专题9 动点问题与几何探究（2大考点）（吉林专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦动点问题与几何探究专题，汇编吉林省多地二模及模拟试题，23道题覆盖动态几何计算与综合探究，适配中考二模复习，强化数学思维与创新应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|23道|动点问题（矩形、等腰直角三角形运动）、几何探究（圆的翻折、图形旋转）|动点问题结合分段函数与面积计算，几何探究融入新定义（如“弦垂和”）及模型应用（如“一线三垂直”），贴合中考命题趋势|

的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题9动点问题与几何探究 ☆2大考点概览 考点01动点问题 考点02几何探究 考点01 动点问题 1.如图，在RtABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于点D,AD=4Cm,过点D作DE‖AC, 交AB于点E,DF‖AB,交AC于点F.动点P从点A出发以lcm/s的速度向终点D运动，过点P作 MN BC 交AB于点M,交AC于点V.设点P的运动时间为Xs,△1MN AEDE 与四边形 重叠部分的面 积为ycm2. M B B D 备用图 (1)AE= AF= cm, cm; (2)当点M与点E重合时，求x的值： (3)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围。 2.(25-26九下吉林长春东北师范大学附属中学期中)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=V5 AC=3,BH⊥AC于点H,点P为射线BH上一动点，作点B关于点P的对称点D,作点C关于点P的对 称点E,连结CD、DE、BE. 1/65 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H D B 备用图 (1)AB= ;Cos∠HBC= (2)求证：四边形BCDE是平行四边形： 3)当四边形BCDE为轴对称图形时，求BP的值： (4)当∠AEB=90°时，直接写出BP的值. 3.(25-26九下吉林长春德惠)如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,对角线AC与BD交于点 O,点P从点A出发，沿对角线AC向点C以每秒ICm的速度移动；同时点Q从点B出发，沿线段BA向点 A以每秒lCm的速度移动.P、Q两点有一点到达终点时全部停止移动.连接PQ,设点P移动时间为t秒， 回答下列问题： 个 B 备用图 (I)当△APQ△ABC时，求t的值： (2)点P到AB的距离是·（用含t的代数式表示）； 3)当t为何值时，以O、P、Q、B为顶点的四边形的面积等于11cm? ④)以点为圆心，QB长为半径作⊙Q.在运动过程中，是否存在⊙Q与矩形ABCD的对角线有三个公共 点，若存在，请直接写出的值或取值范围；若不存在，请说明理由. 4.(25-26九：吉林延边朝鲜族模拟)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4V2 2/65 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 动点P从点出发向终点C运动（不与点4、C重合》，速度为每秒5个单位长度.过点P作 Q⊥AB 于 点O,以PQ为边向右侧作矩形PQMN,且PN=2PQ.设点P运动时间为t秒. 图① 备用图 (I)用含t的代数式表示线段PN的长」 (2)当点N落在边BC上时，求t的值： 3)当点M在线段AB上时（不与点B重合），设矩形PQMN与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t之间 的函数关系式 5.(2026:吉林省吉林市二模)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4.点P从点A出发以每秒1个单位 长度的速度沿折线A→B一C向终点C匀速运动，过点P作PE⊥AD于点E,将PE绕点E顺时针旋转90° 得到FE,连接PF.设点P运动的时间为x秒，△PEF与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y, A(E)F 备用图 (I)当点F与点D重合时，x= (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围. 6.(2026九吉林省四平市·二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3.动点P从点A出发， 沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作PD⊥AB,交折线 AC-CB于点D,F是AB的中点，取PD的中点E,连接EF,设△PEF的面积为S，点P的运动时间为 秒 B 3/65 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)线段AC= (2)求线段PE的长（用含t的代数式表示）： 3)求S关于t的函数关系式. 7.(2026·吉林省松原市·二模)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm,BC=6cm,P,Q是△ABC边 上的两个动点，点P从点A出发沿A一B方向运动，速度为lCm/s,到达点B停止运动：点Q从点B出发 沿B→C→A方向运动，速度为2Cm/s,到达点A停止运动.它们同时出发，设出发时间为x秒， B (1)BP=_ (用含x的代数式表示)： (2)当X= 秒时，PQ∥AC: △PQB (3)设 的面积为’，求》关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围。 82026吉林省长春市检树市二模侧如图，已知在R△BC中，∠ABC=90,AB=6,am∠C1B-号 3. 动点M以每秒2个单位的速度，从点A出发，沿着A一B→C的方向运动，当点M到达点C时，运动停止」 点N是点M的关于点B的对称点，过点M作MO L AC于点Q,以MN,MQ为边作MNPO,设点M的 运动时间为t秒. B 备用图 (1)求BC的长： (2)分别求当t=2和t=5时，线段MN的长； 4/65 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)是否存在这样的t值，使得oMNP吧为菱形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由： (4)作点P关于直线MQ的对称点P,当点P'落在△ABC内部时，请直接写出t的取值范围. 考点02 几何探究 9.解答下列各题： (I)【探究】如图1，在⊙O中，将劣弧AB沿弦AB所在直线翻折，点C为劣弧AB上任意一点，翻折后点C 的对应点为D,连接AD并延长交⊙O于点E,连接BD、BE.探究BD与BE的数量关系，发现结论： BD=BE. C 图1 图2 图3 理由如下：如图1，连接AC、BC 由翻折可得 ∠ACB=∠ADB, ∠ACB+∠E=180°，（依据： ∠ADB+∠ =180°。 ∴BD=BE, 补全上面的证明过程. (2)【应用】如图2，在探究的条件下，在⊙O中，将劣弧AB沿弦AB所在直线翻折，连接AO并延长交翻 折后的弧于点M,交⊙O于点N,连接BM. ①请用圆规和无刻度的直尺在图2中作出MN的中点H.(不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用 黑色的签字笔描黑) ②若AB=4,BM=2,则MN= 3)如图3，在⊙O中，OA=3,弦AB=5,将劣弧AB沿弦AB所在直线翻折，点M为翻折后的弧上任意一 点，连接AM并延长交⊙O于点N,H为MN中点.则OH的最小值为 5/65 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 10.在一次数学活动中，某学习小组探究如下：作线段AB,取其中点E,将线段AB绕点A逆时针旋转得 到线段AC(点B、点E旋转后的对应点分别为点C、点F),如图①，设旋转角度为C,且0<a<180°， AB=6. F G B 图① 图② 图③ (1)当Q=60°时，求点E旋转到点F所经过的路径长度（结果保留π）： (2)小组同学又进行了如下探究：如图②，连接BC,取BC中点G,连接AG、EF交于点O,在旋转过程 中，小组同学猜想出如下三个结论：①AG⊥EF且线段AG与线段EF互相平分；②AG+EF2=36;③ AG·EF=18.正确的结论是一（填序号）；选择一个正确结论说明理由； 3)小组同学又进行如下操作：如图③，连接BC,取BC中点G,连接FG,若线段FG与线段FG关于直 线AB成轴对称，连接FF'、GG,直接写出当四边形FFG'G为正方形时α的值. 11.【定义】 5v5 如图，AB是半径为V2的⊙0的弦，AB=14,点C在弦AB上（点C不与A,B重合）， CD⊥AB ⊙O于D,使点D和点O在AB的同侧，规定：AC+CD为点C对应的“弦垂和”. (1)为了解决“弦垂和”问题，如图小李同学过A作直线l使其与AB的夹角为45°，延长DC交直线l于点E, 过点D作DF⊥L,垂足为点F.求证： AC+CD=2DF 证明：，CD⊥AB, ∴.∠ACE=90° 6/65 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又∠BAE=45°， :△ACE是等腰直角三角形， 请你帮助小李完成上述过程· 【应用】 (2)过圆心O作OH⊥AB于H,OH的长度 ；点C运动时，“弦垂和”AC+CD的最大值为 12.(25-26九吉林延边朝鲜族·模拟)某同学在数学实践活动中做了如下探究： 90， B -1A 图① 图② 图③ ()探究一：利用悬挂重物的细线（铅垂线）和量角器自制了一个三角函数仪， 操作过程：如图①，将量角器底边MN水平放置，在量角器圆心O处设计了和半径等长的旋转杆OP,使 OP的外端点P始终在量角器的圆周上，在点P处设计铅垂线，静止时的铅垂线与底边MN的交点（垂足） 为点Q. 经测量可知00=6，OP=10,则cos∠P00=, tan∠POg= (2)探究二：该同学在楼下观察工人师傅用定滑轮提升装修材料. 操作过程： 如图②，工人师傅将定滑轮固定在高处，己知绳子总长为40m,该绳自然下垂时两端恰好落在地面； 如图③，在(1)的条件下，定滑轮固定点为点E(定滑轮半径忽略不计)，在绳子的一端点D处挂上装修 材料，工人师傅在地面拉绳子的另一端点B，走到距离定滑轮正下方水平距离13.8m的位置，即 AB=13.8m,拉起的绳子与水平线的夹角∠EBA与图①中∠POQ相等，求工人师傅将装修材料从地面点 C处提升到点D处上升了多少米 13.Q026吉林省吉林市二模)【问题背景】如图1，在△ABC中，AB=AC,点D,E在边BC上， BD=1,CE=2,∠BAC=2∠DAE 7/65 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【特例探究】如图2，当∠BAC=90°时，将△ACE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,连接DF B D 图1 图2 图3 (I)求证：△ADE≌△ADF. (2)直接写出DE的长. )【类比迁移】如图3，当∠BAC=60°时，直接写出DE的长. ④【思维拓辰】若∠BMC是锐角，当os∠B1C=时，直接写出DE的长 14.【学习心得】小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆 的知识解决，可以使问题变得非常容易. 例如：如图①，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC,求∠BDC的 度数 如图②，若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A,则C,D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心 角，∠BDC是⊙A的圆周角.则∠BDC=45° D 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ (I)【初步运用】如图③，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，则∠BAC=_°. (2)【问题迁移】如图④，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，BD=3,CD=1,求AD的 长： (3)【问题迁移】如图⑤，已知矩形ABCD,AB=4,BC=m,M为边CD上的点，若满足∠AMB=45°的 点M恰好有两个，则的取值范围为· 15.如图①，直线abc(直线b在直线a、c之间)，直线l被这组平行线所截，与直线a、b、c分别交于 点AEB(点A在点B的右上方)·点D是直线b上不与点E重合的动点，连接AD并延长交直线C于点 8/65 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C,连接BD.若直线l与直线c所成锐角为a,cosa 3AE=4,BE=2 图① 图② AD )求CD的值： (2)用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出点D,使BD=2CD:(不写做法，保留作图痕迹，作图确定后 必须用黑色的签字笔描黑)· (3)当点C在点B右侧，且△ABD一△ACB时，求线段AD的长： (4)作点B关于直线AC的对称点B',连接BB,设线段BB交直线b于点M.当点B落在直线Q上时，直 接写出线段BM的长。 16.【定义】对于给定的一个大于0°且小于180°的角，我们这样定义它的内切圆：如果一个圆与这个角 都与<BAC ⊙0⊙0， 的两边都相切，那么我们称这个圆是这个角的内切圆.例如：如图①， 两边相切， ⊙0⊙0 所以 都是∠B1C的内切圆。 B B 图① 图② 图③ 图④ (1)【探究】己知⊙O是∠BAC的一个内切圆.求证：点O在∠BAC的平分线上.以下是小明的部分证明过 程： 证明：因为⊙O是∠BAC的一个内切圆， 不妨设⊙O与AB、AC分别相切于点D、E,如图②， 连接OA、OD、OE. … 9/65 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 请你帮助小明完成上述证明过程， 2)【应用】如图③，⊙0是∠BAC的一个内切圆，连接0A·若∠BAC=120°，0A=2,则⊙0的周长为 3)【拓展】如图④，∠BAC=60°，点N在边AB上，AN=8.若⊙O是∠BAC的一个内切圆，以点N为 圆心，NO的长为半径作圆，则⊙N面积的最小值为 17.如图，在矩形ABCD的边CD上取一点E,将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在边AD上的点F处. M D 图① 图② (1)如图①，若BC=2BA ①请用无刻度的直尺和圆规作出点E; ②求∠CBE的大小. (2)如图②，延长EF,与∠ABF的角平分线交于点M,BM交AD于点N,若FN=AN+FD. ①求证：AB=2AN: AB ②直接写出BC的值. 18.(2026吉林省松原市二模)综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何 模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”· D E D G E 图1 图2 图3 ∠BAC=90°，AB=AC (1)【几何直观】如图1，△ABC中， ,在△ABC内部取一点D,连接AD,将线段 10/65 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AD A 90° BD,CD' CD' ∠AD'C 绕点“逆时针旋转得到线段AD,连接 则与BD的数量关系是一； 与 ∠ADB的数量关系是： (②)【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E,使∠CED=90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90° 得到线段CE,连接E'B,延长E'B交DE的延长线于点F,求证：四边形CEFE是正方形： 3)【深度探究】如图3，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,在其内部取一点E,使∠CED=90°，将线段CE CG 4 绕点C逆时针旋转90°得到线段CE',延长CE至点G,使CE3,连接GB,延长GB交DE的延长线于 点F,连接AF,若AF=2,则BF= 19.在四边形ABCD中，点G,E分别是线段AB,AD上的点，且AG=AE,连接GE、BE,将线段EB 绕点E旋转得到EF,连接DF E GA 图① 图② 图③ (1)如图O,若四边形ABCD是正方形，∠BEF=90°，猜想DF与AE的数量关系是，∠CDF=_°： (②)如图②，若四边形ABCD是菱形，且∠BAD=∠BEF=120°，猜想DF与AE的数量关系及∠CDF的度 数，并说明理由： BH B)如图③，在(2)的条件下，若AB=5,DE=2,连接BF交DC于点H,直接写出HF的值. 20.综合与探究 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组 边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型.当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角 形。 (I)【模型初探】如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于 点D,BE⊥DE于点E,求证：DE=AD+BE; 11/65 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 (2)【深入探究】如图2，在Rt△AOB中，∠AOB=90°.分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和 BE 等腰RtAOBC,连接DC交OB延长线交于点E.求OA的值； D E B 图2 B)【拓展延伸】如图3，点D是△ABC内一点，连接DA,DB,DC,∠ADB=90°，∠ABD=∠BCD=30°，若 CD=1,BC=2V3 ,求AC的长. D B 图3 21.(2026九·吉林省四平市·二模)当45°角与直角相遇时，那绝对是一场浪漫的邂逅.把含45°角的图形构 造成直角三角形进行研究，会点亮思维的导航灯， 【初步感知】 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上的一点，∠BAD=45°，∠ADE=90°， EF⊥BC于点F,求证：EF=CD; 【解决问题】 (2)如图2，在正方形ABCD中，点E,F分别在边AB,CD上，点M在正方形ABCD的内部，且 ∠EMF=90°，∠BEM=45°.若EM=3,FM=5,求正方形ABCD的边长： 12/65 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【拓展延伸】 (3)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=45°，点D是BC边上的中点，点E在AC边上， 连接BE交AD于点F,若LBFD=45°，CE=4,求BE的长. D D 图1 图2 图3 22.(2026吉林省长春市榆树市·二模)[模型建立] 如图①、②，点P分别在⊙O外、在⊙O内，直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点 的最短距离，PB是点P到⊙O上的点的最长距离. B A 图① 图② [问题解决] 请就图①中PB为何最长进行证明. [初步应用] (1)已知点P到⊙O上的点的最短距离为3，最长距离为7.则⊙O的半径为」 (2)如图③，在△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6.点B在边BC上，且CE=2,动点P在半径为 2的⊙E上，则AP的最小值是 B 图③ 图④ [拓展延伸] 13/65 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图④，点 A(2,0) 动点B在 P4,4)为圆心，V5为半径的圆上，OB的中点为C,则线段AC的最大值 为 23.(25-26九下·吉林长春德惠)阅读与思考 下面是一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务. “三点共线模型”及其应用 背景知识：通过初中学习，我们掌握了基本事实：两点之间线段最短.根据这个事实，我们证明了：三角 形两边的和大于第三边.根据不等式的性质得出了：三角形两边的差小于第三边， 知识拓展：如图，在同一平面内，已知点A和B为定点，点C为动点，且BC为定长（令BC<AB),可得 线段AB的长度为定值.我们探究AC和两条定长线段AB,BC的数量关系及其最大值和最小值：当动点C 不在直线AB上时，如图1，由背景知识，可得结论AB+BC>AC,AB-BC<AC A B B 图1 图2 图3 图4 当动点C在直线AB上时，出现图2和图3两种情况.在图2中，线段AC取最小值为AB-BC;在图3中，线 段AC取最大值为AB+BC 模型建立：在同一平面内，点A和B为定点，点C为动点，且AB,BC为定长(BC<AB),则有结论 AB+BC≥AC,AB-BC≤AC.当且仅当点B运动至A,C,B三点共线时等成立. 我们称上述模型为“三点共线模型”，运用这个模型可以巧妙地解决一些最值问题. 任务： ()上面小论文中的知识拓展部分.主要运用的数学思想有；（填选项） A.方程思想B.统计思想C.分类讨论D.函数思想 (2)已知线段AB=10cm,点C为任意一点，那么线段AC和BC的长度的和的最小是cm: 3)已知⊙0的直径为2cm,点A为⊙0上一点，点B为平面内任意一点，且OB=lcm,则AB的最大值是 cm; 4)如图4，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在ON边上运动时，A随 之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变.其中AB=2,BC=1.运动过程中，求点D到点O的最大 距离。 14/65 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15/65 专题9 动点问题与几何探究 2大考点概览 考点01动点问题 考点02几何探究 动点问题 考点01 1．如图，在中，，，于点，，过点作，交于点，，交于点．动点从点出发以的速度向终点运动，过点作，交于点，交于点．设点的运动时间为，与四边形重叠部分的面积为． (1) ______， ______； (2)当点与点重合时，求的值； (3)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，根据三角函数可求出，，证明四边形是矩形，得到，即可求解； （2）当点与点重合时，，由，，得到，求出，即可求解； （3）过点作于点，过点作于点，则可得，，由图知题目分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：，； （2）解：由（1）知，， 当点与点重合时，， ，， ，， ， ； （3）解：过点作于点，过点作于点，如图1， ，，， ，， ，， ，，， 当时，如图1， 则， ， ， ， ， ； 当时，如图2， 则， ， ， ； 当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； 综上，． 2．