第十二讲 集合的基本运算-2026年初高中数学衔接专题讲义

2026年初高中衔接专题讲义 第十二讲 集合的基本运算（原卷版） 【知识点透析】 【知识点1 并集】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 【知识点2 交集】 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 2．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 【知识点3 补集与全集】 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 3．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【知识点精讲】 题型一 并集、交集、补集的运算 【例1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】设集合，则（    ） A．B． C． D． 【例3】若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例4】已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 【例5】．已知集合， ，若，（   ） A． B． C． D． 【例6】已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【例7】（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·阶段练习）若全集，则（    ） A． B． C． D． 【例8】设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【例9】（2025·湖南·二模）已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 、【变式2】（25-26高一上·云南楚雄·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三上·辽宁·阶段检测）设全集，集合，则的值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 【变式4】．已知集合，，若，则实数a的值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5】．若集合，，则 A． B． C． D． 【变式6】（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式7】．已知集合，则（       ） A． B． C． D． 题型二 并集、交集、补集综合运算及性质的应用 【例9】．已知全集，集合，，，则集合（  ）A． B． C． D． 【例10】已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例11】（25-26高一上·山东济南·开学考试）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例12】．已知集合，，若，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【例13】已知集合，，若，则的取值范围是（    ）A． B． C． D． 【变式1】集合，，若，求实数的取值范围. 【变式2】（2025·浙江丽水·一模）已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5】设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 题型三 Venn图的应用 【例题14】．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【例题15】．已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 【例16】图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 题型四 容斥原理的应用 【例题17】．国庆期间，高一某班名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有人观看了《长津湖》，有人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（       ） A． B． C． D． 【例18】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【变式1】高一（1）班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【变式2】．某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加项公益活动的有28人，参加项公益活动的有33人，且，两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加项不参加项的有（       ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 题型五 集合新定义创新类型 【例19】．设、是非空集合，定义且，若，，则等于（   ） A．，或 B．，或 C． D． 【例20】（2025·江西九江·模拟预测）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 【变式1】已知集合，是实数集的子集，定义，若集合，，则（       ） A． B． C． D． 【变式2】设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”的个数是（ ） A．16 B．9 C．8 D．4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初高中衔接专题讲义 第十二讲 集合的基本运算（解析版） 【知识点透析】 【知识点1 并集】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 【知识点2 交集】 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 2．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 【知识点3 补集与全集】 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 3．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【知识点精讲】 题型一 并集、交集、补集的运算 【例1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题，再求集合并集运算即可. 【解答过程】因为，， 所以 故选：D. 【例2】设集合，则（    ） A．B． C． D． 【解题思路】先求出集合，再由并集的定义求解即可. 【解答过程】因为集合， 所以 . 故选：A. 【例3】若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求解集合，再求解两个集合的交集. 【解答过程】由题意可知，，则. 故选：D. 【例4】已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用交集的运算可得答案. 【解答过程】因为或， 所以. 故选：A. 【例5】．已知集合， ，若，（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由求出的值，进一步求出得答案. 【详解】因为， ，并且， 所以，所以. 故选：B. 【例6】已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据补集概念求解出结果. 【解答过程】因为，， 所以， 故选：B. 【例7】（23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·阶段练习）若全集，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据子集的定义结合补集运算即可判断. 【解答过程】因为，， 所以集合A不是集合B的子集，集合B不是集合A的子集， 又，且，所以. 故选：D. 【例8】设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据交集与补集的定义求解即可. 【解答过程】由题意，. 故选：C. 【例9】（2025·湖南·二模）已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用不等式性质、交集、并集、补集定义求解． 【解答过程】由题意，，所以. 故选：D. 【变式1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据交集的定义计算可得. 【解答过程】因为，， 所以. 故选：B. 【变式2】（25-26高一上·云南楚雄·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由集合的并集运算进行求解． 【解答过程】因为， 所以 ， 故选：D. 【变式3】（24-25高三上·辽宁·阶段检测）设全集，集合，则的值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【解题思路】根据补集运算以及集合相等解方程可得结果. 【解答过程】由以及可得； 即，所以，解得. 故选：A. 【变式4】．已知集合，，若，则实数a的值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为，所以或，解得：． 故选：C． 故选：C. 【变式5】．若集合，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的交并运算求、，注意是否存在包含关系，即可得答案. 【详解】因为，， 所以，，相互没有包含关系. 故选：B 【变式6】（25-26高一上·天津武清·阶段检测）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据集合的补集、交集的定义进行运算即可. 【解答过程】因为全集，集合， 所以. 又，则. 故选：A. 【变式7】．已知集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知：. 故选：C. 题型二 并集、交集、补集综合运算及性质的应用 【例9】．已知全集，集合，，，则集合（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合补集的运算法则进行求解. 【详解】集合， 又 故选：D 【例10】已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由并集的定义可知得到，讨论集合是否为空集，得到对应的参数的范围，再求并集得到结果. 【解答过程】因为，所以. 若，则，即； 若，则解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：B. 【例11】（25-26高一上·山东济南·开学考试）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】依题意可知，再对集合是否为空集进行分类讨论，解不等式可得结果. 【解答过程】由可知， 当时，可得，即，满足题意； 当时，可得，解得; 综上可知，实数的取值范围是. 故选：C. 【例12】．已知集合，，若，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】解：因为，且， 所以，解得，即； 故选：D 【例13】已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，求得或，结合，即可求解. 【解答过程】由集合，，可得或， 因为，则满足. 故选：A. 【变式1】集合，，若，求实数的取值范围. 【答案】． 由题意，知，因为，所以. （1）若，则1是方程的根，所以. 当时，，符合题意. （2）若，则2是方程的根，所以. 当时，，此时不满足，所以不符合题意. （3）若，则，解得，此时. 综上所述，的取值范围为. 【变式2】（2025·浙江丽水·一模）已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可. 【解答过程】由的元素个数是一个，且，得，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【变式3】已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求得或，结合，即可求解. 【解答过程】由集合，，可得或， 因为，则满足. 故选：A. 【变式4】已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求得或，结合，即可求解. 【解答过程】由集合，，可得或， 因为，则满足. 故选：A. 【变式5】设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）计算集合，根据集合交集并集定义计算即可； （2）由可得，分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）当时，， 所以， （2）由题意，得或， 因为，所以 ①当时，，满足； ②当时，， 所以， 所以，解得 综上所述，实数的取值范围是. 题型三 Venn图的应用 【例题14】．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】．B 【解析】，所以， 图象表示集合为， ，. 故选：B 【例题15】．已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 【解题思路】由题可知图中阴影部分表示，结合集合的交运算、并运算求解即可. 【解答过程】由题意知，，， 所以图中阴影部分表示或. 故选：A. 【例16】图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据图中阴影部分表示的集合的含义，即可得答案. 【解答过程】由图中阴影部分可知，阴影部分相应的元素要么在集合的交集中， 要么在集合的交集中， 故阴影部分用集合符号可以表示为， 故选：D. 【变式1】（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，求得和，结合补集的运算，即可求得阴影部分表示的集合. 【解答过程】由全集，集合， 可得，所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 【变式2】已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据图和集合之间的关系进行判断． 【解答过程】由图可知，阴影部分的元素为属于但不属于的元素构成， 所以用集合表示为． 因为集合，， 则，所以， 故选：B． 【变式3】如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合韦恩图的表示方法，利用集合的运算法则，结合选项，即可求解. 【解答过程】解：由题意得，阴影部分的区域内的元素且， 所以阴影部分可表示为或或. 故选：D. 题型四 容斥原理的应用 【例题17】．国庆期间，高一某班名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有人观看了《长津湖》，有人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的运算可得答案. 【详解】解：由已知得同时观看了这两部电影的人数为. 故选：A. 【例18】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【解题思路】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案. 【解答过程】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A. 【变式1】高一（1）班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】B 【解题思路】根据容斥原理求解. 【解答过程】设同时参加的人数有人， 则由容斥原理可得：， 解得， 故选：B. 【变式2】．某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加项公益活动的有28人，参加项公益活动的有33人，且，两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加项不参加项的有（       ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】设，两项公益活动都参加的有人，得出仅参加，项和两项公益活动都不参加的人数，列出方程，即可求解. 【详解】如图所示，设，两项公益活动都参加的有人， 则仅参加项的有人，仅参加项的有人， ，两项公益活动都不参加的有人， 由题意得，解得， 所以只参加项不参加项的有人）. 故选D． 题型五 集合新定义创新类型 【例19】．设、是非空集合，定义且，若，，则等于（   ） A．，或 B．，或 C． D． 【答案】A 【解题思路】解出集合，利用交集和并集的定义得出集合和，然后利用题中的定义可得出集合. 【解答过程】解不等式，即，解得，则集合. 所以，根据集合的定义可得或. 故选：A. 【例20】（2025·江西九江·模拟预测）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 【解题思路】根据交集和并集的定义求得，再根据的定义求解即可. 【解答过程】集合，集合 ， ， 共有10个元素. 故选：B． 【变式1】已知集合，是实数集的子集，定义，若集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求函数的值域求得，由此求得. 【详解】在上递减，所以， 的对称轴为轴，所以， 所以. 故选:B 【变式2】设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”的个数是（ ） A．16 B．9 C．8 D．4 【答案】B 【解析】由题意，对子集分类讨论： 当集合，集合可以是，共4中结果； 当集合，集合可以是，共2种结果； 当集合，集合可以是，共2种结果； 当集合，集合可以是，共1种结果， 根据计数原理，可得共有种结果. 故选：B. 学科网（北京）股份有限公司 $