江苏省南京市栖霞区名校联盟2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

**基本信息** 八年级期末数学试卷通过几何变换、函数应用、统计分析等情境，考查抽象能力、推理意识与数据观念，体现数学眼光与思维的实际应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/12|中心对称图形、平行四边形判定|基础概念辨析，如第4题考查四边形性质判定| |填空题|10/20|频率计算、旋转性质、分式方程|结合实验数据（第11题摸球频率），体现数据意识| |解答题|11/88|菱形证明、函数应用、几何综合|25题文具店优惠方案（模型意识），26题反比例函数与菱形存在性（创新应用）|

八年级期末测试 2026.6 一、单选题（每小题2分，共12分） 1．下列数学符号中，是中心对称图形的是（    ） A．⊥ B．∠ C．△ D．⏥ 2．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 3．下列条件中，不能判断为矩形的是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题是真命题的是（    ） A．矩形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．四个角都相等的四边形是正方形 5．如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点、、，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接，，则下列结论：①；②；③中一定成立的是（　　） A．只有①② B．只有①③ C．只有②③ D．①②③都成立 二、填空题（每小题2分，共20分） 7．已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为8、7、7，6．第五组的频率为，则第六组的频率是__________． 8．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 “射中环以上”的次数 “射中环以上”的频率(结果保留小数点后两位) 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是_______(结果保留小数点后一位)． 9．计算：______． 10．若，则的值为____________． 11．一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共40个（除颜色外其它均相同），小明将盒子里的球搅匀后，从中随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：请估计摸到白球的概率为______（精确到0.01）． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 12．使得方程有两个不相等实根，则k的取值范围是 ______． 13．如图，在中，，，将绕点顺时针旋转到的位置，使点恰好落在边上，连接，则______°．    14．某项工程，乙队单独完成的天数是甲队单独完成的天数的2倍．现由甲、乙两队合作10天后，余下的工程由乙队单独来做，还需6天完工．求甲队单独完成此项工程需要多少天？设甲队单独完成此项工程需要天．根据题意，列方程为________． 15．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝，将矩形纸片折叠，边AD、边BC与对角线BD重合，点A与点C恰好落在同一点处，则矩形纸片ABCD的周长是______． 16．如图，若双曲线与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点，且OC＝3BD，则实数k的值为_______. 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．计算： (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，其中． 19．解方程： (1)； (2)． 20．在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上.以O为原点，1为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系． (1)B点关于y轴的对称点的坐标为______； (2)将向左平移3个单位长度得到，请画出； 21．如图，矩形的对角线、相交于点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为__________． 22．“一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 合格品数 合格品频率 (1)求出表中______，______； (2)从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是（精确到）； (3)如果要出厂4900顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 23．如图，点、分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=10，BC=6，AC=AD=8． （1）求∠ACB的度数； （2）求CD的长． 25．文具店出售书包和文具盒，书包每个定价为30元，文具盒每个定价5元．该店制定了两种优惠方案： ①买一个书包赠送一个文具盒； ②按总价的九折付款． 某班学生需购买8个书包和若干个文具盒（不少于8个），设购买文具盒个数为x（个），付款总金额为y（元）． (1)分别写出两种优惠方案中y与x之间的函数关系式； (2)请你通过计算，结合购买文具盒的个数说明哪种方案更省钱？ 26．如图，矩形的顶点分别在轴的正半轴上，点在反比例函数的第一象限内的图像上，，动点在轴的上方，且满足. (1)若点在这个反比例函数的图像上，求点的坐标; (2)连接，求的最小值; (3)若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点的坐标. 八年级期末测试 2026.6 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C A C B D 1．D 【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 2．