第07讲 两条直线的位置关系（暑假预习讲义）新高二数学人教B版

第07讲 两条直线的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：两直线交点求解 题型 2：两直线平行垂直判定 题型 3：由平行关系求参数 题型 4：由垂直关系求参数 题型 5：由平行垂直求直线方程 题型 6：平行垂直的几何应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 两条直线的交点 两直线平行的判定 两直线垂直的判定 平行垂直求参数 平行垂直求直线方程 平行垂直的几何应用 1. 理解平面内两条直线相交、平行、重合三种位置关系，掌握联立直线方程求交点坐标的方法，能通过方程组解的个数判断直线的位置关系。 2. 掌握两直线平行、垂直的判定条件，熟悉斜率形式与一般式形式的判定规则，能准确判断两条直线的平行与垂直关系，兼顾斜率不存在的特殊情形。 3. 能根据两直线平行或垂直的约束条件，求解直线方程中所含参数的值，掌握分类讨论思想在含参直线问题中的应用。 4. 能利用平行、垂直的直线性质，结合已知条件求解对应直线方程，熟练运用待定系数法解决相关问题。 5. 能运用两条直线的位置关系知识解决平面几何中的图形判定、坐标求解等综合问题，深化数形结合思想，提升逻辑推理与综合解题能力。 学习重点：两条直线平行与垂直的判定条件，联立方程求交点的方法，根据平行垂直关系求解参数与直线方程。 学习难点：斜率不存在时两直线平行垂直的判定，含参直线位置关系的分类讨论，两条直线位置关系在平面几何综合问题中的灵活应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 两直线的相交、平行与重合 （1）对于两条的直线，有①且； ②与相交；③与重合且； （2）对于两条直线，有 ①；②与相交 ③与重合 即时即练判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【解析】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，，所以与相交． ，解得，所以交点为. （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，，所以与重合． 知识点02 两直线的垂直关系 (1) 对于两条的直线，有； (2)对于两条直线，有. 即时即练判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【解析】（1）由题意知，直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为，所以． （2）由题意知，直线的斜率为，直线的斜率为， 而，所以与不垂直． （3）记的斜率为，因为，所以， 解得或， 又因为为锐角，所以． 因为的斜率为，且，所以． （4）由题意，直线的斜率一定存在，直线的斜率可能存在或不存在． ①当直线的斜率不存在时，，即，此时，满足． ②当直线的斜率存在时，，由斜率公式，得，． 若，则，即，解得． 综上所述，当或时，直线，当且时，与不垂直． 题型 1：两直线交点求解 【典例1-1】（2026·高二·河南平顶山·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线的斜率为1，所以直线的斜率存在， 则其斜率为，由题意得，，解得， 由解得，所以这两条直线的交点坐标为. 【典例1-2】（2026·高二·江苏·期末）直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得. 所以直线与直线的交点坐标为. 故选：B. 【变式1-1】（2026·高三·河北张家口·期末）已知直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点，绕点顺时针方向旋转得到直线，与轴的交点为点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点， 所以， 又直线绕点顺时针方向旋转得到直线， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，令，可得，所以. 故选：D 【变式1-2】直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由方程组，得，即交点为． 故选：C． 【变式1-3】（2026·高二·黑龙江·阶段检测）若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得， 因为两条直线的交点在第一象限，故且，故， 故，解得或. 故选：A. 题型 2：两直线平行垂直判定 【典例2-1】（2026·高二·陕西西安·阶段检测）已知直线l经过点，且其一个方向向量为． (1)若直线的倾斜角为，在x轴上的截距为3，求的斜截式方程，并判断与是否平行； (2)若直线的一般式方程为，求在y轴上的截距，并判断与是否垂直； (3)若直线与l平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，求的一般式方程， 【解析】（1）因为直线l的一个方向向量为，所以直线l的斜率为， 又直线l经过点，所以直线l的方程为，即， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又在x轴上的截距为3，所以直线的方程为，化为斜截式方程得， 所以直线与重合； （2）由直线的一般式方程为， 化为斜截式方程为，故在y轴上的截距为； 直线的斜率，由， 所以两直线与互相垂直. （3）由直线与l平行，则斜率，故可设直线的方程为， 令，得；令，得； 由直线与两坐标轴围成的三角形的面积为， 则，所以，解得. 所以直线的方程为， 即的一般式方程为. 【典例2-2】（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）（1）判断下列不同的直线与是否平行：的斜率为2，经过两点； （2）判断下列直线与是否垂直；的倾斜角为45°，经过两点． 【解析】（1）的斜率为2，经过两点， 则的斜率为，即，的斜率相等，且两直线不同， 故； （2）的倾斜角为45°，且斜率为1， 经过两点，则的斜率为， 即两直线斜率之积等于，故. 【变式2-1】（2026·高二·河北邢台·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为2. (1)若直线经过点，求的斜截式方程，并判断与是否平行； (2)若直线的一般式方程为，求在轴上的截距，并判断与是否垂直； (3)若直线与平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的一般式. 【解析】（1）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又直线在轴上的截距为2，即直线过点， 则由点斜式可得直线方程为， 化为斜截式方程得，直线的斜率， 在轴上的截距为. 所以的斜截式方程为； 由直线经过点， 则直线的斜率，则直线的方程为， 故的斜截式方程为，在轴上的截距为. 由两直线斜率相同，在轴上的截距不同，则. （2）由直线的一般式方程为， 化为斜截式方程为，故在轴上的截距为； 直线的斜率，由， 所以两直线与互相垂直. （3）由直线与平行，则斜率，故可设直线方程为， 令，得；令，得； 由直线与两坐标轴围成的三角形的面积为， 则，所以，解得. 所以直线的方程为， 即的一般式方程为. 【变式2-2】（2026·高二·山西晋中·开学考试）判断下列各对直线是否平行或垂直： (1)经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线； (2)经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线． (3)试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： (I)平行； (II)垂直． 【解析】（1）因为直线经过两点，所以，则直线的方程为：； 因为直线经过且斜率为1，所以直线方程为：， 则直线与直线平行. （2）因为直线经过两点，所以， 因为直线的斜率为， 所以， 则直线与直线垂直. （3）因为直线过， 所以； (I)当直线与直线平行时；则，解得： (II) 当直线与直线垂直时则，解得： 题型 3：由平行关系求参数 【典例3-1】（2026·高二·上海黄浦·期末）直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【解析】对于两条直线，，若，则满足且（不重合）； 由题得，， 首先由列等式：， 整理得，解得或， 当时，，，即，两直线重合，不符合题意，舍去； 当时，，，两直线斜率均为2，在轴上的截距分别为和，不重合，满足平行条件. 综上，. 【典例3-2】（2026·高一·重庆·期中）若直线与直线平行，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线与直线平行，得， 所以. 【变式3-1】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 【答案】A 【解析】当时，直线：与直线：，显然直线与不平行； 当时，因为直线：与直线：平行， 所以，解得，检验符合. 【变式3-2】（2026·江苏扬州·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】当时，直线的方程为， 直线的方程为，即， 此时直线与直线重合，而不是平行， 因此“”是“直线与直线平行”的不充分条件； 当直线与直线平行时， 有，解得或， 经检验，时两直线重合，不满足平行条件；时两直线平行， 所以“直线平行”的必要条件是， 该条件无法推出，故“”是不必要条件； 综上所述，“”是“直线与直线平行”的 既不充分也不必要条件，故D正确. 【变式3-3】（2026·高二·江西赣州·期中）已知直线与直线，若，则（   ） A．1或 B．或5 C．1 D． 【答案】D 【解析】因为， 所以，解得或， 当时，，，此时两直线重合，不符题意； 当时，，，两直线平行， 所以. 题型 4：由垂直关系求参数 【典例4-1】（2026·重庆万州·三模）若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 【答案】A 【解析】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 【典例4-2】（2026·高三·陕西·期中）已知直线与直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】直线与直线垂直， 则，解得或3， 故“”是“”的充分不必要条件. 【变式4-1】（2026·高二·辽宁沈阳·开学考试）已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．-2 【答案】B 【解析】因为直线与垂直， 所以，即，解得． 【变式4-2】（2026·高二·河北保定·开学考试）若直线与互相垂直，则（    ） A． B．3 C．或3 D． 【答案】D 【解析】因为直线与互相垂直， 所以，解得． 【变式4-3】（2026·高二·湖北·期末）直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率，直线的斜率， 由，得， 故. 故选：B. 【变式4-4】（2026·高二·广东江门·期末）已知直线：，，则直线的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【解析】由：可得直线的斜率为， 因，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 又，则. 故选：D. 题型 5：由平行垂直求直线方程 【典例5-1】（2026·高二·贵州遵义·阶段检测）直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 【答案】 【解析】设直线， 依题意得直线l过点， 则， 得， 故l的方程为． 【典例5-2】（2026·高二·贵州毕节·期末）在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为__________. 【答案】 【解析】设与直线平行的直线的方程为， 在轴上的截距为5，即当时，得，解得， 所以直线的方程为. 故答案为：. 【变式5-1】（2026·高二·北京顺义·期末）过点且与直线平行的直线的方程为______． 【答案】 【解析】因为直线的斜率为1，则所求直线的斜率为1， 所以所求直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式5-2】（2026·高二·福建厦门·期中）已知点在直线l上的投影是，则直线l的方程为__________________． 【答案】 【解析】因为直线的斜率为，又点在直线l上的投影是, 则直线l的斜率，故直线l的方程为，即． 【变式5-3】（2026·高二·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为_______. 【答案】 【解析】直线的斜率为， 设待求直线斜率为，则由题意，得，解得. 所以待求直线方程为，即. 【变式5-4】（2026·高二·上海·阶段检测）过点且垂直于直线的直线方程为______． 【答案】 【解析】垂直于直线的直线斜率为，又过点， 由点斜式可得所求直线方程为，即. 题型 6：平行垂直的几何应用 【典例6-1】（2026·高二·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 【解析】（1）因为，，且为的中点， 设，由中点公式得，即， 又因为，可得直线的斜率为. （2）因为，，，且， 由斜率公式，可得， 又因为，所以，即，所以为直角三角形， 又由为的中点，且，所以，所以为等腰三角形 所以为等腰直角三角形. 【典例6-2】（2026·高二·福建福州·阶段检测）已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 【解析】（1）设，因为四边形为平行四边形， 所以 所以解得，所以 （2）因为 所以， 所以.所以为菱形. （3）由于则直线AD方程为：，化简得到直线AD方程为:. 【变式6-1】已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【解析】由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 【变式6-2】已知的顶点，的平分线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求直线的解析式； (2)求顶点的坐标． 【解析】（1）因为直线所在直线方程为，所以， ， 则直线的方程为，即． （2）联立，解得，所以. 由的平分线为知，， 则直线的方程为，即． 联立，解得. 所以. 【变式6-3】（2026·高二·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【解析】（1）设线段中点为，则点坐标为， 设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点，有， 解得，所以； （2）因为直线的斜率为， 所以边上的高线所在直线的斜率为， 又，故边上的高线所在直线的方程为， 即为. 【变式6-4】（2026·高二·广东东莞·阶段检测）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 【解析】（1）由已知可判断四边形是直角梯形， 证明如下：因为，，，． 由斜率公式得，，，， 所以，，即且不平行， 所以四边形是梯形， 又因为，所以， 综上，四边形是直角梯形； （2）根据题意，设的内角平分线所在直线的斜率为k， 则有，即， 整理得，，解得或， 又由的内角平分线所在直线的斜率k应在、的斜率之间， 所以， 则的平分线所在的直线方程为， 即． 1．（2026·高二·黑龙江牡丹江·阶段检测）直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意有：， 所以交点坐标为. 故选：A. 2．（2026·高二·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【解析】由题设，的方向向量分别为，，， 若，则， 此时，，，它们交于一点，不符； 若，则或或， 当时，，，，满足题设； 当时，，，，满足题设； 当时，，重合，不符； 若，则或， 当时，，，，满足题设； 当时，同上分析，不符. 综上，、、时满足要求，故有3组. 故选：B 3．（2026·河北沧州·二模）已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】直线：，直线：， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 设直线方程为，直线方程为， 若，则，即， 化简可得，即，解得，， 当时，代入可得：，：， 两直线重合，所以舍去， 当时，代入可得：，：， 和的斜率都为，所以， 因此是的充要条件. 4．（2026·高三·江苏泰州·阶段检测）已知直线，向量与该直线的一个法向量垂直，则实数（   ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【解析】的法向量为，因此，故. 5．（2026·湖南郴州·模拟预测）以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【答案】A 【解析】根据斜率公式 ​​，代入四个点坐标，，，， 则， 所以，， 两组对边分别平行，该四边形是平行四边形， 又因为 ，所以，即邻边垂直，则该平行四边形为矩形， 再根据两点间距离公式可得： 由于邻边长度不相等，排除菱形、正方形,故该四边形是矩形. 6．（2026·宁夏吴忠·二模）直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 【答案】A 【解析】因为直线：和直线：互相平行， 所以，解得. 7．（2026·高二·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 8．（2026·高二·安徽·期中）“”是直线与直线平行的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由直线与直线平行的充要条件是 ，即，即解得. 所以“”是直线与直线平行的充要条件. 9．若直线：与直线：平行，则（ ） A．4 B． C．1或 D．或4 【答案】D 【解析】由题可得：直线：与直线：平行， 则，整理可得，解得或， 若，直线：与直线：平行，符合题意； 若，直线：与直线：平行，符合题意； 综上所述：或. 10．（2026·高二·安徽黄山·阶段检测）已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l2：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线可化为，由 可得，即直线恒过定点， 直线可化为，由， 解得，即直线恒过定点， 由可得，即直线与轴交点为， 由可得，即直线与轴交点为， 则四边形由点围成， 其面积， 当时，取得最小值. 故选：D. 11．（多选题）（2026·高二·浙江杭州·期中）已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 【答案】AC 【解析】令，则，得，则直线恒过点，故A正确； ，则斜率为，故不存在m使得直线的倾斜角为，故B错误； 若，则，得， 若，则，此时两直线平行，故，故C正确； 若，则，则，故存在实数m使得，故D错误. 12．（多选题）（2026·高二·河北秦皇岛·期末）已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 【答案】AC 【解析】要使三条直线共有两个不同的交点，则有两条直线平行，第三条直线与它们不平行． 因为直线与不平行，所以或． 当时，,解得； 当时，，解得． 综上，的值可能是或． 13．（多选题）（2026·高二·辽宁鞍山·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 【答案】ACD 【解析】对于A，因为直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于，所以A正确； 对于B，由直线与直线互相垂直， 可得，即，解得或， 所以“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C，因为直线，可化为， 由，解得，即直线恒过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大， 所以，解得，所以C正确； 对于D，因为，可得， 如图所示，要使得过定点的直线与以线段有交点， 则满足或，所以直线l的斜率k的取值范围是，所以D正确. 14．（多选题）（2026·高二·安徽宿州·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ABD 【解析】对于A，直线：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，当时，始终过， 因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确． 故选：ABD． 15．（2026·高二·上海·阶段检测）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，则中垂线所在直线的方程为______． 【答案】 【解析】 已知，设中点为，则， 由斜率公式可得， 设中垂线所在直线斜率为，则，解得， 故中垂线所在直线的方程为，一般式为． 16．（2026·高二·辽宁大连·期中）在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 【答案】6 【解析】设关于直线的对称点为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立. 而， 解得，故，故直线，所以. 故的最小值为6. 17．（2026·高二·上海·阶段检测）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是___________ 【答案】/0.36 【解析】直线过定点，直线过定点， ①当时，过定点的直线方程为，过定点的直线方程为， 两直线垂直，此时，所以； ②当时，直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以两直线垂直，即点可视为以为直径的圆上的点， 因为点不与点或点重合，为直角三角形，且， 所以 当且仅当时等号成立， 综上，故的最小值为. 18．（2026·上海·一模）已知，，方程组无解，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】原方程组无解等价于直线与直线平行， 所以且． 又，，所以（）， 即取值范围是． 19．（2026·高二·北京大兴·期中）已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 【解析】（1）因为点，点，所以边所在直线斜率， 所以边上的高所在直线的斜率，且过点． 所以边上的高所在直线的方程为． （2）由得，所以角平分线的倾斜角为， 所以角平分线所在直线的斜率． 又因为角平分线过点， 所以角平分线所在直线的方程为． 20．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于点P．求证：.    【解析】以BC所在直线为x轴，BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系， 设等边三角形ABC的边长为6，则， ∵， ∴直线AD的方程为，即，① ∵， ∴直线BE的方程为，即，② 联立①②解得，则， ∵， ∴，∴AP⊥CP． （2026·高一·上海·阶段检测） 21．若直线与平行，求的值. 22．将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 【解析】55．因为直线与平行， 所以. 当时，，两直线平行，符合题意； 当时，由得（舍去）或， 此时，两直线平行，符合题意. 综上，的值为3或5. 23．在直线中，令，得，即. 设直线的斜率为，由题意得 ，解得； 所以直线的方程为，即. 在中，令，得；令，得. 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为. 24．（2026·高二·上海·期末）已知直线过点； (1)若直线与的夹角为，求直线的方程； (2)若直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的斜率； 【解析】（1）已知，则直线斜率， 设​斜率为 ​，两直线夹角，由两直线夹角公式： 代入得： ​，整理得，解得 ​或， 结合过，整理得的方程为：或 ； （2）设斜率为，方程为，令得：纵截距， 令得：横截距， 由题意面积， 整理得： ，分情况求当时，方程化为，解得或； 当时，方程化为，解得或， 综上可得直线的斜率为或或或. 25．已知的三个顶点，，，点D，E分别为边，的中点． (1)求直线的方程； (2)求边上的高线所在直线的方程． 【解析】（1）设是直线上任意一点，则， 因为点D，E分别为边，的中点，所以，， 则，， 所以， 即为直线的方程． （2）设点是所在直线上任意一点，则，所以， 又，，所以， 即为所求直线的方程． 26．（2026·高二·上海松江·阶段检测）直角三角形的斜边在轴上，其中点在点的左侧，直角顶点的坐标是. (1)设直线的斜率为，试求点和点的坐标（用表示）； (2)试求直角三角形的面积的最小值及面积取到最小值时的点坐标. 【解析】（1）因为直线的斜率为，直角顶点的坐标是. 所以直线的方程为，即. 令，则，所以. 因为，所以直线的斜率为，那么直线的方程为. 令，则，所以. （2）由（1）知，， 所以直角三角形的面积为. 由图可知，所以根据基本不等式的性质得， 当且仅当，即时，等号成立，此时直角三角形的面积取最小值为， 此时点的坐标为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 两条直线的位置关系 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：两直线交点求解 题型 2：两直线平行垂直判定 题型 3：由平行关系求参数 题型 4：由垂直关系求参数 题型 5：由平行垂直求直线方程 题型 6：平行垂直的几何应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 两条直线的交点 两直线平行的判定 两直线垂直的判定 平行垂直求参数 平行垂直求直线方程 平行垂直的几何应用 1. 理解平面内两条直线相交、平行、重合三种位置关系，掌握联立直线方程求交点坐标的方法，能通过方程组解的个数判断直线的位置关系。 2. 掌握两直线平行、垂直的判定条件，熟悉斜率形式与一般式形式的判定规则，能准确判断两条直线的平行与垂直关系，兼顾斜率不存在的特殊情形。 3. 能根据两直线平行或垂直的约束条件，求解直线方程中所含参数的值，掌握分类讨论思想在含参直线问题中的应用。 4. 能利用平行、垂直的直线性质，结合已知条件求解对应直线方程，熟练运用待定系数法解决相关问题。 5. 能运用两条直线的位置关系知识解决平面几何中的图形判定、坐标求解等综合问题，深化数形结合思想，提升逻辑推理与综合解题能力。 学习重点：两条直线平行与垂直的判定条件，联立方程求交点的方法，根据平行垂直关系求解参数与直线方程。 学习难点：斜率不存在时两直线平行垂直的判定，含参直线位置关系的分类讨论，两条直线位置关系在平面几何综合问题中的灵活应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 两直线的相交、平行与重合 （1）对于两条的直线，有①且； ②与相交；③与重合且； （2）对于两条直线，有 ①；②与相交 ③与重合 即时即练判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 知识点02 两直线的垂直关系 (1) 对于两条的直线，有； (2)对于两条直线，有. 即时即练判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 题型 1：两直线交点求解 【典例1-1】（2026·高二·河南平顶山·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·高二·江苏·期末）直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高三·河北张家口·期末）已知直线的倾斜角为，直线与轴的交点为点，绕点顺时针方向旋转得到直线，与轴的交点为点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高二·黑龙江·阶段检测）若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型 2：两直线平行垂直判定 【典例2-1】（2026·高二·陕西西安·阶段检测）已知直线l经过点，且其一个方向向量为． (1)若直线的倾斜角为，在x轴上的截距为3，求的斜截式方程，并判断与是否平行； (2)若直线的一般式方程为，求在y轴上的截距，并判断与是否垂直； (3)若直线与l平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，求的一般式方程， 【典例2-2】（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）（1）判断下列不同的直线与是否平行：的斜率为2，经过两点； （2）判断下列直线与是否垂直；的倾斜角为45°，经过两点． 【变式2-1】（2026·高二·河北邢台·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为2. (1)若直线经过点，求的斜截式方程，并判断与是否平行； (2)若直线的一般式方程为，求在轴上的截距，并判断与是否垂直； (3)若直线与平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的一般式. 【变式2-2】（2026·高二·山西晋中·开学考试）判断下列各对直线是否平行或垂直： (1)经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线； (2)经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线． (3)试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线： (I)平行； (II)垂直． 题型 3：由平行关系求参数 【典例3-1】（2026·高二·上海黄浦·期末）直线：，直线：，若，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 【典例3-2】（2026·高一·重庆·期中）若直线与直线平行，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式3-1】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 【变式3-2】（2026·江苏扬州·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（2026·高二·江西赣州·期中）已知直线与直线，若，则（   ） A．1或 B．或5 C．1 D． 题型 4：由垂直关系求参数 【典例4-1】（2026·重庆万州·三模）若直线与直线垂直，则m=（   ） A． B．15 C． D． 【典例4-2】（2026·高三·陕西·期中）已知直线与直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-1】（2026·高二·辽宁沈阳·开学考试）已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．-2 【变式4-2】（2026·高二·河北保定·开学考试）若直线与互相垂直，则（    ） A． B．3 C．或3 D． 【变式4-3】（2026·高二·湖北·期末）直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2026·高二·广东江门·期末）已知直线：，，则直线的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 题型 5：由平行垂直求直线方程 【典例5-1】（2026·高二·贵州遵义·阶段检测）直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 【典例5-2】（2026·高二·贵州毕节·期末）在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为__________. 【变式5-1】（2026·高二·北京顺义·期末）过点且与直线平行的直线的方程为______． 【变式5-2】（2026·高二·福建厦门·期中）已知点在直线l上的投影是，则直线l的方程为__________________． 【变式5-3】（2026·高二·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为_______. 【变式5-4】（2026·高二·上海·阶段检测）过点且垂直于直线的直线方程为______． 题型 6：平行垂直的几何应用 【典例6-1】（2026·高二·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 【典例6-2】（2026·高二·福建福州·阶段检测）已知在中，. (1)求点D的坐标； (2)试判定是否为菱形? (3)求直线AD的方程. 【变式6-1】已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【变式6-2】已知的顶点，的平分线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求直线的解析式； (2)求顶点的坐标． 【变式6-3】（2026·高二·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.    (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【变式6-4】（2026·高二·广东东莞·阶段检测）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． (1)试判断四边形的形状，并给出证明； (2)求平分线所在直线的方程． 1．（2026·高二·黑龙江牡丹江·阶段检测）直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 3．（2026·河北沧州·二模）已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·高三·江苏泰州·阶段检测）已知直线，向量与该直线的一个法向量垂直，则实数（   ） A．6 B． C． D． 5．（2026·湖南郴州·模拟预测）以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 6．（2026·宁夏吴忠·二模）直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 7．（2026·高二·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·安徽·期中）“”是直线与直线平行的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．若直线：与直线：平行，则（ ） A．4 B． C．1或 D．或4 10．（2026·高二·安徽黄山·阶段检测）已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l2：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2026·高二·浙江杭州·期中）已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 12．（多选题）（2026·高二·河北秦皇岛·期末）已知三条直线，与共有两个不同的交点，则的值可能是（   ） A． B． C． D．2 13．（多选题）（2026·高二·辽宁鞍山·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 14．（多选题）（2026·高二·安徽宿州·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 15．（2026·高二·上海·阶段检测）数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，则中垂线所在直线的方程为______． 16．（2026·高二·辽宁大连·期中）在直线上有一点P，点，，求的最小值是___________. 17．（2026·高二·上海·阶段检测）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是___________ 18．（2026·上海·一模）已知，，方程组无解，则的取值范围为______. 19．（2026·高二·北京大兴·期中）已知中，点，点，点． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求角平分线所在直线的方程． 20．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于点P．求证：.    21．若直线与平行，求的值. 22．将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得直线，求与两坐标轴所围成的三角形面积. 23．在直线中，令，得，即. 设直线的斜率为，由题意得 ，解得； 所以直线的方程为，即. 在中，令，得；令，得. 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为. 24．（2026·高二·上海·期末）已知直线过点； (1)若直线与的夹角为，求直线的方程； (2)若直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的斜率； 25．已知的三个顶点，，，点D，E分别为边，的中点． (1)求直线的方程； (2)求边上的高线所在直线的方程． 26．（2026·高二·上海松江·阶段检测）直角三角形的斜边在轴上，其中点在点的左侧，直角顶点的坐标是. (1)设直线的斜率为，试求点和点的坐标（用表示）； (2)试求直角三角形的面积的最小值及面积取到最小值时的点坐标. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $