精品解析：上海市延安中学2025-2026学年第二学期期末考试高二年级数学试卷

上海市延安中学2026学年第二学期期末考试 高二年级数学试卷 （考试时间：90分钟满分100分） 一、填空题（本大题共12题，满分36分，每题3分） 1. 已知事件 满足 ，则 ______． 2. 样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的75百分位数为______． 3. 在一个关于AI智能助手的准确率测试中，有三种不同的AI模型 ，，．模型 的准确率为，模型的准确率为 ，模型的准确率为．已知选择模型 ，，的概率分别为，，．现随机选取一个模型进行测试，则准确率为______． 4. 现有下表所示的一组观测数据： 2 4 5 6 8 30 40 60 70 80 若 与 的线性回归方程为 ，则对应的残差为______． 5. 已知事件相互独立，且，则_____. 6. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________. 7. 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图．在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取的人数为______． 8. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为______． 9. 已知，则的值为________． 10. 设有两个罐子，A罐中放有2个白球，1个黑球，B罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现在从两个罐子中各摸1个球进行交换，则这样交换4次后，黑球还在A罐中的概率为______． 11. 一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______. 12. 设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称与在上是“度和谐函数”，称为“度密切区间”．设函数与在上是“度和谐函数”，则的取值范围是________． 二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分） 13. 某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛.若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 14. 设随机变量，则（ ） A. 1 B. C. D. 15. 对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 16. 设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系与、、、的取值有关 三、解答题（本大题共5题，满分52分） 17. 一个口袋中有9个球，白球4个，黑球5个，现从中取出3个球，求下列事件的概率． （1）取出的三个球均为黑球； （2）取出的三个球中两个是白球，另一个是黑球． 18. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用X表示． （1）如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； （2）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率． 19. 已知的展开式中，二项式系数和为256. （1）求n的值； （2）求该展开式中的常数项； （3）求该展开式中所有的有理项. 20. AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略．某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表． 购买AI手机 购买无AI技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 （1）从这90位女性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买AI手机的概率（精确到0.01）； （2）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由； （3）为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为X元，求随机变量X的数学期望．参考公式及数据：①，其中 ． ② ． 21. 已知函数． （1）若函数，求函数的单调区间； （2）若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市延安中学2026学年第二学期期末考试 高二年级数学试卷 （考试时间：90分钟满分100分） 一、填空题（本大题共12题，满分36分，每题3分） 1. 已知事件 满足 ，则 ______． 【答案】0.6## 【解析】 【详解】因为 ， 所以 . 2. 样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的75百分位数为______． 【答案】 【解析】 【分析】按照百分位数的定义易得. 【详解】因，故这组数据的75百分位数为按照从小到大顺序排列后的第8个数，即为7. 故答案为：7. 3. 在一个关于AI智能助手的准确率测试中，有三种不同的AI模型 ，，．模型 的准确率为，模型的准确率为 ，模型的准确率为．已知选择模型 ，，的概率分别为，，．现随机选取一个模型进行测试，则准确率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式，将选择各模型的概率与对应模型的准确率相乘后求和，即可得到最终准确率. 【详解】设事件为选取模型 ，为选取模型，为选取模型，事件为测试结果准确， 由题意可得： ， ， ， 条件概率 ， ， ， 根据全概率公式可得：. 4. 现有下表所示的一组观测数据： 2 4 5 6 8 30 40 60 70 80 若 与 的线性回归方程为 ，则对应的残差为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据给定的线性回归方程计算时的预测值，再用对应的实际观测值减去预测值得到残差． 【详解】由观测表格可得，当时，对应的实际观测值 ， 将代入线性回归方程 ，计算预测值： ； 计算残差： ． 5. 已知事件相互独立，且，则_____. 【答案】## 【解析】 【详解】因为事件相互独立，所以 6. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________. 【答案】96 【解析】 【详解】试题分析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种 考点：排列、组合及简单计数问题 7. 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图．在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取的人数为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为 ，所以 ， 所以考核成绩在的频率为 ，成绩在的频率为 ，在 的频率为 ， 因为样本容量为，所以考核成绩在的学生人数为 ， 成绩在的学生人数为 ，在 的学生人数为 ， 这组学生总人数为 ， 设在考核成绩在的学生中抽取 人，由分层抽样的定义可知，抽样比为， 则 ，故应在考核成绩为的学生中抽取 人. 8. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件结合正态分布的性质求出，再利用赋值法求出系数和. 【详解】因为，所以，解得， 代入可得， 令，可得展开式各项系数和为. 故答案为： . 9. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】对已知二项展开式两边关于 求导，代入即可求得目标式的值. 【详解】， 两边对 求导可得：， 即， 令可得， . 10. 设有两个罐子，A罐中放有2个白球，1个黑球，B罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同．现在从两个罐子中各摸1个球进行交换，则这样交换4次后，黑球还在A罐中的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设表示事件“交换 次后，黑球还在 罐中”，求出 ，再由 ，即可得到，从而得到是等比数列，首项为，公比为，即可求出 ，从而求出 . 【详解】设表示事件“交换 次后，黑球还在 罐中”， 一次交换后黑球还在 罐中，即从 罐中摸到的是白球，所以， 事件的发生分成两个互斥事件：发生的情况下，从 罐中摸到的是白球， 或者是不发生时，从罐中摸到的是黑球， 所以， 所以，而， 所以是等比数列，首项为，公比为， 所以，即． 所以，即交换4次后，黑球还在A罐中的概率为. 11. 一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______. 【答案】82 【解析】 【分析】分①②③④四边同色，①②③④只有三边同色时，另一边不同色时，①②③④每两个同色时三种情况讨论，结合分步乘法计数原理即可求解． 【详解】解： ①②同色时，矩形A另外两边有 种方法染色， ①②不同色时，矩形A另外两边有种方法染色，同理其他区域也一样， 则（1）①②③④四边同色，此时共有种； （2）当①②③④只有三边同色，另一边与其不同色时，此时共有种， （3）当①②③④每两个同色时，若①③同色，②④同色，则有种； 若①②同色，③④同色，则有种； 若①④同色，②③同色，则有种； 此时共有种； 综上，共有种． 12. 设函数与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称与在上是“ 度和谐函数”，称为“ 度密切区间”．设函数与在上是“度和谐函数”，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由“度和谐函数”，得到对任意的，，都有，化简整理得，令，求出的最值，只要不大于最小值，且不小于最大值即可． 【详解】函数与在，上是“度和谐函数”， 对任意的，，都有， 即有，即， 令，， 时，，时， ， 时，取极小值1，也为最小值， 故在，上的最小值是1，最大值是． 且， ． 故答案为：. 【点睛】本题考查函数新定义及运用、考查不等式的恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意转化为求函数的最值. 二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分） 13. 某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛.若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的概念进行判断即可. 【详解】因为19位同学的积分，中位数是第10名，所以知道中位数即可判断是否在前10. 故选：C 14. 设随机变量，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，则， ． 15. 对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的四组数据的散点图，结合相关系数的含义，即可求解. 【详解】由给定的四组数据的散点图可以看成： 图（1）和图（3）是正相关，且图（1）中的数据更加集中，更接近 ，所以 ； 图（2）和图（4）是负相关，且图（2）中的数据更加集中，更接近，所以 ， 综上可得，. 16. 设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系与、、、的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机变量的取值情况，计算出它们的期望和方差，再借助均值不等式即可判断作答. 【详解】由随机变量的取值情况，它们的期望分别为：， ，即， ， 则 同理， 则 则 ， 因为 所以， 因为，不能取等号，所以，所以 所以. 故选：A. 三、解答题（本大题共5题，满分52分） 17. 一个口袋中有9个球，白球4个，黑球5个，现从中取出3个球，求下列事件的概率． （1）取出的三个球均为黑球； （2）取出的三个球中两个是白球，另一个是黑球． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用组合数算出答案即可； （2）利用组合数算出答案即可. 【详解】（1）取出的三个球均为黑球的概率为 （2）取出的三个球中两个是白球，另一个是黑球的概率为 18. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用X表示． （1）如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差； （2）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率． 【答案】（1），； （2）﹒ 【解析】 【分析】(1)利用茎叶图中的数据以及平均数与方差的计算公式即可求解； (2)分别列出所有基本事件以及符合题意的基本事件的种数，利用古典概型即可求解． 【小问1详解】 当时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8，8，9，10， ∴平均数， 方差； 【小问2详解】 记甲组四名同学分别为，，，，他们植树的棵数依次为9，9，11，11； 乙组四名同学分别为，，，，他们植树的棵数依次为9，8，9，10， 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，即，，，，，，，，，，，，，，，， 用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是，，，， 故所求概率． 19. 已知的展开式中，二项式系数和为256. （1）求n的值； （2）求该展开式中的常数项； （3）求该展开式中所有的有理项. 【答案】（1） 8 （2） 1792 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数和的性质，即二项式系数和为，可求出 的值； （2）先写出二项展开式的通项公式，再令通项公式中 的指数为 ，求出对应的值，进而得到常数项； （3）根据有理项的定义，即 的指数为整数，结合通项公式确定的取值，从而得到所有的有理项． 【小问1详解】 由二项式系数和为，得． 【小问2详解】 展开式的通项为， 令，得，故常数项为． 【小问3详解】 要使为整数，需为 的倍数，又，故． 当时，； 当时，； 当时，． 故有理项为． 20. AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略．某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表． 购买AI手机 购买无AI技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 （1）从这90位女性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买AI手机的概率（精确到0.01）； （2）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由； （3）为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖．每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立．记某位顾客两次抽中的奖金之和为X元，求随机变量X的数学期望．参考公式及数据：①，其中 ． ② ． 【答案】（1）0.85 （2）有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关 （3） 【解析】 【分析】（1）利用对立事件将“至少2位购买AI手机”转化为计算“0位或1位购买”的概率，结合古典概型组合公式求解； （2）代入列联表数据计算卡方统计量，与临界值6.635比较判断相关性； （3）通过期望可加性计算随机变量的数学期望. 【小问1详解】 “抽取的4人中至少2位购买AI手机”的对立事件为“0人或1人购买AI手机”，所以至少有2位购买AI手机的概率为 ； 【小问2详解】 ， 所以有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关； 【小问3详解】 设第次抽奖获得的奖金为 ，则的可能取值为 ， ，，， 所以的分布列为： 单次抽奖期望， 两次抽奖相互独立，总奖金，则 21. 已知函数． （1）若函数，求函数的单调区间； （2）若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当 时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）先化简，求导得，按与 分类，根据导数的正负判断单调区间； （2）①有两个零点等价于，求的单调性与最大值，结合图象得； ②由零点条件将不等式转化为，代入，换元，构造函数，求导分析单调性得． 【小问1详解】 由题意得的定义域为，， 当时，，则在区间内单调递增； 当 时，由 ，得，（舍去）， 当时，，单调递增，当时， ，单调递减． 所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当 时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 ①依题意，函数的定义域为， 所以函数有两个不同的零点， 可得方程在有两个不同根， 得到函数与函数的图象在上有两个不同交点， 又，当时，，单调递增； 当时， ，单调递减，所以． 又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，， 如图，的图象如下： 可见，要想函数与函数在图象上有两个不同交点，只需． ②由①可知分别为方程的两个根，即，， 所以原式等价于． 因为，，所以原式等价于． 又由，作差得，，即， 所以原式等价于． 因为，原式恒成立，即恒成立， 令，，则不等式在上恒成立． 令，则． 当时，可见时，，所以在上单调递增， 又，在恒成立，符合题意； 当时，可见当时，；当时，， 所以在时单调递增，在时单调递减． 又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $