2025-2026学年人教版数学七年级下册期末模拟测试题（二）

**基本信息** 以“无人机课程调查”“草原驮银分配”“纸盒制作方案”等真实情境为载体，融合抽象能力、模型意识与推理能力，实现基础巩固（如平方根、平行线性质）与创新应用（如动态几何、方案设计）的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|平方根、抽样调查、平移性质|第6题结合清代数学典籍设计“盈朒问题”，渗透文化传承| |填空题|6/24|坐标特征、不等式解集、频数计算|第16题定义“双控数”，考查数感与逻辑推理| |解答题|9/86|方程组、统计图表、几何证明、方案设计|23题纸盒制作关联方程组与不等式，24题租车方案强化模型应用，25题动态几何综合考查推理能力与空间观念|

人教版2025-2026学年七年级下册 期末模拟测试题（二） 满分150分，共120分钟 一、单选题（每小题4分，共40分） 1．9的平方根是(     ) A． B． C． D． 2．如图，已知 ，那么下列说法中正确的是（     ） A． B． C． D． 3．某中学初中三个年级有32个班，共1600名学生，现要调查这些学生的睡眠质量情况，下列抽样方式合适的是（    ） A．选取该校各班的班长和学习委员 B．在该校七、八年级的每个班中，随机选取5名学生 C．从该校的1600名学生中，随机选取100名女生 D．选取该校各班学号尾数为3的学生 4．估计的值应在（     ） A．和4之间 B．4和之间 C．和5之间 D．5和之间 5．如图，将沿射线平移至（点A、B、C的对应点分别是点D、E、F）处，使得点E为的中点，连接．若，则的长为（     ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 6．我国清代康熙年间编撰的数学典籍《御制数理精蕴》中，记载了诸多“盈朒问题”（即有余、不足类应用题），其解题思路与现代方程思想一脉相承．结合内蒙古草原牧区生活实际，可衍生如下问题：牧民合伙分配一批驮银，若每人分8锭，还剩余5锭；若每人分10锭，则缺少7锭．若设参与分配的牧民有人，驮银有锭，可列方程组为（ ） A．B．C． D． 7．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…，依次扩展下去，则的坐标为（   ） A． B． B． C． D． 10．已知整式，，其中，，…，，，，…，为自然数，m，n，，为正整数，．且满足，，下列说法： ①若，时，则满足条件的整式M共有3个； ②若时，则满足条件的整式M共有20个； ③若，，，则符合条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．在平面直角坐标系中，点在y轴上，则_______． 12．不等式的解集是__________． 13．一组数据的样本容量是90，若其中一个数出现的频率为0.3，则该数出现的频数为_________ ． 14．计算：______． 15．关于，的方程组（其中为整数）的解为整数，且关于的不等式的整数解的和为，则的最大值是________． 16．一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，若它的千位数字的倍与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和的倍，则称为“双控数”．例如：，因为各个数位上的数字互不相等，满足，所以是“双控数”．最小的“双控数”是________；将“双控数”的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数，记，若能被整除，是一个自然数的平方，则满足条件的所有的和是________． 三、解答题（每小题8分，共16分） 17．计算：． 18．解不等式组并求它的所有整数解的和． 四 、解答题（每小题10分，共70分） 19．解方程组： (1) (2) 20．科学教育是提升国家科技竞争力，培养创新人才，提高全民科学素质的重要基础．某学校计划在七年级开设“无人机”“创客”“人工智能”“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程．为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)参加问卷调查的学生有_______________名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）； (2)在扇形统计图中，选择“人工智能”课程的学生所占百分比是_______________，所对应的圆心角度数为_______________； (3)若该校七年级一共有1000名学生，试估计选择“航模”课程的学生有多少名？ 21．如图，， ，，求证：． 证明：， （已知）， ，（__________）． （__________）． ______________________（__________）． ___________（__________）． 又（已知）， ___________．（__________）． （__________）． 22．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． (1)点，的坐标分别为______、______． (2)点的坐标为，若点在轴上，请求出点的坐标，并在坐标系中描出点． (3)在（2）的条件下，为网格中的一点，且，，则点的坐标为______（写出一个即可）． 23．综合与实践：设计制作纸盒方案 如图，有两种无盖纸盒，制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片和3个长方形纸片，竖式无盖纸盒需要1个正方形纸片和4个长方形纸片． 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 ① n个竖式无盖纸盒 n ② (1)现要制作横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个，则表格中①应填_________；②应填_________．（用含m、n的式子表示） (2)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (3)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 24．综合与实践 生活中的数学：确定最省钱的租车方案 素材一 平安租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，下表是公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量 租用B型客车数量 租金总费用 3 2 3800 1 3 3600 素材二 A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位 素材三 “传承红色基因．立志科技报国．精进龙马精神”，二十八中以此为主题，组织本校师生参加重庆研学活动，最初计划租用A、B两种型号的大客车共18辆（每种型号至少一辆）送900名师生（含教官）参加此次活动，交通费支出预算为17600元， (1)根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号客车每辆的租金分别是多少元？ (2)请你设计租车方案？哪种租车方案最省钱？ 25．已知：，，E，G是上的点，F，H是上的点． (1)如图①，求证：； (2)如图②，点M在的延长线上，其中，，射线以每秒的速度绕点E逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点E顺时针旋转．当射线首次与重合时，两条射线都停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为t．当时，求的度数； (3)如图③，作，的角平分线交于点N，交于点P，作的角平分线交于点Q，当，求的值． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025-2026学年七年级下册 期末模拟测试题（二） 满分150分，共120分钟 一、单选题（每小题4分，共40分） 1．9的平方根是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∴9的平方根是 2．如图，已知 ，那么下列说法中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同位角相等判定两直线平行，再利用平行线的性质进行判断即可． 【详解】解：如图， ∵ ∴ ∴，故不一定成立，故B错误； ，故不一定成立，故A错误； ，故C正确； ，不一定成立，故D错误． 3．某中学初中三个年级有32个班，共1600名学生，现要调查这些学生的睡眠质量情况，下列抽样方式合适的是（    ） A．选取该校各班的班长和学习委员 B．在该校七、八年级的每个班中，随机选取5名学生 C．从该校的1600名学生中，随机选取100名女生 D．选取该校各班学号尾数为3的学生 【答案】D 【分析】判断抽样是否合适的依据是样本需具有代表性和广泛性，能够反映总体的特征，保证每个个体被抽取的机会均等． 【详解】解：A选项仅选取班长和学习委员，样本局限于特定学生群体，不具有代表性，因此A不合适； B选项仅选取七、八年级学生，遗漏九年级学生，样本不全面，不具有广泛性，因此B不合适； C选项仅选取女生，遗漏男生，样本偏向特定群体，不具有代表性，因此C不合适； D选项选取所有班级中学号尾数为3的学生，样本覆盖三个年级全体学生，每个学生被抽取的机会均等，具有代表性和广泛性，因此D合适． 4．估计的值应在（     ） A．和4之间 B．4和之间 C．和5之间 D．5和之间 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，即， 因此的值在4和4.5之间． 5．如图，将沿射线平移至（点A、B、C的对应点分别是点D、E、F）处，使得点E为的中点，连接．若，则的长为（     ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【答案】B 【详解】解：由平移的性质可得：，， ∵点为的中点， ∴， ∴． 6．我国清代康熙年间编撰的数学典籍《御制数理精蕴》中，记载了诸多“盈朒问题”（即有余、不足类应用题），其解题思路与现代方程思想一脉相承．结合内蒙古草原牧区生活实际，可衍生如下问题：牧民合伙分配一批驮银，若每人分8锭，还剩余5锭；若每人分10锭，则缺少7锭．若设参与分配的牧民有人，驮银有锭，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵参与分配的牧民有人，驮银有锭， 则当每人分锭，剩余锭时，总驮银， 当每人分锭，缺少锭时，总驮银， 因此可得方程组． 7．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠可得，，，，再根据平行线的性质，可得，最后计算即可． 【详解】解：由题可得，，，， ，， ， ， ， ． 8．关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式．首先利用方程组得到关于的表达式，再根据题意列出关于的一元一次不等式求解即可． 【详解】解： ①－②，得 整理，得． ∵的值不小于7 ∴，即， 解得． 9．如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…，依次扩展下去，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，解答此题的关键是找出点的分布规律，然后就可以进一步求得点的坐标．根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，点的点在第二象限，再根据第二项象限点的规律即可得出结论． 【详解】解：， 点在第二象限， ，，，， ， 当时，解得， ， 故选：． 10．已知整式，，其中，，…，，，，…，为自然数，m，n，，为正整数，．且满足，，下列说法： ①若，时，则满足条件的整式M共有3个； ②若时，则满足条件的整式M共有20个； ③若，，，则符合条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】需分类讨论计数，根据题目给出的系数条件，逐一验证三个说法，计数得到正确说法的个数即可． 【详解】解：验证①：当时，，且满足，，为自然数，为正整数， ∵， ∴，，， ∴，得， 当时，，且，得或，共2组解． 当时，，且，得，，共1组解． 时，和最小为，无解． ∴总共有组解，即满足条件的整式M共3个，故①正确． 验证②：当时，，， 设，，则，，为自然数，和为s的自然数解个数为， ∴总解数为，故②错误． 验证③：当，时，，，系数和分别为，， ∵， ∴，，，， 由，代入b的系数和得：，满足N的系数和要求，只需满足系数要求：，，（自然数），，，（正整数）． 由得或： 当时，，所有自然数解都满足条件，共5个解； 当时，，所有自然数解都满足条件，共4个解， ∴总共有个，并非13个，故③错误． 综上，只有1个正确说法． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．在平面直角坐标系中，点在y轴上，则_______． 【答案】 【分析】根据y轴上点的横坐标为0列出方程，即可求解a的值． 【详解】解：点在轴上， ， 解得． 12．不等式的解集是__________． 【答案】 【详解】解： ， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 13．一组数据的样本容量是90，若其中一个数出现的频率为0.3，则该数出现的频数为_________ ． 【答案】27 【详解】解：由题意得：， 则该数出现的频数为27． 14．计算：______． 【答案】 【详解】解：． 15．关于，的方程组（其中为整数）的解为整数，且关于的不等式的整数解的和为，则的最大值是________． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组，根据方程组的解为整数且为整数，得到所有符合条件的，再解一元一次不等式，根据不等式整数解的和为得到的取值范围，最后计算的最大值即可． 【详解】解：解方程组， 由②得， 代入①得 ， 整理得， 解得， 代入③得， ∵方程组的解为整数，为整数， ∴是的因数，即或， 分别计算得：当时，，，，符合条件； 当时，，，，不符合，舍去； 当时，，，，符合条件； 当时，，，，不符合，舍去； 综上，的可能取值为和，最大值为， 解不等式： 各项减得， 各项除以得：， 该取值内最多有个连续整数，由整数解的和为，得整数解为，，因此： ， 解得，故的最大值为， ∴的最大值为． 16．一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，若它的千位数字的倍与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和的倍，则称为“双控数”．例如：，因为各个数位上的数字互不相等，满足，所以是“双控数”．最小的“双控数”是________；将“双控数”的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数，记，若能被整除，是一个自然数的平方，则满足条件的所有的和是________． 【答案】 【分析】求最小的“双控数”时，要使四位数最小，需千位最小，再依次使百位、十位最小，结合“双控数”定义和各数位互不相等求解；第二问先根据的数位表示化简，再结合能被整除，是自然数的平方，得到关于的表达式，枚举所有可能情况，筛选出符合条件的，再求和． 【详解】解：①最小的“双控数” 是四位自然数，故， 要使最小，取最小，取最小， 由“双控数”定义得：，代入得：， 故为奇数，且互不相等，， 时，，重复，不符合； 时，，四个数字互不相等，符合， 故最小的“双控数”是； ②由题意得：， 交换后， ∴， 由得， 设，则， ∴ 又能被整除， ∴能被7整除，故能被7整除， 由是自然数的平方，得：（为自然数）， 故， 将代入得：， 由是个位数字，得，故， 即，是到之间的平方数，即， 结合，互不相等，枚举筛选得： 当时，无整数解； 当时，，，，符合题意，故； 当时，无整数解； 当时，，符合题意，故； 当时，无整数解； 当时，无整数解； 当时，无整数解； 当时，无整数解； 当时，无整数解； 符合条件的为和， 故所有的和为， 故答案为；． 三、解答题（每小题8分，共16分） 17．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 18．解不等式组并求它的所有整数解的和． 【答案】，它的所有整数解的和为 【详解】解： 由①得，； 由②得， ∴原不等式组的解集为： ∴它的所有整数解为，0，1， ∴所有整数解的和为：． 四 、解答题（每小题10分，共70分） 19．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得， 将代入①得：， 所以原方程组的解是； （2）（2）， 解：①得：， ②③得：， 解得， 将代入①得：， 所以原方程组的解是． 20．科学教育是提升国家科技竞争力，培养创新人才，提高全民科学素质的重要基础．某学校计划在七年级开设“无人机”“创客”“人工智能”“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程．为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． 请你根据以上信息解决下列问题： (1)参加问卷调查的学生有_______________名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）； (2)在扇形统计图中，选择“人工智能”课程的学生所占百分比是_______________，所对应的圆心角度数为_______________； (3)若该校七年级一共有1000名学生，试估计选择“航模”课程的学生有多少名？ 【答案】(1)50 补全条形统计图，如图所示， (2) ； (3)100名 【分析】（1）根据选择“无人机”课程的占比以及人数求解总人数即可，再由总人数求解“人工智能”课程的人数补全条形统计图即可； （2）根据选择“人工智能”课程的学生数可求解占比，再由占比乘即可求解圆心角； （3）根据共有50名学生，其中有5名学生选择“航模”课程，结合七年级总人数求解即可． 【详解】（1）解：从扇形统计图可知选择“无人机”课程的学生所占百分比为， 从条形统计图可知选择“无人机”课程的学生有15名， 可得参加问卷调查的学生人数为：（名）， “人工智能”课程的人数，即（名）， 条形统计图略； （2）解：选择“人工智能”课程的学生有20名，参加问卷调查的学生人数有50人， 则选择“人工智能”课程的学生所占百分比是； 所对应的圆心角度数为； （3）解：共有50名学生，其中有5名学生选择“航模”课程， 则（名）， 答：估计选择“航模”课程的学生有100名． 21．如图，， ，，求证：． 证明：， （已知）， ，（__________）． （__________）． ______________________（__________）． ___________（__________）． 又（已知）， ___________．（__________）． （__________）． 【答案】垂直的定义；等量代换；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】由，，先证明，再证明，从而可得答案． 【详解】略 22．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形网格的边长均为1． (1)点，的坐标分别为______、______． (2)点的坐标为，若点在轴上，请求出点的坐标，并在坐标系中描出点． (3)在（2）的条件下，为网格中的一点，且，，则点的坐标为______（写出一个即可）． 【答案】(1)，； (2)，图见解析； (3)． 【分析】本题考查平面直角坐标系，解决本题的关键是根据平面直角坐标系内点坐标的特点解决问题． 借助网格写出点、的坐标即可； 根据轴上的点的横坐标为可知，可知点的纵坐标为，根据点的坐标在平面直角坐标系中描出点即可； 根据，，在平面直角坐标系中画出图形，根据图形写出点的坐标． 【详解】（1）解：借助网格可知，点的坐标是，点的坐标是， 故答案为：，； （2）解：点的坐标为，点在轴上， ， ， 点的坐标是； 如下图所示，    （3）解：如下图所示，，， 点的坐标是，    故答案为：． 23．综合与实践：设计制作纸盒方案 如图，有两种无盖纸盒，制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片和3个长方形纸片，竖式无盖纸盒需要1个正方形纸片和4个长方形纸片． 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 ① n个竖式无盖纸盒 n ② (1)现要制作横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个，则表格中①应填_________；②应填_________．（用含m、n的式子表示） (2)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (3)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【答案】(1)； (2)能做成横式无盖纸盒60个，制作竖式无盖纸盒40个． (3)分配60名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． 【分析】（1）根据制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片，竖式无盖纸盒需要和4个长方形纸片列代数式即可． （2）能做成横式无盖纸盒x个，制作竖式无盖纸盒y个，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （3）设分配x名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，则一天生产长方形纸板张，生产正方形纸板张，设生产横式无盖纸盒k个，制作竖式无盖纸盒h个，配套要求，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片， 则制作横式无盖纸盒m个，则需要个正方形纸片， ∵竖式无盖纸盒需要4个长方形纸片． 则制作竖式无盖纸盒n个，则需要个长方形纸片， 故答案为：，． （2）解：能做成横式无盖纸盒x个，制作竖式无盖纸盒y个， ， 解得：， 答：能做成横式无盖纸盒60个，制作竖式无盖纸盒40个． （3）解：设分配x名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板， 则一天生产长方形纸板张，生产正方形纸板张， 设生产横式无盖纸盒k个，制作竖式无盖纸盒h个，配套要求， 根据题意得：， ∵， ∴原式变成， 解得：， ∴， 答：分配60名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． 24．综合与实践 生活中的数学：确定最省钱的租车方案 素材一 平安租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，下表是公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量 租用B型客车数量 租金总费用 3 2 3800 1 3 3600 素材二 A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位 素材三 “传承红色基因．立志科技报国．精进龙马精神”，二十八中以此为主题，组织本校师生参加重庆研学活动，最初计划租用A、B两种型号的大客车共18辆（每种型号至少一辆）送900名师生（含教官）参加此次活动，交通费支出预算为17600元， (1)根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号客车每辆的租金分别是多少元？ (2)请你设计租车方案？哪种租车方案最省钱？ 【答案】(1) 每辆型号客车的租金是600元，每辆型号客车的租金是1000元； (2) 共有三种可行租车方案：①租用A型1辆，B型17辆；②租用A型2辆，B型16辆；③租用A型3辆，B型15辆；最省钱的方案为租用A型3辆，B型15辆． 【分析】（1）设每辆A型号客车的租金是x元，每辆B型号客车的租金是y元，根据公司租车记录单上的部分信息，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用m辆A型号客车，则租用辆B型号客车，根据每种型号至少一辆，送900名师生（含教官）参加此次活动，交通费支出预算为17600元，可列出关于m的一元一次不等式组求解，即可得出各租车方案． 【详解】（1）解：设每辆型号客车的租金是元，每辆型号客车的租金是元， 根据题意得：， 解得， 答：每辆型号客车的租金是600元，每辆型号客车的租金是1000元； （2）解：设租用m辆A型号客车，则租用辆B型号客车， 根据题意得， 解得， 为正整数， 或或， 当时，则（辆），此时，租车费用为（元）， 当时，则（辆），此时，租车费用为（元）， 当时，则（辆），此时，租车费用为（元）， ∵， ∴ 最省钱的方案为租用A型3辆，B型15辆， 答：共有三种可行租车方案：①租用A型1辆，B型17辆；②租用A型2辆，B型16辆；③租用A型3辆，B型15辆；最省钱的方案为租用A型3辆，B型15辆． 25．已知：，，E，G是上的点，F，H是上的点． (1)如图①，求证：； (2)如图②，点M在的延长线上，其中，，射线以每秒的速度绕点E逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点E顺时针旋转．当射线首次与重合时，两条射线都停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为t．当时，求的度数； (3)如图③，作，的角平分线交于点N，交于点P，作的角平分线交于点Q，当，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质证明即可； （2）由题意得：，当时，运动停止．由得，然后分两种情况，根据角的和差列方程求解即可； （3）由题意设，则，根据角平分线和平行线的性质得到，则，则，过点作，则，由平行线的传递性可得，则，则，即可求解比值． 【详解】（1）证明：如图①， ， ， ， ， ； （2）解：由题意得：，当时，运动停止． 由得， ①当时，， 解得， ， ， ②当时，， 解得， ， ， 综上所述，的度数为或； （3）解：， 设，则， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， 过点作， ， ， ， ， ， ， ． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $