第十一讲 集合间的基本关系-2026年初高中数学衔接专题讲义

2026年初高中衔接专题讲义 第十一讲 集合间的基本关系（原卷版） 【知识点透析】 【知识清单4 集合的子集】 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【知识清单5 集合相等与空集】 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【知识清单6 集合间关系的性质】 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 7【知识点精讲】 题型一 集合间关系的判断 【例1】．已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知集合，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D．∅ 【变式1】若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，则下列关系中正确的是　　 A． B． C． D． 题型二 求集合的子集（真子集） 【例3】已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）在下列集合中，是其真子集的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·浙江绍兴·三模）已知集合满足，则集合A可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3】集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 题型三 集合的子集（真子集）的个数问题 【例4】集合，,且，则集合的真子集的个数为（    ） A．5 B．15 C．31 D．32 【例5】．（2025·湖北武汉·高一校联考期中）已知集合的子集只有两个，则实数的值为______． 【变式1】（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合有且仅有1个子集，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 【变式2】已知集合，则满足条件的A的个数为（       ） A．16 B．15 C．8 D．7 【变式3】集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 【变式4】．定义，，，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合的真子集的个数是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 题型四 与空集有关的问题 【例6】下列关于空集的说法中，错误的是（ ） A．0 B． C． D． 【例7】下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】以下四个选项中，所表示的集合不是空集的是 A． B． C． D． 【变式2】下列四个集合中，是空集的是（ ） A． B． C． D． 题型五 两个集合相等问题 【例8】．下列各组集合表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例9】（2025·湖南长沙·高二湘府中学校考期末）已知实数集合若，则（　　） A． B．0 C．1 D．2 【变式1】已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】已知集合，，则N、P满足的关系是（    ） A． B． C． D．N与P交集为空集 题型六 Venn图表示集合的关系 【例10】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1】已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（       ） A． B． C． D． 题型七 集合关系的应用 【例11】设集合，且，则的值为________. 【例12】已知集合，.若，求实数的取值范围. 【例13】设集合，，满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例14】．（2022·江苏常州高一月考）设集合，，且． (1)求实数的取值范围；(2)当时，求集合A的子集的个数． 【变式1】．（2022·银川一中高一课时检测）已知集合，，若，则实数组成的集合为（       ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【变式3】．已知，，，且不是空集， （1）求集合的所有可能情况； （2）求、的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初高中衔接专题讲义 第十一讲 集合间的基本关系（解析版） 【知识点透析】 【知识清单4 集合的子集】 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【知识清单5 集合相等与空集】 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【知识清单6 集合间关系的性质】 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 7【知识点精讲】 题型一 集合间关系的判断 【例1】．已知集合，那么集合与Q的关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先得出集合，再根据集合的基本关系得出. 【解答过程】由题意可得，故集合是集合的真子集，即． 故选：B. 【例2】已知集合，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D．∅ 【答案】C 【解析】因为集合， 所以根据子集的定义可知，故选：C. 【变式1】若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可. 【解答过程】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 【变式2】已知集合，则下列关系中正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合， 中，0是一个元素，元素与集合之间是属于或者不属于关系，故错误； 中，不成立，不对，故错误；中，空集是任何集合的子集，故正确； 中，集合与集合之间是真子集或者子集以及相等关系，故错误； 故选C． 题型二 求集合的子集（真子集） 【例3】已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据真子集的定义进行求解即可. 【解答过程】因为集合的所有非空真子集为：， 所以有， 故选：D. 【变式1】（2025·陕西西安·模拟预测）在下列集合中，是其真子集的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据真子集定义判断已知集合与各项集合的包含关系即可. 【解答过程】是自身的子集，A错； 、与没有包含关系，B、D错； ，C对； 故选：C. 【变式2】（2025·浙江绍兴·三模）已知集合满足，则集合A可以是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题可得集合A可以是，. 【解答过程】 ， 集合A可以是，. 故选：D. 【变式3】集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 【解题思路】根据子集概念分析即可求解. 【解答过程】， 集合的所有子集有：， ， 1，3，5，7分别在子集中各出现8次，. 故选：B． 题型三 集合的子集（真子集）的个数问题 【例4】集合，,且，则集合的真子集的个数为（    ） A．5 B．15 C．31 D．32 【解题思路】根据题意，写出集合，根据集合所包含的元素个数，得到其真子集的个数. 【解答过程】由，， 所以，集合中含有5个元素， 所以集合的真子集个数为个. 故选：C. 【例5】．（2025·湖北武汉·高一校联考期中）已知集合的子集只有两个，则实数的值为______． 【答案】0或1 【分析】分类讨论确定集合中元素或元素个数后得出其子集个数，从而得结论． 【详解】时，，子集只有两个，满足题意， 时，若即，则，子集只有1个，不满足题意； 若，即，则集合有两个元素，子集有4个，不满足题意， 时，，，子集只有两个，满足题意， 所以或1. 故答案为：0或1， 【变式1】（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合有且仅有1个子集，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解题思路】结合集合子集的个数和方程根的情况可得. 【解答过程】方程的判别式， 因为集合仅有一个子集，所以集合为空集， 故. 故选：A. 【变式2】已知集合，则满足条件的A的个数为（       ） A．16 B．15 C．8 D．7 【答案】A 【分析】根据题意A中必须有1，2这两个元素，因此A的个数应为集合4，5，的子集的个数． 【详解】解：因为， 集合A中必须含有1，2两个元素，可以含有元素3，4，5，6， 因此满足条件的集合A为，2，，2，，2，，2，，2，3，，2，3，， 2，3，，2，4，，2，4，，2，5，，2，3，4，，2，3，4，， 2，3，5，，2，4，5，，2，3，4，5，共16个． 故选：A． 【变式3】集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 【答案】D 【分析】先求出，再找出中6的正约数，可确定集合，进而得到答案． 【详解】集合，, ， 故有个子集. 故选：D． 【变式4】．定义，，，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合的真子集的个数是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】先求出集合A*B＝{1，2，3，4}，由公式求出集合A*B的真子集的个数 【详解】∵A＝{0，1}，B＝{1，2，3}， ∴A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}＝{1，2，3，4}， 则A*B集合的真子集的个数是24﹣1＝15个， 故选：B 题型四 与空集有关的问题 【例6】下列关于空集的说法中，错误的是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合之间的关系可判断A、C选项，根据空集是任何集合的子集可判断B、D选项. 【详解】A：因为用于元素与集合之间，故A错误； B：因为空集是任何集合的子集，故B正确； C：因为中的元素是，故C正确； D：因为空集是任何集合的子集，故D正确； 故选：A 【例7】下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空集的定义，结合选项即可求解. 【解答过程】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集. 故选：B． 【变式1】以下四个选项中，所表示的集合不是空集的是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集含义逐一判断. 【详解】表示空集, 表示以空集为元素的集合，不是空集；因为无实数解，所以； 故选：B 【变式2】下列四个集合中，是空集的是（ ） A． B． C． D． 【答案】．D 【解析】选项A，；选项B，； 选项C，；选项D，，方程无解，.选:D. 题型五 两个集合相等问题 【例8】．下列各组集合表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【分析】根据集合相等的条件判断即可 【详解】选项A，两个集合表示点集元素与元素不一样，故A错误； 选项B，集合为点集，而集合为实数集，故不相同，所以B选项错误； 选项C，由集合中元素具有无序性，所以集合与集合相同，故C正确； 选项D，集合为实数集，而集合为点集，故不相同，所以D选项错误； 【例9】（2025·湖南长沙·高二湘府中学校考期末）已知实数集合若，则（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和,再根据集合元素的互异性可确定a，b的值，进而得出答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等， 得到或又根据集合互异性，可知， 解得或（舍），所以 故选:A. 【变式1】已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和，再根据集合元素的互异性可确定，的值，进而得出答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则， 故选：A 【变式2】已知集合，，则N、P满足的关系是（    ） A． B． C． D．N与P交集为空集 【解题思路】首先变形两个集合的形式，再根据特殊数集，进行比较，即可判断选项. 【解答过程】，， 因为，表示整数，，表示整数，所以两个集合元素相同，即. 故选：B. 题型六 Venn图表示集合的关系 【例10】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可. 【解答过程】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 【变式1】已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求得集合，判断出的关系，由此确定正确选项. 【解答过程】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以NM， 故选：B. 【变式2】．已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可得，由选项即可判断. 【详解】解：由图可知：， ， 由选项可知：， 题型七 集合关系的应用 【例11】设集合，且，则的值为________. 【分析】由，得到或，求得或，结合集合间的包含关系，即可求解. 【详解】由，可得或，解得或， 当时，，此时满足，符合题意； 当时，，此时满足，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或. 【例12】已知集合，.若，求实数的取值范围. 【分析】由题意，求得，再根据，结合韦达定理分和两种情况讨论即可求出答案． 【详解】由，则. ， 为方程的解集. ①若，则， 或或， 当时有两个相等实根，即不合题意，同理， 当时，符合题意； ②若则，即， 综上所述，实数的取值范围为或 【例13】设集合，，满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用集合包含关系得不等关系，从而求解． 【解答过程】， ， ， 由题意如图： ，解得a 【例14】．（2022·江苏常州高一月考）设集合，，且． (1)求实数的取值范围；(2)当时，求集合A的子集的个数． 【答案】(1){或} (2) 【分析】（1）按照集合是空集和不是空集分类讨论求解； （2）确定集合中元素（个数），然后可得子集个数． （1）当即时，，符合题意； 当时，有，解得． 综上实数的取值范围是或； （2）当时，，所以集合的子集个数为个． 【变式1】．（2022·银川一中高一课时检测）已知集合，，若，则实数组成的集合为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若，所以或，解出的值，将的值代入集合，检验集合的元素满足互异性. 【详解】因为，所以，解得，或，解得， 当时，，，，满足题意. 当时，，不满足集合的互异性. 当时，，，若，满足题意. 当时，，，若，满足题意. 故选：C. 【变式2】已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足； ②当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. （2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解， 所以实数不存在，即不存在实数使得. 【变式3】．已知，，，且不是空集， （1）求集合的所有可能情况； （2）求、的值. 【答案】（1）或或；（2）或或. 【解析】（1）解出集合，根据且可得出所有可能的集合； （2）根据（1）中集合所有可能的情况，结合韦达定理可求得、的值. 【详解】（1），且， 则或或； （2）若，由韦达定理可得，解得； 若，由韦达定理可得，解得； 若，由韦达定理可得，解得. 综上所述，或或. 学科网（北京）股份有限公司 $