卷2 第二十六章 二次函数 基础诊断卷（A卷）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（人教版·新教材 河北专用）

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次函数的定义、图像性质、平移规律及实际应用，通过“上分技巧”“失分警示”等模块将核心知识点串联，如二次函数识别三条件、顶点式与对称轴关系等，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于融入新情境问题，如机器人运动轨迹、投壶游戏等培养数学眼光，通过判别式推理、直角三角形分类讨论发展数学思维，分层设计基础到偏难题型。这种设计让学生巩固知识，教师可精准把握学情，提升复习效率。

数 学 九年级全一册 RJ 1 2 3 卷2 第二十六章基础诊断卷（A卷） 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1. 2026年马年春晚我们共同见证了机器人“智造”领域的技术飞跃.机器 人某些运动轨迹可抽象为抛物线，在初中数学中我们通过二次函数研究抛物线.下 列函数中，是关于 的二次函数的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 【解析】A选项， 是一次函数，不是二次函数，不符合题意；B选项，当 时，不是二次函数，不符合题意；C选项， 不是二次函数， 不符合题意；D选项， 是二次函数，符合题意.故选D. 上分技巧 识别二次函数 识别一个函数是不是二次函数要看它是否同时满足三个条件： （1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量最高次数是2；（3）二次项系数不 为0.若满足，则该函数是二次函数，否则不是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 2.抛物线 的顶点坐标为( ) A A. B. C. D. 【解析】抛物线的顶点坐标为 .故选A. 上分警示 根据顶点式写出抛物线的顶点坐标 顶点式，，是常数，，其中 为顶点坐标，注意 不要写成 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.若抛物线的对称轴是直线，则 的值为( ) C A.2 B.1 C. D.0.5 【解析】 抛物线的对称轴是直线 ， ， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 4.新情境 小明用 编写了一个程序来探索 一元二次方程 的根，作出如图所 示的图象，并求得一个近似根 ，则方程 的另一个近似根（精确到 ）为( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 【解析】 抛物线与轴的一个交点坐标为 ，抛物线的对称轴为直线 ， 抛物线与轴的另一个交点坐标为 ，即方程的另一个近似根为 ，故选C. 上分技巧 二次函数图象的对称性 只要二次函数图象的对称轴确定，此二次函数图象上任意一点关于对称轴对称的 点的坐标就能确定，不需要知道此二次函数的解析式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 5.[2026河北承德月考]二次函数 的图象经过怎样的平移可得到函数 的图象( ) A A.向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B.向左平移1个单位，再向下平移3个单位 C.向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D.向右平移1个单位，再向下平移3个单位 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 【解析】， 二次函数 的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位可得到函数 的图象.故选A. 上分点拨 二次函数图象的平移规律 上加下减常数项，左加右减自变量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 6.若点，，都在二次函数的图象上，则 ， ， 的大小关系是( ) D A. B. C. D. 【解析】 点，，都在二次函数 的图象上， ， ， ， .故选D. 上分心得 二次函数的增减性 ①图象开口向上时，在对称轴左边，随的增大而减小；在对称轴右边，随 的 增大而增大.②图象开口向下时，在对称轴左边，随 的增大而增大；在对称轴右 边，随 的增大而减小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 7.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数 为常数，且 的图象可能是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 【解析】A选项，根据二次函数图象可得，由此判断直线 需经过 第二、三、四象限，故本选项不符合题意；B选项，根据图象可得一次函数 中，则二次函数 的图象应开口向上，故本选项不符合 题意；C选项，根据图象可得一次函数中 ，则二次函数 的图象应开口向下，故本选项不符合题意；D选项，根据图象可得一 次函数中，则二次函数的图象应开口向上，且与 轴 交于负半轴，故本选项符合题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 8.［中］某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金 与上月相比增长率都是，则该厂今年第一季度新产品的研发资金（万元）与 的 函数关系式为( ) C A. B. C. D. 【解析】 该厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资 金与上月相比增长率都是， 该厂今年二月份新产品的研发资金为 万元， 三月份新产品的研发资金为 万元.根据题意得 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 （第9题图） 9.[2026河北衡水月考，中]如图，， 是二次函数 的图象上的两点，且直线垂直于 轴，若 ，则点 的纵坐标为( ) B A. B.1 C.2 D.7 【解析】， 抛物线的对称轴为直线 直线垂直于轴，， 由抛物线的对称性可 知，点横坐标为3.当时，， 点的纵坐标为1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 （第10题图） 10.[2026河北石家庄月考，中]如图，某隧道美化施工， 横截面形状为抛物线 ，施工队计划在隧道 正中间搭建一个矩形脚手架,在抛物线上 ，已知 ，则脚手架的高 为( ) C A.7米 B.6.3米 C.6米 D.5米 【解析】, 设米， 米， 则点的坐标为 点在抛物线上， ，解 得，（舍去）， （米），故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 11.［中］二次函数在的范围内有最小值为 ， 则 的值为( ) A A.3或 B. C. 或1 D.3 【解析】， 抛物线开口向 下，对称轴为直线， 在 的范围内， 时， 为函数最小值， ，解得或 ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 12.［偏难］已知二次函数 的图象如 图所示，有下列5个结论：； ； ； ； .其中结论正确的是( ) B A.①②③ B.②③⑤ C.②③④ D.③④⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 【解析】 对称轴在轴的右侧，.由图象可知， ，故 ①不正确.②当时，，，故②正确. 对称轴为 直线, ， ， ， ，，故③正确， , ，，故④不正确.⑤当时， 的值最大，此时 ，而当时， ， ，故，即 ，故 ⑤正确.综上，②③⑤正确.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 二、填空题（本大题共4小题，共12分） 13.开放性问题 抛物线与轴交于点， ，则该抛物线解析式可以为 __________________________.（填一个即可） （答案不唯一） 【解析】 抛物线过点，， 可设此二次函数的解析式为 .把代入，得.故答案为 （答案不唯一）. 上分警示 开放性问题 做开放性问题时，得出的答案可以代入题干检查一遍，看是否符合题目的每个要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 14.如图，在同一平面直角坐标系中，作出，， 的 图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是________（填序号）. ①③② （第14题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 【解析】，，中，二次项系数分别为3, , ， 抛物线的开口最大，抛物线 的开口最小.故 答案为①③②. 上分点拨 抛物线的开口大小 二次项系数决定抛物线的开口大小，越大开口就越小， 越 小开口就越大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （第15题图） 15.传统文化 ［中］投壶是中国古代宴饮时的一种投掷游戏.游 戏规则：游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向 壶中并计算得分，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线.如 图是小西投壶时箭头行进高度与水平距离 之间的函 数关系图象，投出时箭头距地面的高度为 ，当箭头行进 0.3 的水平距离为时，箭头行进至最高点处.已知 是壶的最左侧（厚度忽略 不计，可看作垂直于轴的线段），且.若小西投壶恰好投中，则 的长 为____ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 【解析】由题意知，抛物线的顶点坐标为，，， .设抛物线解析式为 ，把点坐标代入解析式得，解得 ， 抛物线解析式为.当时，， 若 小西投壶恰好投中，则的长为 ，故答案为0.3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 16.新定义 [2026河北保定月考，偏难]对于一个函数，当自变量取 时，其函数 值等于，我们称为这个函数的“三倍数”.若二次函数 有且只 有一个“三倍数”，则 的值为___. 2 【解析】设二次函数的“三倍数”为，则 ， ， 二次函数 有 且只有一个“三倍数”，，解得 ，故答案为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 三、解答题（本大题共6小题，共52分） 17.[2026河北邯郸月考]（8分）二次函数 的图象经过点 ， . （1）求, 的值.（4分） 【解】 二次函数的图象经过点， ， …………（2分） 解得 …………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 （2）求二次函数图象与轴、 轴的交点坐标.（4分） 【解】由（1）知，.令，则， 二次函数 的图象与轴的交点坐标为 .…………（6分） 令，则，解得， 二次函数的图象与 轴的交 点坐标为， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 18.（7分）已知抛物线上有， 两点. （1）通过计算判断点 是否在该抛物线上.（3分） 【解】当时，， 点 不在该抛物线上.………… （3分） （2）判断和 的大小关系，并说明理由.（4分） 【解】 .…………（4分） 理由： 抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ， 当时，随 的增大而增大.…………（6分） 又 抛物线上有，，两点，且 ， .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 19.[2026河北廊坊月考]（8分）如图，利用 的墙角修建一个梯形 的储 料场，其中，且 .如果新建墙 （墙上的门算作墙的一部分， 未在图中显示）总长为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 （1）设储料场面积为，的长为，求与 之间满足的函数关系式.（5分） 【解】由题意可得的长为.如图，过作 于 ，, .又 ， 四 边形是矩形，， . ， ， ， ， ，…………（4分） .…………（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）当 取何值时，才能使储料场的面积最大？最大面积为多少？（3分） 【解】由（1）可知.抛物线 的对称轴为直线 .…………（7分） 抛物线开口向下， 当 时，储料场的面积最大，最大面积为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 20.[2026河北唐山月考]（8分）已知抛物线 . （1）求证：不论取何值，该抛物线与 轴总有两个公共点.（3分） 【证明】由题意得方程 ，则 ， ，即， 不论取何值，该抛物线与 轴总有两个公共 点.…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （2）［中］若该抛物线与轴交于点，求当时， 的取值范围.（5分） 【解】把代入得，解得， 该 抛物线的解析式为 .…………（5分） 令，解得，， 抛物线与轴的交点坐标为 ， 抛物线开口向上， 当时，的取值范围为或 .………… （8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 21.（9分）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件的进货价为50元.规定每件售 价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量（件）与售价 （元/件）满足一次 函数关系.部分数据如表： 售价 （元/件） 60 65 70 销售量 （件） 1 400 1 300 1 200 （1）求出关于的函数解析式.（不需要写自变量 的取值范围）（3分） 【解】根据题意设函数解析式为时， ， 时，，，， ， ， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （2）［中］若该衬衫每件的利润不允许高于进货价的 ，这种衬衫每月的总利 润为 （元），那么售价定为多少可获得最大利润？最大利润是多少？（4分） 【解】由题意得，衬衫的最高售价为 （元/件），最低售价为 50元/件， ， 时，有最大值，为 ，即当售价定为75元/件时可获得最大利润， 最大利润是27 500元.…………（7分） （3）［中］若该批发市场每月想从这种衬衫的销售中获利24 000元，该如何给这 种衬衫定价？（2分） 【解】令，解得或 . 答：可给这种衬衫定价为70元/件或110元/件.…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 22.探究性问题 [2026河北石家庄月考]（12分）如图，已知抛物线 的对称轴为直线，与轴交于，两点，与 轴交于点 . （1）若直线经过，两点，求直线 和抛物线的解析式.（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 【解】由题意得 解得 抛物线的解析式为 .…………（2分） 由对称轴为直线，且抛物线经过，得 . 把，代入 ， 得解得 直线的解析式为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （2）［中］在抛物线的对称轴直线上找一点，使 的值最小，求 点 的坐标.（5分） 【解】根据轴对称的性质和两点之间线段最短，易得当点为直线 与抛物线的 对称轴直线的交点时， 的值最小.…………（5分） 把代入直线得，故，即当点的坐标为 时， 的值最小.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （3）［偏难］设为直线上的一个动点，求使为直角三角形的点 的坐标.（4分） 【解】设，， ， ， .…………（9分） 若为直角顶点，则，即 ，解得 ,, ；…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 若为直角顶点，则，即，解得 , ；…………（11分） 若为直角顶点，则，即 ，解得 ，,或, . 综上，点的坐标为或或，或， .………… （12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 $