第09讲 点到直线的距离（9考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019选择性必修第一册）

第09讲 点到直线的距离 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 知识点 1 点到直线的距离 点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. 知识点2 两条平行直线之间的距离 两条平行直线间的距离：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝ 提醒：两直线方程中x、y的系数必须相同，不同的话，应该先整理. 考点一：求点到直线的距离 例1.（23-24高二下·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 【变式1-1】（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知直线l的法向量为，且经过点，则原点O到l的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．点到直线的距离是 D．若直线：，则 【变式1-3】（23-24高二下·上海·期中）点到直线的距离为 . 考点二：已知点到直线的距离求参数 例2.（23-24高二下·上海静安·阶段练习）直线l经过点，且点到l的距离等于1，求直线l的方程． 【变式2-1】（21-22高二下·安徽芜湖·阶段练习）点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 【变式2-2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，点到直线的距离等于，则 【变式2-3】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知到直线的距离等于3，则a的值为 . 考点三：直线围成图形的面积 例3.（23-24高二上·江苏·开学考试）已知的边所在直线方程为，边所在直线方程为，边的中点为.求： (1)求点坐标； (2)求的面积. 【变式3-1】（22-23高二上·云南昆明·期中）在△ABC中，点，，，则的面积为 ． 【变式3-2】（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求的面积， 【变式3-3】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求直线CD的方程； (2)求平行四边形ABCD的面积. 考点四：求到两点距离相等的直线方程 例4.（23-24高二上·山东烟台·期中）已知直线l过点，求满足下列条件的直线l的方程． (1)在两坐标轴上的截距相等； (2)，到直线l距离相等． 【变式4-1】（23-24高二上·全国·单元测试）已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式4-2】（23-24高二上·重庆永川·阶段练习）已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【变式4-3】（23-24高二上·陕西渭南·期中）已知直线和直线的交点为，求过且与和距离相等的直线方程； 考点五：求平行直线之间的距离 例5.（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线与直线． (1)若这两条直线垂直，求实数的值； (2)若这两条直线平行，求这两条平行线间的距离． 【变式5-1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【变式5-2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线与互相平行，则 ，与之间的距离为 . 考点六：由距离求与已知直线平行的直线方程 例6.（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知直线过点、，求与直线平行且距离为的直线的方程. 【变式6-1】（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式6-2】（多选）（2023高二上·全国·专题练习）到直线的距离等于的直线方程可能为（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（多选）（23-24高二上·山西运城·期中）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（    ） A． B． C． D． 考点七：直线关于点对称问题 例7.（21-22高二上·湖北孝感·期末）设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【变式7-1】（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【变式7-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【变式7-3】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 考点八：直线关于直线对称问题 例8.（22-23高二·全国·课堂例题）求直线关于直线对称的直线的方程． 【变式8-1】（23-24高二上·广东深圳·期中）与直线关于轴对称的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（20-21高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 考点九：由平行线之间距离、两点到直线距离相等求参数 例9.（多选）（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 【变式9-1】（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 【变式9-2】（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【变式9-3】（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 2.（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点及直线上一点，则的值不可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）若点到直线的距离为4，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 4．（23-24高二上·山东青岛·期中）直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高二上·安徽芜湖·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则的值可能为（    ） A．3 B．9 C．12 D．15 6.（多选）（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知、、，则（    ） A．直线的方程为 B．点到直线的距离为 C．为等腰直角三角形 D．的面积为 7．（23-24高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 8．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线．求此直线分别关于坐标轴、坐标原点及直线、对称的直线的方程． 9．（23-24高二下·宁夏吴忠·开学考试）已知的顶点，，. (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积. 10．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知等腰的一个顶点在直线：上，底边的两端点坐标分别为，． (1)求边上的高所在直线方程； (2)求点到直线的距离． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 点到直线的距离 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 知识点 1 点到直线的距离 点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. 知识点2 两条平行直线之间的距离 两条平行直线间的距离：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝ 提醒：两直线方程中x、y的系数必须相同，不同的话，应该先整理. 考点一：求点到直线的距离 例1.（23-24高二下·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】先求出直线恒过定点的坐标，然后代入点到直线的距离公式求解即可. 【详解】直线可化为， 令，解得，于是此直线恒过点. 由点到直线的距离公式得到直线的距离. 故答案为： 【变式1-1】（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知直线l的法向量为，且经过点，则原点O到l的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线点法式得直线方程，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设点为直线上一点，则，所以， 即直线的方程为，所以原点O到l的距离为. 故选：C. 【变式1-2】（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．点到直线的距离是 D．若直线：，则 【答案】B 【分析】求解直线的倾斜角判断A；求解直线方程判断B；点到直线的距离判断C；利用直线的斜率乘积判断D. 【详解】对于A，直线，直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为，所以A错误； 对于B，过与直线平行的直线方程是， 即，故B正确； 对于C，点到直线的距离是，所以C错误； 对于D，直线：的斜率为，故，故D错误. 故选：B． 【变式1-3】（23-24高二下·上海·期中）点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 考点二：已知点到直线的距离求参数 例2.（23-24高二下·上海静安·阶段练习）直线l经过点，且点到l的距离等于1，求直线l的方程． 【答案】或 【分析】当直线斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l的方程为；当直线与x轴垂直时，方程为也符合题意．由此即可得到此直线l的方程． 【详解】当直线不垂直于x轴时，设直线的方程为，即 ∵点到的距离为1， ∴，解之得， 得的方程为． 当直线与x轴垂直时，方程为，点到的距离为1， ∴直线的方程为或． 【变式2-1】（21-22高二下·安徽芜湖·阶段练习）点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 【答案】C 【分析】根据题意，设点，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为点为轴上一点，可设点， 又因为点到直线的距离等于1，可得， 整理得，即，解得或， 所以点的坐标为或. 故选：C. 【变式2-2】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，点到直线的距离等于，则 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式，列式计算即得. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 【变式2-3】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知到直线的距离等于3，则a的值为 . 【答案】或 【分析】由距离公式，解方程得出a的值. 【详解】由距离公式可得，， 即，解得或. 故答案为：或. 考点三：直线围成图形的面积 例3.（23-24高二上·江苏·开学考试）已知的边所在直线方程为，边所在直线方程为，边的中点为.求： (1)求点坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用中点坐标公式及点在直线上即可求解； （2）根据（1）的结论及直线的斜率公式，利用直线的点斜式方程和两点间的距离公式，结合点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）设，根据中点公式结合点在直线上，点在直线上，则有 ，解得， 所以点坐标为. （2）由（1）知，， 所以, 所以直线方程为，即. 所以. 由，解得， 所以. 点到直线的距离为 ， 所以的面积为 【变式3-1】（22-23高二上·云南昆明·期中）在△ABC中，点，，，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】由直线的两点式可得直线的方程，再由点到直线的距离公式可求出边上的高，再由两点间距离公式可得，再结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由两点式可得直线的方程为，即为， 再由点到直线的距离公式可得， 点到直线的距离， 且两点间的距离为， 所以的面积为. 故答案为： 【变式3-2】（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求的面积， 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用垂直关系和两点连线斜率公式可求得三条高所在直线斜率，利用直线点斜式方程可整理得到结果； （2）利用点到直线距离公式和两点间距离公式可分别求得底边长和高，代入三角形面积公式即可. 【详解】（1），，， 边上的高所在直线斜率，边上的高所在直线斜率，边上的高所在直线斜率， 边上的高所在直线方程为：，即； 边上的高所在直线方程为：，即； 边上的高所在直线方程为：，即. （2）所在直线方程为：，即， 点到边的距离， 又， 的面积. 【变式3-3】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求直线CD的方程； (2)求平行四边形ABCD的面积. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由平行四边形ABCD的性质求出CD的斜率，由此能求出直线CD的方程； （2）求出点到直线CD的距离d和，由此能求出平行四边形的面积． 【详解】（1）∵平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，， ∴， ∴直线CD的方程为：， 整理得直线CD的方程为． （2）点到直线CD的距离， ， ∴平行四边形的面积. 考点四：求到两点距离相等的直线方程 例4.（23-24高二上·山东烟台·期中）已知直线l过点，求满足下列条件的直线l的方程． (1)在两坐标轴上的截距相等； (2)，到直线l距离相等． 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）讨论截距是否为0，求对应直线方程； （2）讨论两点与直线的位置，利用直线平行、点对称求直线方程. 【详解】（1）若直线过原点，令，则，故直线为； 若截距不为0，令，则，故直线为； 综上，直线方程为或. （2）若，在直线的同一侧，即直线直线， 而，故直线为，则； 若，分别在直线的两侧，即关于直线上一点对称， 所以中点在直线上，又直线l过点，故直线为； 综上，直线l的方程为或. 【变式4-1】（23-24高二上·全国·单元测试）已知过点的直线，且点与点到直线l的距离相等，则直线的方程为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据直线有无斜率，分类讨论，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与点到的距离为1，符合题意， 当直线的斜率存在时，设为， 则可设直线方程为：，即， 由于点与点到直线的距离相等， 则，解得， 故直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 故选：C． 【变式4-2】（23-24高二上·重庆永川·阶段练习）已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】根据点到直线的距离公式，即可根据直线有无斜率求解. 【详解】当直线有斜率时，设直线方程为， 到直线的距离相等，则，解得， 所以直线方程为，即， 当直线无斜率时，则直线方程为，此时到直线的距离均为3，符合题意， 综上可得：或， 故答案为：或 【变式4-3】（23-24高二上·陕西渭南·期中）已知直线和直线的交点为，求过且与和距离相等的直线方程； 【答案】或 【分析】求出交点坐标，然后分类求解，一是所求直线与直线平行，一是所求直线过线段中点． 【详解】联立，解得，交点为， 分两种情况：所求直线与直线平行或所求直线过线段的中点，结合点斜式可得出所求直线的方程.直线的斜率为，线段的中点坐标为. ①若所求直线与直线平行时，则所求直线的方程为，即； ②若所求直线过的中点时，则所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即. 综上所述，所求直线方程为或. 考点五：求平行直线之间的距离 例5.（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线与直线． (1)若这两条直线垂直，求实数的值； (2)若这两条直线平行，求这两条平行线间的距离． 【答案】(1)2； (2). 【分析】（1）利用两条直线垂直的充要条件，列式计算即得. （2）由两条直线平行求出，再利用平行线间距离公式计算即可. 【详解】（1）直线，即与直线垂直， 则，解得， 所以实数的值为2. （2）由这两条直线平行，得，解得， 则直线为， 所以这两条平行线间的距离. 【变式5-1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】平行直线和之间的距离. 故选：A 【变式5-2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行可求，根据平行线间距离公式计算后可得正确的选项. 【详解】因为，所以，故，故. 故之间的距离为， 故选：D. 【变式5-3】（23-24高二上·河北邢台·期末）已知直线与互相平行，则 ，与之间的距离为 . 【答案】 【分析】根据直线平行的充要条件和平行直线的距离公式可得. 【详解】因为直线与互相平行， 所以，解得， 则， 所以与之间的距离. 故答案为：；. 考点六：由距离求与已知直线平行的直线方程 例6.（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知直线过点、，求与直线平行且距离为的直线的方程. 【答案】或 【分析】求出直线的方程，根据所求直线与直线平行，设所求直线方程，结合平行线间的距离公式求出参数的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】解：直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 设所求直线方程为，则， 即，解得或， 故所求直线方程为或. 【变式6-1】（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】设所求的直线方程为，根据平行线间距离公式列方程即可求出，得出答案. 【详解】设所求的直线方程为， 由题意得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：B 【变式6-2】（多选）（2023高二上·全国·专题练习）到直线的距离等于的直线方程可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先根据题意分析出所求直线与已知直线平行；再设出直线方程，根据平行线间距离公式即可得出答案. 【详解】因为所求直线与直线的距离为， 则所求直线与已知直线平行. 设所求直线方程为， 则， 解得或， 故所求直线方程为或. 故选 ：CD 【变式6-3】（多选）（23-24高二上·山西运城·期中）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设所求直线方程为，再利用平行直线的距离公式可得. 【详解】设所求直线的方程为，由题意可得，解得或． 故所求直线的方程为或． 故选：AB 考点七：直线关于点对称问题 例7.（21-22高二上·湖北孝感·期末）设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程求得，根据垂直关系设出直线的方程，将点代入计算即可求解； （2）法一：根据平行关系设出直线的方程，然后利用到两条直线的距离相等列式求解即可； 法二，设直线上任意一点，利用对称性求得点关于点对称的点，将坐标代入已知直线方程，化简即可求解. 【详解】（1）由得交点， 由直线与直线垂直，则可设直线的方程为， 又直线过点，代入得，则， 所以直线的方程为； （2）法一：由题意可得直线与直线平行， 则可设直线方程为：， 由直线与直线关于点对称，得到两条直线的距离相等， 即，得（舍）或，所以直线的方程为. 法二：设直线上任意一点，则点关于点对称的点为， 且点在直线上，得， 化简得直线的方程为. 【变式7-1】（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 【变式7-2】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 【变式7-3】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 考点八：直线关于直线对称问题 例8.（22-23高二·全国·课堂例题）求直线关于直线对称的直线的方程． 【答案】 【分析】 联立方程组求得两直线的交点，再在直线上取点，设点关于直线的对称点为，得出方程组，求得点点的坐标为，进而求得直线的方程. 【详解】 联立方程组，解得所以直线与相交，且交点为， 可得点也在直线上． 再在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 可得，解得，即点的坐标为， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故直线的方程为. 【变式8-1】（23-24高二上·广东深圳·期中）与直线关于轴对称的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在所求直线上任取一点，则点关于轴的对称点在直线，将点的坐标代入直线的方程，可求出所求直线的方程. 【分析】在所求直线上任取一点，则点关于轴的对称点在直线上， 故所求直线方程为，即. 故选：A. 【变式8-2】（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案. 【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点， 则，解得， ∵点在直线上，即， ∴，化简得，即为所求直线方程. 故选：B. 【变式8-3】（20-21高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）由于，所以，可设的方程为，在直线上取点，求出点关于直线的对称点，代入方程，即得解； （2）与的交点坐标为也在上，另取上不同于的一点，求出关于的对称点为，利用两个点坐标求出直线方程，即得解 【详解】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 考点九：由平行线之间距离、两点到直线距离相等求参数 例9.（多选）（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】BD 【分析】将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解. 【详解】将直线化为， 则，之间的距离， 即，解得或． 故选：BD． 【变式9-1】（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 【答案】C 【分析】根据斜率公式以及中点坐标即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得． 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得． 故选：C 【变式9-2】（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【答案】D 【分析】求出点到直线的距离和点到直线的距离，二者相等求解方程即可. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或. 故选：D. 【变式9-3】（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 【答案】D 【分析】利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由题意可知，直线与直线平行，所以， 因为直线与直线间的距离为2， 所以，解得或. 故选：D. 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式直接求值即可. 【详解】原点到直线间的距离是：. 故选：A 2.（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点及直线上一点，则的值不可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】求出点到直线的距离，易知即可得出结论. 【详解】易知点到直线的距离为， 所以， 因此的值不可能是1. 故选：A 3．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）若点到直线的距离为4，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】根据点到直线距离公式列出方程，求出答案. 【详解】点到直线的距离为4， 可得，解得. 故选：D. 4．（23-24高二上·山东青岛·期中）直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线斜率之间的关系，以及所求直线过已知直线与x轴交于点可得. 【详解】直线的斜率为2，与x轴交于点， 则与关于x轴对称的直线斜率为，并过点， 所以，所求方程为，即. 故选：D 5．（多选）（23-24高二上·安徽芜湖·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则的值可能为（    ） A．3 B．9 C．12 D．15 【答案】BC 【分析】根据平行关系求出，两平行线间的距离求出可得答案. 【详解】由题意知，解得，所以：， 又：，即， 所以，解得或， 所以或． 故选：BC． 6.（多选）（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知、、，则（    ） A．直线的方程为 B．点到直线的距离为 C．为等腰直角三角形 D．的面积为 【答案】ABC 【分析】利用截距式方程可判断A选项；利用点到直线的距离公式可判断B选项；利用斜率关系以及两点间的距离公式可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的方程为，整理得，A对； 对于B选项，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为，B对； 对于C选项，，，则， 所以，又，， 所以，所以为等腰直角三角形，C对； 对于D选项，的面积为，D错误. 故选：ABC. 7．（23-24高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 【答案】 【分析】根据两直线平行的条件，求出的值，再利用两条平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线的方程可化简， 而直线，即直线， 它们之间的距离为， 故答案为：；. 8．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线．求此直线分别关于坐标轴、坐标原点及直线、对称的直线的方程． 【答案】答案见解析 【分析】根据直线关于直线对称的变换规则计算可得. 【详解】直线， 在原方程中用代即得到直线关于轴对称的直线方程， 故直线关于轴对称得到； 在原方程中用代即得到直线关于轴对称的直线方程， 故直线关于轴对称得到； 在原方程中用代、用代即得到直线关于原点对称的直线方程， 故直线关于原点对称得到； 在原方程中以代，以代即得到直线关于直线对称的直线方程， 故直线关于直线对称的直线方程为； 在原方程中以代，以代即得到直线关于直线对称， 故直线关于直线对称的直线方程为，即； 9．（23-24高二下·宁夏吴忠·开学考试）已知的顶点，，. (1)求边所在直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）求出直线的斜率，直接利用点斜式化简即可； （2）求出点A到直线的距离和，再结合三角形面积公式即可得结果. 【详解】（1）直线的斜率， 由直线方程的点斜式可得， 化简可得. （2）点到直线的距离， 且， 则. 10．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知等腰的一个顶点在直线：上，底边的两端点坐标分别为，． (1)求边上的高所在直线方程； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的中点的坐标，利用垂直关系得到高所在直线的斜率，得到高所在直线方程； （2）联立两直线得到点的坐标，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）由题意可知，为的中点， ，， ． 又， ． 所在直线方程为，即． （2）由，解得，所以． 又直线方程为，即． 点到直线的距离． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$