第一章 空间向量与立体几何（暑假单元自测）新高二数学人教B版

**基本信息** 高中数学“空间向量与立体几何”单元自测卷，覆盖向量运算、法向量、空间几何证明与计算等核心知识，题型分层设计，注重数学思维与空间观念培养，适配暑假单元巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|向量共线条件、法向量应用、空间几何体性质|第6题结合《九章算术》“堑堵”情境，体现文化传承；多选题第11题以正方体动点问题，考查空间轨迹分析| |填空题|3/15|对称点坐标、向量夹角、线面平行|第14题正方体动点轨迹问题，培养几何直观与空间观念| |解答题|5/77|平行六面体向量表示、四棱锥线面垂直、圆台体积与二面角|第18题圆台与动点存在性问题，综合体积计算与空间夹角，发展推理意识与运算能力|

第一章 空间向量与立体几何 单元自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 5．在以下命题中，不正确的个数为（    ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数 ，使； ③对空间任意一点 和不共线的三点 ，若，则 四点共面； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底. A．1 B．2 C．3 D．0 6．我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 7．在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 8．若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为．已知球经过点，且与平面相切，则球的表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 10．如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（    ） A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 11．如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段和线段上的动点，且，则下列说法正确的有（    ）    A． B．三棱锥的体积最大值为1 C．若为中点时，则点到直线的距离为 D．三棱锥外接球球心轨迹的长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 13．若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 14．在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 16．（15分） 如图，在平行六面体中，为中点， ， ，设，，，以为空间的一个基底． (1)用基底表示向量，并求出线段的长度； (2)直线与平面 交于点求的值 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面平面，， ，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分） 如图，在圆台中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为．为下底面圆周上一点，，为的中点，连接． (1)证明：平面； (2)若在下底面以为圆心，以为半径的圆上存在一点，使得． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 19．（17分） 如图，在直三棱柱中，为的中点，，且． (1)证明：平面； (2)若，二面角的平面角为． ①求与平面所成角的正弦值； ②点在面内，且三棱锥的体积为，求点轨迹的长度． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 单元自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因，则， 又，且，则＝＝，解得． 2．如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 3．在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 又的面积， 所以三棱锥的体积. 4．若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线与平面所成角为， 则. 5．在以下命题中，不正确的个数为（    ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数 ，使； ③对空间任意一点 和不共线的三点 ，若，则 四点共面； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【解析】对于①，当向量、同向时，， 则不是共线的充要条件，①错误； 对于②，当为零向量，不是零向量时，不存在 使成立，②错误； 对于③，若 四点共面，则存在唯一 使得， 则，即， 而，因此，此方程无解，③错误； 对于④，因为为空间的一个基底，则不共面， 故不存在不全为0的使得； 假设不是空间的另一个基底，即存在不全为0的， 使得， 即，这与为空间的一个基底矛盾， 故假设不成立，所以构成空间的另一个基底，故④正确. 所以给定命题中不正确的个数为3. 6．我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. 7．在平行六面体中，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用空间向量的线性运算可知， 所以， 即, 由于, 所以，， 所以，故 ，即， 故平行四边形为矩形， 8．若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为．已知球经过点，且与平面相切，则球的表面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由平面的方程可化为， 则平面的一个法向量为，且过点， 又球经过点，则， 所以点到平面的距离为， 所以球半径最小值为，故球表面积的最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 【答案】ACD 【解析】由题意，因为，，， 所以，故选项A错误； 因为，所以AP⊥AD，故选项B正确； 因为，所以AP与AB不垂直，故选项C错误； 若是平面ABCD的一个法向量，则平面ABCD，因为AB平面ABCD，所以 ,矛盾，所以不是平面ABCD的一个法向量，故选项D错误. 10．如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（    ） A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 【答案】AC 【解析】选项A，由点在线段上，且，所以， 所以，即，所以， 由点，分别是边和的中点，连接，如图所示： 所以， 所以，故A正确； 选项B，由题意知，且向量两两夹角为， 所以， 由， 所以 ， 所以，故B错误； 选项C，由，故C正确， 选项D，向量在方向上的投影向量为：，故D错误. 11．如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段和线段上的动点，且，则下列说法正确的有（    ）    A． B．三棱锥的体积最大值为1 C．若为中点时，则点到直线的距离为 D．三棱锥外接球球心轨迹的长度为 【答案】AC 【解析】 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，， 则，， 因，所以，故A正确； ， 当且仅当，即时成立，故B错误； 若为中点时，则,，， ，， ，，， ，故C正确； 设三棱锥的外接球球心为， 因为平面，则， 因为为直角三角形，球心在与平行的中垂线上， 所以，， 则球心为，球心的轨迹为一条线段， 当时，球心为，当时，球心为， 轨迹长度为，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 【答案】 【解析】因为空间点关于坐标平面对称时，坐标取反，坐标不变， 所以关于坐标平面的对称点为， 因为空间点关于轴对称时，坐标不变，坐标都取反， 所以关于轴的对称点为， 所以． 13．若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 【答案】 【解析】根据题意与的夹角为钝角， 则，解得； 若两向量方向相反，则存在，使得， 即，解得， 故有且， 所以实数的取值范围为. 14．在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若平面，则的最小值是_______. 【答案】 【解析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设点，其中， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ， 因为平面，则，即， 所以， 因为，则当时，取最小值， 即的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 【解析】（1）因为，， 所以， . （2）， ， ， 所以与的夹角为； （3）， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 16．（15分） 如图，在平行六面体中，为中点， ， ，设，，，以为空间的一个基底． (1)用基底表示向量，并求出线段的长度； (2)直线与平面 交于点求的值 【解析】（1）由题意， ， 因为 为 的中点， 所以 . 所以 . 因为 ，且 － ， 所以 ， 所以 ，即线段的长度为. （2）设 ， 因为点在平面 上， 所以关于基底 的系数之和为1， 即 ，解得 . 所以 . 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面平面，， ，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为平面平面，，平面平面，平面， 可得平面，则， 又因为，，平面， 所以平面. （2）取的中点，连结，， 因为，所以， 且 平面，平面 平面，平面平面， 所以平面，且平面，所以， 又因为，所以， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令 ，则，可得， 则， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 18．（17分） 如图，在圆台中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为．为下底面圆周上一点，，为的中点，连接． (1)证明：平面； (2)若在下底面以为圆心，以为半径的圆上存在一点，使得． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）在圆台中，，分别为上下底面的圆心，有平面，由于平面，所以．且，，平面，，所以平面． （2）由圆台体积公式可得解得． 由于，，两两相交且垂直， 则以为一组正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，， 因为的中点，则． （ⅰ）设，则． 则，， 由于，即存在,使得, 即，解得，，，即， 所以半径． （ⅱ）由于平面， 不妨设平面的一个法向量． 设平面的一个法向量， 有，即，故可取． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 19．（17分） 如图，在直三棱柱中，为的中点，，且． (1)证明：平面； (2)若，二面角的平面角为． ①求与平面所成角的正弦值； ②点在面内，且三棱锥的体积为，求点轨迹的长度． 【解析】（1）在直三棱柱中，平面，由平面，得， 由为的中点，，得，又，平面， 所以平面 （2）①在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则，， 设平面的法向量，则，取，得， 而平面的法向量，由二面角的平面角为， 得，解得，，， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. ②由（1）得，则， 由三棱锥的体积为，得到平面的距离为， 由点在侧面上，设，则， 因此到平面的距离为， 点轨迹方程为，而， 则在侧面上的轨迹是线段，所以的轨迹长度为. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $