第05讲 坐标法、直线的倾斜角与斜率（暑假预习讲义）新高二数学人教B版

第05讲 坐标法、直线的倾斜角与斜率 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：坐标系基本公式应用 题型 2：求直线倾斜角 题型 3：求直线斜率 题型 4：倾斜角与斜率的变化关系 题型 5：斜率公式应用 题型 6：线线相交求斜率 / 倾斜角范围 题型 7：直线的方向向量与法向量 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 坐标法 直线的倾斜角 直线的斜率 斜率计算公式 倾斜角与斜率的关系 直线的方向向量 直线的法向量 1. 理解坐标法的基本思想，掌握平面直角坐标系中的两点间距离公式、中点坐标公式等基本公式，能运用坐标法将几何问题转化为代数问题求解。 2. 理解直线倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围与几何意义，能根据直线的位置特征确定倾斜角的大小或取值范围。 3. 理解直线斜率的定义，掌握过两点的直线斜率计算公式，能根据已知条件准确求解直线的斜率。 4. 掌握倾斜角与斜率的对应变化关系，理解斜率随倾斜角的变化规律，能解决直线与线段相交时的斜率、倾斜角取值范围问题。 5. 理解直线的方向向量与法向量的概念，掌握方向向量、法向量与直线斜率之间的转化关系，能结合向量知识分析直线的位置特征。 学习重点：坐标法的基本思想与应用，直线倾斜角与斜率的定义，过两点的斜率计算公式，倾斜角与斜率的变化关系。 学习难点：倾斜角与斜率的动态变化规律，直线与线段相交的斜率 / 倾斜角范围求解，方向向量、法向量与斜率的相互转化，坐标法在几何问题中的灵活应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 数轴上、平面直角坐标系的基本公式 1．数轴上的基本公式 如果数轴上点，线段的中点为，则 （1）向量的坐标为； （2）； （3）． 2．平面直角坐标系的基本公式 已知是平面直角坐标系中的两点，是线段的中点，则 （1）； （2） （3） 即时即练在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴､y轴的距离分别为6､4，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知点M在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离判断坐标.因为点M在第四象限， 所以其横、纵坐标分别为正数、负数， 又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4， 所以点M的坐标为(4，-6) . 故选：A 知识点02 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线与轴相交时,我们以轴为基准, 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 2．倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 直线 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 图示 即时即练已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 知识点03 直线的斜率 1．斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2．斜率与倾斜角的关系 设直线的倾斜角为,斜率为 的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180° k的范围 k=0 不存在 k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 3．直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式： 即时即练直线的斜率为（    ） A．0 B． C． D．不存在 【答案】B 【解析】因为（， 为常数），其中 为直线的斜率， 为直线在 轴上的截距， 将直线 与斜截式方程 进行对比，可得 ，， 因此，直线 的斜率为 . 故选：B. 知识点04 直线的方向向量 1．定义：一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，则称向量为直线的一个方向向量，记作 2．性质：（1）如果为直线的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量都是的一个方向向量，而且直线的任意两个方向向量一定共线． （2）如果是直线上两个不同的点，则是直线的一个方向向量． （3）若为直线的倾斜角，则一定是直线的一个方向向量． （4）如果已知为直线的一个方向向量，则当时，直线的斜率不存在，倾斜角为；当时，直线的斜率是存在的，直线的斜率，即． 即时即练已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线的方向向量为可知直线斜率， 又因为倾斜角，且，所以. 故选：C 知识点05 直线的法向量 1．定义：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线垂直，则称向量为直线的一个法向量．记作． 2．一条直线的方向向量与法向量互相垂直．特别地，当不全为0时，向量与互相垂直，其中一个是直线的方向向量，另一个时直线的法向量． 即时即练关于直线，下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．向量是直线的一个方向向量 C．直线经过点 D．向量是直线的一个法向量 【答案】B 【解析】关于直线，化为， 设倾斜角为，则斜率，解得，故A错误； 直线经过点，故C错误； 由于，在直线上，，，即， 故向量是直线的一个方向向量，故B正确； 由于，故，故其一个法向量，故D错误. 故选：B． 题型 1：坐标系基本公式应用 【典例1-1】（2026·高二·北京房山·期中）在平面直角坐标系xOy中，设点，，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知中点的坐标为. 故选：A 【典例1-2】（2026·高二·浙江金华·期中）已知点，，若，则（    ） A．1 B．-5 C．1或-5 D．-1或5 【答案】C 【解析】因为点，，所以， 所以，则. 故选：C. 【变式1-1】（2026·高二·山东德州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，那么线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以中点的坐标为，即． 故选：A． 【变式1-2】（2026·高二·安徽安庆·阶段检测）如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设第四个顶点为， 当是对角线时，则有， 当是对角线时，则有， 当是对角线时，则有， 故选：A 【变式1-3】（2026·高二·江苏连云港·期中）已知点，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得：线段AB的中点坐标为，即. 故选：A. 题型 2：求直线倾斜角 【典例2-1】（2026·高二·江西赣州·阶段检测）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】由题意，直线为垂直于轴的直线， 根据直线倾斜角的定义，可判断其倾斜角为. 【典例2-2】（2026·高二·上海·期中）直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率为， 设倾斜角为，则， ． 【变式2-1】（2026·高二·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 【变式2-2】（2026·高二·广东潮州·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线与轴垂直，故倾斜角为. 【变式2-3】（2026·高二·浙江·期中）对于直线，下面叙述正确的是（    ） A．斜率是1 B．斜率是 C．倾斜角是 D．倾斜角是 【答案】B 【解析】直线，即为，所以斜率是，故A错误，B正确； 设直线的倾斜角为， 则，可得，所以倾斜角是，故CD错误. 题型 3：求直线斜率 【典例3-1】（2026·高二·四川宜宾·期末）直线的斜率为（   ） A．不存在 B．0 C．3 D．1 【答案】B 【解析】的倾斜角为，斜率,故 【典例3-2】关于直线的倾斜角和斜率，下列正确的个数是（   ） ①任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；③平行于轴的直线的倾斜角是0或；④两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；⑤直线斜率的范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】对于①，任一条直线都有倾斜角，但当直线的倾斜角为时，此直线的斜率不存在，所以①不正确； 对于②，当直线的倾斜角大于时，它的斜率为负数，而倾斜角为锐角时，其斜率为正数，大于所有负数， 所以不能说直线的倾斜角越大，它的斜率就越大，所以②不正确； 对于③，平行于轴的直线的倾斜角只能是0，所以③不正确； 对于④，一般地，两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；但如果这两条直线的倾斜角都是， 它们斜率都不存在，也就不能说它们斜率相等，所以④不正确； 对于⑤，直线斜率的范围是，满足定义，所以⑤正确． 故选：A． 【变式3-1】（2026·高二·河北·阶段检测）直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线，可得，所以直线的斜率为. 故选：D. 题型 4：倾斜角与斜率的变化关系 【典例4-1】如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 【典例4-2】已知直线，，的倾斜角分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，所以， 又得，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以. 【变式4-1】（2026·高二·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 【变式4-2】设直线的方程为（），则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，直线的斜率不存在，此时倾斜角， 当时，， 直线的斜率，此时倾斜角． 综上所述，直线的倾斜角的范围是． 故选：C． 【变式4-3】（2026·高二·北京东城·期中）图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线，，的倾斜角分别为，，． 则，所以 可得．即． 故选：． 【变式4-4】（2026·高二·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，；当时，；当时，. 综上所述，的倾斜角取值范围是. 故选：C. 【变式4-5】（2026·高二·广东东莞·期中）已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以. 故选：D. 题型 5：斜率公式应用 【典例5-1】（2026·高二·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为___________． 【答案】/ 【解析】∵，∴， 设过的直线的倾斜角为，则，∴． 【典例5-2】（2026·高二·上海·期末）平面直角坐标系内，直线和上分别取点和，这三个点和原点可以围成一个正方形，则直线的斜率为__________. 【答案】或 【解析】设，，， 则，， 由题意知，即， 解得或， 当时，，， 当时，，此时四边形为正方形，符合题意， 此时直线的斜率为； 当时，，， 当时，，此时四边形为正方形，符合题意， 此时直线的斜率为. 综上所述，直线的斜率为或. 故答案为：或. 【变式5-1】（2026·高二·江西宜春·期末）过，两点的直线的倾斜角为________. 【答案】/ 【解析】设该直线的倾斜角为，易知， 由题意知，即； 可得. 故答案为： 【变式5-2】（2026·高二·江苏宿迁·期中）已知三点共线，则实数的值为______. 【答案】4 【解析】因为三点共线，所以， 所以，解得. 故答案为：. 【变式5-3】（2026·高二·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 【答案】 【解析】由题意，则，即. 故答案为： 【变式5-4】已知，，，不能构成三角形，则______． 【答案】/ 【解析】三点不能构成三角形的情况，即三点共线， 因为斜率存在，所以，即，即, 因为，所以，即. 故答案为： 题型 6：线线相交求斜率 / 倾斜角范围 【典例6-1】（2026·高二·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 【典例6-2】（2026·高二·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记点为， 由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D 【变式6-1】（2026·高二·广东潮州·阶段检测）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示， 若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率或， ，， 直线的斜率或， 直线斜率的取值范围是，故C正确． 故选：C． 【变式6-2】（2026·高二·山西太原·期中）已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题， 如图，由图可知直线斜率. 故选：B 【变式6-3】（2026·高二·广东东莞·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 【变式6-4】（2026·高二·四川内江·期中）设点，若过点的直线与线段有公共点．则直线的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示： ，， 当直线从的位置旋转至与的位置靠近时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则； 当直线从靠近的位置旋转至的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：A. 题型 7：直线的方向向量与法向量 【典例7-1】（2026·高二·陕西渭南·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【解析】当直线的一个方向向量为，则直线的斜率. 故选：B. 【典例7-2】（2026·高二·湖北·阶段检测）已知向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知向量是直线的方向向量，则直线的斜率为，故直线的倾斜角为. 故选：A. 【变式7-1】设直线，其中且.给出下列结论：①的斜率是；②的倾斜角是；③的方向向量与向量平行；④的法向量与向量平行.其中真命题有（    ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】因为直线，其中， 所以的斜率是；所以①对； 的倾斜角满足，但不一定有，所以②错； 的方向向量为，因为，所以③错； 的法向量为，因为，所以④对； 故选：B. 【变式7-2】若直线l的倾斜角等于，则下列向量中不是直线l的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于直线l的倾斜角等于，所以其斜率， 因此直线l的方向向量是， 故选：A． 1．（2026·高二·天津西青·期中）已知，两点，若过点的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示， 直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到轴的过程中，倾斜角变大到，斜率增大到正无穷，此时斜率为，此时直线的斜率的取值范围为， 从轴旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始增大，此时斜率为， 此时直线的斜率的取值范围为，综上直线的斜率的取值范围为. 故选：D. 2．（2026·高二·贵州毕节·阶段检测）已知A，B，则线段AB的中点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】线段AB的中点坐标为 ,选D. 3．（2026·上海·模拟预测）如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】取的中点，连接， ，， , 由图象可知， 当三点共线时，等号成立， 所以点到原点的最大距离是. 故选：A. 4．（2026·高三·江苏南通·开学考试）设直线，的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】举反例：取，，满足， 但，，此时， 举反例：取（对应），（对应）， 满足，但， 因此“”是“”的既不充分也不必要条件. 5．（2026·高二·河北唐山·期末）已知直线的方程为，则的倾斜角为（　　） A． B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【解析】直线的方程为，，故直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，又，即. 故选：D. 6．（2026·高二·甘肃张掖·期末）已知点，，若直线的倾斜角为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】若直线的倾斜角为，则直线的斜率为1，即，且，化简得，且，解得或且，，所以． 故选： D． 7．（2026·高二·湖南常德·期中）直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，直线的方程为，此时倾斜角， 当时，由直线方程可得斜率， 因为且， 所以，即， 又，所以， 综上， 故选：D 8．（2026·高二·北京海淀·期末）已知，当到直线的距离取得最大值时，直线的斜率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】直线，则， 直线恒过点， 设点到直线的距离为，直线恒过点，则当时，取最大值，最大值为， 所在直线方程的斜率为， 设直线斜率为， 当时，取最大值， ，解得，故A正确． 故选：A． 9．（2026·高二·海南·阶段检测）若直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为，所以， 即，且倾斜角为锐角； 又因为，所以得到； 所以； 故选：D 10．（2026·高二·安徽·阶段检测）已知直线的倾斜角满足方程，则直线的斜率为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】，则， 又，则，解得或， 当时，，不符合题意， 当时，，故， 即直线的斜率为. 故选：C 11．（多选题）（2026·高二·贵州·期中）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由题可得三条直线在坐标系中的大概位置如下： 因为， 所以， 所以A不正确；B正确；C正确；D不正确； 故选：BC 12．（多选题）（2026·高二·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为. 【答案】BCD 【解析】任何一条直线都存在倾斜角，A正确； 钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误； 若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，C错误； 分别在轴、轴上截距相等的直线可以过原点，斜率可以不是，D错误； 故选:BCD. 13．（多选题）（2026·高二·河南南阳·期中）已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由题意，三条直线的倾斜角分别为，可得， 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得, 结合选项，可得选项A、B、C. 故选：ABC. 14．（多选题）（2026·高二·贵州安顺·阶段检测）直线l过点，且与线段AB有公共点，其中，则直线l的斜率可能是（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】ACD 【解析】如图 当直线l过点B时，设直线的斜率为，则； 当直线l过点A时，设直线的斜率为，则. 故要使直线l过点，且与以为端点的线段有公共点， 则直线l的斜率的取值范围为，结合选项可知，直线l的斜率可能是2，1，. 故选：ACD 15．（2026·高二·北京大兴·期中）已知，，三点共线，则______． 【答案】 【解析】因为，所以直线斜率存在， 因为三点共线，所以， 所以，解得， 故答案为：. 16．（2026·高二·四川成都·期末）若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】当时，，所以； 当时，，即； 所以的取值范围是. 17．（2026·高二·吉林白城·期中）已知直线 l：和两个定点，问直线l上是否存在一点P，使得|取得最小值？若存在，求出点P的坐标和的最小值；若不存在，说明理由. 【解析】假设直线l上存在一点，使得取得最小值，如图， 则， 因为，所以当，即点P的坐标为时， 取得最小值，且最小值为. 18．（2026·高二·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【解析】（1）因为、、， 所以，， 先考虑直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以，当直线与线段有公共点，直线的斜率的取值范围是． 故当直线与线段没有公共点时，直线的斜率的取值范围为. （2）因为，当时，， 当时，， 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 19．（2026·高二·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【解析】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为．. 20．已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 【解析】（1）因为为的中点，结合已知坐标有，则； （2）由，，， 由，，知是直角三角形． 又，结合已知，则是的垂直平分线， 所以是等腰直角三角形． （3）由于分别为的中点，所以是的中位线，则， 所以，故直线的斜率为． 21．若直线与连接两点的线段有公共点，求实数的取值范围. 【解析】当直线过点时，，直线过点时，， 当直线与线段的交点在之间时， 设这个交点分的比为， 由定比分点向量公式有， 点的坐标为， 又直线过点，， ，又点在线段上，， ，解得或， 实数的取值范围是. 22．（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【解析】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 23．（2026·高三·全国·一轮复习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【解析】（1）由斜率公式，得，，， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图，当直线绕点由逆时针转到时， 直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到， 所以的取值范围为， 即直线的倾斜角的取值范围为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 坐标法、直线的倾斜角与斜率 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：坐标系基本公式应用 题型 2：求直线倾斜角 题型 3：求直线斜率 题型 4：倾斜角与斜率的变化关系 题型 5：斜率公式应用 题型 6：线线相交求斜率 / 倾斜角范围 题型 7：直线的方向向量与法向量 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 坐标法 直线的倾斜角 直线的斜率 斜率计算公式 倾斜角与斜率的关系 直线的方向向量 直线的法向量 1. 理解坐标法的基本思想，掌握平面直角坐标系中的两点间距离公式、中点坐标公式等基本公式，能运用坐标法将几何问题转化为代数问题求解。 2. 理解直线倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围与几何意义，能根据直线的位置特征确定倾斜角的大小或取值范围。 3. 理解直线斜率的定义，掌握过两点的直线斜率计算公式，能根据已知条件准确求解直线的斜率。 4. 掌握倾斜角与斜率的对应变化关系，理解斜率随倾斜角的变化规律，能解决直线与线段相交时的斜率、倾斜角取值范围问题。 5. 理解直线的方向向量与法向量的概念，掌握方向向量、法向量与直线斜率之间的转化关系，能结合向量知识分析直线的位置特征。 学习重点：坐标法的基本思想与应用，直线倾斜角与斜率的定义，过两点的斜率计算公式，倾斜角与斜率的变化关系。 学习难点：倾斜角与斜率的动态变化规律，直线与线段相交的斜率 / 倾斜角范围求解，方向向量、法向量与斜率的相互转化，坐标法在几何问题中的灵活应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 数轴上、平面直角坐标系的基本公式 1．数轴上的基本公式 如果数轴上点，线段的中点为，则 （1）向量的坐标为； （2）； （3）． 2．平面直角坐标系的基本公式 已知是平面直角坐标系中的两点，是线段的中点，则 （1）； （2） （3） 即时即练在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴､y轴的距离分别为6､4，则点M的坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点02 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义 当直线与轴相交时,我们以轴为基准, 轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角． 2．倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表. 倾斜角 直线 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 图示 即时即练已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 知识点03 直线的斜率 1．斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率． 2．斜率与倾斜角的关系 设直线的倾斜角为,斜率为 的大小 0° 0°<<90° 90° 90°<<180° k的范围 k=0 不存在 k的增减性 随的增大而增大 随的增大而增大 3．直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式： 即时即练直线的斜率为（    ） A．0 B． C． D．不存在 知识点04 直线的方向向量 1．定义：一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，则称向量为直线的一个方向向量，记作 2．性质：（1）如果为直线的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量都是的一个方向向量，而且直线的任意两个方向向量一定共线． （2）如果是直线上两个不同的点，则是直线的一个方向向量． （3）若为直线的倾斜角，则一定是直线的一个方向向量． （4）如果已知为直线的一个方向向量，则当时，直线的斜率不存在，倾斜角为；当时，直线的斜率是存在的，直线的斜率，即． 即时即练已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 知识点05 直线的法向量 1．定义：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线垂直，则称向量为直线的一个法向量．记作． 2．一条直线的方向向量与法向量互相垂直．特别地，当不全为0时，向量与互相垂直，其中一个是直线的方向向量，另一个时直线的法向量． 即时即练关于直线，下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．向量是直线的一个方向向量 C．直线经过点 D．向量是直线的一个法向量 题型 1：坐标系基本公式应用 【典例1-1】（2026·高二·北京房山·期中）在平面直角坐标系xOy中，设点，，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·高二·浙江金华·期中）已知点，，若，则（    ） A．1 B．-5 C．1或-5 D．-1或5 【变式1-1】（2026·高二·山东德州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，那么线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高二·安徽安庆·阶段检测）如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高二·江苏连云港·期中）已知点，则线段AB的中点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型 2：求直线倾斜角 【典例2-1】（2026·高二·江西赣州·阶段检测）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 【典例2-2】（2026·高二·上海·期中）直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高二·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高二·广东潮州·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高二·浙江·期中）对于直线，下面叙述正确的是（    ） A．斜率是1 B．斜率是 C．倾斜角是 D．倾斜角是 题型 3：求直线斜率 【典例3-1】（2026·高二·四川宜宾·期末）直线的斜率为（   ） A．不存在 B．0 C．3 D．1 【典例3-2】关于直线的倾斜角和斜率，下列正确的个数是（   ） ①任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；③平行于轴的直线的倾斜角是0或；④两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；⑤直线斜率的范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（2026·高二·河北·阶段检测）直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 题型 4：倾斜角与斜率的变化关系 【典例4-1】如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【典例4-2】已知直线，，的倾斜角分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高二·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】设直线的方程为（），则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高二·北京东城·期中）图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 【变式4-4】（2026·高二·贵州毕节·期末）已知直线的斜率满足，则的倾斜角取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-5】（2026·高二·广东东莞·期中）已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 5：斜率公式应用 【典例5-1】（2026·高二·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为___________． 【典例5-2】（2026·高二·上海·期末）平面直角坐标系内，直线和上分别取点和，这三个点和原点可以围成一个正方形，则直线的斜率为__________. 【变式5-1】（2026·高二·江西宜春·期末）过，两点的直线的倾斜角为________. 【变式5-2】（2026·高二·江苏宿迁·期中）已知三点共线，则实数的值为______. 【变式5-3】（2026·高二·天津南开·阶段检测）已知，，三点共线，则________. 【变式5-4】已知，，，不能构成三角形，则______． 题型 6：线线相交求斜率 / 倾斜角范围 【典例6-1】（2026·高二·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2026·高二·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·高二·广东潮州·阶段检测）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·高二·山西太原·期中）已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·高二·广东东莞·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-4】（2026·高二·四川内江·期中）设点，若过点的直线与线段有公共点．则直线的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 7：直线的方向向量与法向量 【典例7-1】（2026·高二·陕西渭南·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（   ） A． B．2 C．4 D． 【典例7-2】（2026·高二·湖北·阶段检测）已知向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】设直线，其中且.给出下列结论：①的斜率是；②的倾斜角是；③的方向向量与向量平行；④的法向量与向量平行.其中真命题有（    ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-2】若直线l的倾斜角等于，则下列向量中不是直线l的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 1．（2026·高二·天津西青·期中）已知，两点，若过点的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·贵州毕节·阶段检测）已知A，B，则线段AB的中点坐标为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·上海·模拟预测）如图，在中，，，，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是（    ） A． B． C．3 D． 4．（2026·高三·江苏南通·开学考试）设直线，的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·高二·河北唐山·期末）已知直线的方程为，则的倾斜角为（　　） A． B．60° C．120° D．150° 6．（2026·高二·甘肃张掖·期末）已知点，，若直线的倾斜角为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 7．（2026·高二·湖南常德·期中）直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·北京海淀·期末）已知，当到直线的距离取得最大值时，直线的斜率为（    ） A．2 B． C． D． 9．（2026·高二·海南·阶段检测）若直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·高二·安徽·阶段检测）已知直线的倾斜角满足方程，则直线的斜率为（    ） A．0 B．1 C． D． 11．（多选题）（2026·高二·贵州·期中）已知直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）（2026·高二·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为. 13．（多选题）（2026·高二·河南南阳·期中）已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）（2026·高二·贵州安顺·阶段检测）直线l过点，且与线段AB有公共点，其中，则直线l的斜率可能是（  ） A．2 B． C．1 D． 15．（2026·高二·北京大兴·期中）已知，，三点共线，则______． 16．（2026·高二·四川成都·期末）若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________． 17．（2026·高二·吉林白城·期中）已知直线 l：和两个定点，问直线l上是否存在一点P，使得|取得最小值？若存在，求出点P的坐标和的最小值；若不存在，说明理由. 18．（2026·高二·海南省直辖县级单位·期中）已知两点、，过点的直线与线段没有公共点. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 19．（2026·高二·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 20．已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 21．若直线与连接两点的线段有公共点，求实数的取值范围. 22．（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 23．（2026·高三·全国·一轮复习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $