1.2.2 空间中的平面与空间向量【考点突破+强化训练】讲义-2026年新高二数学暑假预习人教B版选择性必修第一册

1.2.2 空间中的平面与空间向量 知识点1求平面的法向量 1.平面的法向量 (1)定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，也称n与平面α垂直，记作n⊥α. (2)性质：①如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量. ②如果n是平面α的一个法向量，则对任意实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行. ③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定. 2.利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的一个法向量为n＝(x，y，z). (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组. (4)解方程组： (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量. 【注意】(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行. 知识点2利用法向量证明空间中的位置关系 1.直线与平面平行、垂直的判定 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则 n∥v⇔l⊥α； n⊥v⇔l∥α，或l⊂α. 2.两平面平行、垂直的判定 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，则 n1⊥n2⇔α1⊥α2； n1∥n2⇔α1∥α2，或α1与α2重合. 知识点3三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.简记为：和射影垂直，则和斜线垂直. 三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 简记为：和斜线垂直，则和射影垂直. 考点一　求平面的法向量 考点二　利用空间向量证明平行关系 考点三　利用空间向量证明垂直关系 考点四　利用空间向量解决探究性问题 考点一　求平面的法向量 1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 2．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）如图，四棱柱为正方体，则（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】设正方体的棱长为， 对于选项A，由，，则，所以与平行， 故直线的一个方向向量为，故选项A正确； 对于选项B，由，，则， 所以与平行，故直线的一个方向向量为，故选项B正确； 对于选项C，由，，则， 又是平面的一个法向量，且与平行， 所以平面的一个法向量为，故选项C正确； 对于选项D，由，，则， 又，则与不垂直， 所以不是平面的一个法向量，故选项D不正确． 故选：ABC 3．（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面，其中，，点在棱上，，点为中点． (1)求的模长； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求平面的法向量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量模的坐标表示求解. （2）利用线线角的向量求法求解. （3）利用平面法向量的意义，结合向量垂直的坐标表示列式求解. 【详解】（1）在四棱锥中，平面，，则直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设点坐标，则， 由，得，解得，即， 所以. （2）由（1）知，则， 设直线与直线所成角为，则， 所以直线与所成角的余弦值为. （3）由（1）可知，由（2）可知 设平面的法向量，则，取，则有， 所以平面的法向量． 4．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 5．（25-26高二下·甘肃平凉·期中）（多选）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 【答案】ACD 【分析】根据空间向量减法的坐标运算及空间向量垂直的坐标表示、法向量的概念即可求解. 【详解】由题意，因为，，， 所以，故选项A错误； 因为，所以AP⊥AD，故选项B正确； 因为，所以AP与AB不垂直，故选项C错误； 若是平面ABCD的一个法向量，则平面ABCD，因为AB平面ABCD，所以 ,矛盾，所以不是平面ABCD的一个法向量，故选项D错误. 6．（25-26高二下·全国·课后作业）如图，正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为4，是棱的中点.以棱的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.求直线的方向向量与平面的法向量； 【答案】，； 【分析】根据给定的坐标系，写出相关点的坐标，再求出直线的方向向量及平面的法向量. 【详解】依题意，， 直线的方向向量； 而，设平面的法向量， 则，取，得， 所以平面的法向量. 考点二　利用空间向量证明平行关系 7．（2026·广东深圳·模拟预测）已知正方体，点E，F，G分别是线段，和上的动点，正确的是（     ） A．对于任意给定的点，存在点，使得 B．对于任意给定的点，存在点，使得 C．对于任意给定的点G，存在点F，使得 D．对于任意给定的点F，存在点G，使得 【答案】B 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，不妨设正方体的边长为1，设，，，再利用垂直与平行的空间坐标表示逐项判断即可． 【详解】对于AB，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的边长为1，可得，，， 且点分别是线段和上的动点， 得到，，， 而，，则，设，可得， 则，解得，得到， 可得，，， 若，则，解得， 此时任意给定的点，存在点，使得，故A错误，B正确， 对于CD，若，则， ，方程组无解，故与不可能平行，CD错误． 8．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、．设点、、、分别为、、、的重心． (1)试用向量方法证明、、、四点共面； (2)试判断平面与平面的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 【答案】(1)证明见解析 (2)平面平面，证明见解析 【分析】（1）分别连接、、、交对边于、、、点，推导出四边形为平行四边形，推导出，可得，即可证得结论成立； （2）推导出平面，平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）分别连接、、、交对边于、、、点． 因为、、、分别是所在三角形的重心． 所以、、、为所在边的中点， 所以，且，，且，所以，， 故四边形为平行四边形， 且有，，，， 所以，同理可得， 因为四边形是平行四边形，所以，所以，则， 故、、、四点共面． （2）由（1）得，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，所以平面平面. 9．（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在. 【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量平行即可证明面面平行； （2），当垂直与平面的法向量时平面，求的值即可. 【详解】（1）因为长方体，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系： 由题知， 则， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为，所以平面平面. （2）设线段上存在点使得平面， 由（1）得，，平面的法向量， 所以， 由解得， 即为线段中点时，平面. 10．（2026·山东枣庄·三模）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面平行，可知直线的方向向量与平面的法向量垂直，确定动点坐标之间的联系，从而找到过点且与平面平行的平面，与平面的交线即为动点的轨迹，最后计算轨迹线段长度即可. 【详解】解：由正方体，可建立以为原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系， 则，，，，所以，， 设平面的法向量，则，所以， 则，取，则，，所以. 由是正方形内的动点（包含边界），可设，其中，，则， 因为平面，所以，则，即，整理得， 当时，，此时，为中点； 当时，，此时，为中点， 连接，不难发现，，且，， 易证，平面平面，所以点的轨迹为线段， 因此，轨迹长. 11．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 【答案】D 【详解】设直线所在方向向量，平面的一个法向量为， ，所以 ，由此可得直线在平面内或与平面平行. 12．（2026高三·全国·专题练习）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，侧棱平面，且，E为BC的中点，F为DP上的点，．当时，证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】建系并标点，可证平面，所以为面的法向量，利用空间向量证明线面平行. 【详解】因为侧棱平面，底面为长方形， 以A为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 又因为E为的中点，F为上的点，，即F为的中点， 则，可得， 又因为侧棱平面，平面，所以， 又因为底面为长方形，有， 平面，，所以平面， 所以为面的法向量. 又因为，所以， 又平面，所以平面． 13．（25-26高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，应用空间向量的数量积计算判断各个选项． 【详解】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. 考点三　利用空间向量证明垂直关系 14．（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 【答案】C 【详解】如图建立空间直角坐标系：以为原点，分别以为轴， 根据已知边长，，，写出各点坐标： ，是中点，得； 是中点，得, 求向量： , 计算向量的数量积可得：， 由数量积为0可判断两向量垂直，即与垂直. 15．（2026·广西贵港·三模）（多选）正方体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则有（   ） A．与平面平行 B． C．平面 D．四边形的面积为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理判断ABC；求出四边形面积判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 对于A，，即，而直线， 因此，又平面，平面， 则平面，A正确； 对于B，，， 因此，B正确； 对于C，，， 因此不垂直，直线与平面不垂直，C错误； 对于D，， 等腰梯形的高， 因此四边形的面积，D正确. 16．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）空间向量法求解，求出，得到，从而得到结论； （2）方法一：求出平面DEB的一个法向量，求出，从而得到证明；方法二：求出，利用向量垂直的公式及线面垂直的判定定理得解. 【详解】（1）如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. （2）方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 17．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在平行六面体中，，． (1)用表示，并求的长； (2)求证：平面． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的加法可得，结合向量的数量积及向量的模的计算公式计算即可. （2）结合向量的数量积得到，，可得，，再利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）平行六面体中，，. . ， 所以. （2），，， 所以 ， 所以，所以. ， 所以，所以. 又，，平面， 所以平面. 18．（25-26高三上·湖北·开学考试）（多选）如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，M是AD的中点，P是BM的中点，，则下列结论正确的有（　　） A．BC⊥平面ACD B．存在λ，使得PQ⊥平面ACD C．存在λ，使得PQ∥平面BCD D．若存在λ，使得PQ⊥平面ABD，则 【答案】ACD 【分析】通过向量的方法解决空间中线面位置关系问题 【详解】因为平面，平面，所以； 因为，，与相交于点且都在平面上，所以平面； 故选项A正确. 因为直线，，两两垂直，所以，，可构成空间的一组基 进而化简得 若要使得与平面垂直，等价于与平面的法向量共线 即且同时成立，显然不存在这样的 故选项B错误. 要使与平面平行，等价于与平面的法向量垂直 当时，，即与平面平行 故选项C正确. 要使与平面垂直，等价于且 则，可得； ，将代入 得，即 故选项D正确. 考点四　利用空间向量解决探究性问题 19．（25-26高二上·新疆和田·期末）（多选）如图，在正方体中，，是棱的中点，是棱的中点，则下列说法正确的是（     ） A．存在，使得 B．存在，使得 C．当时，平面 D．异面直线与夹角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法研究平面位置关系，求解对应异面直线所成角即可判断对应选项. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为， ， 因为，所以 对于A，， 若，则，解得，故A选项正确； 对于B，，若， 则需存在使，即， 所以，显然方程组无解，故不存在，使得，B选项错误； 对于C，当时，，， 所以，即，， 因为，平面， 所以平面，故C选项正确. 对于D，， 所以， 所以异面直线与夹角的余弦值为，故D选项正确； 故选：ACD 20．（25-26高一下·北京·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点为的中点，点是侧面上（包括边界）的动点，点是线段上的动点，给出以下结论： ①存在点，使得对任意点，都有； ②存在无数组点和点，使得； ③存在唯一的点，使得平面； ④存在点和点，使得平面平面； ⑤存在点，使得其到直线的距离为． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②④⑤ 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合向量的运算法则，以及数量积的运算，可判定①不正确，②正确，③不正确；当点与点重合时，点与点重合值，得到平面平面，即平面平面，可判定④正确；转化为异面直线和的距离，求得异面直线的距离，可判定⑤正确. 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为正方体的棱长为1， 可得， 因为为的中点，可得， 对于①，设点，其中，可得， 设，其中， 因为，所以，即，所以, 若，可得恒成立， 可得，整理得， 要使得时，恒成立， 则满足，此时方程组无解， 所以不存在点，使得对任意点，都有，所以①不正确； 对于②，若，则存在实数，使得， 因为， 可得，可得， 显然，因为，可得，解得， 所以存在无数组点和点，使得，所以②正确； 对于③，若平面，且平面，则， 因为， 可得，所以与不垂直， 所以不可能垂直平面，所以③不正确. 对于④，当点与点重合，点与点重合时，此时平面，即为平面， 在正方体中，可得平面平面， 所以平面平面，即平面平面， 所以存在点和点，使得平面平面，所以④正确； 对于⑤，因为点是线段上的动点，则点到直线的距离的最小值， 即为异面直线和的距离， 在正方体中，可得平面， 此时设 平面，则点为等边的中心，且， 取的中点为，连接，可得， 所以为异面直线和的公垂线段， 因为为等边三角形，且边长为，可得， 所以存在点，使得其到直线的距离为，所以⑤正确. 21．（2026·广东肇庆·二模）（多选）在正四棱柱中，，点分别为棱上的点（含端点），则（    ） A．当为的中点时，存在点，使得平面 B．当为的中点时，存在点，使得平面平面 C．对任意给定的点，存在点，使得 D．对任意给定的点，存在点，使得 【答案】ACD 【分析】A注意到当点与点重合时，，据此可判断；B取中点，连接与，由平面平面，平面与平面有一个公共点，可判断；C注意到，据此可判断；D以分别为轴建立空间直角坐标系，设2]，通过方程是否有解可判断. 【详解】A，如图1，当点与点重合时，平面平面，所以平面，正确； B，如图2，取中点，连接与，易证明平面平面， 此时，平面与平面有一个公共点，且显然与平面不重合， 所以不存在点使得平面与平面平行，错误； C，如图3，因为平面平面，所以， 所以对任意给定的点，存在与点重合的点，使得，正确； D，如图4，以分别为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，则，设2]， 则，假设，则，即， 所以，因为， 所以对于任意，存在使得成立， 即对任意给定的点，存在点，使得，正确. 22．（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）如图，已知平行六面体，若空间中一点P满足，其中，则（   ） A．存在x，y，使得P在直线上 B．当时，P在平面内 C．当时，平面 D．存在x，y，使得平面 【答案】BC 【分析】利用基底来表示空间向量，结合向量的线性运算和空间向量共面定理，即可作出推断. 【详解】 设， 则， 所以， 要使得P在直线上，则， 则满足，解得， 这与已知条件相矛盾，故A错误； 当时，，则， 要使得P在平面内，则满足， 因为则， 所以，解得，即存在满足，故B正确； 当时，， 所以共面，且它们有公共点，即可得平面， 又因为平面平面，所以平面，故C正确； 要使得平面，则只需要证明平面， 即假设存在使得：， 又因为，所以， 因为，即不存在x，y，使得平面，故D错误. 23．（25-26高二上·北京丰台·期末）如图，正方体中、是线段上的动点，则下列结论中不正确的是（   ）    A．存在点，使得平面 B．对于任意点， C．存在点，使得平面 D．对于任意点，都是锐角三角形 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量的位置关系判断说法A；由计算两条直线的方向向量的数量积判断说法B；利用向量数量积验证垂直关系判断说法C；利用向量的模和向量夹角的计算，验证说法D. 【详解】以B为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的坐标系，    设正方体的棱长为， 则。 设，则， 设平面的法向量为，则， 令，则，即， 若，解得， 则时，，又平面，平面， 即为中点时，平面，故A正确. ，， 故对任意的点都有，故B正确. ， 若平面，则有，方程组无解， 所以不存在点，使得平面，故C错误. ， ， 则中，，都是锐角， ，也是锐角， 所以对于任意点，都是锐角三角形，故正确. 故选：C. 24．（25-26高二上·安徽池州·期中）如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，是四边形内一动点，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，由直线与平面没有公共点得，代入配方求最值可得答案. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    设， 则， ， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为直线与平面没有公共点，所以平面， 则，即，， 所以， 即当时，此时,取得最小值，最小值为. 故选：A. 1．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 2．（25-26高二下·江苏徐州·期中）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面的一个法向量为，平面平面， 设平面的法向量为， 平面的法向量， 选项A，，与不平行，故选项A错误； 选项B，，与不平行，故选项B错误； 选项C，，与平行，故选项C正确； 选项D，，与不平行，故选项D错误. 3．（25-26高二下·四川成都·期中）已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（   ） A． B．2 C．2或 D．或1 【答案】C 【分析】通过向量垂直的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】因为直线平面， 则， 即， 解得或. 4．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且PD=AD=2，点E，F分别在侧棱PA，PC上，且，，过点B，E，F的平面α截四棱锥的截面面积为（    ） A．2 B．2 C．3 D．3 【答案】A 【分析】以为原点建系，设平面α交侧棱PD于点M，根据共面定理得出，再根据坐标计算得出点的坐标，再根据对角线互相垂直求出面积. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则， 设平面α交侧棱PD于点M， 令，则，则， 由，，则， 所以，， 由题意，M，E，B，F四点共面， 所以存在实数，使得 ， 则，解得， 所以. 则，所以， 因为，所以， 所以四边形的面积为. 5．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-13 【答案】C 【分析】根据直线与平面平行、平面与平面垂直的性质，得到向量之间的关系，进而列出方程求解 m 和 n，最后求差即可. 【详解】已知，直线 的方向向量 ， 平面 的法向量 ，平面 的法向量 ， 因为：所以， 即，所以， 又因为，所以， 即，所以， 所以. 故选：C. 6．（2026·山东·一模）如图所示，已知三棱锥的各棱长均相等，分别是所在棱，，的中点，有下列说法： ①；②平面； ③平面；④平面平面． 其中，说法正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明逐个分析选项即可. 【详解】如图，将三棱锥放入正方体中，以棱作为面对角线， 以为原点，建立空间直角坐标系，    不妨设正方体的边长为，由题意得，，，， 由中点坐标公式得，，， 对于①，由题意得，， 则，得到，故①正确， 对于②，由题意得，， 设面的法向量为， 则，令，解得，， 可得，而， 因为平面， 所以平面，故②正确， 对于③，由题意得，， 若平面，则， 可得，而不存在这样的使得方程组成立， 则平面不成立，故③错误， 对于④，由题意得，， 设面的法向量为， 则，令，解得，， 可得，由已知得， 而，可得平面平面，故④正确， 综上可得，说法正确的个数是3个，故C正确. 故选：C 7．（2026·重庆·一模）已知正四棱柱中，，则（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，A选项，求平面的法向量，判断是否平行于平面； B选项，分别求平面和平面的法向量，判断两个平面是否平行；C选项，求平面的法向量，判断是否垂直于平面；D选项，求平面和平面的法向量，判断平面是否垂直于平面. 【详解】以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系. 已知，，则各点坐标为：，，， ，，，，. 对于A选项，则， ，. 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. ，不平行于平面，故选项A错误. 对于B选项，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. ，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. ，平面平面，故选项B正确. 对于C选项，，， . 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. 与不平行，不垂直于平面，故选项C错误. 对于D选项，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，即. ，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，即. ，平面不垂直于平面， 故选项D错误. 故选：B. 【点睛】 8．（25-26高二下·福建漳州·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的有（ ） A．两个不同的平面的法向量分别是，则 B．若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线 C．若空间向量，，则与的夹角为钝角 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则或 【答案】ABD 【详解】对于A，，，得，故A正确； 对于B，由基底的性质知，空间基底是由非零且不共面的三个向量构成，且任意两个向量不共线，故B正确； 对于C，由，，得， ，即与的夹角为锐角，故C错误； 对于D：，，即或，故D正确. 9．（2026·湖北黄石·一模）（多选）如图，在正方体中，称各面正方形的对角线为面对角线，称为体对角线．设分别为的中点，则（   ） A．存在面对角线与平面平行 B．存在体对角线与平面平行 C．存在面对角线与平面垂直 D．存在体对角线与平面垂直 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由空间关系的向量求法可得出结论. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图： 设正方体的棱长为2，则， 所以， 设平面的一个法向量为, 所以， 令，则，可得； 对于A，由可得， 因此，又平面，所以平面，所以A正确； 对于B，， 体对角线所在的向量为：， 易知, 因此不存在体对角线与平面平行，即B错误； 对于C，面对角线所在的向量为：， ， 显然以上向量与法向量均不平行， 所以不存在面对角线与平面垂直，即C错误； 对于D，显然，所以平面，即D正确. 10．（2026·福建·二模）（多选）在正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明并结合线面垂直的判定定理求解即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 设正方体边长为，则，，，， 对于A，可得，， 则，得到，故A正确； 对于B，由题意得，，，， 则，，， 可得，得到， 可得，得到， 而平面，得到平面，故B正确； 对于C，由题意得，， 若，则，得到， 而不存在使方程组成立，即不成立，故C错误； 对于D，由题意得，，， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，得到， 可得，得到平面，故D正确. 11．（25-26高三上·贵州黔南·期末）（多选）在所有棱长都相等的直四棱柱中，，分别是，的中点，且，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】AB 【分析】通过三角形全等确定，可判断A，通过可判断B，通过可判断C，通过可判断D. 【详解】对于A：因为，所以，所以. 又因为为的中点，所以，故A正确； 对于B：因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C：由题可知，，所以与不平行，故C错误； 对于D：因为，，， 所以. 设，则，， 所以 ， 所以与不垂直.又因为平面， 所以与平面不垂直，故D错误. 12．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 【答案】/ 【详解】因为， 所以. 13．（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点（包括边界），平面，则点的轨迹的长度为_________. 【答案】/ 【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建立空间直角坐标系，利用垂直于平面的法向量确定点的位置，利用向量即可得解. 【详解】由题知，两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 记的中点为，连接， 因为为正方形，为中点，所以，且， 所以为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 记点的轨迹与交于点，由题知平面， 因为是平面内的相交直线，所以平面平面， 所以即为点的轨迹， 因为， 所以， 设， 则， 设为平面的法向量， 则，令得， 因为，所以， 解得，则，又 所以， 所以. 故答案为： 14．（25-26高二上·广东汕头·期中）如图，在棱长为4的正方体中，点在上，且，点在上，且，若平面上存在一点使得平面，则点的坐标为______.    【答案】 【分析】建系后分别求出，的坐标，设，即得的坐标，利用平面推得，建立的方程组，求解即得. 【详解】如图建系，因正方体的棱长为4，则， 由点在上，且，可得 由点在上，且，可得，则. 又点是平面上一点，故可设，则， 因平面，而平面，故， 即得，解得. 故点的坐标为. 故答案为：. 15．（25-26高二上·山东青岛·期末）如图，在平行六面体中，且. (1)求的长度； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用基底表示向量，再根据数量积公式，即可求解； （2）根据线面垂直的判断定理转化为证明线线垂直，再根据向量数量积公式，即可证明. 【详解】（1）设， 由于，即， 所以，同理可得， 由题意可得， 所以； （2）因为， 所以， 所以，同理可证， 又因为平面． 所以平面. 16．（25-26高二·全国·寒假作业）在底面是矩形的四棱锥中，底面，点分别是的中点，. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量表示可得； （2）利用空间向量表示，再结合面面垂直的判定定理可证明. 【详解】（1）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.点分别是的中点，，. ，即. 又平面平面，所以平面. （2）证明：由（1）可知，， 因为， 所以，即. 又，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.2 空间中的平面与空间向量 知识点1求平面的法向量 1.平面的法向量 (1)定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，也称n与平面α垂直，记作n⊥α. (2)性质：①如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量. ②如果n是平面α的一个法向量，则对任意实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行. ③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定. 2.利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的一个法向量为n＝(x，y，z). (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组. (4)解方程组： (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量. 【注意】(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行. 知识点2利用法向量证明空间中的位置关系 1.直线与平面平行、垂直的判定 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则 n∥v⇔l⊥α； n⊥v⇔l∥α，或l⊂α. 2.两平面平行、垂直的判定 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，则 n1⊥n2⇔α1⊥α2； n1∥n2⇔α1∥α2，或α1与α2重合. 知识点3三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.简记为：和射影垂直，则和斜线垂直. 三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 简记为：和斜线垂直，则和射影垂直. 考点一　求平面的法向量 考点二　利用空间向量证明平行关系 考点三　利用空间向量证明垂直关系 考点四　利用空间向量解决探究性问题 考点一　求平面的法向量 1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）如图，四棱柱为正方体，则（    ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 3．（25-26高二下·江苏常州·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面，其中，，点在棱上，，点为中点． (1)求的模长； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求平面的法向量． 4．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 5．（25-26高二下·甘肃平凉·期中）（多选）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 6．（25-26高二下·全国·课后作业）如图，正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为4，是棱的中点.以棱的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.求直线的方向向量与平面的法向量； 考点二　利用空间向量证明平行关系 7．（2026·广东深圳·模拟预测）已知正方体，点E，F，G分别是线段，和上的动点，正确的是（     ） A．对于任意给定的点，存在点，使得 B．对于任意给定的点，存在点，使得 C．对于任意给定的点G，存在点F，使得 D．对于任意给定的点F，存在点G，使得 8．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、．设点、、、分别为、、、的重心． (1)试用向量方法证明、、、四点共面； (2)试判断平面与平面的位置关系，并用向量方法证明你的判断． 9．（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，， (1)求证：平面平面; (2)线段上，是否存在点，使得平面. 10．（2026·山东枣庄·三模）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 12．（2026高三·全国·专题练习）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，侧棱平面，且，E为BC的中点，F为DP上的点，．当时，证明：平面． 13．（25-26高二上·陕西西安·期中）我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 考点三　利用空间向量证明垂直关系 14．（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 15．（2026·广西贵港·三模）（多选）正方体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则有（   ） A．与平面平行 B． C．平面 D．四边形的面积为 16．（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 17．（25-26高二下·江苏苏州·期中）如图，在平行六面体中，，． (1)用表示，并求的长； (2)求证：平面． 18．（25-26高三上·湖北·开学考试）（多选）如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，M是AD的中点，P是BM的中点，，则下列结论正确的有（　　） A．BC⊥平面ACD B．存在λ，使得PQ⊥平面ACD C．存在λ，使得PQ∥平面BCD D．若存在λ，使得PQ⊥平面ABD，则 考点四　利用空间向量解决探究性问题 19．（25-26高二上·新疆和田·期末）（多选）如图，在正方体中，，是棱的中点，是棱的中点，则下列说法正确的是（     ） A．存在，使得 B．存在，使得 C．当时，平面 D．异面直线与夹角的余弦值为 20．（25-26高一下·北京·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点为的中点，点是侧面上（包括边界）的动点，点是线段上的动点，给出以下结论： ①存在点，使得对任意点，都有； ②存在无数组点和点，使得； ③存在唯一的点，使得平面； ④存在点和点，使得平面平面； ⑤存在点，使得其到直线的距离为． 其中所有正确结论的序号是______． 21．（2026·广东肇庆·二模）（多选）在正四棱柱中，，点分别为棱上的点（含端点），则（    ） A．当为的中点时，存在点，使得平面 B．当为的中点时，存在点，使得平面平面 C．对任意给定的点，存在点，使得 D．对任意给定的点，存在点，使得 22．（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）如图，已知平行六面体，若空间中一点P满足，其中，则（   ） A．存在x，y，使得P在直线上 B．当时，P在平面内 C．当时，平面 D．存在x，y，使得平面 23．（25-26高二上·北京丰台·期末）如图，正方体中、是线段上的动点，则下列结论中不正确的是（   ）    A．存在点，使得平面 B．对于任意点， C．存在点，使得平面 D．对于任意点，都是锐角三角形 24．（25-26高二上·安徽池州·期中）如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，是四边形内一动点，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 1．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏徐州·期中）若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·四川成都·期中）已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（   ） A． B．2 C．2或 D．或1 4．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且PD=AD=2，点E，F分别在侧棱PA，PC上，且，，过点B，E，F的平面α截四棱锥的截面面积为（    ） A．2 B．2 C．3 D．3 5．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若且，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．-13 6．（2026·山东·一模）如图所示，已知三棱锥的各棱长均相等，分别是所在棱，，的中点，有下列说法： ①；②平面； ③平面；④平面平面． 其中，说法正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026·重庆·一模）已知正四棱柱中，，则（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 8．（25-26高二下·福建漳州·期中）（多选）给出下列命题，其中正确的有（ ） A．两个不同的平面的法向量分别是，则 B．若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线 C．若空间向量，，则与的夹角为钝角 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则或 9．（2026·湖北黄石·一模）（多选）如图，在正方体中，称各面正方形的对角线为面对角线，称为体对角线．设分别为的中点，则（   ） A．存在面对角线与平面平行 B．存在体对角线与平面平行 C．存在面对角线与平面垂直 D．存在体对角线与平面垂直 10．（2026·福建·二模）（多选）在正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 11．（25-26高三上·贵州黔南·期末）（多选）在所有棱长都相等的直四棱柱中，，分别是，的中点，且，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 12．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 13．（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点（包括边界），平面，则点的轨迹的长度为_________. 14．（25-26高二上·广东汕头·期中）如图，在棱长为4的正方体中，点在上，且，点在上，且，若平面上存在一点使得平面，则点的坐标为______.    15．（25-26高二上·山东青岛·期末）如图，在平行六面体中，且. (1)求的长度； (2)求证：平面. 16．（25-26高二·全国·寒假作业）在底面是矩形的四棱锥中，底面，点分别是的中点，. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $