假期必刷23 空间向量与立体几何-【快乐假期必刷题】2025年高二数学暑假作业必刷题

假期必刷２３ 思维整合室 １．a１b１＋a２b２＋a３b３　a１＝λb１,a２＝λb２,a３＝λb３ a１b１＋a２b２＋a３b３＝０　 a２１＋a２２＋a２３ ２．u１􀅰u２＝０　u􀅰n＝０　n１􀅰n２＝０ ３．(１) u 􀅰v |u||v| 　 |u􀅰v| |u||v|　 (２) u 􀅰n |u||n| 　 |u􀅰n| |u||n| (３) n１ 􀅰n２ |n１||n２| 　 |n１􀅰n２| |n１||n２| ４．(１)a２－(a􀅰u)２　(２)|AP →􀅰n| |n| 技能提升台 １．解:建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(０,０,０),B(２ ３,２,０),C(０,４, ０),C１(０,４,４)． ∵N 是CC１ 的中点, ∴N(０,４,２)． (１)AN→＝(０,４,２),AB→＝(２ ３,２,０), 则|AN→|＝２ ５,|AB→|＝４． 设点N 到直线AB 的距离为d１, 则d１＝ |AN→|２－ AN→􀅰AB→ |AB→| æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ２０－４＝４． (２)设平面ABN 的一个法向量为n＝(x,y,z), 则 n􀅰AB→＝２ ３x＋２y＝０, n􀅰AN→＝４y＋２z＝０,{ 令z＝２,则y＝－１,x＝ ３３ , 即n＝ ３ ３ ,－１,２ æ è ç ö ø ÷． 易知C１N →＝(０,０,－２), 设点C１ 到平面ABN 的距离为d２, 则d２＝ C１N →􀅰n |n| ＝ |－４| ４ ３ ３ ＝ ３． ２．解:(１)△AEF 中,AE＝２５AD＝２ ３ , AF＝１２AB＝４ ,∠EAF＝３０° ∴cos∠EAF＝AE ２＋AF２－EF２ ２AE􀅰AF ＝ １２＋１６－EF２ ２×２ ３×４ ＝ ３２ ,∴EF＝２ ∴EF２＋AE２＝AF２,∴AE⊥EF,∴PE⊥EF,DE⊥EF PE∩DE＝E,PE,DE⊂平面PDE,∴EF⊥平面PDE 又∵PD⊂平面PDE,∴EF⊥PD． (２)DE＝５ ３－２ ３＝３ ３,CD＝３,∠CDE＝９０°, ∴CE２＝３６,CE＝６ PE＝AE＝２ ３,∴PE２＋CE２＝PC２,∴PE⊥CE 又∵PE⊥EF,EF∩CE＝E,EF,CE⊂平面DEF, ∴PE⊥平面DEF,∴PE⊥ED,即EF,ED,EP 两两垂直 以EF,ED,EP 分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角 坐标系EＧxyz,则 P(０,０,２ ３),D(０,３ ３,０),F(２,０,０),A(０,－２ ３,０), B(４,２ ３,０),C(３,３ ３,０),则PD→＝(０,３ ３,－２ ３),CD→ ＝(－３,０,０),PB→＝(４,２ ３,－２ ３),BF→＝(－２,－２ ３,０) 设平面PCD 的法向量n１＝(x１,y１,z１) n１􀅰PD →＝０ n１􀅰CD →＝０{ ,∴ ３ ３y１－２ ３z１＝０ －３x１＝０{ 不妨设y１＝２,则z１＝３,x１＝０,n１＝(０,２,３) 设平面PBF 的法向量n２＝(x２,y２,z２) n２􀅰PB →＝０ n２􀅰BF →＝０{ ∴ ４x２＋２ ３y２－２ ３z２＝０ －２x２－２ ３y２＝０{ 不妨设x２＝３,则y２＝－１,z２＝１,n２＝(３,－１,１) 设平面PCD 与平面PBF 所成的二面角为α cos‹n１,n２›＝ n１􀅰n２ |n１||n２| ＝ １ １３× ５ ＝ ６５６５ , sinα＝８ ６５６５ ． ３．解:(１)取PD 的中点为S,连接SF,SC,则SF∥ED,SF ＝１２ED＝１ , 而ED∥BC,ED＝２BC,故SF∥BC,SF＝BC,故四边形 SFBC为平行四边形, 故BF∥SC,而BF⊄平面PCD,SC⊂平面PCD, 所以BF∥平面PCD． (２)因为ED＝２,故AE＝１,故AE∥BC,AE＝BC, 故四边形AECB 为平行四边形,故CE∥AB,所以CE⊥ 平面PAD, 而PE,ED⊂平面PAD,故CE⊥PE,CE⊥ED,而PE⊥ED, 故建立如图所示的空间直角坐 标系, 则A(０,－１,０),B(１,－１,０), C(１,０,０),D(０,２,０),P(０,０,２), 则PA→＝(０,－１,－２),PB→＝ (１,－１,－２),PC→＝(１,０,－２), PD→＝(０,２,－２), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０１１ 设平面PAB 的法向量为m＝(x,y,z), 则由 m􀅰PA→＝０ m􀅰PB→＝０{ ,可得 －y－２z＝０ x－y－２z＝０{ ,取m＝(０,－２,１)． 设平面PCD的法向量为n＝(a,b,c), 则由 n􀅰PC→＝０ n􀅰PD→＝０{ 可得 a－２c＝０ ２b－２c＝０{ ,取n＝(２,１,１), 故cos‹m,n›＝ －１ ５× ６ ＝－ ３０３０ , 故平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值为 ３０３０ ． ４．解:(１)证明:∵BC∥AD,AD＝４,BC＝２． 又 M 为AD 的中点,∴DM＝２ ∴BC􀱀DM, ∴四边形BCDM 为平行四边形, ∴BM∥CD, ∵BM⊄平面CDE,CD⊂平面CDE, ∴BM∥平面CDE． (２)取AM 的中点G,连接BG,FG, 在△ABM 中,AB＝BM＝AM＝２, ∴BG⊥AD,且BG＝ ３, ∵M 为AD 的中点,∴EF􀱀DM ∴四边形 MDEF 为平行四边形, ∴FM＝DE＝AF＝ １０, ∴△AMF 为等腰三角形 ∴FG⊥AM 且FG＝３, 在△BGF 中,BG＝ ３,FG＝３,又 FB＝２ ３, ∴BG２＋FG２＝FB２ ∴BG⊥FG ∴以G 为坐标原点,GB,GD,GF 所在直线分别为x 轴,y 轴,z轴 建立空间直角坐标系如图, 则B(３,０,０),F(０,０,３),M(０,１,０),E(０,２,３), ∴MB→＝(３,－１,０),ME→＝(０,１,３),MF→＝(０,－１,３) 设平面FBM 的法向量为m＝(x１,y１,z１) 则 m⊥MB→, m⊥MF→,{ ∴ ３x１－y１＝０, －y１＋３z１＝０,{ 令z１＝１,则y１＝３,x１＝ ３, ∴平面FBM 的一个法向量为m＝(３,３,１)． 设平面EBM 的法向量为n＝(x２,y２,z２), 则 n⊥MB→, n⊥ME→,{ ∴ ３x２－y２＝０, y２＋３z２＝０,{ 令z２＝－１,则y２＝３,x２＝ ３, ∴平面EBM 的一个法向量为n＝(３,３,－１), 设二面角FＧMBＧE 的大小为α,则 cosα＝|cos‹m,n›|＝ m 􀅰n |m||n| ＝ １１ １３ , ∴sinα＝４ ３１３ ． ∴二面角FＧBMＧE 的正弦值为４ ３１３ ． ５．解:(１)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥BC． 又AD⊥PB,且AP∩BP＝P,AP,BP⊂平面PAB,所以 AD⊥平面PAB．在△ABC中,因为AC＝２,BC＝１,AB＝ ３, 所以AC２＝BC２＋AB２,即AB⊥BC,又AP⊥BC,且AP∩AB ＝A,AP,AB⊂PAB,所以BC⊥平面PAB．因此,AD∥BC, 又AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC． (２)过D 点作DE∥PA,则DE ⊥平面ABCD,以D 为坐标原 点,分别以DA,DC,DE为x轴, y轴,z轴建立空间直角坐标系． 设DA＝m,DC＝n,其中m２＋n２ ＝４,则A(m,０,０),C(０,n,０), P(m,０,２), 所以AP→＝(０,０,２),CP→＝(m,－n,２),DC→＝(０,n,０)． 设平面APC的法向量为n＝(x,y,z), 则 n⊥AP → n⊥CP →{ ,即 ２z＝０ , mx－ny＋２z＝０,{ 令x＝n,则y＝m, 所以n＝(n,m,０); 设平面DPC的法向量为v＝(x,y,z), 同理可得v＝(２,０,－m)． 因为二面角 AＧPCＧD 为锐二面角,所以其余弦值为 ７７ , 因此 ７ ７＝|cos ‹n,v›|＝ ２n m２＋n２ ４＋m２ ,解得m＝ ３, 即AD＝ ３． ６．解:(１)证明:∵四边形ABCD 为平行四边形, AC∩BD＝O, ∴O 为BD 中点, ∵M 为PD 中点, ∴OM∥PB,OM⊄平面PBC,PB⊂平面PBC,∴OM∥ 平面PBC． (２)证明:∵四边形ABCD 为平行四边形,AC∩BD＝O, ∴O 为AC,BD 中点, ∵PB＝PD,PA＝PC, ∴PO⊥AC,PO⊥BD,AC∩BD＝O, ∵PO⊥平面ABCD, ∴AD⊥PO, 又AD⊥BD,BD∩PO＝O, ∴AD⊥平面PBD,AD⊂平面PAD, ∴平面PAD⊥平面PBD． (３)以DA,DB 所在直线分别为 x 轴、y 轴,过 D 且与平面ABＧ CD 垂直的直线为z 轴,建立如 图所示空间直角坐标系, ∵AD＝BD＝２,AD⊥BD, ∴BC⊥BD,BC＝２,AB＝CD＝２ ２, ∵PB⊥PD,PB＝PD, ∴PB＝PD＝ ２,PO＝１, ∵AD＝２,AD⊥BD,DO＝１, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １１１ ∴AO＝ ５＝OC,∴A(２,０,０),P(０,１,１),B(０,２,０), C(－２,２,０), PA→＝(２,－１,－１),PB→＝(０,１,－１),PC→＝(－２,１,－１), 设平面PAB 和平面PBC 的法向量分别为n１＝(x１,y１, －１),n２＝(x２,y２,－１), 则n１,n２ 夹角的补角θ就是二面角AＧPBＧC 的平面角, 由 n１􀅰PA →＝２x１－y１＋１＝０, n１􀅰PB →＝y１＋１＝０,{ 和 n２􀅰PB →＝y２＋１＝０, n２􀅰PC →＝－２x２＋y２＋１＝０,{ 解得 x１＝－１, y１＝－１,{ 和 x２＝０, y２＝－１．{ ∴n１＝(－１,－１,－１),n２＝(０,－１,－１), ∴cosθ＝－ n１􀅰n２ |n１||n２| ＝－２ ６ ＝－ ６３ , ∴二面角AＧPBＧC 的余弦值为－ ６３． 假期必刷２４ 思维整合室 １．y＝kx＋b　y－y０＝k(x－x０)　 y－y１ y２－y１ ＝ x－x１ x２－x１ x a ＋ y b ＝１ ２．(１)k１＝k２　平行　(２)k１􀅰k２＝－１　垂直 ３．定长　D２＋E２－４F＞０　 －D２ ,－E２( ) 技能提升台 １．B　[所求直线的斜率为－１２ ,由所求直线过点(０,１), 则直线方程为y＝－１２x＋１ ,即x＋２y－２＝０．] ２．A　[由题意可知,圆心 M 的横坐标为０＋４２ ＝２ ,纵坐标为 ２＋４ ２ ＝３ ,即 点 M (２,３),圆 M 的 半 径 为|MP１|＝ (２－０)２＋(３－２)２＝５,因此,圆 M 的标准方程为(x－２)２ ＋(y－３)２＝５．] ３．D　[直线l∶y＝k(x－２)＋１经过定点P(２,１), ∴kPA＝ ３－１ １－２＝－２ ,kPB＝ －１－１ －２－２＝ １ ２． 又直线l∶y＝k(x－２)＋１与线段AB 相交, ∴－２≤k≤１２． ] ４．C　[设圆的方程为(x＋１)２＋(y－１)２＝R２, 经过坐标原点(０,０),则R２＝２． 所以(x＋１)２＋(y－１)２＝２,即x２＋y２＋２x－２y＝０．] ５．D　[设A(３,３),B(２,１),C(７,０)．假设甲错误,乙、丙、丁 正确,|AB|＝ １＋２２＝ ５,|BC|＝ ５２＋１＝ ２６,|AB|≠ |BC|,矛盾,所以甲正确．假设乙错误,甲、丙、丁正确, 由甲、丙正确可知圆的方程为(x－２)２＋(y－１)２＝５, C(７,０)不满足上式,矛盾,所以乙正确．假设丙错误,甲、 乙、丁正确．由乙、丁得|AC|＝ ４２＋３２＝５＞２ ５,与半径 为 ５矛盾,所以丙正确．假设丁错误,甲、乙、丙正确,则由 甲、丙可知圆的方程为(x－２)２＋(y－１)２＝５,A(３,３)满 足上式,符合题意．综上所述,结论错误的同学是丁．] ６．D　[由题意,直线y＝－３x＋b与直线y＝ax＋２关于直 线y＝－x对称,所以直线y＝ax＋２上的点(０,２)关于直 线y＝－x的对称点(－２,０)在直线y＝－３x＋b上,所以 (－３)×(－２)＋b＝０,所以b＝－６,所以直线y＝－３x－６ 上的点(０,－６)关于直线y＝－x的对称点(６,０)在直线y ＝ax＋２上,所以６a＋２＝０,所以a＝－１３． ] ７．D　[整理直线方程得:(x＋y－２)＋(３x＋２y－５)λ＝０, 由 x＋y－２＝０, ３x＋２y－５＝０,{ 解得 x＝１, y＝１,{ ∴P(１,１),由圆的方程知 圆心C(－２,－１),半径r＝１,∴|MP|max＝|CP|＋r ＝ (－２－１)２＋(－１－１)２＋１＝ １３＋１．] ８．ABC　[当直线经过原点时,斜率k＝２－０１－０＝２ , 所求直线方程为y＝２x,即２x－y＝０． 当直线不经过原点时,设所求直线方程为x±y＝k, 把点A(１,２)代入可得１－２＝k或１＋２＝k,求得k＝－１ 或k＝３, 故所求的直线方程为x－y＋１＝０或x＋y－３＝０．] ９．ABD　[设△ABC 的外接圆M 的方程为x２＋y２＋Dx＋ Ey＋F＝０(D２＋E２－４F＞０), 则 １＋４－D＋２E＋F＝０, ４＋１＋２D＋E＋F＝０, ９＋１６＋３D＋４E＋F＝０, { 解 得 D＝－２, E＝－６, F＝５． { 所 以 △ABC 的外接圆M 的方程为x２＋y２－２x－６y＋５＝０, 即(x－１)２＋(y－３)２＝５． 故圆 M 的圆心坐标为(１,３),圆 M 的半径为 ５, 因为直线x＋y＝０不经过圆 M 的圆心(１,３), 所以圆 M 不关于直线x＋y＝０对称． 因为(２－１)２＋(３－３)２＝１＜５, 故点(２,３)在圆 M 内．] １０．AB　[圆C的标准方程为(x＋１)２＋(y－２)２＝５－a, 故a＜５． 又因为弦AB 的中点为M(０,１), 故 M 点在圆内, 所以(０＋１)２＋(１－２)２＜５－a,即a＜３． 综上可知a＜３．] １１．解析:直线l１:x＋ay＝１,l２:ax＋y＝１, 当l１∥l２ 时,a２－１＝０,解得a＝±１． 当a＝１时,l１ 与l２ 重合,不满足题意; 当a＝－１时,l１∥l２, 则l１:x－y－１＝０,l２:x－y＋１＝０, 则l１ 与l２ 的距离为d＝ |－１－１| １２＋(－１)２ ＝ ２． 答案:２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２１１ 　　　　假期必刷２３　空间向量与立体几何　　　　　　　　　　 １．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a１,a２,a３),b＝(b１,b２,b３)． 向量表示 坐标表示 数量积 a􀅰b 　　　　　 共线 a＝λb(b≠０,λ∈R) 　　　　　 垂直 a􀅰b＝０(a≠０,b≠０) 　　　　　 模 |a| 　　　　　 夹角 ‹a,b›(a≠０,b≠０) cos‹a,b›＝ a１b１＋a２b２＋a３b３ a２１＋a２２＋a２３􀅰 b２１＋b２２＋b２３ ２．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l１,l２ 的 方 向 向量分别为u１,u２ l１∥l２ u１∥u２⇔u１＝λu２ l１⊥l２ u１⊥u２⇔　　　　　 直线l的方向向量 为u,平面α的法向 量为n l∥α u⊥n⇔　　　　　 l⊥α u∥n⇔u＝λn 平面α,β的法向量 分别为n１,n２ α∥β n１∥n２⇔n１＝λn２ α⊥β n１⊥n２⇔　　　 ３．用空间向量求空间角 (１)两条异面直线所成的角 设异面直线l１,l２ 所成的角为θ,其方向向 量分别为u,v,则cosθ＝|cos‹u,v›|＝ 　　　　＝　　　　． (２)直线和平面所成的角 直线AB 与平面α相交于B,设直线AB 与 平面α所成的角为θ,直线AB 的方向向量 为u,平 面α 的 法 向 量 为n,则 sinθ＝ |cos‹u,n›|＝　　　　＝　　　　． (３)平面与平面的夹角 ①两平面的夹角:平面α与平面β相交,形成 四个二面角,我们把这四个二面角中不大于 ９０°的二面角称为平面α与平面β的夹角． ②两平面夹角的计算:设平面α,β的法向 量分别是n１,n２,平面α与平面β的夹角为θ, 则cosθ＝|cos‹n１,n２›|＝　　　　　　　 ＝　　　　　　． ４．用空间向量求距离 (１)点P 到直线l的距离 设AP → ＝a,u是直线l的单 位方向向量,则向量AP → 在 直线l上的投影向量AQ → ＝ (a􀅰u)u．在 Rt△APQ 中,由勾股定理,得 PQ＝ |AP → |２－|AQ → |２＝　　　　　． (２)点P 到平面α的距离 若平面α的法向量为n,平面α 内一点为A,则平面α外一点 P 到 平 面 α 的 距 离 d ＝ AP →􀅰 n |n| ＝　　　　　 ,如 图所示． (３)线面距离、面面距离都可以转化为点到平 面的距离． １．如 图,在 正 三 棱 柱 ABC－ A１B１C１ 中,各棱长均为４,N 是CC１ 的中点． (１)求点 N 到 直 线 AB 的 距离; (２)求点C１ 到平面ABN 的距离． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６４ ２．(２０２４􀅰 新课标 Ⅱ 卷)如图,平面四边 形ABCD 中,AB＝ ８,CD＝３,AD＝５ ３,∠ADC ＝９０°, ∠BAD＝３０°,点 E,F 分 别 满 足AE → ＝２５ AD → ,AF → ＝１２AB → ,将△AEF 沿EF 翻折至 △PEF,使得PC＝４ ３． (１)证明:EF⊥PD; (２)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面 角的正弦值． ３．(２０２４􀅰北京卷)已知 四棱锥 PＧABCD,AD ∥BC,AB＝BC＝１, AD＝３,DE＝PE＝２, E 是AD 上 一 点,PE ⊥AD． (１)若 F 是 PE 中 点,证 明:BF ∥ 平 面PCD． (２)若AB⊥平面PAD,求平面PAB 与平 面PCD 夹角的余弦值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７４ ４．(２０２４􀅰全国甲卷(理))如 图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,四边 形 ABCD 与 四 边 形 ADEF 均为等腰梯形,EF ∥AD,BC∥AD,AD＝４,AB＝BC＝EF＝ ２,ED＝ １０,FB＝２ ３,M 为AD 的中点． (１)证明:BM∥平面CDE; (２)求二面角FＧBMＧE 的正弦值． ５．(２０２４􀅰 新课标 Ⅰ 卷)如图,四棱锥PＧ ABCD 中,PA⊥底 面ABCD,PA＝AC ＝２,BC ＝１,AB ＝ ３． (１)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC; (２)若AD⊥DC,且二面角AＧCPＧD 的正弦 值为 ４２ ７ ,求AD． ６．(２０２５􀅰珠海高二模拟) 如 图,四 棱 锥 PＧABCD 中,四边形 ABCD 为平 行四边形,AD⊥BD,AC ∩BD＝O,AD＝BD＝２,PB⊥PD,PB＝ PD,PA＝PC,M 为PD 中点． (１)求证:OM∥平面PBC; (２)求证:平面PAD⊥平面PBD; (３)求二面角AＧPBＧC 的余弦值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８４