第二十六章 二次函数 章末小结 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次函数的概念、图象性质、与一元二次方程的关系及实际应用，通过“实际问题→二次函数→性质应用→解决问题”的逻辑链串联知识，结合表格对比不同形式函数性质，构建完整知识网络。 其亮点在于分层例题设计，从概念辨析到综合应用，如用大棚加固问题引导学生建立函数模型，培养几何直观与模型意识。这种设计帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情，提升复习效率。

第二十六章 二次函数 章末小结 九上数学人教 实际问题 二次函数 y=ax2+bx+c 图象 性质 归纳抽象 实际问题 的答案 利用二次函数的图象和性质求解 目标 单元知识梳理 2 知识点1 二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 单元知识梳理 例1 已知 y=(m²+m)xm²-2m-1+(m-3)x+m2-11 是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 解：(1)由题意，得 解得 m=3. (2)由（1）知，二次函数解析式为y=12x2-2， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是-2. 知识点1 二次函数的概念 单元知识梳理 知识点2 二次函数的图象和性质 y=ax2 (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点(0,0) 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y最小值​=0. 当x=0时，y最大值​=0. 补充说明 顶点是抛物线的最低点. 顶点是抛物线的最高点. 单元知识梳理 知识点2 二次函数的图象和性质 y=ax2+k (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴 (直线 x=0) 顶点坐标 (0，k) 增减性 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>0时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>0时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当x=0 时，y最小值​=k. 当 x=0 时，y最大值​=k. 单元知识梳理 知识点2 二次函数的图象和性质 y=a(x-h)2 (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h,0) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值​=0. 当 x=h 时，y最大值​=0. 单元知识梳理 知识点2 二次函数的图象和性质 函数 y=a(x-h)2+k (a>0) y=a(x-h)2+k (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 顶点坐标 (h，k) 增减性 当 x<h 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<h 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>h 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=h 时，y最小值​=k. 当 x=h 时，y最大值​=k. 单元知识梳理 知识点1 XXX 知识点2 二次函数的图象和性质 函数  y=ax2+bx+c (a>0)  y=ax2+bx+c (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (​) 对称轴 直线 x= 增减性 当 x< 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>时，y 随 x 的增大而增大. 当 x< 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>​​ 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=时，y最小值​= 当 x=时，y最大值​=. 单元知识梳理 例2 已知抛物线y=2x2-12x+13. (1) 当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？ (2) 当x为何值时，y随x的增大而减小. (3) 将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，请直接写出新抛物线的表达式. 解：∵y=2x2-12x+13=2(x2-6x+9)-5=2(x-3)2-5， ∴抛物线开口向上，顶点为(3，-5)，对称轴为直线x=3. （1）当x=3时，y有最小值，最小值为-5； （2）当x＜3时，y随x的增大而减小； （3）新抛物线的表达式为y=2(x-5)2-3． 知识点1 XXX 知识点2 二次函数的图象和性质 单元知识梳理 例3 如下图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式； 解：(1)设y＝a(x－1)2＋4， 把(0，3)代入，得a(0－1)2＋4＝3， ∴a＝－1 , ∴此抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4， 即y＝－x2＋2x＋3． 知识点2 二次函数的图象和性质 单元知识梳理 例3 如下图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点． (2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标. 解：(2)B(0，3)关于x轴对称的点B′的坐标为(0，－3)， 连接AB′交x轴于点P，则PA＋PB的值最小． 设直线AB′的解析式为y＝kx＋b， 把A(1,4)，B′(0,－3)分别代入，得 　 解得　 ∴y＝7x－3，当y＝0时，7x－3＝0， 解得x＝ ，∴P( ,0). B′ 知识点2 二次函数的图象和性质 单元知识梳理 在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx-2 的图象过点 A(1，t)，B(2，t). (1)求 的值. (2)已知二次函数 y=ax2+bx-2 的最大值为1- a2. (i)求该二次函数的解析式； 例4 解： (1) ∵点A(1，t)，B(2，t)在函数y=ax2+bx-2 的图象上， ∴ －3. 抛物线上两个不重合的点P1(x1, y1 )，P2(x2, y2 ). (1) 若 y1=y2，则 P1，P2 两点关于抛物线的对称轴对称，且此时抛物线的对称轴为直线 . (2) 若 P1，P2 两点关于抛物线的对称轴对称，则 y1=y2，且此时抛物线的对称轴为直线 . 知识点2 二次函数的图象和性质 单元知识梳理 在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx-2 的图象过点 A(1，t)，B(2，t). (2)已知二次函数 y=ax2+bx-2 的最大值为1- a2. (i)求该二次函数的解析式； 例4 解：(2) (i) 由 (1) 知， b=-3a， ∴ 该函数的解析式为 y=ax2-3ax-2. ∵ 函数的最大值为 ， ∴ a<0，且 ， 解得 a1=-1，a2=4（舍去）， ∴ 该二次函数的解析式为 y=-x2+3x-2. 知识点2 二次函数的图象和性质 单元知识梳理 (2)已知二次函数 y=ax2+bx-2 的最大值为1- a2. (ii)若M(x1，m)，N(x2，m)为该二次函数图象上的不同两点，且m≠0， 求证： . 例4 解： (ii) 证明: ∵点 M(x1，m)，N(x2，m)在二次函数 y=-x2+3x-2的图象上, ∴  m=3x1-2=-(x1-1)(x1-2), x1+x2=3, ∴ 0， ∴ 知识点2 二次函数的图象和性质 单元知识梳理 二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0根的关系 知识点3 二次函数与一元二次方程 二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0根的关系 二次函数 y=ax2+bx+c的图象和x轴的公共点 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根 一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的判别式(b2-4ac) 没有公共点 没有实数根 b2-4ac＜0 有一个公共点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2-4ac＞0 单元知识梳理 知识点3 二次函数与一元二次方程 确定一元二次方程的近似根的步骤 1.画图：画出二次函数 y=ax2+bx+c 的图象. 2.定位：观察函数图象，确定函数图象与  轴的一个公共点在两个连续整数 m,n (m<n) 之间. 3.试值：通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，取  和  的平均数 ，计算出当  时的函数值 ，将  与自变量分别为  和  时的函数值  比较，若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值；若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值.重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位为止. 4.定根：按照(2)(3)的方法估计出方程的另一个根. 单元知识梳理 知识点3 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次不等式的关系 抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上方的点对应的 x 的所有值是不等式 ax2+bx+c>0 的解集； 抛物线 y=ax2+bx+c 在x轴下方的点对应的 x 的所有值是不等式ax2+bx+c<0的解集. 单元知识梳理 例5 已知二次函数 y=x²-2mx+m²+3（m是常数）. (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有公共点. (2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？ 解：(1)证明：∵方程x²-2mx+m²+3=0的根的判别式 =(-2m)²-4×1×(m²+3)=4m²-4m²-12=-12<0， ∴ 方程 x²-2mx+m²+3=0 没有实数根， ∴ 不论m为何值，二次函数y=x²-2mx+m²+3的图象与x轴都没有公共点. 知识点3 二次函数与一元二次方程 单元知识梳理 例5 已知二次函数 y=x²-2mx+m²+3（m是常数）. (2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？ 解：(2)方法一　∵ y=x²-2mx+m²+3=(x-m)²+3， ∴ 把函数y=(x-m)²+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=(x-m)²的图象，它的顶点坐标是(m , 0)，此时这个函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴ 把函数y=x²-2mx+m²+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点. 知识点3 二次函数与一元二次方程 单元知识梳理 例5 已知二次函数 y=x²-2mx+m²+3（m是常数）， (2)把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？ 方法二 设抛物线沿y轴向下平移a (a>0) 个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点，此时二次函数的解析式为 y=x²-2mx+m²+3-a， ∴方程 x²-2mx+m²+3-a=0 的根的判别式 =(-2m)²-4×1×(m²+3-a)=4m²-4m²-12+4a=-12+4a=0， 解得a=3， ∴把函数y=x²-2mx+m+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点. 知识点3 二次函数与一元二次方程 单元知识梳理 例6 下列表格中是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的自变量 x 与函数 y 的一些对应值，可以判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似根是（　　） x 6.7 6.8 6.9 7.0 y=ax2+bx+c -0.3 -0.1 0.2 0.6 A.6.7 B.6.8 C.6.9 D.7.0 B 知识点3 二次函数与一元二次方程 单元知识梳理 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）写出方程ax2+bx+c=0的根； （2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集； 例7 解：(1)观察题图可知，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴交点为(0,0)，(2,0)， 所以方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=0，x2=2. (2)因为二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴的交点为(0,0)，(2,0)，且开口向下， 所以不等式ax2+bx+c<0的解集为x<0或x>2. 知识点3 二次函数与一元二次方程 单元知识梳理 知识点4 用二次函数解决实际问题 用二次函数解决实际问题一般步骤 (1) 审：仔细审题，厘清题意. (2) 设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数. (3) 列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式. (4) 解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题. (5) 检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. (6) 答：写出答案. 单元知识梳理 例8 如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离4m处跳起投篮，球运行的路线是跑物线．当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离是3.05m，则此时抛物线的函数关系式是（　　） A. y=-2x2+4 B. y=-0.2x2+3.5 C. y=-0.2x2+3.05 D. y=-0.2x2+2.5 B 解析：根据题意抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴设抛物线的解析式为y=ax2+3.5． 根据题意得，抛物线过点（1.5，3.05）． ∴2.25a+3.5=3.05，解得a=-0.2， ∴抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5． 知识点4 用二次函数解决实际问题 单元知识梳理 某水果店出售一种水果，每千克定价20元时，每周可卖出300千克．试销发现： ①每千克水果每降价1元，每周可多卖出25千克； ②每千克水果每涨价1元，每周将少卖出10千克； 问题：（1）若定价16元每千克，则每周可卖出______千克； （2）若定价m(m>20)元每千克，则每周可卖出_________千克（用含m的代数式表示）； （3）你认为应当如何定价才能使一周销售收入最多？ 400 (500-10m) 解：(3) 设定价为p元，一周销售收入为W元，分两种情况： 当p≤20时，为降价销售， 销售收入W=p[300+25(20-p)]=-25p2+800p, ∴W存在最大值，对称轴为p==16，满足p≤20， 此时最大销售收入W=-25×162+800×16=6 400 （元）. 例9 知识点4 用二次函数解决实际问题 单元知识梳理 某水果店出售一种水果，每千克定价20元时，每周可卖出300千克．试销发现： ①每千克水果每降价1元，每周可多卖出25千克； ②每千克水果每涨价1元，每周将少卖出10千克； 问题：（3）你认为应当如何定价才能使一周销售收入最多？ 当p＞20时，为涨价销售，销售量为(500-10p)千克， 销售收入W=p（500-10p）=-10p2+500p, ∴W存在最大值， 对称轴为=25，满足p＞20，此时最大销售收入W=-10×252+500×25=6 250（元）． ∵6 400＞6 250， ∴定价为16元时，一周销售收入最多． 例9 知识点4 用二次函数解决实际问题 单元知识梳理 雨季将要来临，某农户计划给蔬菜大棚进行加固．如图，该蔬菜大棚截面形状可近似看作抛物线的一部分，AD为垂直于地面的保温墙，以地面AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．现要在大棚内部的点E，F处（点E在点F的右侧）焊接两根加固钢材EF和EG，且EF∥AB，EG∥AD．已知大棚的跨径AB=10m,顶端C点到保温墙AD所在直线的距离为4m，到地面AB所在直线的距离为4.5m. （1）求抛物线对应的函数解析式； 解：(1)由题意,得B(10，0)，顶点C(4，4.5)， 设抛物线对应的函数解析式为y=a(x-4)2+4.5， 将B(10，0)代入，得0=a(10-4)2+4.5， ∴ a=﹣． ∴抛物线对应的函数解析式为y=﹣(x-4)2+4.5. 例10 知识点4 用二次函数解决实际问题 单元知识梳理 雨季将要来临，某农户计划给蔬菜大棚进行加固．如图，该蔬菜大棚截面形状可近似看作抛物线的一部分，AD为垂直于地面的保温墙，以地面AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．现要在大棚内部的点E，F处（点E在点F的右侧）焊接两根加固钢材EF和EG，且EF∥AB，EG∥AD．已知大棚的跨径AB=10m,顶端C点到保温墙AD所在直线的距离为4m，到地面AB所在直线的距离为4.5m. （2）若总共使用8m长的钢材加固大棚，求点F的坐标； 解：(2)∵EF∥AB，抛物线对称轴为直线x=4， ∴点E和点F关于抛物线对称轴对称. ∵EF+EG=8，设EF=2a，则EG=8-2a, ∴点E(4+a，8-2a). 将E(4+a，8-2a)代入y=﹣(x-4)2+4.5， 得8-2a=﹣(4+a-4)2+4.5，解得a1=2 ， a2=14(舍去)， ∴4-a=2，8-2a=4,∴点F的坐标为(2，4). 例10 知识点4 用二次函数解决实际问题 单元知识梳理 （3）若钢材总长度越长，加固效果越好，加固效果最好时，点F的位置在哪里？此时加固大棚所需钢材长度是多少？ 解：(3)∵抛物线解析式为y=﹣x2+x+2.5， ∴当 x=0时，y=2.5，∴ D(0，2.5)， 设点E的坐标为(m, ﹣m2+m+2.5). ∵EF∥AB，抛物线对称轴为直线x=4， ∴EF=2m-8，EG=﹣m2+m+2.5， 设钢材总长度为L，则L=﹣m2+m+2.5+2m-8=﹣m2+3m-5.5. ∵< 0，∴L开口向下，对称轴为直线m=12. 又∵EF∥AB，点E在点F右侧，∴ 4＜m≤8， 当4＜m≤8时，L随m的增大而增大， ∴当m=8时，Lmax=﹣82+3×8-5.5=10.5，此时点E的坐标为(8,2.5)，点F的坐标为(0,2.5)， ∴点F的坐标为(0,2.5)时加固效果最好，此时所需钢材总长度为10.5 m. 例10 知识点4 用二次函数解决实际问题 单元知识梳理 $