第十五讲 函数的表示法-2026年初高中数学衔接专题讲义

2026年初高中衔接专题讲义 第十五讲 函数的表示法（原卷版） 【知识点透析】 一、函数的三种表示方法 二、函数解析式的四种求法 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出 三、分段函数 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 【知识点精讲】 题型一 分段函数 【例1】．28．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【例2】设，则的值为（    ） A．9 B．11 C．28 D．14 【例3】已知函数若，则的值为（    ） A． B．或2 C．或2 D．或 【例4】设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，则（ ） A．5 B． C． D． 【变式4】（（2022·河南安阳·高一期末）设，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【变式5】已知函数,则使得的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二 函数的解析式 （1） 待定系数法求函数解析式 【例5】已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【例6】若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【例7】．已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（    ） A．3 B．8 C．9 D．16 【变式1】若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．设函数为一次函数，且满足，则=（ ） A． B． C． D． 【变式3】．已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． （2）配凑法求函数解析式 【例8】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】若函数，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】若，则（    ） A． B． C． D．11 （3）换元法求函数解析式 【例9】．已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例10】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【例11】．若函数，且，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．3 【变式1】已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【变式3】．已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式4】．已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． （3）消元法求函数解析式 【例12】已知函数满足，则（    ）． A． B． C． D． 【例13】已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【例14】已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】．若函数满足，则（ ） A．0 B．2 C．3 D． 【变式2】．已知函数的定义域为，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】．（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 题型三 函数的值域 【例题15】若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【例16】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【例17】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【例题18】．已知，则函数的最小值为___________. 【例19】．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数f (x)，，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数f(x)=1-的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3】函数值域是（    ） A． B． C． D． 【变式4】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式5】．函数（）的值域为（ ） A． B． C． D． 【变式6】．（2022·四川德阳高一专题检测）函数的值域为                                             （    ） A． B． C． D． 题型四 图像法表示函数 【例20】周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．小宇周日去电影院看电影，从家出发匀速步行一段路后发现快迟到了，就匀速跑步前进，看完电影后匀速步行回家，下面图象由与上述事件吻合的是（    ） A． B． C． D． 题型五 列表法法表示函数 【例21】函数由下表给出，则（ ） x 1 2 3 4 2 4 3 1 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】若函数的解析式满足下表，则（    ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A．-3 B．1 C．2 D．3 【变式2】已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（ ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【变式3】已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初高中衔接专题讲义 第十五讲 函数的表示法（解析版） 【知识点透析】 一、函数的三种表示方法 二、函数解析式的四种求法 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出 三、分段函数 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 【知识点精讲】 题型一 分段函数 【例1】．28．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】D 【分析】根据分段函数的解析式计算直接得出结果. 【详解】由题意知，，， 所以. 故选：D 【例2】设，则的值为（    ） A．9 B．11 C．28 D．