第04讲 空间中的距离（暑假预习讲义）新高二数学人教B版

第04讲 空间中的距离 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：求点到直线距离 题型 2：求点到平面距离 题型 3：求线面与面面距离 题型 4：求异面直线距离 题型 5：空间距离存在性问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 点到直线的距离 点到平面的距离 直线与平面的距离 平面与平面的距离 异面直线的距离 1． 理解空间中各类距离的定义，明确点线、点面、线面、面面及异面直线距离的几何意义与相互转化关系，掌握空间距离非负的基本特征。 2． 掌握点到直线、点到平面距离的几何法与向量法求解思路，能在常见空间几何体中规范完成点线、点面距离的计算。 3． 理解线面距离、面面距离的定义，掌握将其转化为点面距离求解的化归方法，能准确计算平行直线与平面、两平行平面间的距离。 4． 理解异面直线公垂线与公垂线段的概念，掌握异面直线距离的常用求解方法，能求解简单几何体中异面直线的距离。 5. 能运用空间距离的相关知识解决存在性、最值类综合问题，深化转化化归思想，提升空间想象与逻辑推理能力。 学习重点：点到平面、点到直线距离的求解方法，向量法在空间距离计算中的应用。 学习难点：异面直线距离的求解，复杂几何体中距离的合理构造与转化，空间距离的存在性、最值类综合问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离：这两个点连线的线段长，可通过向量求空间中两点之间的距离， 即时即练在空间直角坐标系中，已知点，，，为的边上的高，则_____． 知识点02 点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点，设，向量在直线l上的投影向量为，则 即时即练在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A． B． C．3 D． 知识点03 点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点， 向量是向量在平面上的投影向量，则 即时即练在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 知识点04 线面距离与面面距离 1．定义：（1）当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离； （2）当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离， （3）与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这 两个平面的公垂线段两个平行平面之间的距离等于它们公垂线段的长， 2．距离求法：①首先确定直线与平面平行（平面与平面平行），然后可将问题转化成点到平面的距离问题 即时即练如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点.    (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离. 题型 1：求点到直线距离 【典例1-1】已知正方体的棱长为，则点到对角线所在的直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·高二·陕西安康·期中）若、、，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高一·四川成都·期中）四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高二·江苏扬州·期中）如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 题型 2：求点到平面距离 【典例2-1】（2026·高三·北京海淀·阶段检测）如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 【典例2-2】（2026·高三·山东·阶段检测）如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 【变式2-1】（2026·高二·山东枣庄·期末）如图，在长方体中，是AB的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【变式2-2】（2026·高三·江西吉安·期末）如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【变式2-3】（2026·天津河西·三模）如图，在四棱台中，已知平面，，，已知，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 题型 3：求线面与面面距离 【典例3-1】（2026·高二·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【典例3-2】（2026·高二·内蒙古赤峰·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 【变式3-1】已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 【变式3-2】（2026·高二·山东淄博·阶段检测）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【变式3-3】设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 题型 4：求异面直线距离 【典例4-1】（2026·天津北辰·二模）如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 【典例4-2】（2026·高二·辽宁沈阳·开学考试）如图，在平面中，为正三角形，为直角三角形，且．以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且满足平面平面． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． (3)在（2）的条件下，求异面直线和的距离． 【变式4-1】（2026·高二·四川乐山·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)证明直线直线； (2)求异面直线和间的距离. 【变式4-2】（2026·高二·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求异面直线的距离. 【变式4-3】（2026·高三·云南昆明·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，分别是，的中点，，，.延长至点，使得，连接.    (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)若点，分别是直线，上的动点，求的最小值. 题型 5：空间距离存在性问题 【典例5-1】（2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）在四棱锥中，平面平面，，，，，，O是线段的中点． (1)证明：． (2)若二面角的平面角的正弦值为． ①求线段的长； ②若E为线段的中点，点N在线段上，是否存在实数，使得当时，平面?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【典例5-2】（2026·高三·广东汕头·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点． (1)求与所成角的余弦值： (2)记是与的交点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． 【变式5-1】（2026·高一·浙江宁波·期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形且，，为等边三角形，， 为中点． (1)证明：平面； (2)设 为侧棱 上一点，四边形是过 ， 两点的截面，分别交 ， 于， 两点，平面． （i）证明：； （ii）设，是否存在，使得点到面的距离为． 【变式5-2】（2026·高三·北京·阶段检测）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【变式5-3】（2026·河北石家庄·一模）如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1．（2026·山东泰安·模拟预测）如图直四棱柱的各棱长均为2，且.动点P在侧面内（不含边界），满足与平面所成角为，当点P在面对角线上时，记作，则到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东·模拟预测）在三棱锥中，，，，，，，则实数的取值可能为（    ）． A． B． C． D． 3．（2026·高二·河南·阶段检测）在空间直角坐标系中，三棱锥的四个顶点的坐标分别为，若该三棱锥的四个顶点均在球M的表面上，则球M的表面积为（   ） A．8π B．9π C．11π D．14π 4．（2026·高二·湖北鄂州·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·甘肃兰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 7．（2026·四川遂宁·二模）在直三棱柱中，，点为的中点，点为侧面内（含边界）的动点，且平面，设直线与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·高一·浙江温州·期中）如图，正方体棱长为4，点是棱的中点，点分别是线段的中点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．6 D．8 9．（2026·高二·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·高二·江苏淮安·阶段检测）空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（    ） A． B．4 C． D． 11．（2026·高三·辽宁铁岭·阶段检测）在正四棱柱中，，以为球心，表面积为的球与平面只有1个公共点，若为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）（2026·高二·福建厦门·阶段检测）四棱锥的底面为正方形， 平面，动点M在线段上，则（    ）    A．四棱锥的外接球表面积为 B．的最小值为 C．不存在点M，使得 D．点M到直线的距离的最小值为 13．（多选题）（2026·高二·福建厦门·阶段检测）已知直线的方向向量为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）（2026·高二·河南·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 15．（2026·高二·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 16．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，在直棱柱中，底面为直角梯形，，，且，，.又平面，.点分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 17．（2026·高三·江苏泰州·阶段检测）如图，在正方体中，棱长为2，为棱的中点，为平面内的一点，在中，已知，． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 18．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1， M， N分别是BB1， B1C1的中点． (1)求直线MN到平面ACD1的距离； (2)若G是A1B1的中点，求平面MNG与平面ACD1的距离． 19．（2026·高二·贵州六盘水·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足.    (1)是否存在点，使得平面？ (2)求的取值范围. (3)求点到直线的距离的最小值. 20．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 22．（2026·高二·浙江衢州·期末）如图，在三棱锥中， ，，，．设二面角的大小为． (1)当时， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； (2)当时，求点到平面的距离． 23．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 24．（2026·高三·全国·一轮复习）如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点．    (1)求证//平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 空间中的距离 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：求点到直线距离 题型 2：求点到平面距离 题型 3：求线面与面面距离 题型 4：求异面直线距离 题型 5：空间距离存在性问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 点到直线的距离 点到平面的距离 直线与平面的距离 平面与平面的距离 异面直线的距离 1． 理解空间中各类距离的定义，明确点线、点面、线面、面面及异面直线距离的几何意义与相互转化关系，掌握空间距离非负的基本特征。 2． 掌握点到直线、点到平面距离的几何法与向量法求解思路，能在常见空间几何体中规范完成点线、点面距离的计算。 3． 理解线面距离、面面距离的定义，掌握将其转化为点面距离求解的化归方法，能准确计算平行直线与平面、两平行平面间的距离。 4． 理解异面直线公垂线与公垂线段的概念，掌握异面直线距离的常用求解方法，能求解简单几何体中异面直线的距离。 5. 能运用空间距离的相关知识解决存在性、最值类综合问题，深化转化化归思想，提升空间想象与逻辑推理能力。 学习重点：点到平面、点到直线距离的求解方法，向量法在空间距离计算中的应用。 学习难点：异面直线距离的求解，复杂几何体中距离的合理构造与转化，空间距离的存在性、最值类综合问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离：这两个点连线的线段长，可通过向量求空间中两点之间的距离， 即时即练在空间直角坐标系中，已知点，，，为的边上的高，则_____． 【答案】/ 【解析】依题意，，，，， 所以. 知识点02 点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点，设，向量在直线l上的投影向量为，则 即时即练在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】由题意，所以点到直线的距离为： . 知识点03 点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点， 向量是向量在平面上的投影向量，则 即时即练在正四棱柱中，底面边长为2，侧棱长为4，则到平面的距离为_______． 【答案】 【解析】如图，以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则 ∴，，． 设平面的法向量为， 则即取，则，所以， 所以点C1到平面AD1C的距离为＝． 知识点04 线面距离与面面距离 1．定义：（1）当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离； （2）当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离， （3）与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这 两个平面的公垂线段两个平行平面之间的距离等于它们公垂线段的长， 2．距离求法：①首先确定直线与平面平行（平面与平面平行），然后可将问题转化成点到平面的距离问题 即时即练如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点.    (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离. 【解析】（1）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 可得，， 可得， 所以直线与直线所成角的余弦值为. （2）因为，平面，平面，故平面， 则直线到平面的距离与点到平面的距离相等. 因为，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则到平面的距离为， 因此直线到平面的距离为. 题型 1：求点到直线距离 【典例1-1】已知正方体的棱长为，则点到对角线所在的直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，所以， 所以向量在向量上投影向量的模为， ， 所以点到直线的距离为. 【典例1-2】（2026·高二·陕西安康·期中）若、、，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，， 所以点到直线的距离为. 【变式1-1】（2026·高一·四川成都·期中）四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则，所以， 所以点到直线的距离为. 【变式1-2】（2026·高二·江苏扬州·期中）如图，正方体的棱长为1，若平面，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，因为平面，且满足， 故 ，解得； 以为坐标原点，建立如下空间直角坐标系： 故， 则， 则在上的投影为，又， 故点到直线的距离. 题型 2：求点到平面距离 【典例2-1】（2026·高三·北京海淀·阶段检测）如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 【解析】（1） 连接，由正方体可知，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ． （2） 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 设的长为a，则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可得； 设直线与平面所成角为， 则，解得， ， 故的长度为1； ，点到平面的距离． 【典例2-2】（2026·高三·山东·阶段检测）如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 【解析】（1）因为，，故，故. 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面， 故. （2）由（1）可得平面，而， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， 故，所以，故， 而，设平面的法向量为， 则即，取， 故到平面的距离为. 【变式2-1】（2026·高二·山东枣庄·期末）如图，在长方体中，是AB的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【解析】（1）建立如下图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，取，则， 所以， 因为， 所以，又因为平面， 所以平面； （2）由（1）可知平面的法向量为，， 所以点到平面的距离为. 【变式2-2】（2026·高三·江西吉安·期末）如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【解析】（1）方法一： 取的中点，根据正三棱柱性质可得互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则有，即， 令，则，，即， 因为，又平面， 所以平面； 方法二： 如图，连接交于点，连接， 易知为的中点，又点为的中点，故， 而平面，平面， 所以平面； （2）方法一： 点到平面的距离. 方法二： 因为平面，故到平面的距离即为到平面的距离，设为， 因为，，平面， 故平面，平面，故， 由题意知，，所以， ，， 由， 代入解得. 【变式2-3】（2026·天津河西·三模）如图，在四棱台中，已知平面，，，已知，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【解析】（1）在直角梯形中，过作于， 因为，，且， 所以四边形为正方形，可得，， 因为，所以， 在中，， 在中，， 在中，所以，即， 因为侧棱底面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面； （2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 由题意，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，得， 设平面的法向量为，则， 令，则，，得， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为； （3）已知平面的一个法向量为，平面外一点， 在平面上任取一点，所以， 点到平面的距离， 即点到平面的距离为. 题型 3：求线面与面面距离 【典例3-1】（2026·高二·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【解析】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 【典例3-2】（2026·高二·内蒙古赤峰·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点． (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 【解析】（1）由题设，两两互相垂直， 以B为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，设，则. 所以，易得，， 所以，，所以，， 又，且都在平面内，故平面ABD. （2）由题意知，则， 所以，，则，， 所以，， 又且都在平面内，所以平面EFG， 结合（1）知，平面EGF平面ABD. （3）由（1）（2）知，，是平面ABD的法向量， 所以点F到平面ABD的距离为， 由（2）知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离， 所以两平面间的距离为. 【变式3-1】已知正方体的棱长为1，为中点，求下列问题： (1)求异面直线与的距离； (2)求到平面的距离； (3)求到平面的距离； (4)求平面与平面的距离. 【解析】（1）如图，建立空间直角坐标系，    则、、、，、、 、、， 所以，， 设是与，都垂直的向量， 则，即，即，令得， 选与的两点向量为， 得与的距离. （2），设为平面的法向量，则， 即，即，令得， 选点到平面两点向量为， 由公式得：点到平面的距离. （3）由（2）可知：平面的法向量可设， 设与平面的两点向量为， 故直线到平面的距离. （4），， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为， 故平面与平面的距离为. 【变式3-2】（2026·高二·山东淄博·阶段检测）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【解析】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 【变式3-3】设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【解析】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 所以，所以，即， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，又， 所以点到平面的距离.      （2）由（1）知平面，同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 即平面与平面间的距离等于点到平面的距离． 由（1）知，点到平面的距离. 所以平面与平面间的距离为. 题型 4：求异面直线距离 【典例4-1】（2026·天津北辰·二模）如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 【解析】（1）证明：（方法一）连接，如图所示： 因为，且四边形为矩形， 所以， 又因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （方法二）因为，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 可得，，，， ，，，， 平面的一个法向量为， ，， ∵平面. ∴平面. （2）由（1）的方法二可知： ，，. 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得，， 所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）的方法二可知： ，，， ，∴. 则直线与直线间的距离转化为点E到直线的距离， . 所以直线与直线间的距离为. 【典例4-2】（2026·高二·辽宁沈阳·开学考试）如图，在平面中，为正三角形，为直角三角形，且．以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，且满足平面平面． (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． (3)在（2）的条件下，求异面直线和的距离． 【解析】（1）取BD中点H，连接EH， FH， 因为，则， 故， 因为，EH，FH平面EFH，所以BD⊥平面EFH， 又因为平面EFH，所以. （2）因为为直角三角形，且， 所以，又因为为等边三角形， 所以，而，则为等边三角形， 取点O为AH中点，则， ∵， 则，又，平面， ∴平面，即四点共面， 又∵平面， 所以，又，平面， 所以EO⊥平面ABD， 过点O作交AD于点M，则， 以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面ABE的法向量为，则, 令，则，得， 设直线DF与平面ABE所成角为， 则， 所以直线DF与平面ABE所成角的正弦值为. （3）由（2）得， 设为和的公垂线的方向向量， 则，令，得， 则异面直线和的距离为. 【变式4-1】（2026·高二·四川乐山·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)证明直线直线； (2)求异面直线和间的距离. 【解析】（1）取空间向量的一个基底，则，， 且，， ， 因此， 即，所以直线直线. （2）由（1）得，， 由和是异面直线，令直线平面，直线平面， 设是平面的法向量，则，且， 即，取，得， ， ， 异面直线与间的距离即在上投影向量的模长， 所以异面直线与间的距离为. 【变式4-2】（2026·高二·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求异面直线的距离. 【解析】（1）连接，，由题知，是等腰三角形底边上的中线， 同理，. 因为，平面，， 平面，又平面，. 同理，平面. 作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系. 由题知，，，，，，，，. 设是平面的法向量， 则，即，取 ， 直线与平面所成角的正弦值为 （2）设是异面直线，的公垂线的方向向量，由， 同（1）可得 由题知，异面直线，的距离等于在方向上的投影长，即. 异面直线，的距离 【变式4-3】（2026·高三·云南昆明·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，分别是，的中点，，，.延长至点，使得，连接.    (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)若点，分别是直线，上的动点，求的最小值. 【解析】（1）因为，，，是的中点， 所以，两边平方，得， 即，得， 所以.    又平面，所以，，两两垂直., 如图，以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，. 所以，， 所以， 所以. （2）由题意，知平面的一个法向量是. 易得，. 设平面的法向量是，则即 令，得，所以平面的一个法向量是， 所以， 由图，知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. （3）因为点N，Q分别是直线，上的动点， 设，，则，所以. 设，，则，所以， 所以 所以当，时，取得最小值，为. 题型 5：空间距离存在性问题 【典例5-1】（2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）在四棱锥中，平面平面，，，，，，O是线段的中点． (1)证明：． (2)若二面角的平面角的正弦值为． ①求线段的长； ②若E为线段的中点，点N在线段上，是否存在实数，使得当时，平面?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）证明：在中，是线段的中点， .∵平面平面，平面平面平面， ∴平面.又∵平面，∴， ∵，即，，平面， ∴平面，∵平面 ∴ （2）①取的中点，连接，则，由（1）可知，平面. 平面，即两两互相垂直. 以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则. 设平面的法向量为， 则即令，则. 设平面的法向量为， 则即令，则. . 设二面角的平面角为， 则. ，解得，即. ②假设实数存在，设点，则. 由，得则 由，得，则， 由（1）知平面的一个法向量. 由平面，得，解得. ∴存在实数，使得当时，平面. 【典例5-2】（2026·高三·广东汕头·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点． (1)求与所成角的余弦值： (2)记是与的交点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意得：以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 由，，所以， 所以， 所以； （2）由题意得四边形为矩形，所以点为的中点， 所以，所以， 设，所以， 所以， 设平面的法向量为， 由， 所以，令，得， 由平面，所以， 解得， 所以当时，平面. 【变式5-1】（2026·高一·浙江宁波·期末）如图，四棱锥的底面是平行四边形且，，为等边三角形，， 为中点． (1)证明：平面； (2)设 为侧棱 上一点，四边形是过 ， 两点的截面，分别交 ， 于， 两点，平面． （i）证明：； （ii）设，是否存在，使得点到面的距离为． 【解析】（1）证明：为等边三角形， 为中点，故. 由得，则，. 平行四边形中 ，，在中，且， 即，故. 在中，由余弦定理得 已知，则，满足， 故. 又，平面， 因此平面. （2）（i）（i）平面， 平面 ，平面平面， 所以由线面平行的性质定理得. （ii）存在，理由如下： 以 为坐标原点，方向为 轴正方向，过 作的平行线为 轴正方向， 方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 各点坐标为，，，，. 由，， 由得. 由，，取直线的一个方向向量为. ， 设平面的法向量为， 则， 故可设 ，点到平面的距离： 令，则，整理得， 解得（，符合取值范围）. 因此存在，使得点到面的距离为. （ii）略 【变式5-2】（2026·高三·北京·阶段检测）如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）连接交于，连接. 因为四边形为正方形，、为对角线且交于点，所以为中点. 又为的中点，所以为的中位线，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）取中点，中点，连接、. 因为为等边三角形，所以，，. 因为四边形为正方形，、为中点，所以，. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 又平面，所以. 因此以点为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，. 因为为中点，所以， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以. 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）假设棱上存在一点，使得点到平面的距离为，设. 因为，，所以，则 . 又，. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，，所以. 则点到平面的距离为， 整理得，即，解得或（舍去）. 所以棱上存在一点，使得点到平面的距离为，此时. 【变式5-3】（2026·河北石家庄·一模）如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1） 在四棱锥中，连接，交于点，连接， 因为四边形为菱形，所以为的中点， 因为为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）存在，，理由如下： 解法一：取的中点，连接， 四边形是菱形，且，为正三角形，所以， 因为为正三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，且，所以平面. 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，则. 假设存在点，使得点到平面的距离为， 设，点到平面的距离为， 则解得， 所以存在点，当时，点到平面的距离为. 解法二：取的中点，连接， 四边形是菱形，且，所以为正三角形，所以， 因为为正三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，且，所以平面. 又平面，所以，因为为等边三角形，边长为8， 所以，所以在， 又，可以求得， 所以， 因为，所以， 因为，所以，可得， 所以存在点，当时，点到平面的距离为. 1．（2026·山东泰安·模拟预测）如图直四棱柱的各棱长均为2，且.动点P在侧面内（不含边界），满足与平面所成角为，当点P在面对角线上时，记作，则到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取的中点，连接，，因为底面是菱形，且， 所以. 又因为平面，平面，所以. 由于平面，所以平面. 因为与平面所成角为，所以与平面所成角也是. 由于为直线在平面上的射影，所以. 在中，，所以， 所以点的轨迹在正方形面内，以点为圆心，以1为半径的半圆弧. 当点在面对角线上时，记作，可知点恰好为正方形的中心. 取的中点，连接，则直线，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，， 记， 所以到直线的距离. 2．（2026·广东·模拟预测）在三棱锥中，，，，，，，则实数的取值可能为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于，，，故，则， 又，平面，故平面， 若，结合平面，故平面， 平面，故， 作，垂足为E，连接，而平面， 故平面，而平面，故， 又，则， 即， 可得，结合平面，平面，可得, 则H为的中点，由可知H不是的中点，出现矛盾， 故可知不垂直， 故以H为坐标原点，以所在直线为x轴，过点H作的垂线为y轴， 以所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ，设，由， 得，得，即, 由于，即点到的距离均为， 结合， 得, 即得，， 化简得， 两式相减可得，代入得， 结合，故，即， 解得，结合，可得， 结合选项可知，只有符合题意. 3．（2026·高二·河南·阶段检测）在空间直角坐标系中，三棱锥的四个顶点的坐标分别为，若该三棱锥的四个顶点均在球M的表面上，则球M的表面积为（   ） A．8π B．9π C．11π D．14π 【答案】C 【解析】设球心为，球的半径为R，由，得 解得，即球心，，故球M的表面积为． 故选：C 4．（2026·高二·湖北鄂州·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设有，设平面的法向量为， 则，故，取， 而，故点到平面的距离为. 5．如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 6．（2026·高二·甘肃兰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以， 令，则，可得. 因为， 所以点A到平面PMN的距离. 7．（2026·四川遂宁·二模）在直三棱柱中，，点为的中点，点为侧面内（含边界）的动点，且平面，设直线与平面所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 设，所以， 因为平面， 所以，解得， 所以， 显然平面的一个法向量为， 所以， 当时，取最大值，即取最大值，即， 所以，所以. 8．（2026·高一·浙江温州·期中）如图，正方体棱长为4，点是棱的中点，点分别是线段的中点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【解析】以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 所以，，. 在中，，， 所以. 又，，. 设平面的法向量为，则 ，取可得. 所以点到平面的距离为：. 所以. 9．（2026·高二·江苏苏州·期中）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，以点为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 因为，可知， 且平面，平面，所以平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 则点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 10．（2026·高二·江苏淮安·阶段检测）空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【解析】由平面的方程为，可化为， 根据题意，可得平面内的一点为，且平面的一个法向量为， 又由点，所以， 所以点到平面的距离为. 11．（2026·高三·辽宁铁岭·阶段检测）在正四棱柱中，，以为球心，表面积为的球与平面只有1个公共点，若为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则三棱锥的体积为， 由球的表面积为，得球的半径， 又球与平面只有1个公共点，则球与平面相切， 所以点到平面的距离为1. 在中，，， 所以的面积为， 所以，解得，即． 以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则，即， 取，则， 所以到平面的距离为． 12．（多选题）（2026·高二·福建厦门·阶段检测）四棱锥的底面为正方形， 平面，动点M在线段上，则（    ）    A．四棱锥的外接球表面积为 B．的最小值为 C．不存在点M，使得 D．点M到直线的距离的最小值为 【答案】AD 【解析】对于A项，将该四棱锥补为长方体，可知即为该长方体的一条体对角线， 且. 且该长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，半径为， 表面积为，故A正确；    对于B项，如图1，将四棱锥沿剪开得到平面图，连接，交于点， 易知均为直角三角形，且全等， 且，，， 则，且， 即有， 所以，即的最小值为.故B不正确；    对于C项，假设存在点M，使得 如图2，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 则，，. 设，， 则. 因为， 所以，解得. 故存在点M，使得.故C项错误； 对于D项，由已知可得，， 所以点M到直线的距离 ， 所以，当时，点M到直线的距离的最小值为.故D正确. 13．（多选题）（2026·高二·福建厦门·阶段检测）已知直线的方向向量为直线上一点，若点为直线外一点，则到直线上任意一点的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为，，所以， ， ，， 设与的夹角为， ，则， 由同角三角函数关系式得， 因此点到直线的最小距离，即. 选项A：，存在对应的点满足条件，正确； 选项B：是最小距离，垂足处即可取到该值，正确； 选项C：，两点的距离不可能小于，错误； 选项D：，两点的距离不可能小于，错误. 14．（多选题）（2026·高二·河南·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】A选项， ，,正确； B选项，设平面的法向量为，则， 取，则为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，那么， 所以B错误； C选项，点到平面的距离为，正确； D选项，设平面法向量，而， 故， 取，则为平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， ，D选项正确. 15．（2026·高二·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 【答案】 【解析】由题意得，， ， ， 向量在直线上的投影长度为， 故点到直线的距离为 16．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，在直棱柱中，底面为直角梯形，，，且，，.又平面，.点分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【解析】（1）以为原点，方向为轴建立空间直角坐标系： ，，，，，，，． 因为分别为，的中点，所以，． 有，底面的法向量为. 因为，所以 又不在平面内，所以平面． （2） 平面的一个法向量为，平面中，， ，，取，． 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 所以两平面夹角的余弦值为． （3）由（2）可知平面的一个法向量为， 点到该平面的距离为． 17．（2026·高三·江苏泰州·阶段检测）如图，在正方体中，棱长为2，为棱的中点，为平面内的一点，在中，已知，． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【解析】（1）以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 因为为棱的中点，所以. 因为为平面内的一点，且，所以可设，. 因为，所以. 所以. 所以. 又因为，，平面，且， 所以平面. 所以为平面的法向量. 因为，且平面， 所以平面. （2）因为，. 设平面的法向量为， 则，令可得. 所以. 所以点到平面的距离为. 18．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1， M， N分别是BB1， B1C1的中点． (1)求直线MN到平面ACD1的距离； (2)若G是A1B1的中点，求平面MNG与平面ACD1的距离． 【解析】（1）以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，，， 故. 因为直线MN与AD1不重合，所以MN∥AD1. 又因为MN⊄平面ACD1， AD1⊂平面ACD1，所以MN∥平面ACD1. 故直线MN到平面ACD1的距离等于点M到平面ACD1的距离． 设平面ACD1的一个法向量为， 所以，令，则，所以， 所以点M到平面ACD1的距离为， 即直线MN到平面ACD1的距离为. （2）连接A1C1， 因为G， N分别为A1B1， B1C1的中点，所以GN∥A1C1. 又因为A1C1∥AC，所以GN∥AC. 因为GN⊄平面ACD1， AC⊂平面ACD1，所以GN∥平面ACD1. 同理可得MN∥平面ACD1. 因为MN∩GN＝N， MN, GN⊂平面MNG， 所以平面MNG∥平面ACD1， 所以平面MNG与平面ACD1的距离即为直线MN到平面ACD1的距离，由(1)知其为. 19．（2026·高二·贵州六盘水·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为底面内一动点（包括边界），且满足.    (1)是否存在点，使得平面？ (2)求的取值范围. (3)求点到直线的距离的最小值. 【解析】（1）    如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， ，， 设平面的法向量为， 则，可取， 设， 所以， 又，所以， 即，所以， 设存在点，使得平面， 则，解得，则， 则， 所以存在点，使得平面 （2）由（1）知， 所以， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 所以， 所以的取值范围是. （3）    由（1）知点满足， 取中点为，则点轨迹为线段， 所以点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离， ，，，，， 设，， 则，可取， 又， 点到直线的距离的最小值. 20．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1） 取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，所以平面； （2）（i）因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 因为平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为； （ii）存在点满足题意， 易知， 假设存在点满足题意，设， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以点到平面的距离，化简可得， 解得或（舍去），即. 21．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）取线段的中点，连接，在中，分别为的中点． ，且 又底面是菱形，且为的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， 又平面平面 平面. （2）在平面内过点作， 又由平面底面,且平面平面,可得平面， 又菱形中，且，所以可得在中有， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由且，所以是正三角形，所以， 设 ， ， ，， 即 化简得，故（舍负）. 综上，存在点，. 22．（2026·高二·浙江衢州·期末）如图，在三棱锥中， ，，，．设二面角的大小为． (1)当时， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； (2)当时，求点到平面的距离． 【解析】（1）（ⅰ）略； （ⅱ）取的中点，由，可知， 因为，所以平面平面， 又因为平面平面，平面， 所以平面． 连接，所以是直线与平面所成角， 由（ⅰ）可知是直角三角形，解得， 因为，所以; （2）方法1：取的中点，连接，由已知条件可知，故， 所以，所以点到平面的距离为， 三棱锥的体积：， 又因为三棱锥的体积， 所以，解得； 方法2：取的中点，连接， 所以且，则，, 所以点到平面的距离为， 因为到平面的距离是点到平面的距离的2倍， 所以到平面的距离； 方法3：取的中点，连接， 由已知条件可知，故，所以, 由，可得， 则， 设平面的法向量为， 由，得， 得法向量， 所以点到平面的距离. 23．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【解析】（1）由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 24．（2026·高三·全国·一轮复习）如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点．    (1)求证//平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【解析】（1）取中点，连接，，由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有且，故四边形是平行四边形， 故，又平面，平面， 故平面． （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，    有，，，，），， 则有，，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则有， 分别取，则有，，，， 即，， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为． （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $