第08讲 两条直线的位置关系（8考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019选择性必修第一册）

第08讲 两条直线的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能根据直线的斜率或直线的法向量判定两条直线相交、平行、重合或垂直. 2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3．能利用两条直线的平行、垂直关系，求直线方程. 知识点 1 两条直线的相交、平行与重合 1.斜截式方程下的结论： 2.一般式方程下的结论：对于两条直线， 法向量分别为v1=(A1,B1)，v2=(A2,B2) （1）相交的充要条件是两法向量不共线，即：； （2）平行或重合的充要条件是两法向量共线，即：A1,B2=A2B1 （3）l1∥l2⇔ 知识点2 两条直线的垂直 1.斜截式方程下的结论： 2.一般式方程下的结论：对于两条直线， 法向量分别为v1=(A1,B1)，v2=(A2,B2) v1·v2=0⇔. 考点一：两条直线平行的判断 例1.（2024高二·全国·专题练习）已知经过，经过，，求证：． 【变式1-1】（23-24高二·全国·课堂例题）已知直线的倾斜角为135°，直线经过点（1，0）且斜率为－1，则两直线一定平行吗？ 【变式1-2】（2023高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)，； (2)，； (3)，. 【变式1-3】（22-23高二·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，． 考点二：两条直线垂直的判断 例2.（23-24高二上·江苏·课前预习）（1）若直线，直线，则的充要条件为 ； （2）若直线，直线，则的充要条件为 . 【变式2-1】（多选）（23-24高二上·山西朔州·阶段练习）下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）关于直线：，则下列结论正确的是（    ） A．倾斜角为 B．为直线的一个方向向量 C．在轴上的截距为 D．与直线垂直 【变式2-3】（22-23高二·全国·课堂例题）解答下列各题： (1)已知四点，，，，求证：； (2)已知直线，，求证：． 考点三：根据两条直线平行求参数 例3.（23-24高二下·上海黄浦·期中）已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为 ． 【变式3-1】（23-24高二上·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 【变式3-2】（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（2024·陕西西安·二模）已知直线过点和点，直线：，若，则 . 考点四：根据两条直线垂直求参数 例4.（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【变式4-1】（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式4-2】（23-24高二下·上海·期中）若直线和直线垂直，则 ． 【变式4-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线与直线相互垂直， ． 考点五：求两条直线的交点 例5.（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线，设直线的交点为. (1)求点的坐标； (2)若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【变式5-1】（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线：，直线：，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或重合 【变式5-2】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线和，则直线和的交点为 . 考点六：平行、垂直条件下求直线方程 例6（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）求经过直线与直线的交点M，且分别满足下列条件的直线方程： (1)与直线平行； (2)与直线垂直. 【变式6-1】（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与，则下列说法正确的是（    ） A．与的交点坐标是 B．过与的交点且与垂直的直线的方程为 C．，与x轴围成的三角形的面积是 D．的倾斜角是锐角 【变式6-2】（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，， AB边上的高CD所在直线方程为，则直线AB的方程为 ． 【变式6-3】（23-24高二上·海南海口·阶段练习）已知直线过点，且与直线垂直，则直线在轴上的截距为 . 考点七：根据两直线的交点、交点个数求参数 例7.（多选）（22-23高二上·全国·期中）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【变式7-1】（20-21高二·全国·课后作业）（多选）若三条直线，与共有两个交点，则实数a的值为（    ）． A．1 B．2 C．－2 D．－1 【变式7-2】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 . 【变式7-3】（2022·上海奉贤·二模）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 考点八：平行、垂直在几何图形中的应用 例8.（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于点P．求证：.    【变式8-1】（2022高二·全国·专题练习）已知，试判断四边形的形状． 【变式8-2】（23-24高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【变式8-3】（2024高三·全国·专题练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． 试判断四边形的形状，并给出证明. 1．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知直线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）直线的方向向量是，则下列选项中的直线与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·浙江·期中）已知直线和直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则表示与轴平行或重合的直线 B．直线可以表示任意一条直线 C．若，则 D．若，则 4．（多选）（23-24高二上·宁夏·阶段练习）下列直线中，与垂直的是（    ） A． B． C． D． 5.（23-24高二上·青海西宁·期中）已知直线和互相垂直，则 ． 6．（23-24高二下·四川泸州·期末）直线与直线平行，则 7.（23-24高二上·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 8．（23-24高二上·上海·课后作业）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 9．（23-24高二上·广东肇庆·阶段练习）已知点求： (1)求过两点的直线的斜率； (2)边上的高所在直线方程； 10.（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 两条直线的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能根据直线的斜率或直线的法向量判定两条直线相交、平行、重合或垂直. 2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3．能利用两条直线的平行、垂直关系，求直线方程. 知识点 1 两条直线的相交、平行与重合 1.斜截式方程下的结论： 2.一般式方程下的结论：对于两条直线， 法向量分别为v1=(A1,B1)，v2=(A2,B2) （1）相交的充要条件是两法向量不共线，即：； （2）平行或重合的充要条件是两法向量共线，即：A1,B2=A2B1 （3）l1∥l2⇔ 知识点2 两条直线的垂直 1.斜截式方程下的结论： 2.一般式方程下的结论：对于两条直线， 法向量分别为v1=(A1,B1)，v2=(A2,B2) v1·v2=0⇔. 考点一：两条直线平行的判断 例1.（2024高二·全国·专题练习）已知经过，经过，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】求出直线的斜率，说明两直线不重合，根据斜率相等，即可证明结论. 【详解】证明：由题意得直线的斜率为， 直线的斜率为， 又，, 即不共线，即不重合， 因为，∴. 【变式1-1】（23-24高二·全国·课堂例题）已知直线的倾斜角为135°，直线经过点（1，0）且斜率为－1，则两直线一定平行吗？ 【答案】答案见解析 【详解】不一定．直线的斜率，与直线的斜率相等． 故当直线经过点（1，0）时，直线与重合； 当直线不经过点（1，0）时，直线与平行． 【变式1-2】（2023高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)，； (2)，； (3)，. 【答案】(1)不平行也不垂直 (2)平行 (3)不平行也不垂直 【分析】先判断直线是否存在斜率，若不存在，则易判断两直线位置关系；若不存在，则求出斜率，并判断斜率是否相等，或乘积是否为-1，斜率相等时注意是否重合即可. 【详解】（1）由题意得：，故即不平行也不垂直； （2）由题意得：且，故平行； （3）因为，所以重合，即即不平行也不垂直. 【变式1-3】（22-23高二·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)不平行，理由见解析 【分析】分别写出直线，的斜率，即可判断出其位置关系. 【详解】（1）由直线，的方程可知两直线的斜率分别为， 又直线，在y轴上的截距分别为1和， 所以与不重合，从而； （2）由直线，的方程可知两直线的斜率分别为， 所以与不平行． 考点二：两条直线垂直的判断 例2.（23-24高二上·江苏·课前预习）（1）若直线，直线，则的充要条件为 ； （2）若直线，直线，则的充要条件为 . 【答案】 【分析】根据直线垂直的性质进行填空. 【详解】（1）若直线，直线，则的充要条件； （2）若直线，直线， 则的充要条件为. 故答案为：， 【变式2-1】（多选）（23-24高二上·山西朔州·阶段练习）下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】 由两条直线斜率相乘为-1，判断两直线的垂直. 【详解】直线的斜率为4，则与直线垂直的直线的斜率为，符合条件的为B、C项. 故选：BC 【变式2-2】（多选）（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）关于直线：，则下列结论正确的是（    ） A．倾斜角为 B．为直线的一个方向向量 C．在轴上的截距为 D．与直线垂直 【答案】BD 【分析】由直线方程确定斜率，即得倾斜角，根据其斜截式确定截距、方向向量判断A、B、C；由两直线斜率关系判断D. 【详解】直线可写为，故斜率为，易知其倾斜角为，A错； 在轴上的截距为，且为直线的一个方向向量，B对，C错； 由的斜率为，显然，故两线垂直，D对. 故选：BD 【变式2-3】（22-23高二·全国·课堂例题）解答下列各题： (1)已知四点，，，，求证：； (2)已知直线，，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）由斜率公式求出直线的斜率，证明垂直； （2）根据直线方程求出的斜率，证明垂直. 【详解】（1）由斜率公式，得，， 则，所以． （2）由，的方程可知，它们的斜率，， 从而，所以． 考点三：根据两条直线平行求参数 例3.（23-24高二下·上海黄浦·期中）已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为 ． 【答案】 【分析】通过三条直线两两平行或重合，以及三条线经过同一点计算的取值即可. 【详解】当与平行或重合时，， 当与平行或重合时，，解得， 当与平行或重合时，，此时无解； 当三条直线经过同一点时，联立，解得， 故的取值所构成的集合为. 故答案为： 【变式3-1】（23-24高二上·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（    ） A．-2 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据直线平行求出即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或1，经检验均满足题意， 所以实数的所有取值之和为. 故选：B 【变式3-2】（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线平行的等价条件求出，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】因为两条直线平行， 所以直线斜率相等或斜率不存在， 当两直线斜率不存在时，即，两直线为，成立； 当两直线斜率存在时，即，解得，两直线为成立， 综上或. 所以“”是“两条直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3-3】（2024·陕西西安·二模）已知直线过点和点，直线：，若，则 . 【答案】 【分析】由斜率公式得到，再利用点斜式得到直线的方程，最后利用两直线平行的充要条件解出即可. 【详解】直线的斜率，所以直线方程为，即， 因为，所以， 故答案为：. 考点四：根据两条直线垂直求参数 例4.（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【答案】C 【分析】利用垂直可求，根据垂足坐标可求，进而可得答案. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以. 故选：C 【变式4-1】（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】当时可得，即；当时可得，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，， 即，则，即； 当时，，解得. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 【变式4-2】（23-24高二下·上海·期中）若直线和直线垂直，则 ． 【答案】 【分析】利用两直线垂直斜率乘积为计算可得. 【详解】易知直线的斜率为， 直线的斜率为, 由两直线垂直可得，解得. 故答案为： 【变式4-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线与直线相互垂直， ． 【答案】 【分析】由已知结合直线垂直条件可建立关于a的方程，从而可求得结果. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以. 故答案为： 考点五：求两条直线的交点 例5.（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线，设直线的交点为. (1)求点的坐标； (2)若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）将两直线方程联立求解，即得交点坐标； （2）结合图形理解，直线在两坐标轴上的截距相等包括直线斜率为或经过原点，分别求直线方程即得. 【详解】（1）联立方程解得. （2）直线在两坐标轴上的截距相等， 直线的斜率为或经过原点. ①当直线过原点时，直线过点， 的方程为； ②当直线斜率为时，直线过点， 的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【变式5-1】（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线：，直线：，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或重合 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论直线的位置关系. 【详解】直线可化为， 所以当时，两直线重合； 当时，两直线相交. 故选：D 【变式5-2】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出两直线的交点坐标，再利用二倍角的正切公式求出直线的斜率即可求解. 【详解】由，解得，即所求方程的直线过点， 令直线的倾斜角为，则，显然是锐角， 因此所求方程的直线斜率， 所以所求的直线方程为，即. 故选：C 【变式5-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线和，则直线和的交点为 . 【答案】 【分析】通过联立方程组的方法来求得两直线的交点坐标. 【详解】联立，解得. 直线和的交点为. 故答案为： 考点六：平行、垂直条件下求直线方程 例6（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）求经过直线与直线的交点M，且分别满足下列条件的直线方程： (1)与直线平行； (2)与直线垂直. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）解方程组求出点的坐标，设出直线方程，利用待定系数法求解即提. 【详解】（1）由，解得，即点， 设所求直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为. （2）由（1）知，点，设所求直线方程为， 则，解得， 所以所求方程为. 【变式6-1】（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与，则下列说法正确的是（    ） A．与的交点坐标是 B．过与的交点且与垂直的直线的方程为 C．，与x轴围成的三角形的面积是 D．的倾斜角是锐角 【答案】BC 【分析】由已知联立方程即可求解直线的交点坐标可判断A；由直线垂直确定垂直的直线的斜率则可求得直线方程，即可判断B；根据直线与直线的位置确定，与x轴围成的三角形的对应坐标即可得面积，从而可判断C；由直线斜率与倾斜角的关系即可判断D. 【详解】与 可得，， 解得交点坐标为，所以A错误； 由所求直线与直线垂直得所求直线的斜率为， 由点斜式得，即，所以B正确； 如图，与轴相交于，与轴相交于， 与相交于    所以，与x轴围成的三角形的面积，所以C正确； 的斜率，所以的倾斜角是钝角，所以D错误. 故选：BC. 【变式6-2】（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，， AB边上的高CD所在直线方程为，则直线AB的方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线垂直可得直线AB的斜率，进而根据点斜式写出方程即可. 【详解】由题意，CD所在直线方程为，即，斜率为， 所以直线AB的斜率为， 所以直线AB的方程为，即. 故答案为：. 【变式6-3】（23-24高二上·海南海口·阶段练习）已知直线过点，且与直线垂直，则直线在轴上的截距为 . 【答案】 【分析】由垂直关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程，化为斜截式即可求. 【详解】由直线，得， 设直线的斜率为，则由直线与直线垂直， 则，则直线为，即， 即直线在轴上的截距为. 故答案为： 考点七：根据两直线的交点、交点个数求参数 例7.（多选）（22-23高二上·全国·期中）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】AC 【分析】联立直线方程，求出交点坐标，根据交点所在象限列出不等式组即可求解. 【详解】联立方程， 解得 ， 因为交点在第四象限， 可得，解得 故选：AC. 【变式7-1】（20-21高二·全国·课后作业）（多选）若三条直线，与共有两个交点，则实数a的值为（    ）． A．1 B．2 C．－2 D．－1 【答案】AC 【分析】由交点个数分析可得三条直线中，有两条直线互相平行，结合斜率分析即得解 【详解】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行． ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行． ∵的斜率为1，的斜率为－2，的斜率为a， ∴或时，两直线分别平行且不重合，符合题意 故选：AC 【变式7-2】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 . 【答案】 【分析】联立方程组，求得两直线的交点坐标，代入直线，即可求解. 【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点为， 将点代入直线，可得，解得， 即实数的值为. 故答案为：. 【变式7-3】（2022·上海奉贤·二模）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 【答案】/ 【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件 【详解】由，可得， 由关于，的方程组有唯一解， 可得方程有唯一解，则 故答案为： 考点八：平行、垂直在几何图形中的应用 例8.（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于点P．求证：.    【答案】证明见解析 【分析】建立平面直角坐标系，由已知条件得出点A、E的坐标，求得直线AD、BE的方程，然后求交点P坐标，由得到AP和CP垂直． 【详解】以BC所在直线为x轴，BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，    设等边三角形ABC的边长为6，则， ∵， ∴直线AD的方程为，即，① ∵， ∴直线BE的方程为，即，② 联立①②解得，则， ∵， ∴，∴AP⊥CP． 【变式8-1】（2022高二·全国·专题练习）已知，试判断四边形的形状． 【答案】矩形 【分析】根据直线平行、垂直求得正确答案. 【详解】由题意，可得， ∴． ∴，． ∴四边形为平行四边形． 又， ∴直线与垂直，即． ∴四边形为矩形．    【变式8-2】（23-24高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析. 【分析】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【详解】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 【变式8-3】（2024高三·全国·专题练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． 试判断四边形的形状，并给出证明. 【答案】直角梯形；证明见解析． 【分析】 由各点坐标可求得四边的斜率，再由平行和垂直的斜率表示即可得出结论. 【详解】 由已知可判断四边形是直角梯形， 证明如下：因为，，，． 由斜率公式得，，，， 所以，，即且不平行， 所以四边形是梯形， 又因为，所以， 综上，四边形是直角梯形； 1．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知直线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行列式计算即可. 【详解】由题意可知，，所以，且. 故选：B. 2．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）直线的方向向量是，则下列选项中的直线与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的方向向量可得其斜率为，进而得到与直线垂直的直线的斜率为，分别计算各选项的斜率即可判断. 【详解】因为直线的方向向量是，所以直线斜率， 所以与直线垂直的直线的斜率为. 对于选项A:由，可得斜率为，故选项A正确； 对于选项B:由，可得斜率为，故选项B错误； 对于选项C:由，可得斜率为，故选项C错误； 对于选项D:由，可得斜率为，故选项D错误. 故选：A. 3．（多选）（23-24高二下·浙江·期中）已知直线和直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则表示与轴平行或重合的直线 B．直线可以表示任意一条直线 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用线线平行、线线垂直的性质可直接判断. 【详解】对于A，当时，斜率为0，与轴平行或重合，故A正确； 对于B，当时，斜率不存在，当时，斜率存在，能表示任意直线，故B正确； 对于C，若，且或，则，故C错误； 对于D，若，则由可得斜率之积为-1，故，若，可得，此时满足，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故，故D正确. 故选：ABD. 4．（多选）（23-24高二上·宁夏·阶段练习）下列直线中，与垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据垂直满足的斜率关系即可求解. 【详解】直线的斜率为，故与其垂直的直线斜率为， 对于ACD, 斜率为,符合， 对于B，斜率为，不符合， 故选：ACD 5.（23-24高二上·青海西宁·期中）已知直线和互相垂直，则 ． 【答案】 【分析】利用两直线垂直充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值. 【详解】直线和互相垂直， 则，解之得. 故答案为：. 6．（23-24高二下·四川泸州·期末）直线与直线平行，则 【答案】2 【分析】两直线斜率存在时，由两直线平行，可得斜率相等，进而可求解. 【详解】由，可得，所以直线的斜率为， 所以的斜率存在，且为 由两直线平行，可得，解得或， 经检验，，两直线重合，符合题意. 故答案为：2. 7.（23-24高二上·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据两直线相交的条件即可求解. 【详解】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 故答案为： 8．（23-24高二上·上海·课后作业）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 【答案】证明见解析 【分析】利用向量共线定理证明，再证明其长度不等即可. 【详解】， ，且不在一条直线上， 则直线与直线平行，且， 则四边形是梯形. 9．（23-24高二上·广东肇庆·阶段练习）已知点求： (1)求过两点的直线的斜率； (2)边上的高所在直线方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点斜率公式求解斜率即可； （2）根据斜率公式以及垂直关系得高所在直线斜率，即可求解. 【详解】（1）由可得； （2）由可得， 所以边上的高所在直线的斜率为， 由点，所以边上的高所在直线方程为. 10.（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】（1）根据两直线相交可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （3）根据两直线重合可得出关于实数的方程，即可解得实数的值. 【详解】（1）解：已知，直线， 若与相交，则，即，解得且. （2）解：已知，直线， 若与平行，则，即，解得. （3）解：已知，直线， 若与重合，则，即，解得. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$