14 【答案】B 【分析】由，结合函数解析式可得，再由解析式求求结论. 【详解】因为，， 所以， 又，故，， 所以. 故选：B 【例3】已知函数若，则的值为（    ） A． B．或2 C．或2 D．或 【解题思路】分与两段讨论，分别建立方程求解即可. 【解答过程】①当时，由，解得， 其中不满足题意，故； ②当时，由，解得，满足，故； 综上所述，则的值为或. 故选：C. 【例4】设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求出，再结合函数解析式分两段得到不等式组，解得即可. 【解答过程】因为，所以， 不等式等价于或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 【变式1】．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，，，故选：B 【变式2】已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数的概念直接代入解析式计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 【变式3】已知函数，则（ ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 所以，故选：A ． 【变式4】（（2022·河南安阳·高一期末）设，，则的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】A 【分析】根据所给分段函数解析式计算可得； 【详解】解：因为，， 所以，所以． 故选：A 【变式5】已知函数,则使得的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解分段函数不等式，需要对分类讨论，分别求解各段上的范围，最后并起来即可. 【详解】当时，由可得，，，解得. 当时，由可得，， 即恒成立，所以. 综上可得，使得的的取值范围为. 故选：D. 题型二 函数的解析式 （1） 待定系数法求函数解析式 【例5】已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】设出函数解析式，利用待定系数法求解. 【详解】由为一次函数，设， 依题意，，整理得， 因此，解得，所以． 故选：A 【例6】若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【例7】．已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（    ） A．3 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【分析】根据题意设，则，然后由列方程组求出的值，从而可得的解析式，进而可求出 【详解】根据题意设，则， 因为， 所以，解得， 所以， 所以， 故选：C 【变式1】若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答. 【详解】设，由题设有， 解得，所以． 故选：B． 【变式2】．设函数为一次函数，且满足，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】．A 【解析】 解：根据题意设， 所以根据题意得：， 所以，解得：或. 所以或. 故选：A. 【变式3】．已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二次函数的解析式、已知函数类型求解析式 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可. 【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线， 设二次函数为， 因的最大值是8，所以，当时， ， 即二次函数， 由得:，解得：， 则二次函数， 故选：A. （2）配凑法求函数解析式 【例8】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】用配凑法得到含有的解析式，即可得. 【详解】因为函数，所以函数. 故选：A 【变式1】若函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】将函数右侧表达式配方，整理为关于​的完全平方形式，再替换变量得到并注明定义域． 【详解】， 所以． 故选：D． 【变式2】若，则（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【知识点】求函数值、已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法求得解析式为，即可求解. 【详解】由题意知，， 所以，则. 故选：A （3）换元法求函数解析式 【例9】．已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】直接利用换元法求解即可，注意定义域的限制. 【详解】设，则，因为，可得， 所以函数． 故选：C． 【例10】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则，因为，则， ， 所以. 【例11】．若函数，且，则实数的值为（    ） A． B．或 C． D．3 【答案】B 【分析】令，配凑可得，再根据求解即可 【详解】令（或），，，，. 故选；B 【变式1】已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法令代入可得. 【详解】令， 则，故，. 故选：C 【变式2】已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用配凑法求函数解析式． 【详解】因为， 所以，则. 故选：C 【变式3】．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】．B 【解析】令，则， 据此可得：， 所以的解析式为. 故选：B 【变式4】．已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则，代入已知解析式可得的表达式，再将换成即可求解. 【详解】令，则 ， 所以， 所以， 故选：A. （3）消元法求函数解析式 【例12】已知函数满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】以代x，利用解方程组法求解即可. 【详解】以代x，由①，得②， 则①②，得，则． 故选：A 【例13】已知函数满足，则（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】函数方程组法求解析式、求函数值 【分析】分别令联立方程组，求得答案. 【详解】因为，分别令， 联立得，解得， 故选：C. 【例14】已知函数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】根据题意可得，，解方程即可. 【详解】因①， 用代替①中的得：②， 则得：，解得. 故选：D. 【变式1】．若函数满足，则（ ） A．0 B．2 C．3 D． 【答案】．D 【解析】由，可得， 联立两式可得，代入可得. 故选：D. 【变式2】．已知函数的定义域为，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】．D 【解析】 令为，则， 与联立可解得，． 故选：D． 【变式3】．（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【答案】（1），；（2）或；（3），. 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式 【分析】（1）利用换元法求函数的解析式； （2）利用待定系数法求函数的解析式； （3）用代替，构造函数方程，求函数的解析式. 【详解】（1）设，则，，且， 所以，. 用代替，得：，. （2）因为为一次函数，可设，. 所以， 又， 所以或. 所以或. （3）因为① 用代替，得② ①②得：，. 题型三 函数的值域 【例题15】若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据函数定义域及不等式的性质求解值域即可. 【详解】函数的定义域为， 由，可得， ，即函数的值域为. 故选：A. 【例16】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求二次函数的值域或最值、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据题意，由二次函数的性质，即可得到结果. 【详解】因为函数的对称轴为， 则当时，， 当时，，即. 故选：B 【例17】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据，可得答案. 【详解】， ，， 从而可知函数的值域为. 故选：D. 【例题18】．已知，则函数的最小值为___________. 【答案】 【分析】由于，然后利用基本不等式可求得答案 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9， 故答案为：9 【例19】．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】令，则，可得，可得出，利用二次函数的单调性可求出的值域. 【详解】令，则，可得， 所以， 因为二次函数在上为增函数， 当时，，故函数的值域为. 故选：D. 【变式1】已知函数f (x)，，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的对称轴和端点处的值即可求解值域. 【详解】,对称轴,当,又因为, 所以函数的值域为. 故选:D 【变式2】函数f(x)=1-的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】利用反比例型函数值域求法求解. 【详解】解：函数f(x)=1-的定义域为， 所以，则， 所以函数f(x)=1-的值域为， 故选：A 【变式3】函数值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：D 【变式4】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】先求出函数的值域，再要注意，进而可以求解． 【详解】解：令， 当时，，又， 所以，，即 所以， 故选：D． 【变式5】．函数（）的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】．A 【解析】 ，由于，∴，，， 于是，故函数的值域为. 故选：A. 【变式6】．（2022·四川德阳高一专题检测）函数的值域为                                             （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题通过换元法求值域，先令，将函数转化成二次函数进行求解. 【详解】函数的定义域是，令，则， ，所以， 因为，所以，所以原函数的值域为． 故选：D. 题型四 图像法表示函数 【例20】周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点 (学校) 的距离 与时间 的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图象法表示函数 【分析】根据该同学在行进过程中的前进方式的不同，直接确定对应函数图象即可. 【详解】第一段时间，该同学骑行共享单车由学校往漯湾古镇方向匀速骑行，前进了，则该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段上升的线段； 第二段时间休息了半小时，随时间变化，该同学离起点的距离并没有发生变化，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一条平行于x轴的线段； 第三段时间，原路返回，其距离起点应越来越近，因此该同学离起点(学校)的距离与时间的函数图象应是一段下降的线段； 第四段时间，调转车头继续向漯湾古镇方向前进，该部分对应的图象应和第一段时间的相似； 因此只有C选项符合. 故选：C. 【变式1】．小宇周日去电影院看电影，从家出发匀速步行一段路后发现快迟到了，就匀速跑步前进，看完电影后匀速步行回家，下面图象由与上述事件吻合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图象法表示函数 【分析】把时间与离家的路程变化，与速度有关，所以根据速度的大小来判断直线的斜率. 【详解】从家出发先匀速步行，此时直线的上升幅度较小，中间匀速跑步前进，此时直线的上升幅度较之前步行的增大，后面看电影的时间表示离家的距离没有发生变化，故直线呈水平状态，最后匀速步行回家，此时直线下降，最后减至离家的距离为. 根据以上判断，只有B吻合， 故选：B. 题型五 列表法法表示函数 【例21】函数由下表给出，则（ ） x 1 2 3 4 2 4 3 1 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】列表法表示函数 【分析】根据表中的对应关系，求解即可得到答案． 【详解】由表格可知，时，， 所以． 故选：D． 【变式1】若函数的解析式满足下表，则（    ） 0 1 2 3 -3 3 1 2 A．-3 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】求函数值、列表法表示函数 【分析】根据对应法则找到对应的值即可. 【详解】由表可知：， 故选：C. 【变式2】已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（ ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数值、列表法表示函数 【分析】结合表格中的数据，代入即可得到正确答案. 【详解】由表格得，，，， 则，， ，， 因此，只有C选项正确. 故选：C. 【变式3】已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ）    1 2 3 4      3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 【答案】C 【知识点】求函数值、列表法表示函数、函数图象的应用 【分析】根据函数的定义求值即可． 【详解】因为，所以． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $