴于点Q，即可得出答案． 【详解】（1）解：①作点A关于直线x的对称点 ②连接交直线x于点P，点P就是要求的点． （2）解：①分别作点B关于直线y的对称点，点A关于直线x的对称点； ②连接交直线x于点P，交直线y于点Q； ③连接、，则四边形就是所求的四边形． 【变式题7-2】.（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，点P在的内部，点C和点P关于对称，点P关于对称点是D，连接交于M，交于N． (1)若，则________．； (2)若，求的度数； (3)若，则的周长为________； (4)点在射线的同侧，在射线上找一点G，使最小，则G与图中的________点重合，的最小等于图中线段________的长度． 【答案】(1) (2) (3)16 (4) 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据对称性得到，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）同法（1）即可得出结果； （3）根据对称性得到，进而得到的周长为线段的长即可； （4）根据对称性得到，进而得到，进而得到当三点共线时，的值最小，得到与点重合，最小等于图中线段的长即可． 【详解】（1）解：由对称性可知：， ∴， 即：； 故答案为：； （2）同（1）可知：； （3）由对称性可知：， ∴的周长； 故答案为16； （4）由对称性可知：， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴当与点重合，最小等于图中线段的长； 故答案为：． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意补全即可； （2）根据轴对称的最短路径问题，作图即可． 【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置， 故答案为：，，； （2）解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 【题型8】图形变换的情境化实际应用 1.考点总结 -将生活实际情境（如道路修建、图案设计、台球反弹、滑梯设计）转化为图形变换问题； -利用图形变换的性质解决实际问题，体现数学建模素养； -结合跨学科知识（如物理的光的反射、美术的图案设计），实现学科融合。 2.解题技巧 -建模步骤：提取几何信息——将实际情境中的物体、路径抽象为几何图形（点、线、面）→确定变换类型——根据情境特征判断所用的图形变换（如台球反弹为轴对称、道路平移为平移变换）→应用变换性质求解； -光的反射/台球反弹：利用轴对称将反射路径转化为直线路径，结合“两点之间线段最短”求解； -图案设计/工程修建：利用平移、旋转的性质保证设计的一致性、工程的合理性，结合面积、周长计算解决实际问题。 【例题8】.（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 【答案】（1）；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；（2）①；② 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）①根据平行线性质及反弹规律可求得结果； ②利用则同旁内角互补，可求出的表达式，再根据反弹规律与平行线性质可写出与的表达式，最后通过平角为建立方程求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以（等角的余角相等）． 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行． （2）① 解：如图， ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， 故答案为：． ② 解：当时，， 由反弹规律，， ∴． 由，并结合反弹规律得， ∵， ∴， 解得，符合的范围， 故答案为：． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·湖北武汉·期中）将两面镜子用胶带连在一起，并打开呈夹角时，在中间放置一个蜡烛，在镜中能看见5个完整的蜡烛（如图1）．你知道为什么吗？ 我们可以把两面镜子用直线、代替，设蜡烛放置于点，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像（如图2）．继续作出关于的对称点为（如图3），最后作出关于的对称点，均为（如图4），这样，我们就作出了点在两面镜子中的5个像． (1)如图5，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛； (2)如图6，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛．请你借助网格完成作图，并标注相应的字母； (3)试猜想，若两面镜子呈夹角，且为整数时，理论上在镜中能看见_______个完整的蜡烛． 【答案】(1)3 (2)7，图见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，规律总结，列代数式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据题中的作图方法，在图5中作图即可解答； （2）根据题中的作图方法，在图6中，利用网格作图即可解答； （3）根据题中呈、、时，能看到的蜡烛个数，总结出规律即可解答． 【详解】（1）解：如图，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像，继续作出关于的对称点均为， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见3个完整的蜡烛； 故答案为：3； （2）解：如图，即为所求， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见7个完整的蜡烛； 故答案为：7； （3）解：∵当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角，且为整数时，镜中能看见个完整的蜡烛； 故答案为：． 【变式题8-2】.（2026八年级下·广东深圳·专题练习）数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通，如果用运动的眼光来观察，你可能会有不一样的发现． (1)如图1，在中；，垂直于，厘米，厘米．求涂色的面积．把点沿着向上运动，当运动到点时，形成（如图2），图2中和图1中等底（）等高（），面积相等，图2中涂色的面积图1中涂色的面积______． (2)如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中两个涂色长方形的周长分别是14厘米和8厘米，求原来长方形的周长．把线段向右平移至，向左平移至，向上平移至，向下平移至．原来长方形的周长就等于两个涂色长方形周长的总和，从而巧妙解题，长方形的周长是______厘米． (3)如图4，大正方形的边长是14厘米，梯形的面积是90平方厘米，涂色正方形的面积是______平方厘米．（在图4的右侧画出示意图．） 【答案】(1)32（平方厘米） (2)22 (3)16 【分析】（1）由、，得；结合点的运动，将的面积转化为以为底、为高的三角形面积计算；利用与等底等高面积相等，推得与面积相等． （2）将两个涂色小长方形的线段平移至大长方形的边；发现大长方形周长恰好等于两个涂色小长方形周长之和，直接求和即可． （3）由对称性得另一梯形与已知梯形面积相等；计算两个梯形总面积，用大正方形面积减去该总面积，得到涂色正方形面积． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴． ∵是以为底，为高，厘米，厘米， ∴（平方厘米）， ∴图2中涂色的面积图1中涂色的面积（平方厘米）． （2）解：通过平移线段可知，原长方形的周长等于两个涂色小长方形的周长之和． 已知两个涂色长方形周长分别为14厘米和厘米， （厘米）； （3）解：当点到点时，如图， 根据平移对称性，两个梯形的总面积为 平方厘米， 涂色正方形的面积平方厘米． 示意图如下： 【变式题8-3】.（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）已知大正方形的边长为，小正方形的边长为，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以的速度沿水平方向向右平移，设平移的时间为，两个正方形重叠部分的面积为．完成下列问题： (1)平移时，___________． (2)根据小正方形向右平移的运动过程中，两正方形重叠部分的面积表示不同，可以把整个运动过程分为三类，请填写下表： 运动状态 不等式表示运动时间的范围 两正方形重叠部分的面积（cm2） 第一种运动状态 第二种运动状态 第三种运动状态 第四种运动状态 0 (3)当时，小正方形平移的距离为多少厘米？ 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据路程=速度×时间求出平移的距离，再根据重叠部分是长方形列式计算即可得解； （2）分四种情况计算所得图形面积即可； （3）小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离． 【详解】（1）解：时，小正方形向右移动， ； （2）解：当时，重叠面积； 当时，此时小正方形完全在大正方形内部，重叠部分就是小正方形的面积，， 当时，小正方形逐渐离开大正方形，重叠部分的长为，所以； 当或时，两正方形无重叠，则； 填表如下 运动状态 不等式表示运动时间的范围 两正方形重叠部分的面积（cm2） 第一种运动状态 第二种运动状态 4 第三种运动状态 第四种运动状态 或 0 （3）解：时，重叠部分宽为， ①如图，小正方形平移距离为； ②如图，小正方形平移距离为． 综上所述，小正方形平移的距离为或． 同步练习 一、单选题 1．中国高端装备已从产品出口升级为技术+标准+产能+服务+资本的全链条出海，覆盖轨交、工程机械、能源、航空、船舶、军工、工业母机等核心赛道，是中国制造向中国智造转型的标杆．以下四家中国高端装备企业的品牌图标中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A．中国中铁 B．中国铁建 C．中国交建 D．中国中车 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意． 2．如图折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据平行线的性质求出，然后根据折叠的性质得到的度数. 【详解】解：根据折叠得出，， ， ， ， ， ． 3．如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将三角形平移一定的距离得到三角形， ∴，，，， 故A，B，D选项正确，不符合题意；C选项错误，符合题意． 二、填空题 4．如图，将沿着射线平移到．若，，则平移的距离为__________． 【答案】 【详解】解：根据平移性质得， ， 即平移的距离为． 5．如图，将绕顶点A逆时针旋转，得，点C恰好落在边上．若，则的大小是______．    【答案】 【分析】由旋转的性质可得，再结合角的和差运算即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得， ． 6．如图，，点、分别在射线上，，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，______，的面积最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．分点在线段上，点的左侧和点的右侧，三种情况进行讨论，连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：当点在线段上，如图，连接，过点作交的延长线于，    ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 当点在点的左侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，      同理可得：， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 当点在点的右侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，      同理可得：， 的面积的最小值为， 综上：，的面积的最小值为； 故答案为：90，． 三、解答题 7．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为3，求图中阴影部分的面积． 【答案】21 【分析】根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，然后利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， 由平移可知，， ． ∴图中阴影部分的面积为21． 8．如图，在正方形网格中有一个（点A，B，C都在网格格点上），按要求完成下列各题． (1)将向右平移5格，向上平移2格，请在网格图中画出经平移后得到的（点A与对应）． (2)在（1）的基础上，连接，，则图中的面积为_____． 【答案】(1)作图见详解 (2)6 【分析】（1）先找到的三个顶点A、B、C在网格中的位置，根据平移的性质，分别将每个顶点向右平移5格，即每个顶点的水平方向移动5个网格单位，再向上平移2格，即每个顶点的垂直方向移动2个网格单位后以此得到A的对应点，B的对应点，C的对应点，最后用线段依次连接、、，画出平移后的； （2）利用“割补法”构造出包含的矩形，再分析周围多余的小三角形后用矩形面积减去小三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图，连结，， ∴． 9．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，均在格点上．用无刻度直尺完成下列作图： (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点，则线段______的长度是点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析， 【分析】①根据平行线的定义画出图形； ②根据垂线的定义画出图形； ③根据垂线的定义以及题目要求画出图形． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． ∴线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：． 10．取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定的角度得到．请问： (1)如图②，当与垂直时，求的度数； (2)如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 【答案】(1)或 (2)的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用垂直和旋转的性质求解即可； （2）由旋转性质依次分析不同情况，作出图形，由平行线的性质求出旋转角度即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图，令与的交点为， ， ， ， ； ②如图，延长交于点， ， ， ； 综上可知，的度数为或； （2）解：三角板绕点依顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转一周停止． 当三角板的一边与平行时，分下列情况讨论： ①，如图， ， ，即旋转角为， 秒； ②，如图，令与的交点为， ， ， ，即旋转角为， 秒； ③，如图， ，即旋转角为， 秒； ④（第二次平行），如图， ， 旋转角为， 秒； ⑤（第二次平行），如图， 同（1）②理可得：， 旋转角为， 秒； ⑥（第二次平行），如图所示： ， 旋转角为， 秒． 综上， 的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 图形的变换 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.平移的概念与性质 1.平移的定义识别及生活实例判断； 2.平移性质的应用（对应线段、角的关系，对应点连线特征）； 3.平移作图及平移后图形面积、周长计算； 4.利用平移解决实际路径、面积问题 1.混淆平移与旋转、轴对称，误将旋转运动判定为平移； 2.平移作图时遗漏关键点，或未按同一方向、相等距离平移； 3.计算平移后图形面积时，未利用“平移不改变图形面积”简化计算； 4.忽略平移的斜向方向，仅认为平移只有水平/竖直方向 2.轴对称与轴对称图形 1.轴对称与轴对称图形的概念区分及识别； 2.线段、角的对称性应用（垂直平分线、角平分线性质）； 3.轴对称作图及对称轴的寻找与绘制； 4.利用轴对称解决最短路径问题； 5.折叠问题的轴对称性质应用 1.混淆“成轴对称”（两个图形）与“轴对称图形”（一个图形）； 2.误将线段垂直平分线画成线段/射线，忽略其直线属性； 3.折叠问题中未找准对应点、对应边，导致角度、边长计算错误； 4.解决最短路径问题时，未正确作对称点，混淆同侧/异侧点的处理方法 3.旋转的概念与性质 1.旋转的三要素（旋转中心、方向、角度）识别与确定； 2.旋转性质的应用（对应点到旋转中心距离相等，旋转角相等）； 3.旋转作图及旋转中心的找法； 4.利用旋转求角度、线段长度及图形面积 1.确定旋转中心时，未作两组对应点连线的垂直平分线，凭直观判断； 2.旋转作图时，未保证对应点到旋转中心距离相等； 3.忽略旋转的方向（顺时针/逆时针），导致旋转角计算错误； 4.误认为旋转后图形的边长、角度发生改变 4.中心对称与中心对称图形 1.中心对称与中心对称图形的概念区分及识别； 2.中心对称性质的应用（对应点连线过对称中心且被平分）； 3.中心对称作图及对称中心的确定； 4.轴对称图形与中心对称图形的综合判断 1.混淆中心对称与旋转，未明确中心对称是旋转180°的特殊情况； 2.误将中心对称图形的对称中心判定为线段/直线，忽略其点的属性； 3.中心对称作图时，未延长对应点连线至对称中心另一侧且等距； 4.综合判断图形对称性时，遗漏既是轴对称又是中心对称的情况 5.图形变换的综合应用 1.平移、轴对称、旋转的单一/组合变换作图； 2.分析图案的形成过程（判断所用变换方式）； 3.利用图形变换设计图案； 4.图形变换与几何计算、实际情境的结合应用 1.分析图案形成时，未找准基本图案，误判变换方式； 2.组合变换作图时，未按变换顺序分步作图，导致图形错误； 3.设计图案时，未结合变换性质保证图案的对称性、一致性； 4.实际情境中，未将问题转化为图形变换模型，无法提取几何信息 【易错题型】 【题型1】图形变换的概念混淆与特征误判 1.易错点总结 -概念混淆：将平移、轴对称、旋转、中心对称的定义相互混淆，尤其误将旋转180°判定为平移、将中心对称判定为轴对称； -特征误判：忽略平移“无旋转、同方向等距离”、轴对称“翻折后重合、对应点连线被对称轴垂直平分”、中心对称“旋转180°重合、对应点连线过对称中心”的核心特征； -图形判断：综合判断图形对称性时，漏判“既是轴对称又是中心对称”的图形，或误将非对称图形判定为对称图形； -要素遗漏：确定旋转、平移时，遗漏旋转中心/平移方向等关键要素，导致判断错误。 2.纠错技巧 -定义口诀记忆：平移“直移不转，方向距离不变”；轴对称“翻折重合，对称轴垂直平分对应点”；旋转“绕点转，中心方向角度定”；中心对称“绕点转180°，对应点过中心且等距”； -特征对比判断：通过表格对比四种变换的核心特征，结合图形运动方式逐一排除； -实操验证法：对疑似变换的图形，通过“描点平移、折纸翻折、绕点旋转”的实操方式验证是否符合对应变换特征； -要素标注法：判断旋转/平移时，先标注旋转中心/平移方向、距离，再结合特征验证，避免遗漏要素。 【例题1】.（25-26九年级下·辽宁本溪·月考）下列食品标识中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（24-25八年级下·河南平顶山·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．“火箭冲向空中”属于旋转现象 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【变式题1-2】.（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）汽车在笔直的公路上移动属于______现象，车轮绕其车轴的运动属于______现象．（填“平移”或“旋转”） 【变式题1-3】.（24-25八年级下·甘肃白银·月考）如图，方格纸中的三个顶点均在格点上，将向右平移格得到再将绕点逆时针旋转得到． (1)在方格纸中画出和； (2)与是否成中心对称？若成中心对称，请指出对称中心． 【基础题型】 【题型2】平移的识别与性质直接应用 1.考点总结 -识别生活中的平移现象及平面图形的平移变换； -应用平移的性质判断对应线段、对应角的关系，确定对应点连线的特征； -利用“平移不改变图形的形状、大小、面积”进行简单的边长、面积计算。 2.解题技巧 -平移识别：抓住两个关键——图形“朝向不变”（无旋转）、所有点“同方向移动相等距离”； -性质应用：平移后对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，直接利用该性质进行等量代换； -面积计算：遇到不规则图形平移组合时，利用“平移不改变面积”将图形拼接为规则图形，简化计算。 【例题2】.（2025八年级上·全国·专题练习）下列现象：温度计中，液柱的变化；电梯上下运动；钟摆的摆动；小方块在水平地面滑动，属于平移的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式题2-1】.（24-25七年级下·山西长治·期末）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（   ） ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．个 B．个 C．个 D．个 【变式题2-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小明家的三个地暖散热片分别接入1，2，3三个分水器，分水器与散热片之间用管道相连，竖直管道之间的距离相等，且相邻管道对应平行排列，则三个散热片所用管道（    ） A．1长 B．2长 C．3长 D．一样长 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列“小旗子”的平移作图中错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】轴对称图形与对称轴的识别及绘制 1.考点总结 -识别轴对称图形，区分“成轴对称”与“轴对称图形”； -确定轴对称图形的对称轴数量及位置，绘制简单图形的对称轴； -结合生活情境判断轴对称图形，体现数学与生活的联系。 2.解题技巧 -识别技巧：采用折纸法——想象将图形沿某条直线翻折，若直线两侧部分完全重合，则为轴对称图形； -对称轴绘制：找准图形的特殊点（顶点、交点），作特殊点连线的垂直平分线，即为对称轴； -数量判断：从“水平、竖直、斜向”三个角度逐一分析，避免遗漏斜向对称轴。 【例题3】.（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（    ） A．B．C．D． 【变式题3-1】.（24-25八年级上·云南德宏·期末）汉字是世界上最古老的文字之一，它是中华文明的符号与象征，许多中国汉字的形体和结构充满着“对称美”，下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A．爱 B．我 C．中 D．华 【变式题3-2】.（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知的顶点A、B、C在格点上，按要求在方格纸中画图． (1)画出向右平移4格后的图形，再画出向上平移5格后的图形． (2)画出关于水平直线l成轴对称的图形． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·江苏连云港·月考）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移5个单位长度后的； (2)画出关于直线l成轴对称的； (3)在直线l上找一点P，使最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 【题型4】旋转三要素的确定与旋转性质应用 1.考点总结 -确定旋转的中心、方向、角度三要素，能从旋转图形中提取三要素信息； -应用旋转性质：对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等，进行角度、线段长度计算； -识别简单的旋转现象，区分旋转与其他图形变换。 2.解题技巧 -旋转中心确定：作两组对应点连线的垂直平分线，其交点即为旋转中心； -旋转角确定：连接对应点与旋转中心，所得线段的夹角即为旋转角； -性质应用：旋转后图形的边长、角度与原图形相等，直接利用等量关系列等式计算。 【例题4】.（24-25九年级上·广东梅州·开学考试）如图，五角星旋转一定的度数，就能与它原来的图形重合，则这个旋转的角度最小是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式题4-2】.（2026·安徽蚌埠·二模）如图，由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（格点是网格线的交点）． (1)画出关于所在直线对称的； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）直角三角形纸板的直角顶点O在直线上（在的右侧）． (1)如图①，当时．的度数是 ； (2)如图②，平分，若，求的度数． (3)如图③，已知，将三角形纸板（未画出）绕直角顶点O旋转，当时，直接写出的度数． 【提升题型】 【题型5】中心对称图形的识别与简单作图 1.考点总结 -识别中心对称图形，区分“中心对称”与“中心对称图形”； -确定中心对称图形的对称中心，完成简单图形的中心对称作图； -结合轴对称，综合判断图形的对称性类型。 2.解题技巧 -中心对称识别：采用旋转法——将图形绕某点旋转180°，若旋转后与原图形重合，则为中心对称图形； -对称中心确定：连接任意一组对应点，线段的中点即为对称中心； -中心对称作图：找准原图形的关键点，连接关键点与对称中心并延长至等距，得到对应点，依次连接对应点即可。 【例题5】.（25-26九年级下·江西鹰潭·月考）数轴上，点表示的数分别为、4和，若这三点中，其中两个点关于第3个点成中心对称，则的值不可能为（   ） A． B．3 C．1 D．10 【变式题5-1】.（2023·辽宁葫芦岛·模拟预测）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点O成中心对称的图形 (2)画出先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的 (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为___________． 【变式题5-3】.（2026九年级·吉林·专题练习）图①②③均为正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并且所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使其是轴对称图形，且面积为1.5； (2)在图②中画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形； (3)在图③中画一个四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且四条边长均为无理数． 【题型6】折叠问题的轴对称性质综合应用 1.考点总结 -明确折叠是轴对称变换的实际应用，折叠前后对应点、对应边、对应角相等； -利用折叠的对称性找等量关系，结合三角形内角和、勾股定理等进行角度、边长计算； -解决长方形、正方形、三角形等常见图形的折叠问题。 2.解题技巧 -核心思路：找准对应关系——折叠后重合的点为对应点，重合的边为对应边，重合的角为对应角，标注等量关系； -角度计算：结合三角形内角和、邻补角、对顶角等性质，利用折叠得到的等角进行代换计算； -边长计算：设未知数列方程，利用折叠的等边关系结合勾股定理、线段和差求解。 【例题6】.（24-25七年级下·宁夏银川·月考）如果将一个长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么与的数量关系是______． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·湖北武汉·月考）如图，将长方形分别沿、折叠，点落在处，点落在点处，使得，若，则的度数为______． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，将一个长方形纸条按如图所示沿折叠，已知，则______． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·广东梅州·期末）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则______； (2)折叠长方形纸片，，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为______．（用含n的式子表示） 【培优题型】 【题型7】利用图形变换解决最短路径问题 1.考点总结 -掌握“将军饮马”模型的核心思路，利用轴对称将同侧点转化为异侧点，实现“折径变直径”； -能将实际的最短路径问题转化为几何中的轴对称问题； -解决单一直线、双直线的最短路径问题，体现数形结合思想。 2.解题技巧 -核心方法：作对称点——将其中一个点作关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为最短路径的拐点； -原理依据：两点之间，线段最短，利用轴对称保证路径长度不变； -双直线问题：依次作两个点关于两条直线的对称点，连接对称点，与两条直线的交点即为拐点，确定最短路径。 【例题7】.（2025·江苏南京·模拟预测）架桥通常会考虑多种因素，其中一个就是路线规划，确保桥两边A，B两地间的路程尽量短，以减少通行时间和成本． (1)如图①，河l的宽度忽略不计，即桥的宽度忽略不计，请你在l上画出表示桥的位置的点P，使从A地经过桥到B地的路程最短． (2)如图②，河岸m和n之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间画出表示桥的位置的线段，使桥与河岸垂直，并且从A地经过桥到B地的路程最短． (3)如图③，河岸m和n，p和q之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间、p和q之间分别画出表示桥的位置的线段和，使每座桥与相应的河岸垂直，并且从A地经过2座桥到B地的路程最短． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·广西防城港·期中）如图1，“金牛”奶牛养殖区A和“绿野牛”奶牛养殖区B位于笔直的“金光”高速公路x同侧． (1)要在高速公路x旁修建一牛奶检测、收购、加工站P，收购A，B运送来的鲜牛奶．P到A，B的距离之和最小，请确定点P的位置． (2)拟建的“致富”高速公路y与“金光”高速公路垂直，建立图2所示的平面直角坐标系，若再在旁和y旁各修建一牛奶检测、收购、加工站P，Q，使P，A，B，Q组成的四边形的周长最小．试确定点P，Q的位置． 【变式题7-2】.（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，点P在的内部，点C和点P关于对称，点P关于对称点是D，连接交于M，交于N． (1)若，则________．； (2)若，求的度数； (3)若，则的周长为________； (4)点在射线的同侧，在射线上找一点G，使最小，则G与图中的________点重合，的最小等于图中线段________的长度． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题：补全证明过程； (2)模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型8】图形变换的情境化实际应用 1.考点总结 -将生活实际情境（如道路修建、图案设计、台球反弹、滑梯设计）转化为图形变换问题； -利用图形变换的性质解决实际问题，体现数学建模素养； -结合跨学科知识（如物理的光的反射、美术的图案设计），实现学科融合。 2.解题技巧 -建模步骤：提取几何信息——将实际情境中的物体、路径抽象为几何图形（点、线、面）→确定变换类型——根据情境特征判断所用的图形变换（如台球反弹为轴对称、道路平移为平移变换）→应用变换性质求解； -光的反射/台球反弹：利用轴对称将反射路径转化为直线路径，结合“两点之间线段最短”求解； -图案设计/工程修建：利用平移、旋转的性质保证设计的一致性、工程的合理性，结合面积、周长计算解决实际问题。 【例题8】.（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·湖北武汉·期中）将两面镜子用胶带连在一起，并打开呈夹角时，在中间放置一个蜡烛，在镜中能看见5个完整的蜡烛（如图1）．你知道为什么吗？ 我们可以把两面镜子用直线、代替，设蜡烛放置于点，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像（如图2）．继续作出关于的对称点为（如图3），最后作出关于的对称点，均为（如图4），这样，我们就作出了点在两面镜子中的5个像． (1)如图5，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛； (2)如图6，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛．请你借助网格完成作图，并标注相应的字母； (3)试猜想，若两面镜子呈夹角，且为整数时，理论上在镜中能看见_______个完整的蜡烛． 【变式题8-2】.（2026八年级下·广东深圳·专题练习）数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通，如果用运动的眼光来观察，你可能会有不一样的发现． (1)如图1，在中；，垂直于，厘米，厘米．求涂色的面积．把点沿着向上运动，当运动到点时，形成（如图2），图2中和图1中等底（）等高（），面积相等，图2中涂色的面积图1中涂色的面积______． (2)如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中两个涂色长方形的周长分别是14厘米和8厘米，求原来长方形的周长．把线段向右平移至，向左平移至，向上平移至，向下平移至．原来长方形的周长就等于两个涂色长方形周长的总和，从而巧妙解题，长方形的周长是______厘米． (3)如图4，大正方形的边长是14厘米，梯形的面积是90平方厘米，涂色正方形的面积是______平方厘米．（在图4的右侧画出示意图．） 【变式题8-3】.（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）已知大正方形的边长为，小正方形的边长为，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以的速度沿水平方向向右平移，设平移的时间为，两个正方形重叠部分的面积为．完成下列问题： (1)平移时，___________． (2)根据小正方形向右平移的运动过程中，两正方形重叠部分的面积表示不同，可以把整个运动过程分为三类，请填写下表： 运动状态 不等式表示运动时间的范围 两正方形重叠部分的面积（cm2） 第一种运动状态 第二种运动状态 第三种运动状态 第四种运动状态 0 (3)当时，小正方形平移的距离为多少厘米？ 运动状态 不等式表示运动时间的范围 两正方形重叠部分的面积（cm2） 第一种运动状态 第二种运动状态 4 第三种运动状态 第四种运动状态 或 0 同步练习 一、单选题 1．中国高端装备已从产品出口升级为技术+标准+产能+服务+资本的全链条出海，覆盖轨交、工程机械、能源、航空、船舶、军工、工业母机等核心赛道，是中国制造向中国智造转型的标杆．以下四家中国高端装备企业的品牌图标中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A．中国中铁 B．中国铁建 C．中国交建 D．中国中车 2．如图折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，将三角形平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，将沿着射线平移到．若，，则平移的距离为__________． 5．如图，将绕顶点A逆时针旋转，得，点C恰好落在边上．若，则的大小是______．    6．如图，，点、分别在射线上，，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，______，的面积最小值为______． 三、解答题 7．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为3，求图中阴影部分的面积． 8．如图，在正方形网格中有一个（点A，B，C都在网格格点上），按要求完成下列各题． (1)将向右平移5格，向上平移2格，请在网格图中画出经平移后得到的（点A与对应）． (2)在（1）的基础上，连接，，则图中的面积为_____． 9．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，均在格点上．用无刻度直尺完成下列作图： (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点，则线段______的长度是点到直线的距离． 10．取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定的角度得到．请问： (1)如图②，当与垂直时，求的度数； (2)如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 学科网（北京）股份有限公司 $