C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答． 【详解】解：A. ，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B. ，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C. ，，四边形为平行四边形，故本项符合题意； D. ，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； 故选：C． 3．A 【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴不能判断平行四边形是矩形，故此选项符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ， ， ， ∴平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； C、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； D、∵， ， ∴平行四边形是矩形，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定和平行四边形的性质等知识．熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 4．C 【分析】本题考查四边形中平行四边形和特殊的平行四边形的判定和性质，正确的理解和仔细区分是解题的关键．利用平行四边形的判定和性质及特殊四边形的判定和性质逐个选项排查即可． 【详解】解：选项A中，矩形的对角线相等但不一定垂直，故该选项为假命题； 选项B中，菱形的对角线互相垂直平分，不一定相等，故该选项为假命题； 选项C中，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项为真命题； 选项D中，四个角都相等的四边形是矩形但不一定是正方形，故该选项为假命题； 故选：C． 5．B 【分析】运用中点坐标公式求答案． 【详解】∵线段AB和线段CD线关于P点对称 ∴P为线段AC中点，也为线段BD中点． 根据中点公式得： ∴ C点坐标： 故选：B 【点睛】本题考查了中心对称，正确运用中点坐标公式是解题的关键． 6．D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识，先证明，进而证明，由此即可证明，即可判断①；延长，交延长线于M，证明，得到，再证明，即可证明，即可判断②；设，则，求出，得到，则，由此即可判断③． 【详解】解：是AD的中点， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，故①正确； 延长，交延长线于M． 四边形是平行四边形， ， ， 为AD中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； ， ③设，则， ， ， ， ， ，故③正确． 故选：D． 7． 【分析】根据频率=频数总数，结合题意，先计算第五组的频数，再解答第六组的频数，最后由频率公式解题即可． 【详解】解: 第五组的频率为， 第五组的频数为， 第六组的频数为， 第六组的频率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查频数与频率，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8．0.8 【分析】根据大量的实验结果稳定在0.8左右即可得出结论． 【详解】∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近， ∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8． 故答案为：0.8． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 9． 【分析】本题主要考查二次根式的加减，先将二次根式化简再合并即可 【详解】解：， 故答案为： 10．3 【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程，将看成一个整体计算即可． 【详解】解：设， 原方程为：， 解得， ， ． 故答案为：． 11．0.60 【分析】概率接近于表格中得到的频率，由此即可解决问题． 【详解】∵随着实验次数的增多，摸到白球的频率逐渐靠近常数0.60， 所以估计摸到白球的概率为0.60 故答案为：0.60 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率 12． 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次根的情况得到关于k的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵方程有两个不相等实根， ∴， ∴， 又∵，解得， ∴k的取值范围为 故答案为： 13．65 【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质和旋转的性质，可以求得的度数． 【详解】解：在中，，， ， 将绕着点顺时针旋转，使点落在边上的处，点落在点处， ，， ， 故答案为：65． 14． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设甲队单独完成此项工程需天，则乙队单独完成此项工程需天，利用甲队完成的工程量乙队完成的工程量，即可列出关于的分式方程． 【详解】解：设甲队单独完成此项工程需天，则乙队单独完成此项工程需天． 根据题意，得． 故答案为：． 15．6＋2 【分析】由题意BD=2AD= ,利用勾股定理求出AB即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=90°,AD=BC= ,AB=CD, 由翻折的性质可知,BD=2AD=2, ∴在 中,AB=CD= ==3, ∴四边形ABCD的周长为6+2, 故答案为6+2． 【点睛】本题考查矩形的性质翻折变换,勾股定理等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题． 16．. 【详解】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F， 设BF＝x，则，BD＝2x． 因为OC＝3BD＝6x， 所以OE＝3x，， 所以C（3x，），D（5－x，）． 因为点C、D都在双曲线上， 所以， 解得，x2＝0（舍去）， 所以C（，）， 故． 17．(1)； (2)． 【分析】（）根据二次根式的运算法则进行计算即可； （）利用平方差公式进行计算即可； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：原式 ． 18．， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值步骤是解题的关键．先根据分式的化简步骤化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19．(1) (2) 【分析】（）根据解分式方程的步骤解答即可； （）根据解分式方程的步骤解答即可； 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 20．(1) (2)见详解 【分析】（1）先结合网格图得出B点坐标，关于y轴对称的点，他们的横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此即可作答； （2）根据平移的特点作答即可． 【详解】（1）由网格图可知：， ∵关于y轴对称的点，他们的横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴B点关于y轴的对称点的坐标为， 故答案为：； （2）作图如下： 即为所求． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换、平移变换，熟练掌握轴对称和平移的性质是解答本题的关键． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，于是得出，再根据得出四边形是平行四边形，于是问题得证； （2）连接与交于点F，先证是等边三角形，根据勾股定理求出的长，再根据菱形的面积等于对角线长的积的一半求出其面积即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：连接与交于点F， 由（1）知四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 22．(1)， (2)； (3)该厂估计要生产5000顶头盔 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为； （3）用样本数据估计总体即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，． （2）解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动， 所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是； （3）解：（顶）． 答：该厂估计要生产顶头盔． 23．见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定和性质、菱形的定义．证明，得到，即可证明四边形是菱形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 24．（1）90°；（2） 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出∠ACB的度数即可得出结论； （2）根据平行线的性质和勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB=90°； （2）∵AD∥BC， ∴∠CAD=∠ACB=90°， ∴在Rt△ACD中，CD= ． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，平行线的性质，关键是得到∠ACB的度数． 25．(1)方案①：，方案②： (2)详见解析 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）根据题意，可以分别写出两种优惠方案中y与x之间的函数关系式； （2）根据题意，可以得到相应的不等式或等式，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得， 方案①：， 方案②：， 即方案①中y与x之间的函数关系式是， 方案②中y与x的函数关系式为； （2）解：当时， 解得； 当时，解得； 当时，解得； 即购买文具盒为32个时，两种方案付款相同；购买文具盒超过32个时，方案②更省钱；购买文具盒少于32个而不少于8个时，方案①更省钱． 26．（1）点P的坐标为(6,2)；（2）；（3）Q (4−,5)，Q (4+,5)，Q (4−2,−1)，Q (4+2,−1)． 【分析】(1)首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的纵坐标为m(m>0)，根据，构建方程即可解决问题； (2)过点(0,2)，作直线l⊥y轴,由(1)知，点P的纵坐标为2，推出点P在直线l上作点O关于直线l的对称点O'，则OO'=4，连接AO'交直线l于点P，此时PO+PA的值最小； (3)分两种情形分别求解即可解决问题； 【详解】(1)∵四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3， ∴点B的坐标为(4,3)， ∵点B在反比例函数的第一象限内的图象上 ∴k=12， ∴y=， 设点P的纵坐标为m(m>0)， ∵． ∴⋅OA⋅m=OA⋅OC⋅， ∴m=2， 当点，P在这个反比例函数图象上时，则2= ， ∴x=6 ∴点P的坐标为(6,2)． (2)过点(0,2)，作直线l⊥y轴． 由(1)知，点P的纵坐标为2， ∴点P在直线l上 作点O关于直线l的对称点O'，则OO'=4， 连接AO'交直线l于点P，此时PO+PA的值最小， 则PO+PA的最小值=PO'+PA=O'A=． (3) ①如图2中，当四边形ABQP是菱形时，易知AB=AP=PQ=BQ=3，P (4−,2)，P (4,2)， ∴Q (4−,5)，Q (4+,5)． ②如图3中，当四边形ABPQ是菱形时，P (4−2,2)，P(4+2,2)， ∴Q (4−2,−1)，Q (4+2,−1)． 综上所述，点Q的坐标为Q (4−,5)，Q (4+,5)，Q (4−2,−1)，Q (4+2,−1)． 【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，菱形的性质，矩形的性质，解题关键在于作辅助线和分情况讨论. 学科网（北京）股份有限公司 $