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，在中，，，，于点，点为射线上一动点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连结、、． (1)_________；_________； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)当四边形为轴对称图形时，求的值； (4)当时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)证明：点和关于点对称，点C和E关于点P对称， ，； 四边形是平行四边形． (3)或 (4)或 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据已知得出，进而根据余弦的定义，即可求解； （2）根据对称的性质可得，，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （3）分情况讨论：①当四边形为矩形时，②当四边形是菱形时，分别画出图形，解直角三角形，即可求解； （4）当在的左侧时，如图，过点作于点，交于点，过点作交于点，则四边形是矩形，得，即点到的距离，根据对称性可得到的距离相等，则，证明，得出，得出，证明得出，进而根据，即可求解；当在的右侧时，同理可得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴ ∵ ∴ ∴； （2）略 （3）解：分两种情况讨论， ①当四边形为矩形时，则 ∴在上， 如图，过点作 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ②当四边形是菱形时，则， ∴重合， ∵ ∴ 综上所述，四边形为轴对称图形时，或 （4）解：当在的左侧时，如图，过点作于点，交于点，过点作交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即点到的距离， ∵关于点对称，点在射线上， ∴到的距离相等， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴，即点是的中点，， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ 当在的右侧时，如图 同理可得 综上所述，的长为：或 3．(25-26九下·吉林长春德惠·)如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点从点出发，沿对角线向点以每秒的速度移动；同时点从点出发，沿线段向点以每秒的速度移动．、两点有一点到达终点时全部停止移动．连接，设点移动时间为秒，回答下列问题： (1)当时，求的值； (2)点到的距离是_____．（用含的代数式表示）； (3)当为何值时，以、、、为顶点的四边形的面积等于？ (4)以点为圆心，长为半径作．在运动过程中，是否存在与矩形的对角线有三个公共点，若存在，请直接写出的值或取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或； (4)存在，或或． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆与直线的位置关系以及动点和面积问题． （1）利用勾股定理求,再利用相似三角形的判定建立比例关系； （2）通过作，得到，再利用三角形相似的性质，求得； （3）根据矩形的性质以及三角形的面积比关系得到关于的一元二次方程和一元一次方程进行求解； （4）分析与矩形对角线的位置关系，再利用相似三角形建立比例关系，求得的取值范围． 【详解】（1）， ， ，，， ， 解得：； （2）如图：过点作于点，则， ， ， 即， ； （3）当点在线段上时，如图，连接， ， 根据矩形的性质可得：， ， ， ，则 解得：（舍去），， 还当点在线段上时，如图： 作，，四边形的面积 ， 解得：， 综上所述，以、、、为顶点的四边形的面积等于时，或； （4）存在，理由如下： 如图，作，为垂足， 当时，与相切，与矩形的对角线有三个公共点； 当时，与矩形的对角线有四个公共点； 当时，与矩形的对角线有三个公共点； 当时，经过点，与矩形的对角线有二个公共点； 当时，与矩形的对角线有三个公共点； 故存在与矩形的对角线有三个公共点， ，， ， ，即， 解得：， 如图：作，为垂足， 同理可得，， 点的运动速度为每秒， 当时，与相切，与矩形的对角线有三个公共点； 当时，与矩形的对角线有三个公共点； 当时，与矩形的对角线有三个公共点； 或或． 4．(25-26九·吉林延边朝鲜族·模拟)如图①，在等腰直角三角形中，，．动点从点出发向终点运动（不与点、重合），速度为每秒个单位长度．过点作于点，以为边向右侧作矩形，且．设点运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当点在线段上时（不与点重合），设矩形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)； (2)点落在边上时，的值为2； (3)． 【分析】（）先得出，又四边形是矩形，则， ，从而有 ，所以，然后通过勾股定理得，再代入即可求解； （）可得、、都是等腰直角三角形，又四边形是矩形，则 ， ，，所以 ，即，然后求出的值即可； （）分当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：； （2）解：当点落在边上时，如图， 同（）理可得、、都是等腰直角三角形， ∵四边形是矩形， ∴ ， ， ∵，， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴点落在边上时，的值为； （3）解：当点与点重合时，，， 当时， 重叠部分的面积就是矩形的面积，此时，； 当时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ， ∴、、都是等腰直角三角形， ∵， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 综上所述：． 5．(2026·吉林省吉林市·二模)如图，在矩形中，，．点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动，过点作于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．设点运动的时间为秒，与矩形重叠部分的图形面积为． (1)当点与点重合时，________． (2)求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1)4 (2)． 【分析】（1）求得，据此计算即可求解； （2）分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 点与点重合时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点在上时，此时， ∴； 当点在上且点未到点时，此时， ∴； 当点在上且点超过点时，此时， ，设交于点， ； 综上，． 6．(2026九·吉林省四平市·二模)如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，当点不与点、重合时，过点作，交折线于点，是的中点，取的中点，连接，设的面积为，点的运动时间为秒． (1)线段______； (2)求线段的长（用含的代数式表示）； (3)求关于的函数关系式． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）分两种情况讨论解答即可； （3）分三种情况讨论解答即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，． ∴； （2）解：当点D与点C重合时， 由（1）得， ∴， 解得， 点P到达终点B时，即，解得； 当点D在上时，即， ， 由题意得， ∴， 又∵点是的中点， ∴； 当点D在上时，即， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是的中点，， ∴， 当时，即时， ， 当时， ; 当时， ， ∴． 7．(2026·吉林省松原市·二模)如图，在中，，，，P，是边上的两个动点，点从点出发沿方向运动，速度为，到达点停止运动；点从点出发沿方向运动，速度为，到达点停止运动．它们同时出发，设出发时间为秒． (1) ________（用含的代数式表示）； (2)当________秒时，； (3)设的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列代数式，平行线分线段成比例，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合，解题的关键是第3问注意分段讨论． （1）根据列代数式即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，当时，由此列式求解； （3）按照运动时间进行分类讨论，当时，，当时，过点Q作于点H， 证明，得出，再根据列函数关系式． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：如图， ， ， ， 解得， 故答案为：； （3）解：在中，，，， ， 当点Q到达点C时，， 当点Q到达点A时，， 当时，如图， ，， ； 当时，如图，过点Q作于点H， ，， ， ， ， ， ， 综上可得，关于的函数关系式为． 8．(2026·吉林省长春市榆树市·二模)如图，已知在中，，，．动点以每秒2个单位的速度，从点出发，沿着的方向运动，当点到达点时，运动停止．点是点的关于点的对称点，过点作于点，以，为边作，设点的运动时间为秒． （1）求的长； （2）分别求当和时，线段的长； （3）是否存在这样的值，使得为菱形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （4）作点关于直线的对称点，当点落在内部时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）8；（2）8；（3）存在，或（4）或 【分析】（1）直接运用三角函数求解即可； （2）时，点还在上，可直接计算出，然后根据对称求出结果即可；时，点在上，此时求出，然后根据对称求出结果即可； （3）分别考虑点在边上时，和点在边上时两种情况，利用相似三角形的判定与性质进行线段表示，然后建立方程求解即可； （4）同样考虑点在边上时，和点在边上时两种情况，分别根据平行四边形和菱形的判定与性质进行求解即可． 【详解】解：（1）在中，，，． ∴； （2）当时，，， ∵、关于点对称， ∴， 当时，，，， ∴； （3）情况一，当点在边上时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，，， 当时，即， ∴； 情况二，当点在边上时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，即， ∴； 综上，当或时，四边形为菱形； （4）情况一，当点在边上，点关于直线的对称点落在边上时，如图： 由题意可知，， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由对称可知，，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即四边形为菱形， ∴， 即：， 解得：， ∴当时，刚好满足点关于直线的对称点落在边上， 当点从此时继续向点移动时，可满足对称点落在内部， ∴此时的范围是：； 情况二，当点在边上，点关于直线的对称点落在边上时，如图： 同理可证四边形为菱形，四边形为平行四边形， 则可得，， 此时，，， ∴， 由， 即：， 解得：， 当点从点移动到此时位置时，可满足对称点落在内部， ∴此时的范围是：； 综上，当或时，点落在内部． 【点睛】本题考查相似三角形的动点问题，锐角三角函数等知识点，理解基本定义，灵活运用相似三角形的性质是解题关键． 9．解答下列各题：几何探究 考点02 (1)【探究】如图，在中，将劣弧沿弦所在直线翻折，点为劣弧上任意一点，翻折后点的对应点为，连接并延长交于点，连接、．探究与的数量关系，发现结论：． 理由如下：如图1，连接、 由翻折可得 ， °，（依据：_________） °， _________． ． 补全上面的证明过程． (2)【应用】如图2，在探究的条件下，在中，将劣弧沿弦所在直线翻折，连接并延长交翻折后的弧于点，交于点，连接． ①请用圆规和无刻度的直尺在图2中作出的中点．（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑） ②若，，则_________． (3)如图3，在中，，弦，将劣弧沿弦所在直线翻折，点为翻折后的弧上任意一点，连接并延长交于点，为中点．则的最小值为_________． 【答案】(1)圆内接四边形对角互补，，． (2)①，② (3) 【分析】（1）根据翻折的性质以及圆内接四边形对角互补，完成填空； （2）①作线段的垂直平分线交于点； ②连接，根据勾股定理求得，进而求得，求得，进而求得的长； （3）过点作于点，连接，根据垂径定理，勾股定理求得的长，根据得出在为圆心，为半径的圆上运动，则的最小值为，即可求解． 【详解】（1）略 （2）②如图，连接， 由（1）可得 ∵， ∴ ∵为直径 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； （3）如图，过点作于点，连接， ∵，， ∴， 在中， 由（2）可得， ∴在为圆心，为半径的圆上运动， ∴的最小值为 10．在一次数学活动中，某学习小组探究如下：作线段，取其中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点、点旋转后的对应点分别为点、点），如图①，设旋转角度为，且，． (1)当时，求点旋转到点所经过的路径长度（结果保留）； (2)小组同学又进行了如下探究：如图②，连接，取中点，连接、交于点，在旋转过程中，小组同学猜想出如下三个结论：①且线段与线段互相平分；②；③．正确的结论是______（填序号）；选择一个正确结论说明理由； (3)小组同学又进行如下操作：如图③，连接，取中点，连接，若线段与线段关于直线成轴对称，连接、，直接写出当四边形为正方形时的值． 【答案】(1)； (2)①②，证明见解析； (3)或． 【分析】（1）利用旋转的性质，得到点是以点为圆心，长为半径的圆弧，利用弧长公式求解； （2）根据旋转的性质得到是等腰三角形，再利用三角形的中位线性质与等腰三角形“三线合一”证得最终结果； （3）根据三角形的中位线的性质与“在直角三角形中，角所对的边是斜边的一半”得到对应的线段相等，最后通过等量代换解得答案． 【详解】（1）解：∵点旋转到点， ∴点是以点为圆心，长为半径的圆弧， ∵，点是线段的中点， ∴， 又， ∴点旋转到点所经过的路径长度为； （2）解：正确的为①②，证明如下： ①∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵点为的中点， ∴是线段的垂直平分线，， 由题意知，分别是线段的中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线，， 即，与互相平分； ②∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵点为的中点， ∴是线段的垂直平分线，， 由题意知，分别是线段的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴； （3）解：当或时，四边形是正方形，理由如下： 由题意知：， ∵分别是的中点， ∴， ∵与关于对称， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ①如图1所示：当时 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴矩形是正方形； ， ②当时，如图2所示：延长交于点， ， ∵， ∴， 在中，， ∴，则， ∵， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 11．【定义】 如图，是半径为的的弦，，点在弦上（点不与，重合），交于，使点和点在的同侧，规定：为点对应的“弦垂和”． (1)为了解决“弦垂和”问题，如图小李同学过作直线使其与的夹角为，延长交直线于点，过点作，垂足为点．求证：． 证明：， 又， 是等腰直角三角形． 请你帮助小李完成上述过程． 【应用】 (2)过圆心作于，的长度________；点运动时，“弦垂和”的最大值为________． 【答案】(1)见解析 (2)1，18 【分析】（1）作辅助线先得到是等腰直角三角形，由此可得，，再结合的正弦值得到，结合边的关系即可得解． （2）根据垂径定理即可求解的长度；根据，确定的最大值即可求解“弦垂和”的最大值，当点经过圆心与直线垂直时，有最大值，结合等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， 又， 是等腰直角三角形． ，， 于点． ， 是等腰直角三角形． 在中，， ， ， ． （2）解：过圆心作于，连接，如图， 根据垂径定理可知，， 的半径为， 由勾股定理可得； 由（1）可知，． 当弦垂和有最大值时，即有最大值， 当点经过圆心与直线垂直时，有最大值，如图， 直线与的夹角为， ， ，则， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 为等腰直角三角形， ，， ，即， 解得， ， ， ． 即“弦垂和”的最大值为18． 12．(25-26九·吉林延边朝鲜族·模拟)某同学在数学实践活动中做了如下探究： (1)探究一：利用悬挂重物的细线（铅垂线）和量角器自制了一个三角函数仪． 操作过程：如图①，将量角器底边水平放置，在量角器圆心处设计了和半径等长的旋转杆，使的外端点始终在量角器的圆周上，在点处设计铅垂线，静止时的铅垂线与底边的交点（垂足）为点． 经测量可知，，则_____，______； (2)探究二：该同学在楼下观察工人师傅用定滑轮提升装修材料． 操作过程： 如图②，工人师傅将定滑轮固定在高处，已知绳子总长为，该绳自然下垂时两端恰好落在地面； 如图③，在（1）的条件下，定滑轮固定点为点（定滑轮半径忽略不计），在绳子的一端点处挂上装修材料，工人师傅在地面拉绳子的另一端点，走到距离定滑轮正下方水平距离的位置，即，拉起的绳子与水平线的夹角与图①中相等，求工人师傅将装修材料从地面点处提升到点处上升了多少米． 【答案】(1)，； (2)工人师傅将装修材料从点C处提升到点D处上升了3米． 【分析】（1）通过构造直角三角形，直接利用三角函数定义求解； （2）利用等角的三角函数值相等，结合定滑轮绳子长度不变的特点，通过三角函数求出拉动后的绳长，再与原绳长作差，得到材料上升的高度． 【详解】（1）解：∴ ． 在中，，， 由勾股定理，得 根据三角函数的定义： （2）解：如图 由题意得，，， ， 四边形是矩形， 由题意得，， ， 在中，，， ， ， ． 13．(2026·吉林省吉林市·二模)【问题背景】如图1，在中，，点，在边上，，，． 【特例探究】如图2，当时，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)求证：． (2)直接写出的长． (3)【类比迁移】如图3，当时，直接写出的长． (4)【思维拓展】若是锐角，当时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）由旋转的性质得，，则，再利用即可证明； （2）由旋转的性质得，从而得到，在中，由勾股定理求解即可； （3）将绕点顺时针旋转得，同理证明，作交的延长线于点，求得，，在中，利用勾股定理求解即可； （4）设，将绕点顺时针旋转得，连接，同（3）的方法求解即可． 【详解】（1）证明：∵将绕点顺时针旋转得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵将绕点顺时针旋转得， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， 在中，； （3）解：将绕点顺时针旋转得，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 作交的延长线于点， ∵将绕点顺时针旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在中，； （4）解：设， 将绕点顺时针旋转得，连接， ∵，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 作交的延长线于点， ∵将绕点顺时针旋转得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 14．【学习心得】小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图①，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 如图②，若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C，D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则． (1)【初步运用】如图③，在四边形中，，，则 ． (2)【问题迁移】如图④，在中，，是边上的高，，，求的长； (3)【问题迁移】如图⑤，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明A、B、C、D四点共圆，即可得到； （2）如图所示，作的外接圆，过圆心O作于E，于F，连接，，，则四边形是矩形，分别求出、即可得到答案． （3）如图所示，在上截取一点F使得，连接，以为直径作圆O，过点F作交于点E，过点O作交于点H，交圆O于点G，过点G作圆O的切线分别交，于点K、Q，则当时满足题意，据此求解即可； 【详解】（1）解：∵， ∴，     ∴A、B、C、D四点共圆， ∴； （2）解：如图所示，作的外接圆，过圆心O作于点E，于点F，连接，，，则四边形是矩形， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图所示，在上截取一点F使得，连接，以为直径作圆O，过点F作交于点E，过点O作交于点H，交圆O于点G，过点G作圆O的切线分别交，于点K、Q，则四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴B在圆O上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 15．如图①，直线（直线在直线之间），直线被这组平行线所截，与直线分别交于点（点在点的右上方）．点是直线上不与点重合的动点，连接并延长交直线于点，连接．若直线与直线所成锐角为． (1)求的值； (2)用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出点，使；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑）． (3)当点在点右侧，且时，求线段的长； (4)作点关于直线的对称点，连接，设线段交直线于点．当点落在直线上时，直接写出线段的长． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) (4)或 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理可得，据此可得答案； （2）作线段的垂直平分线交直线b于点D，连接，则点D即为所求；由线段垂直平分线的性质得到； （3）求出，，根据相似三角形的性质得到，据此求解即可； （4）分两种情况：点C在点B右侧和点C在点B左侧，分别画出示意图讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵直线， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，点D即为所求； （3）解：∵， ∴， 由（1）得， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴或（舍去）； （4）解：如图所示，当点C在点B右侧时，过点B作于点T， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点C在点B左侧时，过点B作于点T， 同理可证明， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； 16．【定义】对于给定的一个大于且小于的角，我们这样定义它的内切圆：如果一个圆与这个角的两边都相切，那么我们称这个圆是这个角的内切圆．例如：如图①，都与的两边相切，所以都是的内切圆． (1)【探究】已知是的一个内切圆．求证：点在的平分线上．以下是小明的部分证明过程： 证明：因为是的一个内切圆， 不妨设与分别相切于点，如图②， 连接． …… 请你帮助小明完成上述证明过程． (2)【应用】如图③，是的一个内切圆，连接若，则的周长为_____． (3)【拓展】如图④，，点在边上，．若是的一个内切圆，以点为圆心，的长为半径作圆，则面积的最小值为_____． 【答案】(1) 证明：因为是的一个内切圆， 不妨设与分别相切于点，如图②， 连接． 所以，， 点在的平分线上； (2) (3) 【分析】（1）根据切线的性质可得，，根据圆的半径相等可得，结合角平分线的判定定理，即可得证； （2）根据题意求得，再根据圆的周长公式，即可求解； （3）根据（1）可得点在的平分线上，则时，最小，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设与相切于点， 由（1）可得平分 ∴ ∴ ∴的周长为； （3）解：如图，连接 由（1）可得平分 ∴ ∵时，最小， ∴当时， ∴面积的最小值为 17．如图，在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上的点F处． (1)如图①，若． ①请用无刻度的直尺和圆规作出点E； ②求的大小． (2)如图②，延长，与的角平分线交于点M，交于点N，若． ①求证：； ②直接写出的值． 【答案】(1)①如图，点E即为所求； ② (2)①证明：过点N作于点G， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【分析】（1）①以点B为圆心，为半径作弧交于点F，再作的平分线交于点E；②由折叠的性质得出，，根据直角三角形的性质得出，可求出答案； （2）①过点N作于点G，证明，得出，由得； ②设，设，则，由勾股定理得出，解得，则可求出答案． 【详解】（1）解：①略 ②∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （2）①略 ②解：设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， 由勾股定理得， 设， ∵， ∴； 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 18．(2026·吉林省松原市·二模)综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (1)【几何直观】如图1，中，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则与的数量关系是_____；与的数量关系是___； (2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； (3)【深度探究】如图3，矩形中，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则_____． 【答案】(1)相等（或）；相等（或） (2) 证明：∵四边形是正方形 ∴， ∵绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∵， ∴即 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形 又∵ ∴四边形是正方形； (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可证明，根据全等三角形的性质，即可求解； （2）根据正方形的性质，旋转的性质，同（1）证明，得出，结合，即可得证； （3）同（2）的方法证明，得出四边形是矩形，连接交于点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出共圆，勾股定理求得，，进而解，求得，再证明，根据正弦的定义，得出，即可求解． 【详解】（1）解：；，理由如下： ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴，即 又∵， ∴ ∴；； （2）略 （3）解：∵绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∵， ∴ ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形， 如图，连接交于点，连接 ∵是的中点， 在中， ∴ ∴共圆， ∴， ∵ ∴ ∴， 在中， ∴ ∵， 在中， ∴， ∵ ∴ 又 ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴． 19．在四边形中，点，分别是线段，上的点，且，连接、，将线段绕点旋转得到，连接． (1)如图①，若四边形是正方形，，猜想与的数量关系是 ， ； (2)如图②，若四边形是菱形，且，猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)如图③，在（2）的条件下，若，，连接交于点H，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) 解:，；理由如下： 四边形是菱形，， ，， ，， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， 如图，过点作于点，则， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ； (3) 【分析】（1）证明，，即可得，，即可求解； （2）证明，，可得，，从而得到，过点作于点，则，根据直角三角形的性质可得，再结合勾股定理可得，即可； （3）过点作交于点，由（2）得，，再证明即可解答． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 由勾股定理得：，， ，， ，； （2）略 （3）解：如图，过点作交于点， 四边形是菱形， ，， ， 由（2）得：，， 四边形是菱形，， ，，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 20．综合与探究 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)【模型初探】如图1，在等腰直角中，，过点C作直线，于点D，于点E，求证：； (2)【深入探究】如图2，在中，．分别以和为直角边作等腰和等腰，连接交延长线交于点E．求的值； (3)【拓展延伸】如图3，点D是内一点，连接，若，求的长． 【答案】(1) 证明：于点于点， ， ， ； ； (2) (3) 【分析】（1）证明，则，再由线段和差证明即可； （2）过点作的延长线于点，连接，证明，则，可证明四边形是平行四边形，则，那么，即可求解； （3）过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，先解求出，，，证明，结合锐角三角函数求出，，最后对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作的延长线于点，连接． ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ； （3）解：过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，如图， ， ，， ， 于点于点， ， ， ， ， ． 21．(2026九·吉林省四平市·二模)当角与直角相遇时，那绝对是一场浪漫的邂逅．把含角的图形构造成直角三角形进行研究，会点亮思维的导航灯． 【初步感知】 （1）如图1，在中，，D是边上的一点，，，于点F，求证：； 【解决问题】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，点M在正方形的内部，且，．若，，求正方形的边长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，点D是边上的中点，点E在边上，连接交于点F，若，，求的长． 【答案】（1）∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）； （3） 【分析】（1）证明，得出即可； （2）过点M作于点H，交于点G，证明四边形为矩形，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，证明为等腰直角三角形，得出，最后求出结果即可； （3）过点E作于点G，延长，过点B作于点H，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，解直角三角形得出，，求出，，，，，根据，得出，求出x的值，然后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点M作于点H，交于点G，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长为． （3）解：过点E作于点G，延长，过点B作于点H，如图所示： 则， ∵在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点为的中点， ∴， 设，则，， ∴在中，根据勾股定理得：， ，， ∴在中，，， ∴， ， ∵， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 22．(2026·吉林省长春市榆树市·二模)[模型建立] 如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸] 如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． 【答案】 [问题解决]如图，点C为上任意一点，连接，， 当点C与点B不重合时， ∵在中，， 又， ∴，即， 当点C与点B重合时，， ∴综上可得，， ∵点C为上任意一点， ∴的长是点P到上的点的最长距离． [初步应用]（1）2或5； （2）； [拓展延伸] 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，三角形中位线的性质等，掌握题意中的模型是解题的关键． [初步应用]（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点P在外，②点P在内，根据线段的和差即可求解； 连接，交于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； [拓展延伸]取点，连接，可得是的中位线，因此当线段取得最大值时，线段也取得最大值．连接，并延长交于点，当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与的半径即可求出的长，进而即可解答． 【详解】解：[问题解决]略； [初步应用] （1）若点P在外，如图①， 则，， ∴， ∴的半径为2； 若点P在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为5； 综上所述，的半径为2或5． 故答案为：2或5 （2）连接，交于点D，由[模型建立]可得的长是点A到上的点的最短距离， ∴的最小值是的长 ∵在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． [拓展延伸] 取点，连接， ∵，， ∴点A是线段的中点， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， 连接，并延长交于点， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵，， ∴， ∵的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为． 故答案为： 23．(25-26九下·吉林长春德惠·)阅读与思考 下面是一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． “三点共线模型”及其应用 背景知识：通过初中学习，我们掌握了基本事实：两点之间线段最短．根据这个事实，我们证明了：三角形两边的和大于第三边．根据不等式的性质得出了：三角形两边的差小于第三边． 知识拓展：如图，在同一平面内，已知点和为定点，点为动点，且为定长（令），可得线段的长度为定值．我们探究和两条定长线段，的数量关系及其最大值和最小值：当动点不在直线上时，如图，由背景知识，可得结论，． 当动点在直线上时，出现图和图两种情况．在图中，线段取最小值为；在图中，线段取最大值为． 模型建立：在同一平面内，点和为定点，点为动点，且，为定长（），则有结论≥，．当且仅当点运动至，，三点共线时等成立． 我们称上述模型为“三点共线模型”，运用这个模型可以巧妙地解决一些最值问题． 任务： (1)上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有 　　；（填选项） A．方程思想   B．统计思想   C．分类讨论   D．函数思想 (2)已知线段，点为任意一点，那么线段和的长度的和的最小是　　； (3)已知的直径为，点为上一点，点为平面内任意一点，且，则的最大值是　　； (4)如图4，，矩形的顶点、分别在边、上，当在边上运动时，随之在上运动，矩形的形状保持不变．其中，．运动过程中，求点到点的最大距离． 【答案】(1)C (2)10 (3)2 (4) 【分析】（1）根据上面小论文中的分析过程，体现了分类讨论思想； （2）根据两点之间线段最短可得出答案； （3）由点和圆的位置关系可知点在圆上，由直径的定义可得出答案； （4）取的中点，连接、、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得过点时最大． 【详解】（1）解：上面小论文中的知识拓展部分．主要运用的数学思想有分类讨论思想， 故答案为：C； （2）解：如图所示：线段与的和最小是． 故答案为：； （3）解：∵的直径为，， ∴点在圆上， ∵点为上一点， ∴直径时，有最大值，即， 故答案为：2； （4）解：如图，取的中点，连接、、， ∵，， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系，， ∴当过点时，等号成立，的值最大，最大值为． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，点和圆的位置关系，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键． 62/65 63/65 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题9动点问题与几何探究 考点01 动点问题 【详解】(1)解：∠B=30°，AD⊥BC, .∠BAD=90°-∠B=60°， AB=cos60°，AD=×4=2m,DE=6in60°，AD=3×4=25cm. 2 2 DEAC,DF‖AB, ∴四边形AEDF是平行四边形， ∠BAC=90°， ∴.四边形AEDF是矩形， ..AF=DE=23cm, 故答案为：2,2V3: (2)解：由(1)知，AE=2cm, 当点M与点E重合时，AM=AE=2cm, ·MN I BC AD⊥BC, ∴.∠AMN=∠B=30°，AD⊥MN, .AP=AM=1cm. x=1÷1=1: (3)解：过点E作EG⊥AD于点G,过点F作FH⊥AD于点H,如图1， A M EG⊥AD,AD⊥BC,∠B=30, B 图1 .EG∥BC,∠BAD=90°-∠B=60° .∠AEG=∠B=30°，∠HAF=∠BAC-∠BAD=90°-60°=30°， 1/35 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 EG=ABc0s30°=2×5=3cm,AG=AE.sin30°=2×号=1cm, 2 AH=AFc0s30°=23×9=3cm, 当0≤x≤1时，如图1， 则AP=x, ·MN BC .∠AMN=∠B=30°， .AM=2AP=2x, 323 .AN=AM.tan30=2x33 X. y=s5 w-AM:AN-j2心2y5x-2距2 1 3 一X三 3 -X: 当1<x≤3时，如图2， 则ME=AM-AE=2x-2, .EH-ME+tam Z EMH-(2x-2), 3 aMH-2222-2- 2 3 ∴y=S AMIN-S△MEH=3 23x.23x-1=252x-1 -X 3 3 4 M B D 图2 当3<x≤4时，如图3， AN=_ AP X 2V3 0s30° X 33 2 ·MN BC .∠ANG=∠C=60°， 2/35 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 NF=AN-AF=23x-23, 3 ÷FG=FN.tan60°= 23 2x-23×3=2x-6, 3 5uc-12x62922x3 ∴y=SA AMN-S△EMm-SAFNG= 232x-1.25x-3=.231x-8x+10 3 3 3 A E M--APN B D C 图3 综上，y=(. 2. 【详解】(I)解：在△ABC中，∠ABC=90,BC=V5,4C=3 AB=VAC:-BC-3-(3)6 BH⊥AC ∴.∠HBC=90°-∠ACB=∠A :.coS∠HBC=cos∠A= AB 6 AC 3: (2)略 (3)解：分两种情况讨论， ①当四边形BCDE为矩形时，则∠CBE=∠ABC=90° E在AB上， 如图，过点P作PF⊥BC 3/35 可学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 E D P H ∴.PF∥AB BF EP =1 FCPC :r-6c 2 2 cos∠HBC=V6BF 3BP ·BP=2 ×332 6=4 ②当四边形BCDE是菱形时，则CE⊥BD, .H,P重合， E D H (P) :cos∠HBC=V6BP 3 BC ÷an.66-E 3 3W2 综上所述，四边形BCDE为轴对称图形时，BP=V2或4 (4)解：当E在AB的左侧时，如图，过点E作EG⊥AC于点G,交AB于点M,过点B作BQ交EG于点 4/35 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 KM B ∴.GE∥BH,∠BQG=∠QGH=∠GHB=90° “四边形BQGH是矩形， :.GH=BO,GH即点E到BH的距离， E,C关于P点对称，点P在射线BH上， .E,C到BH的距离相等， ..GH=HC, .∠HBC=∠A :sin∠HBC=sin∠A=BC=VE AC 3 HC=BCsin∠HBC=5xY5-1BH=BCxcos∠HBC=5x6-N5 3 3 .AG=AC-2HC=3-2=1, .∴.AG=GH ..AG=OB. 又，∠AGM=∠BQM=90°，∠AMG=∠BMg :△AMG≌aBMQ(AAS) ∴.MB=AM,即点M是AB的中点，QM=MG, ,∠AEB=90°， 5/35 可学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 :BM=M-8-6 OM-MG-BH- 2, 2 2 :B0=EM-QM=6-2 2 ,四边形BCDE是平行四边形， EB=CD」 又：∠EQB=∠DHC=90°，QB=HC :RtEOB≌RtDHC(HL) :DH=E0=6-2 2 -0-a-0m0-6-69）-356 2 4 当E在AB的右侧时，如图 E G M] 同理可 DH=E0=6+5 2 =4 32-√632+V6 综上所述，BP的长为：4或4 3. 6/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)△APQn△ABC, AO AP AC AB' AP=icm 40=4B-BO=(6-t)cm AC=B+BC7=10cm :6-1t 106, 解得：19 4: (2)如图：过点P作PM⊥AB于点M,则PMI‖BC, B C,.△APM∽△ACB PM AP BC AC, PM t 即8=10 PM: (3)当点P在线段AO上时，如图，连接O0, D S4c=)×AB×BC=24cm) C 2 1 根据矩形的性质可得：S,os=)S.A8c=12(cm2）, 2 A0=AC =5(cm). 7/35 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 S.O10 x3e-北x4exsm-专x6。x12-子(6-)， 2 AO AB 56 2 .S%=S40s-11=1,则亏(6-）=1 解得：(3+26 (舍去)，4=326 >5 2 , 还当点P在线段OC上时，如图： 及 XP 作OTLB,BRLAC,四边形BOOP 的面积 =S.m0o+S.OP8=11 4+-列 24 =11 5 解得：1115 22， 上所述，以0、P、Q、B为顶点的四边形的面积等于11cm时，1=3-V26 t= 2或22； (4)存在，理由如下： 如图，作QE上AC,E为垂足， 02 当B0=B0时，O0与AC相切.O2与矩形ABCD的对角线有三个公共点： 当50<40s4时：O0与矩形ABCD的对角线有四个公共点， 8/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B<BQ<Q.0时，OQ与矩形ABCD的对角线有三个公共点： 当21 BQ=Q0,⊙Q 当 时， 经过点0， O0与矩形ABCD的对角线有二个公共点： O<BQ≤AB ⊙0 当 时， 与矩形ABCD的对角线有三个公共点： 故存在⊙Q与矩形ABCD的对角线有三个公共点， :∠AEQ=∠ABC=90°∠EAg=∠BAC .△AgE∽△ACB E A0 2E 6-2E BC=AC,即8=10， 解得：QE-3 如图：作 ,F⊥BD,F为垂足， D B 同理可得△Bg,F∽△ACB, g0=9,B=25 , :点Q的运动速度为每秒lcm, B0=EO时，O0与AC相切， 时， O0与矩形ABCD的对角线有三个公共点： 当24B<BD<C,0时，OQ与矩形ABCD的对角线有三个公共点： 当L0<BD≤1B时，O0与矩形ABCD的对角线有三个公共点： 时， 8 3或3<1< 2525 t= 6或61 t≤6 4. 9/35 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：：∠ACB=90°，AC=BC, .∠A=∠B=45°， ,四边形PQMN是矩形， .P№=MN,∠PQM=90, .∠AQP=90° ∠A=∠AP0=45°， ..AQ=PQ, .40+Pg2=Ap Pg+Pg2-(2, .P0=t, PN=2P0=2t, 故答案为：2t: (2)解：当点N落在边BC上时，如图， 同(1)理可得△ABC、△APQ、△BNM都是等腰直角三角形， .四边形PQMN是矩形 :AQ=PO=BM =MN=t,PN=OM=2t, :∠ACB=90°，AC=BC=42, AB=VAC2+BC=V42+(42)=8, ..AO+OM+BM=AB t+2t+t=8, t=2, 点N落在边BC上时，t的值为2： (解：当点M与点B重合时，12=8,1- 3 10/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当0<t≤2时， 重叠部分的面积S就是矩形PQMN的面积，此时，S=t×2t=22; 当2<1时，如网， .四边形PQMN是矩形， .∠N=90°，QM∥AB .∠A=∠B=∠MFB=∠EFN=∠MEF=45°， .△AP、△BMF、△NEF都是等腰直角三角形， ..AQ=PO=1,PN=OM=2t, .BM=MF=8-3t ,NF=MN-MF=t-(8-3t)=4t-8 &5=22-（4-8=-6+321-32， 22(0<t≤2) 综上所述： 0+32-322<1 5. 【详解】(I)解：由题意得PE⊥AD, D(F ,矩形ABCD, .∠A=∠B=90°， ∴.∠A=∠B=∠PEA=90°， .四边形ABPE是矩形， 11/35 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 ∴.PE=AB=EF=2, 点F与点D重合时， ∴.PE=ED=2, BC=4, ∴.PB=AE=4-2=2, .AB+PB=4, .x=4÷1=4; (2)解：当点P在AB上时，此时0≤x≤2， B C P A(E F D 2 当点P在BC上且点F未到点D时，此时2<x≤4， B P A E F D PE2=×22=2, .y=2 2 当点P在BC上且点F超过点D时，此时4<x≤6， B P C G ,设交于点， E D FDF=x-4 PF CD G y=5m-m=2-4-=+4x-6 r(0≤xs2) 综上，y= 2(2<x≤4) x2+4x-6(4<x≤6) 12/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6. 【详解】(1)解：，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3. .AC=AB2-BC2=4 (2)解：当点D与点C重合时， 由(1)得cos∠A=4C=AP4 ABAC5· &AP=44C 5 16=2t 5 解得t 5' 点P到达终点B时，即AB=21=5,解得t=号； C(D) E B 当点D在AC上时，即0<Is8 , tan∠A=BC=PD3 ACAP4. 由题意得AP=2t, 3 PD=3AP77多 又，点E是PD的中点， PE=IPD-31 3 2 4: 当点D在BC上时，即<1< 8 2 :tan∠B=AC=PD4 BCBP=3.BP=AB-AP=5-2t, PD=4即=45-20=20_8 3 3 Γ33， 13/35 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PE-PD- 104 33, 20< P PE= 4 (3)解：：F是AB的中点，AB=5, AF=BF=AB-2 2 当0<AP=2t≤)时，即0<4<5 4时， D E B 8 t 当4 5时， D E PF.PE= 1 3. 2t- x-t= 32_15 FP 2 2 4416 8 5 当5s1 2时， C D 14/35 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3+l50<1< 416 4 S= 3_153s Na1M≤t<: 4+5- 58 7. BP=AB-AP=8-xx1=8-x(cm) 【详解】(1)解：由题意知， (8-x)cm 故答案为： (2)解：如图， B A.PQ∥AC BO BP .BC BA' 2x8-x .68: 益 24 故答案为：11： (3)解：在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm,BC=6cm, .AC=AB2+BC2 =10cm 当点Q到达点C时， x=6÷2=3(s) 当点到达点A时，x=(6+10)小÷2=8的) 当0<x≤3时，如图，B0=2x,BP=8-x, 15/35 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 当3<x<8时，如图，过点Q作QH1AB于点H, B H A.·∠HAQ=∠BAC∠QHA=∠CBA=90° .△HAQ△BAC AO OH ∴.ACBC, 10+6-2xQH .10 6 QH=216-2), =p-0-8-6-2+ -x+ 5 5 5 -x2+8x(0<x≤3) 综上可得，y关于x的函数关系式为 5(B<x<8. 】32_48.,192 -x+ 5 8. 【详解】解：(1)在R△4BC中，∠ABC=90,AB=6,an∠CAB= 3 片6sC=A8×m∠C4B=6×-8, 3 (2)当t=2时，AM=4,MB=2, M、N关于点B对称， ∴.MN=2BM=4, 16/35 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当t=5时，AB+BM=10,AB=6,BM=4, .MN=2BM=8: (3)情况一，当点M在边AB上时，如图： C y M B N :M0⊥AC, ∠M0A=LABC=90°， ,∠A=∠A, .△AQM~△ABC. AM MO ·ACBC’ .AM=2t,AB=6,BC=8,AC=10, .9M=31,BM=6-21,MN=12-4h, 当0u=m时，即=12- 情况二，当点M在边BC上时，如图： O M P ⊙ 17/35 可学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 :MQ⊥AC, .∠MQC=∠ABC=90° ∠C=∠C, .△CQM~△CBA. CM MO :CA AB' 14-2t_Mg .106 0w-3a4-20. BM=2t-6, ∴.MW=2BM=4t-12, 当QM=MN时，即4t-12=3( 14-20. :1 13: 综上，当1=1551 7或3时，四边形MNPO为菱形： (4)情况一，当点M在边AB上，点P关于直线MQ的对称点P落在边AB上时，如图： A Pr MB N 由题意可知，PP⊥M0, :Mg⊥AC, ..PP'llAO. 18/35 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :四边形MNPO为平行四边形， ..OP=MN,OP//MN, .OPIlAP', 四边形AQPP'为平行四边形， .OP=AP' :AM=2t,BM=6-2t, .MN=OP=AP'=2BM =12-4, .P'M=AM-AP'=6t-12, 由对称可知，QP=QP',MP=MP,∠QPP'=LQP'P, .QP∥AP' .∠QPP'=∠MP'P, .∠MP'P=LQP'P,∠P'QM=∠P'Mg, .Op'=MP' :QP=QP'=MP=MP',即四边形POP'M为菱形， .OP=P'M 即：12-4t=6t-12, 解得：1=12 5， “当1s2 5时，刚好满足点P关于直线MQ的对称点p落在边AB上， 当点M从此时继续向B点移动时，可满足对称点P落在△ABC内部， 19/35 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 此时的范围是： 12<t<3: 情况二，当点M在边BC上，点P关于直线MQ的对称点P落在边BC上时，如图： B 同理可证四边形PQPM为菱形，四边形CQPP'为平行四边形， 则可得，MN=QP=P'M=CP', 此时，BM=2t-6,MN=2BM=41-12, .CM=2CP=8t-24, 由CM+BM=BC=8, 即：21-6+81-24=8， 19 解得：1=5， 当点M从B点移动到此时位置时，可满足对称点P落在△ABC内部， ·此时的范围是：3<1<19 5: 2 19 综上，当5 <I<3或3<1<5时，点p落在△ABC内部， 【点睛】本题考查相似三角形的动点问题，锐角三角函数等知识点，理解基本定义，灵活运用相似三角形 的性质是解题关键。 考点02 几何探究 9 【答案】(I)圆内接四边形对角互补，BDE,∠BDE=∠E. 20/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M (2)① ② 5 3)22 【详解】(1)略 (2)②如图，连接BH,BN, M B 由(1)可得BM=BN ,BM=2, .BN=BM=2 ,AN为直径 .∴∠ABN=90° .AB=4, .AN =AB2+BN2=25 :sin∠BAN=BN=2=V5 Aw2√5=5 :BH⊥AN,BM=BN .MH=HN,∠HBN=90°-∠ABH=∠BAN .HW=BNsin∠HBN=BNsin∠BAN=2x5_25 55 21/35 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 .MN-2HN=4 5: (3)如图，过点O作OT⊥AB于点T,连接OT,OH,TH, 图3 OA=3,AB=5, :.HT-AT=TB=1AB=5 2 2 在Ra470中，T0=VA02-A 由(2)可得BH⊥AN, 1 ∴H在7为圆心，2AB为半径的圆上运动， ∴OH的最小值为 r-OT=5而 22 10. 【详解】(I)解：，点E旋转到点F, .点F是以点A为圆心，AE长为半径的圆弧， .AB=6,点E是线段AB的中点， AE=号AB=3 2 又a=60°， 60° 点E旋转到点r所经过的路径长度为360×2x×3=元： (2)解：正确的为①②，证明如下： 22/35 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①，线段AB绕点A逆时针旋转得到线段AC, .AB=AC, ,点G为BC的中点， ∴AG是线段BC的垂直平分线，BG=)BC 由题意知，E,F分别是线段AB,AC的中点， :EF∥BC,EF=BC=BG ∴.AG是线段EF的垂直平分线，OA=OG, 即AG⊥EF,AG与EF互相平分： ②，线段AB绕点A逆时针旋转得到线段AC, .AB=AC. :点G为BC的中点， AG是线段BC的垂直平分线，BG=)BC, 由题意知，E,F分别是线段AB,AC的中点， EF∥BC,EF=)BC=BG 在Rt△ABG中，AG+BG=AB2=36, .BG=EF, .AG2+EF2=36: (3)解：当Q=30°或=150°时，四边形FFG'G是正方形，理由如下： 由题意知：AB=AC, :F,G分别是AC,BC的中点， :FG//AB.FG=1AB 2 ,FG与FG关于AB对称， .FG∥F'G,FG=F'G,AB⊥FF', 23/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠FF'G=∠F'FG=∠FGG'=90° .四边形FFGG是矩形， ①如图1所示：当=30°时 a=30° FH-AF.AF=FF-7AC AB=AC :FG=FF', .矩形FFG'G是正方形； H B G' 图1 ②当a=150°时，如图2所示：延长BA交FF'于点N, G ΓN A M 图2 .a=150° .∠CAW=30°， 在Rt△FAN中，∠CAN=30°」 N=方4，剥F=r-4C， AB=AC. :.FG=FF', 又，四边形FF'G'G是矩形， .四边形FFGG是正方形. 24/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11. 【详解】(1)证明：，CD⊥AB, .∠ACE=90° 又∠BAE=45°， ∴△ACE是等腰直角三角形， .∠AEC=45°，AC=CE, DF⊥I于点F. .∠DFE=90°， ∴△DEF是等腰直角三角形. 在Rt△DEF中， sin∠DEF=sin45°=DF=V2 DE 2, :DE =2DF ..CE+CD=2DF .AC+CD=2DF (2)解：过圆心O作OH⊥AB于H,连接OA,如图， D 根据垂径定理可知，AH=) 1×14=7 .⊙0 v2 的半径为 由勾股定理可得0H=VOF-AH-V52-72=1, AC+CD=2DF 由(1)可知， 当弦垂和AC+CD有最大值时，即DF有最大值， 当点D经过圆心与直线AE垂直时，DF有最大值，如图， 25/35 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 B E 直线1与AB的夹角为45°， BAE=45°， DF⊥AE,则∠AFO=90°， ∴△AFP为等腰直角三角形， ∠APF=45°， 设1F=PF=x,4P=V2x ,则 ∠0PH=45°， ∴△OHP为等腰直角三角形， ∴PH=OH=1OP=√2 .AP+PH=7 2x+1=7 ,即 解得32 :.0F=√2+3√2=4√2 :DF=0D+OF=5V2+4√2=9V2 ∴AC+CD=V2DF=√2x9W2=18 即“弦垂和”AC+CD的最大值为18. 12. 【详解】(1)解：.∠OQP=90°， 在RIAOP2中，OP=10,O0=6, 由勾股定理，得 26/35 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PQ=V0P2-0g2=V102-62=8. 根据三角函数的定义： cos∠P00=O9-63 OP-1051 am∠Pog=2_84 0063 (2)解：如图 D iA 由题意得AB⊥EC,BH⊥CH,AB II CH, ∴.∠BHC=∠ACH=∠BAC=90°， ∴四边形BHCA是矩形， CE=40÷2=20(m)∠POQ=∠EBA 由题意得 3 ∴.cos∠EBA=cos∠POQ= 5, 在RtABAE中，∠BAE=90°，AB=CH=13.8m, c0s∠EBA=4B_13.83 BEBE5· .BE=23(m) .CD=EB-EC=23-20=3(m) 13. 【详解】(I)证明：，将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△ABF, ∴.AF=AE,∠BAF=∠CAE, ,∠BAC=2∠DAE,∠BAC=90°， .∠DAE=45°， 27135 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BAD+∠CAE=90°-45°=45° .∠BAD+∠BAF=∠BAD+∠CAE=45°， ∴.∠DAF=∠DAE, 在△ADF和△ADE中， AF=AE ∠DAF=∠DAE AD=AD :△ADF≌aADE(SAS) (2)解：将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△ABF, .∠C=∠ABF, 在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°， ∴.∠ABC=∠C=45°， :.∠DBF=∠ABC+∠ABF=45°+45°=90°， ,△ADF≌△ADE, .'BF=CE=2,DF=DE, .BD=1, 在R1△DBF中， DE=DF=BD2+BF2=1+22=5 (3)解：将△ACE绕点A顺时针旋转60°得△ABF,连接DF, F GB D :AB=AC,∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形， .∠B=∠C=60° ,将△ACE绕点A顺时针旋转60°得△ABF, .AF=AE,∠BAF=∠CAE .∠BAC=2∠DAE,∠BAC=60°， 28/35 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠DAE=30°， .∠BAD+∠CAE=60°-30°=30°， .∠BAD+∠BAF=∠BAD+∠CAE=30°， ∴.∠DAF=∠DAE, 在△ADF和△ADE中， AF=AE ∠DAF=∠DAE AD=AD :aHDF≌ADE(SAS) 作FG⊥CB交CB的延长线于点G, ,将△ACE绕点A顺时针旋转60°得△ABF, ∴.∠C=∠ABF=60° .∠DBF=∠ABC+∠ABF=60°+60°=120°， .∠FBG=60°， .∠BFG=30°， ,△ADF≌△ADE, .BF CE=2,DF=DE, GB FG-B .DG=BG+BD=2. 在RtADGF中，DE=DF=VDG2+FG2=22+(N5=V万， (4)解：设∠BAC=a, 将△ACE绕点A顺时针旋转C得△ABF,连接DF, F .AB=AC,∠BAC=C, 29/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ABC=∠C三2080°-a)=90°- 2a, ,将△ACE绕点A顺时针旋转Q得△ABF, .AF=AE,∠BAF=∠CAE .∠BAC=2∠DAE,∠BAC=Q, 1 .∠DAE=a 2 .∠BAD+∠CAE=a- 11 a=-a 2 2 ∴∠BAD+∠BAF=∠BAD+∠CAE= 20, .∠DAF=∠DAE, 在△ADF和△ADE中， AF=AE ∠DAF=∠DAE AD=AD :△ADF≌ADE(SAS) 作FG⊥CB交CB的延长线于点G, ,将△ACE绕点A顺时针旋转C得△ABF, ∠C=∠ABF=90-1a -a 2 .∠DBF=∠ABC+∠ABF=90°-La +90- a=180°-a, 2 ∠FBG=a, .△ADF≌△ADE, .'BF=CE=2,DF=DE, 1 :Cos∠BAC= 1 4,即cosa= 49 BG 1 :.BF 4' 1 .BG= 2 30/35 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DG=BG+BD=3 , DGF中，DE=DF=VDG+fO 交 14. 【详解】(1)解：，∠BAD=∠BCD=90°， ∴.∠BAD+∠BCD=180° ∴A、B、C、D四点共圆， :.∠BAC=∠BDC=25°： (2)解：如图所示，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E,OF⊥AD于点F,连接OB, OC,OA,则四边形OFDE是矩形， 月F B E D :∠BAC=45°， .∠BOC=90°， 在Rt△BOC中，BC=BD+CD=4, :B0=c0='2Bc=25】 2 .OE⊥BC, :.BE=-BC=2. DE=OF=BD-BE=1 OE=DF=VOB2-BE2=2 :AF=VA02-0F2=V万 31/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :D=AF+DF=2+V万 (3)解：如图所示，在BC上截取一点F使得BF=BA,连接AF,以AF为直径作圆O,过点F作 EF⊥AD交AD于点E,过点O作OG⊥EF交EF于点H,交圆O于点G,过点G作圆O的切线分别交 AD,BC于点K、Q,则四边形ABFE为正方形， EKD FO C ,四边形ABCD是矩形， .∠ABF=90°， B在圆O上， AF=AB2+BF2=42 :0G=0F=22 OH⊥EF, m-F-48=2, .OH=JOF2-FH=2 :GH=0G-0H=2W2-2 BF≤m<BQ, 4≤m<4+2V2-24≤m<2√2+2 ，即 15. 【详解】(1)解：：直线abc, AD AE .'CD BE AE=4,BE=2, 32/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 82 (2)解：如图所示，点D即为所求； 、D b B (3)解：AE=4,BE=2, .AB=AE+BE=6, AD 由(1)得CD 2, 2子即4C .△ABD~△ACB, AB、AD 6=AD ACB,即3AD 6, 2 :D=26成1D=-2N6 或 (舍去)： (4)解：如图所示，当点C在点B右侧时，过点B作BT⊥b于点T, 由轴对称的性质可得AB=AB', .∠ABB=∠AB'B, ..allc, ∠CBB=∠AB'B」 &∠C8B=∠ABB=∠AB8∠ABC: ..blc, 33/35 可学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 .∠EMB=∠CBM,∠BET=∠ABC, .∠EBM=∠EMB, ∴.EM=BE=2; 3,即cos∠ABC=1 1 ..cosa 3 ·cos∠BET= 3, ·TE=BE.cos∠BET=2 · :87=VBE2-7E-42 8 TM=TE+EM= 3 3 BM=BT+TM46 3 当点C在点B左侧时，过点B作BT⊥b于点T, B' A -a TE一b M 一C 同理可证明 EM-BE-2.TE=3 BT=4V2 3, TM ME-TE :BM=VB72+7M45 3； 434v6 综上所述，BM的长为3或3： 16. 【答案】(1) 证明：因为⊙O是∠BAC的一个内切圆， 34/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 不妨设⊙O与AB、AC分别相切于点D、E,如图②， 连接OA、OD、OE B 所以 OD=OE OD⊥ABOE⊥AC ∴点O在∠BAC的平分线上： @2Vir 3)16π 17. 【答案】(I)①如图，点E即为所求： E ②15° (2)①证明：过点N作NG⊥BF于点G, M N F A D G E B 图3 ,∠NFG=∠AFB,∠NGF=∠BAF=90°， .△NFG一△BFA, 治深 ,BN是∠ABF的角平分线，AN⊥AB,NG⊥BF, .AN=NG. AN_NF ABBF' 35/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .FN=AN+FD, .AD=2FN, 由折叠的性质得：BF=BC, :四边形ABCD是矩形， .AD=BC, .AD=BF, .BF=2FN, AN NF 1 ABBF2' ∴.AB=2AN: 3 5 18. 【答案】I)相等（或CD'=BD);相等（或∠AD'C=∠ADB) (2) 证明：，四边形ABCD是正方形 .∠DCB=90°，BC=DC ,CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE', ∠ECE'=90°，CE=CE .∠DCB=∠ECE'=90°， :.∠DCB-∠BCE=∠ECE'-∠BCE即∠DCE=∠BCE' :ABCE'≌aDCE(SAS) ∴.∠BEC=∠DEC=90°， .∠CED+∠CEF=180° ∴.∠CEF=90° ∴.∠BE'C=∠ECE'=∠CEF=90° ∴.四边形CEFE是矩形 又，CE=CE ∴.四边形CEFE是正方形： 36/35 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3v218 (3)55 19. 【答案】)DF=V2AE 45 (2) 解：DF=V5AE,∠CDF=90 理由如下： ·四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°， AB=AD,AB‖CD ∴.∠ABE+∠AEB=180°-120°=60°，∠ADC=180°-∠BAD=60°， ∠BEF=120°， ∠DEF+∠AEB=60°， ∴.∠ABE=∠DEF, AG=AE, ∴BG=DE, ∠4GE=∠AEG=180°-120 =30° 2 :△BEG≌△EFD(SAS)∠BGE=∠AEG+∠BAD=150° ∴.EG=DF,∠EDF=∠BGE=150°. .∠CDF=∠EDF-∠ADC=90°， 如图，过点A作AK⊥EG于点K,则EG=2EK, D B 图2 .∠AEK=30° AK=AE」 21 在武角三角形微中白勾吸定理得：KG一K-4-兮 2 AE 2 37/35 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..EG=2EK=3AE .DF=3AE ③6 20. 【答案】(1) 证明：：∠ACB=90,AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E, ∴.∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90° .∴∠CAD=∠BCE AC=CB .△CAD≌△BCE(AAS) ∴.CD=BE,CE=AD .DE=CE+CD=AD+BE: 2)2 45 3)3 21. 【答案】(1)：∠BAD=45°，∠ADE=90°， ∴.△ADE为等腰直角三角形， .'AD=DE, .EF⊥BC, .∠EFD=90°， ∴.∠C=∠ADE=∠EFD=90°， ∴.∠CAD+∠ADC=∠ADC+∠EDF=90°， ∴.∠CAD=∠EDF, 38/35 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △ACD≌△DFE(AAS) .EF CD; (2)4v2 (3)4v0 22 【答案】 [问题解决]如图，点C为⊙O上任意一点，连接PC,OC, B 当点C与点B不重合时， ,在aPOC中，PO+CO>PC, 又CO=B0. .PO+BO>PC,即PB>PC, 当点C与点B重合时，PB=PC, 综上可得，PB≥PC, ,点C为⊙O上任意一点， PB的长是点P到⊙O上的点的最长距离. [初步应用](1)2或5： (2) 2W17-2 ?x② [拓展延伸]”2 23, 【详解】(1)解：上面小论文中的知识拓展部分.主要运用的数学思想有分类讨论思想， 故答案为：C (2)解：如图所示：线段AC与BC的和最小是10cm. 39/35 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A C B 故答案为：10： (3)解：，⊙0的直径为2cm,OB=lcm, 点B在圆上， :点A为⊙0上一点， .AB直径时，AB有最大值，即AB=2cm, 故答案为：2： (4)解：如图，取AB的中点E,连接OD、OE、DE, M D A E B N .∠MON=90°，AB=2, 1 ·OE=AE=2AB=1' :BC=1,四边形ABCD是矩形， .AD=BC=1. DE=VAD+AE=+F2 根据三角形的三边关系，OD≤OE+DE, 当OD过点E时，等号成立，DO的值最大，最大值为 2+1. 【点睛】本题考查了三角形三边关系，点和圆的位置关系，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质， 正确理解题意是解题的关键， 40/35