第二讲 直线与平面平行-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（2019人教B版选择性必修第一册）

第二讲 直线与平面平行 【学习目标】 1．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理。 2．能利用直线与平面平行的判定定理和性质定理解决空间中的平行关系问题。 3．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题。 【基础知识】 一、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 二、直线与平面平行的判定定理及性质定理 1．直线与平面平行的判定定理 (1)内容：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。(如图所示) (2)符号表示：⇒l∥α (3)对于直线与平面平行的判定定理的理解 ①定理可简记为“线线平行，则线面平行”． ②用该定理证明直线a与平面α平行时，三个条件：a⊄α，b⊂α，a∥b缺一不可． 2．直线与平面平行的性质定理 (1)内容：如果一条直线和一个平面平行 ，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。(如图所示) (2)符号表示：⇒l∥m (3)对于直线与平面平行的性质定理的理解 ①定理可简记为“线面平行，则线线平行”． ②定理中有三个条件：直线a∥平面α，直线a⊂平面β，α∩β＝b，这三个条件缺一不可． 【考点剖析】 考点一：直线与平面的位置关系的理解 例1 下列关于直线a与平面α平行的条件中，不正确的是________． ①b⊂α，a∥b ②b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c ③b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BD ④a⊄α，b⊂α，a∥b 【解析】　若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α，故①错误．若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α，故②错误．若b⊂α，A、B∈α，C、D∈b，且AC＝BD，则a∥α或a⊂α，或a与α相交，故③错误．对④是线面平行判定定理不可缺少的条件，故④正确． 【答案】　①②③ 考点二：直线与平面平行的判定 例2 如图所示，M，N分别是底面为矩形的四棱锥P­ABCD的棱AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD． 【证明】　如图所示，取PD的中点E，连结AE，NE， ∵N是PC的中点， ∴EN∥DC，EN＝eq \f(1,2)DC． 又∵AM∥CD，AM＝eq \f(1,2)CD， ∴NE∥AM，NE＝AM． ∴四边形AMNE是平行四边形． ∴MN∥AE． 又∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD． 考点三：直线与平面平行的性质 例3 已知空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD． 【证明】　连接BD，在△ABD中，因为E，F分别是AB，AD的中点， 所以EF∥BD， 又因为BD⊂平面BCD， EF⊄平面BCD， 所以EF∥平面BCD． 考点四：直线与平面平行的判定定理在截面中的应用 例4 一个长方体木块如图所示，要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开，应该怎样画线？ 【解析】　在平面A1C1内，过点P作EF∥B1C1， 分别交A1B1，C1D1于E，F． 连结BE，CF，则BE，CF和EF就是所要画的线，如图． 【答案】 见解析 【真题演练】 1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　) A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 【解析】 直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线均无公共点． 【答案】 D 2．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(　　) A．α内的所有直线均与a异面 B．α内不存在与a平行的直线 C．α内直线均与a相交 D．直线a与平面α有公共点 【解析】 由于直线a不平行于平面α，则a在α内或a与α相交，故A错；当a⊂α时，在平面α内存在与a平行的直线，故B错；因为α内的直线也可能与a平行或异面，故C错；由线面平行的定义知D正确． 【答案】 D 3．如图所示，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( ) A．EF与BC相交 B．EF∥BC C．EF与BC异面 D．以上均有可能 【解析】 由线面平行的性质定理可得EF∥BC． 【答案】 B 4．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是(　　) A．直线m在平面α外 B．直线m与平面α内的两条直线平行 C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行 D．直线m与平面α内的一条直线平行 【解析】　选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m