江苏南京市鼓楼区名校联盟2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

**基本信息** 八年级（下）期末数学试卷，涵盖几何、代数、统计模块，以海啸速度计算、AI软件调查等现实情境为载体，通过基础题与综合题梯度设计，考查抽象能力、推理意识和数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/12|轴对称与中心对称、概率、分式运算|基础概念辨析，结合图形直观| |填空题|10/20|二次根式、中位线、反比例函数性质|知识点综合，如正方形中点连线计算| |解答题|11/88|分式方程求解、菱形证明、统计图表分析、新定义“心距比”|现实情境应用（海啸速度公式推导）、分类讨论（矩形翻折）、创新探究（心距比性质）|

八年级（下）期末试卷 数 学 2026.6 一、单选题（每小题2分，共12分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．在一个不透明的盒子里装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球．下列事件中，不可能事件是（   ） A．摸出的3个球都是红球 B．摸出的3个球都是白球 C．摸出的3个球中有2个红球1个白球 D．摸出的3个球中有2个白球1个红球 3．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与函数的图象交于点A，B．若，则k的值为（    ）        A．1 B．2 C．4 D．8 6．如图，是的边上的动点，，，分别是，，的中点，连接．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题2分，共20分） 7．______． 8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 9．计算的结果是______． 10．在一个不透明的袋子里装有个白色乒乓球和若干个黄色乒乓球，若从这个袋子里随机摸出一个乒乓球，恰好是黄球的概率为,则袋子内共有乒乓球的个数为_____. 11．在中，，，，点、、分别是边、、的中点，连接，则的周长是________． 12．若关于的方程的解是正数，则的取值范围是________． 13．已知点，在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的取值范围是__________． 14．已知，则分式的值为______． 15．如图，在边长为2的正方形中，点E、F分别是边的中点，连接，点G、H分别是的中点，连接，则的长度为________． 16．如图，在矩形中，点E在上，且，，，点P是线段上的一个动点，将点B沿翻折得点F，当时，________．    三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．已知关于x的分式方程． (1)当时，求方程的解． (2)若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 18．先化简，再求值：，选择一个你喜欢且不大于3的正整数作为x的值代入求值． 19．证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图，是的中位线，是的中线，、交于点． 求证：_________________________． 证明： 20．2025年我国行业发展迅猛，南京作为创新名城，教育普及率领先．为了解软件的使用情况，南京市某中学数学活动小组随机抽取了学校部分师生进行调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次被抽取的师生人数为_____人； (2)补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，A类软件部分所对应的扇形圆心角度数是_____； (4)某校全年级师生共2000人，请估计其中使用情况占比最少的软件的人数大约是多少？ 21．如图，在菱形中，相交于点分别在上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形和菱形的面积分别为14，6，则的值为______． 22．海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似的地按公式计算，其中v表示海啸的行进速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度，g取． 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 ____ 140 (1)根据海啸的行进速度公式，完成上表： (2)如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为和，那么这两处的海水深度差值是多少？ (3)下列关于海啸行进速度的描述： ①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大； ②当海水的深度是的k倍时，海啸的行进速度是； ③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小． 其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 23．如图，在中，点E、F、G、H分别在边上，，，且平分． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 24．已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)求证：不论k为何值，该方程有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个根，求k的值和方程的另一个根． 25．如图，在正方形中，E为边上一点，以为边作正方形．过点B作，垂足为P，交于点H．连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，则________． 26．如图1，中，，，的外角平分线交于点，过点分别作的延长线于，的延长线于． (1)填空：的度数______； (2)求证：； (3)如图2，在△中，，高，，求的长度． 27．如图1，是平行四边形对角线的交点，过点作，，垂足分别为，，若，我们称是平行四边形的心距比．    (1)如图2，四边形是矩形，，，则______； (2)如图3，四边形是平行四边形，当_______，平行四边形是菱形； (3)如图4，在中，，点、、分别在、、边上，若存在一个四边形是平行四边形，且，请通过尺规作图作出一个点．（不写作法，但保留作图痕迹，如若有必要，可简述作图思路） 八下数学期末测试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B D C A C 1．D 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，也找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，但找不到一点旋转后与原图重合，是不中心对称图形，故选项不符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 2．B 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】解：A、摸出的3个球都是红球是随机事件，故A错误； B、只有2个白球，摸出的3个球都是白球是不可能事件，故B选项正确； C、摸出的3个球中有2个红球1个白球是随机事件，故C错误； D、摸出的3个球中有2个白球1个红球是随机事件，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了可能性的大小，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3．D 【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可． 【详解】A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质的内容是解此题的关键． 4．C 【分析】本题考查了菱形的性质，中位线定理，勾股定理，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 先利用中位线定理求出菱形的边的长，再利用菱形的性质求得，从而可得，再利用勾股定理求得的长． 【详解】解：∵O为的中点，M为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C ． 5．A 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，待定系数法求解析式，掌握正比例函数与反比例函数图象的性质是解题的关键． 根据反比例函数与正比例函数的图象关于原点对称，设，则，根据勾股定理求得的长度，根据，求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A、B两点， ∴设，则，， 则， ， ， 解得（负值舍去）， ， ， 故选A． 6．C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线定理，勾股定理，解题的关键是正确画出辅助线，掌握三角形的中位线等于第三边的一半．连接，过作，根据，分别是，的中点得到，由平行四边形性质可得，，，可得，得到，即可得到，则根据勾股定理可得的长度，进而可得，即可解答． 【详解】解：连接，过作， ∵，分别是，的中点， ∴， ∵在中，，，， ∴，，， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 7． 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，解题的关键是掌握：．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8． 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母，列出不等式计算即可． 【详解】解：根据分式有意义的条件得：， ∴， 故答案为：． 9． 【分析】先利用二次根式的性质化简，再加法运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的加法，正确求解是解答的关键． 10．10 【分析】设有x个黄球，利用概率公式可得，解出x的值，可得黄球数量，再求总数即可． 【详解】设有x个黄球，由题意得：， 解得：x=7， 经检验x=7满足分式方程， 7+3=10， 故答案为10． 【点睛】此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数． 11． 【分析】本题考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理分别求出、、，然后计算即可．掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵点、、分别是边、、的中点，，，， ∴，，， ∴， ∴的周长是． 故答案为：． 12．且 【分析】本题考查分式方程的解，解题的关键是先确定方程的解，再建立关于a的不等式是求解即可． 【详解】解：∵， 在方程两边乘以，得：， ∴， ∵方程的解是正数． ∴， 解得：且， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 13． 【分析】根据反比例函数的增减性解答． 【详解】解：∵， ∴图象经过第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小， ∵点，在反比例函数（是常数）的图象上，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的性质：当时，在每个象限内，y随x的增大而减小，当时，在每个象限内，y随x的增大而增大． 14．/0.6 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键． 由可得，再根据分式的基本性质将化为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：， ，， ． ． 故答案为：． 15． 【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=2，根据全等三角形的性质得到PD=CF=1，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=2， ∵E，F分别是边AB，BC的中点， ∴AE=CF=×2=1， ∵AD//BC， ∴∠DPH=∠FCH， ∵H是DF的中点， ∴DH=FH， 在△PDH和△CFH中 ， ∴△PDH≌△CFH（AAS）， ∴PD=CF=1， ∴AP=AD-PD=1， ∴PE==， ∵点G，H分别是EC，FD的中点， ∴GH=EP=； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的中位线等知识，正确的识别图形是解题的关键． 16．7或 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，分两种情况：当翻折后，点在下方时，当翻折后，点在上方时，分别作出图形，构造直角三角形利用勾股定理建立方程是解题的关键． 【详解】解：当翻折后，点在下方时，过点作，并延长交于于，    ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，则， 则四边形也是矩形， ∴，，， ∴， 由翻折可知，，， ∴， ∴，则， 设，则， 由勾股定理可得：，即：，解得：， ∴； 当翻折后，点在上方时，过点作，交于于，    ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，则， 则四边形也是矩形， ∴，，， ∴， 由翻折可知，，， ∴， ∴，则， 设，则， 由勾股定理可得：，即：，解得：， ∴（此时点与点重合）； 综上，或． 故答案为：7或． 17．(1) (2)且 【分析】（1）将代入分式方程，解分式方程即可求解； （2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 【详解】（1）当时， ， ， 去分母得：， 解得：， 检验：当时， 故方程的解为：； （2）， ， 去分母得：， 解得：， 由分式方程有解且解为非负数，且， 即：且， 即：且 【点睛】此题主要考查了分式方程及不等式的解法，掌握解分式方程的方法并及时进行检验是解题关键． 18．，当时，原式 【分析】此题考查分式的化简求值，根据分式混合运算法则计算化简，再代入适当的x的值求出结果． 【详解】解： ∵，， ∴， ∵，且x为正整数 ∴当时，原式． 19．求证：，；证明见解析 【分析】此题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的判定与性质，利用文字说明转化为几何图形证明，结合平行四边形的判定与性质得出答案． 【详解】求证：，， 证明：连接、， ∵D、F分别是、的中点， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 即三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 20．(1)400 (2)见解析 (3)90 (4)200人 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据B类师生人数和所占百分比可得本次被调查学生的总人数； （2）先求出E组的师生人数，再补全条形统计图即可； （3）利用乘以A类师生人数所占的百分比即可得； （4）利用该校学生的总人数乘以使用情况占比最少的软件的人数的百分比即可得． 【详解】（1）解：本次被调查学生的总人数为（人）； （2）解：E类师生人数为： （人）， 则补全条形统计图如下： （3）解：， 答：A类软件部分所对应的扇形圆心角度数是． （4）解：（名）， 答：估计其中使用情况占比最少的软件的人数大约是200人． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，是解题的关键． （1）根据菱形性质得出，，，根据，得出四边形为平行四边形，根据，得出四边形是菱形； （2）根据菱形和菱形的面积分别为14，6，得出，设，则，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：∵菱形和菱形的面积分别为14，6， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴． 22．(1)填表见解析 (2)60米 (3)①③ 【分析】本题主要考查二次根式的计算，解题的关键是根据题中的公式列式求解． （1）直接将代入速度公式，计算，完成表格填空． （2）设两处深度为、，根据公式，分别将和代入，通过列方程，解得、，作差得深度差值． （2）①分析速度公式是算术平方根函数，因被开方数增大时递增，故随增大而增大，判断正确；②设深度，代入公式化简得，与题目表述对比，发现计算和单位错误，判断错误；③将公式变形为，利用算术平方根函数“增速变缓”的性质，结合具体数值验证（越大，相同增量下增量越小），判断正确． 【详解】（1）解：当时： ， 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 70 140 （2）解：设两处海水深度为、，由得： 当时，， ， ； 当时，， ， ； 深度差值为米， （3）①：“随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大” 海啸速度公式为（，是常数）． 从函数角度看，是关于的算术平方根函数，形式为（，是正数）． 根据算术平方根函数的性质：当被开方数增大时，递增，因此也递增．． ∴随着海水深度增加，海啸速度必然逐渐增大，描述①正确． ②：“当海水的深度是的倍时，海啸的行进速度是” 设海水深度，代入速度公式： 化简： 而题目中表述为“”，描述②错误； ③：速度公式可变形为，其中是常数（记为），即． 从“函数的变化率”角度理解：算术平方根函数的增速趋势是逐渐变缓的．当较小时，增加，的增量较大；当很大时，同样增加，的增量会变小， 当时，； 当时，，增量； 当时，； 当时，，增量； 可见，越大，相同增量下的增量越小）． ∴描述③正确． 故答案为①③． 23．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）根据得到，利用证明即可； （2）证明，得出，由，得出，证明四边形是平行四边形，再利用平行和角平分线证明即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵在与中， ， ∴． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形, ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 24．(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）将代入方程，求出，再根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程，得：， 解得：， 当时，方程为， 即， ，， 方程的另一个根是． 25．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再证明，即可． （2）先证明，得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 26．(1) (2)见解析 (3)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的性质是解决问题的关键，利用翻折的性质构造正方形是解决问题的难点． （1）过点A作于点K，证明四边形是矩形得，根据角平分线性质得，，由此可依据“”判定和全等，则，继而得，同理证明和全等得，继而得，根据得，由此即可得出的度数； （2）由（1）可知，据此即可得出结论； （3）将沿翻折得到，点H的对应点为M，将沿翻折得到，点H的对应点为N，设的延长线交于点T，设，则，根据翻折的性质证明四边形是正方形，则，，进而得，在中，由勾股定理可求出，继而可得出的长． 【详解】（1）解：过点A作于点K，如图1所示： ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）证明：由（1）可知：， ∴； （3）解：将沿翻折得到，点H的对应点为M，将沿翻折得到，点H的对应点为N，设的延长线交于点T，如图2所示： 设，则， 在中，，高， ∴， 由翻折的性质得：，，，，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 27．(1) (2)证明见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）由面积法可得，即可求解； （2）由角平分线的性质可得，由平行线的性质可得，可得，可得结论； （3）如图4，以点C为圆心，为半径作弧，交于点D，作的垂直平分线交于Q，连接，并延长交于点F，则点F为所求点． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∵，， ∴， ∴ ， ∴． （2）当时，平行四边形是菱形 证明如下： ∵ ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （3）如图，以点C为圆心，为半径作弧，交于点D，作的垂直平分线交于，连接，并延长交于点F，则点F为所求点．    理由如下：过作交于，过作交于，连接，交于，过作于，过作于， 由作图可得：，而， ∴，， 由作图可得： 作的垂直平分线交于， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定，基本作图等知识，理解新定义，并运用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $