专题06 概率与统计（2大考点）（吉林专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦概率与统计专题，精选吉林省各地二模及期中试题，情境融合航天、冰雪经济、数学文化等时代热点，梯度覆盖基础计算与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|约27题|列表/树状图求概率、频率估计概率、方差、平均数、样本估计总体|神舟二十号着陆情境（第8题）、《数学之美》邮票（第3题）、冰雪经济统计分析（第18题）|

专题06 概率与统计 列表法或树状图求概率 考点01 1． 【详解】解：由题意，列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共9种等可能的结果，其中两次取出的字母相同的结果有3种， ∴. 2． 【详解】解：画树状图如下， 由树状图可得，共有种等可能结果，其中甲和乙刚好坐在同一列的结果数为，即 甲和乙刚好坐在同一列的概率为 3． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中两张邮票恰好是A和B有2种结果， 抽到的两张邮票恰好是A和B的概率为． 4． 【详解】（1）解：∵随机摸出一个小球，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于左右， ∴随机摸出一个小球是红色的概率为， 设箱子里白色小球的个数为个， 由题意得：， 解得，经检验，是所列分式方程的解， ∴估计箱子里白色小球的个数为1个． （2）解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，两次摸出的小球颜色共有12种等可能的结果，其中，两次摸出的小球颜色恰好不同的结果有6种， ∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为， 答：两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为． 5． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 共6种等可能的结果，其中甲、乙两车停放在不相邻的位置有2种结果， （甲、乙两车停放在不相邻的位置）. 6． 【详解】解：画树状图如下： 则共有种等可能的结果，其中姐妹两人选中同一条绳子的结果有种， 姐妹两人选中同一条绳子的概率． 7． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知可能出现的结果有12种，其中第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字有6种， ∴第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字的概率为． 8． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知共有12种等可能的结果，符合条件的是AC或者CA，共2种， ∴抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率为 ． 9． 【详解】（1）解：P（偶数）， 即小丽获胜的概率是； （2）解：∵若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去， ∴小芳获胜的概率是， 可知这个游戏不公平； 措施：将其中一个奇数改为偶数就公平了． 理由：此时P（偶数）， ∵若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去， ∴小芳获胜的概率是， 可知此时这个游戏公平． 10． 【详解】解：列表如下， 一二 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 一共有12种等可能的结果，其中甲和乙在一起的有2种情况， 因此（选中甲乙）． 11． 【详解】解：列表如下： 由表可得，共有种等结果，其中两次抽出的卡片上的数字之和大于的结果有种， ∴小明两次抽出的卡片上的数字之和大于的概率为． 12． 【详解】解：列表如下： — — — — 由上表可知，共有12种等可能得结果，其中，恰好选中两名同学作为志愿者参加活动的结果有2种， （恰好选中两名同学作为志愿者参加活动）． 统计及数据分析 考点02 13． 【答案】D 14． 【答案】甲 15． 【详解】（1）解：九年级20名学生大赛成绩为：68，69，77，78，78，81，86，87，87，88，88，90，96，96，96，97，99，99，100，100， 其中，96出现次数最多， 则众数为，中位数； （2）解：八年级的平均数为88，A组共8人，都高于88， 由于八年级中位数为89，说明第10、11个成绩都是， 因此高于平均数的共有11人，即， 九年级的平均数为88，成绩高于88的共有9人，即， ； （3）解：（人）     答：估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数约为590人． 16． 【详解】（1）解：中位数是指将数列从小到大依次排列最中间的数， 共20株人参， ∴最中间的数是第10个和第11个， 从小到大，A组频数为2，B组频数为5， ∵， ∴中位数在C组； （2）解：C，D两组人参皂苷含量不小于，共（株）， ∴小组采摘的1000株人参中符合优质人参标准的数量为： （株）； （3）解：A组的人参皂苷含量较少，剔除较小的数据后，整体数据的平均值会增大， 剔除A组后剩余18株人参，中位数是第9个和第10个数据， 此时B组有5株， ∵， ∴中位数仍落在C组，组别不变． 17． 【答案】(1)3，76，76 (2)补全频数分布直方图如图，； (3)估计该校名学生中对学校餐厅的评价不低于分的人数为人． 18． 【详解】（1） 解：年的同比增速分别为：， 将这组数据从小到大排列为：； 位于中间位置的数是，所以中位数为； （2）解：①观察条形统计图可知，2026年的条形最高，数值为3414，是年中最大的，故①合理； ②计算各年市场规模的增量： 2023年增量：； 2024年增量：； 2025年增量：； 2026年增量：； ∵， ∴2024年增量最多，故②不合理； ③观察折线统计图可知，2023年的同比增速为，不是，故不合理； 综上所述，合理的判断是①； （3）解：2026年吉林省冰雪经济市场规模为3414亿元，2026年同比增速为， 若2027年同比增速与2026年持平，则2027年增速也为， 故2027年市场规模. 19． 【详解】（1）解：∵学生上学路上所花费的时间为20分钟的人数最多， ∴抽取的学生上学路上所花费的时间为20分钟的可能性最大， ∴老师最可能得到的回答是20分钟； （2）解：名， 答：估计其中平均每天上学路上所花费的时间超过20分钟的学生人数为200名； （3）解：原来的众数为20分钟， 把原来30名学生上学路上所花费的时间按照从低到高排列，中位数为第15个数据和第16个数据的平均数， ∵， ∴中位数为分钟， 加1名学生的数据之和，一共有31个数据，众数仍为20分钟， 把这31个数据按照从低到高的顺序排列中位数为第16个数据， ∵， ∴中位数为分钟； 原来的平均数为分， 而加入的1名学生的每天上学路上所花费的时间为15分钟，故加入后的平均数要变小， ∴中位数和众数不变，平均数发生变化． 20． 【详解】（1）解：由数据可知，班测评成绩在的有人，班测评成绩在的有人， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由数据可知，班成绩不低于分的人数有人，班成绩不低于分的人数有人， ∴本次测评中合格率较高的是班， ∵班的平均分为 分， 班的平均分为 分， ∴班的平均分班的平均分， 故答案为：，； （3）解：由数据可知，班测评成绩的中位数为分，班测评成绩的中位数为分， ∵班的甲同学和班的乙同学成绩均为分， ∴甲同学的成绩排名在本班处于参与测评学生的中等位置，乙同学的成绩排名在本班处于参与测评学生的中等偏下， ∴甲同学排名更靠前， 故答案为：甲； （4）解：从平均数看，由（）可知，班参与测评学生的成绩的平均数比班的高，所以班的学生对“法治知识”的掌握程度更好； 从中位数看，由（）可知，班参与测评学生的成绩的中位数比班的高，所以班的学生对“法治知识”的掌握程度更好； 从众数看，班参与测评学生的成绩的众数为分，班参与测评学生的成绩的众数为分，班参与测评学生的成绩的众数比班的高，所以班的学生对“法治知识”的掌握程度更好．（答案不唯一，写出一个即可） 21． 【答案】(1)， 补全频数分布直方图如图， (2)， (3) 22． 【答案】(1)； (2)该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人 (3)第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可） 23． 【详解】（1）由题意可知，抽样调查方式更合理的是从个班中各随机抽取一个， 故答案为：④． （2）把校外课程的打分从小到大排列，排在中间的两个数均为，故中位数， 在阅读课程的打分中，出现的次数最多，故众数． （3）校外课程的得分为（分）， 阅读课程的得分为（分）， ∵， ∴该校师生更喜欢阅读课程． 24． 【答案】(1)69，69，70 (2)小颖的总评成绩是82分 (3)小颖能入选，小聪不能， 理由如下： 从这20名学生的总评成绩频数分布直方图可以看出，恰好有10名同学总评成绩低于80分，因为小聪总评成绩78分，小颖总评成绩82分，又所以小颖能入选，小聪不能． 25． 【答案】(1)预警区； (2)；；；； 抽取的户月用水量平均数为， 抽取的户月用水量方差为： 因为， 所以该社区的宣传可信． 26． 【答案】(1)，，5，50，补全图形如下： ； (2)这两个年级的学生知识竞赛成绩优秀的总人数是550 (3)我认为九年级更优秀， 理由如下：九年级中位数95大于八年级中位数92.5，所以九年级更优秀． 27． 【答案】(1)①90；②65 (2) 补全频数分布直方图如图． (3)75人 8/10 9/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 概率与统计 2大考点概览 考点01列表法或树状图求概率 考点02统计及数据分析 列表法或树状图求概率 考点01 1．(2026·吉林省吉林市·二模)有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着，，．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次取出的字母相同的概率． A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 2．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，每个小方框代表一个座位，横为排，竖为列，其中黑色圆点表示已有人入座，甲从第二排剩余的3个座位中随机选择一个入座，乙从第三排剩余的3个座位中随机选择一个入座．用画树状图（或列表）的方法，求甲和乙刚好坐在同一列的概率． 3．(25-26九·吉林延边朝鲜族·模拟)2025年3月14日（国际圆周率日）发行了名称为《数学之美》的邮票．如图，A：“圆周率”、B：“勾股定理”、C：“欧拉公式”、D：“莫比乌斯环带”（邮票背面完全相同）．将这四张邮票背面朝上，洗匀后放在桌面上．从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法求抽到的两张邮票恰好是A和B的概率． 4．一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于左右． (1)估计箱子里白色小球的个数为 个； (2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后不放回箱子里，然后再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率．（用画树状图或列表的方法） 5．(2026·吉林省长春市榆树市·二模)如图，某一时刻停车场内有序号为1，2，3的三个空车位顺次排成一排，现有甲、乙两车需要随机停放到其中一个车位，求甲、乙两车停放在不相邻的位置的概率． 6．如图，两条完全相同的绳子穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一段绳子．已知每边每段绳子被选中的机会均等，用画树状图（或列表）的方法，求姐妹两人选中同一条绳子的概率． 7．(2026九·吉林省四平市·二模)有4张除数字外完全相同的卡片，上面分别写着数字1、2、3、4，将卡片背面朝上洗匀，随机抽取一张后不放回，再随机抽取一张，用列表或画树状图的方法，求出“第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字”的概率． 8．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2026年1月19日9时，神舟二十号飞船返回舱在东风着陆场成功着陆．下面是四张印有中国航天飞行任务标识图案的卡片A，B，C，D，四张卡片除正面图案外其他均相同．将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上．从这四张卡片中随机同时抽取两张卡片，用列表或画树状图的方法求出抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率． 9．(25-26九下·吉林长春德惠·)在某校七年级（1）班组织的“六·一儿童节”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． (1)求小丽获胜的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？若不公平，如何使这个游戏变得公平？请说明理由． 10．(2026·吉林省松原市·二模)每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了培养学生的阅读习惯，计划开展以“书香润泽心灵，阅读丰富人生”为主题的读书节活动．在“形象大使”选拔活动中，甲、乙、丙、丁4位同学表现最为优秀，学校现打算从4位同学中任选2人作为学校本次读书节活动的“形象大使”，请你用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 11．一个不透明的盒子中有三张卡片，卡片上面分别标有数字，每张卡片除数字不同外其他都相同．小明先从盒子中随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀；再从盒子中随机抽出一张卡片记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽出的卡片上的数字之和大于的概率． 12．为庆祝神舟十五号载人飞船发射成功，某中学组织志愿者周末到社区进行航天航空知识宣讲活动，现有四名同学报名参加．若从这四人中随机选取两人作为志愿者，请用列表或画树状图的方法求恰好选中两名同学作为志愿者参加活动的概率． 统计及数据分析 考点02 13．已知一组数据的方差计算公式为，由公式提供的信息，下列说法错误的是（    ） A．中位数是 B．众数是 C．方差是 D．平均数是 14．甲、乙两名学生进行实心球测试，每人投掷5次，他们各自成绩（单位：米）的平均数和方差如下表，则测试成绩更稳定的学生是_____．（填“甲”或“乙”） 学生 平均数 方差 甲 乙 15．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)某校组织了“科技创新知识”大赛，从八、九年级中各随机抽取20名学生的大赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制且为整数，均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．）．下面给出了部分信息： a．八年级20名学生的“科技创新知识”大赛成绩在A组中的是：91，91，93，94，97，97，99，100． b．九年级20名学生的“科技创新知识”大赛成绩：68，69，77，78，78，81，86，87，87，88，88，90，96，96，96，97，99，99，100，100． c．八、九年级抽取的学生“科技创新知识”大赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 88 89 89 九年级 88 m n 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_________，_________； (2)在八年级抽取的20名同学中，高于这20人大赛成绩平均数的人数为，在九年级抽取的20名同学中，高于这20人大赛成绩平均数的人数为，则_________；（填“”“<”或“=”） (3)该校八年级有800名学生、九年级有600名学生参加了此次“科技创新知识”大赛，若成绩不低于90分为优秀，估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生共有多少人． 16．(25-26九·吉林延边朝鲜族·模拟)人参是吉林省特色药材，人参皂苷含量是衡量人参品质的核心指标．某科研小组从吉林省抚松产区采摘的1000株人参中，随机抽取20株作为样本，测定其皂苷含量（单位：%），数据整理如表： 人参组别 皂苷含量 频数/株 A 2 B 5 C 9 D 4 根据以上信息，回答下列问题： (1)抽取的20株人参皂苷含量的中位数落在________组（填组别字母）； (2)吉林省人参品质标准规定：皂苷含量不低于6%为优质人参．根据样本数据，估计科研小组采摘的1000株人参中符合优质人参标准的数量； (3)科研小组复查时发现，样本中A组的2株人参因生长环境异常导致皂苷含量异常偏低，属于数据异常值，若剔除这2个数据，则剩余18株人参的统计量与原数据相比： ①平均数将________（填“增大”“减小”或“不变”）； ②中位数所在的组别将________（填“改变”或“不变”）． 17．(25-26九下·吉林长春德惠·)根据《学校食品安全与营养健康管理规定》，进一步加强和规范中小学食堂供餐管理，保障学生在校集中用餐的食品安全与营养健康，助力守护校园“舌尖上的安全”．某学校为了解学生对学校餐厅的满意程度．随机抽取了名学生进行满意程度评价．根据这名学生的评价结果（百分制），绘制如下不完整的统计图表： 评价等级分数段 评价等级 分数（x分） 非常满意（A） 满意（B） 一般（C） 不满意（D） 非常不满意（E） C等级统计表 得分 70 72 75 76 78 频数 1 3 5 3 分析C等级统计表的数据，得到下表： 平均分 众数 中位数 75 c 请你根据图表中的信息完成下列问题： (1)表中的_____，_____，_____； (2)补全频数分布直方图； (3)请估计该校名学生中对学校餐厅的评价不低于分的人数． 18．(2026·吉林省吉林市·二模)冰雪经济是吉林省新质生产力重要板块．如图为年吉林省冰雪经济市场规模及同比增速的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)年吉林省冰雪经济市场规模中，同比增速的中位数是________． (2)下列判断合理的是________（填序号）． ①年，2026年吉林省冰雪经济市场规模最高． ②年，2026年吉林省冰雪经济市场规模增量最多． ③2023年吉林省冰雪经济市场规模同比增速． (3)若2027年吉林省冰雪经济市场规模同比增速与2026年持平，则2027年吉林省冰雪经济市场规模约为________亿元（只填算式，不计算结果）． 19．某校要了解学生平均每天上学路上所花费的时间，从全校学生中随机抽取30名学生进行调查，将收集到的数据制作成如下的条形统计图． 抽取的30名学生上学路上所花费时间的条形统计图 根据以上信息，回答下列问题： (1)假如老师在抽取的30名学生中随机地问一名学生上学路上所花费的时间，老师最可能得到的回答是_____分钟； (2)该校共有600名学生，估计其中平均每天上学路上所花费的时间超过20分钟的学生人数； (3)从全校学生中再随机抽取一名学生．若该学生平均每天上学路上所花费的时间为15分钟，将这个数据加入到原数据中，得到一组新数据．下列指标中，与原数据相比，新数据中发生变化的是_____．（填序号） ①平均数   ②中位数    ③众数 20．(2026九·吉林省四平市·二模)“法治中国的未来在年轻人身上”，为了筑牢青少年的法治之基，某中学进行了满分为分的“法治知识”测评，分别从九年级班和班各随机抽取了参与测评的名学生的成绩（单位：分）并进行整理分析： 【收集数据】 班名学生成绩数据如下： 班名学生成绩数据如下： 【整理数据】 成绩 班 班 【分析数据】 根据以上信息，解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)若成绩不低于分为“合格”，判断在本次测评中合格率较高的是______班，班的平均分______班的平均分（填“”“”或“”）； (3)在本次测评中，班的甲同学和班的乙同学成绩均为分，你认为两人在各自班级参与测评的学生中______的排名更靠前； (4)请结合具体数据，从平均数、中位数、众数中选择一个角度，说明哪个班的学生对“法治知识”的掌握程度更好． 21．【项目背景】为提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力，某校在开设心理健康课前后，对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分，用x表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 A B C D E x 整理1：学生在心理健康课后的测试成绩在D组的记录如下：，，，，，，，，，，，，，，，． 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①所示的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②所示的扇形统计图． 整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为． 【数据处理和应用】 (1)任务1：心理健康课前测试成绩在C组的有 人，并补全频数分布直方图； (2)任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是 分，B组对应扇形的圆心角是 ； (3)任务3：若心理健康课后测试成绩不低于80分为优秀，试估计该校2000名学生在心理健康课后测试成绩为优秀的人数． 22．2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能＋”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图．为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试．从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图． 根据以上信息，整理、分析数据，得到下表： 平均成绩/分 中位数/分 众数/分 第一次测试 第二次测试 (1)________，________； (2)若规定分及分以上为优秀，该社团共名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数； (3)结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可． 23．某市义务教育阶段初中阶段部分学校践行了“每周半天计划”活动，减少学生的上课时间，按单双周安排轮流设置半天的校外课程与阅读课程，某校为了了解师生对这两类课程的喜爱程度，现抽取部分师生分别对这两类课程进行打分(分数为整数，满分为分)． 信息一：学生打分的平均数、众数、中位数如下表所示： 项目 平均数 众数 中位数 校外课程 阅读课程 信息二：名学生打分情况的折线统计图如图所示： 抽取的位教师对“校外课程”和“阅读课程”这两类课程打分的平均分分别为分和分．请根据以上信息解答下列问题： (1)下列抽样调查的名学生中，抽样调查方式更合理的是 ．(填序号) ①从八年级中抽取：②从七年级（1）班中抽取：③抽取名男生：④从个班中各随机抽取一个． (2)填空∶ ， ． (3)如果该校将根据综合平均分的高低来判断师生对这两类课程的喜爱程度，其中综合平均分中教师打分占，学生打分占，那么请你通过计算分析该校师生更喜欢哪类课程？ 24．(2026·吉林省长春市榆树市·二模)为增强学生的社会实践能力，某校拟实施每周半天计划，并同步建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小聪、小颖的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图： 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小聪 83 72 80 78 小颖 86 84             (1)在摄影测试中，七位评委给小颖打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分； (2)请你计算小颖的总评成绩； (3)学校决定根据总评成绩择优选拔10名小记者，试分析小聪、小颖能否入选，并说明理由． 25．年月日是第届“世界水日”，某社区为了响应“世界水日”的节水号召，将居民月用水量划分为四个区间，并随机抽取了该社区户居民的月用水量（单位：吨），将收集到的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．居民月用水量区间分布表如下表： 分类 名称 月用水量（单位：吨） 低耗区 标准区 预警区 高耗区 根据以上信息，回答下列问题： (1)抽查的户居民的月用水量的中位数在________；（填“低耗区”、“标准区”、“预警区”或“高耗区”） (2)该社区打算对预警区和高耗区实施整改，整改方案如下： 预警区：每户月用水量减少吨，若新月用水量小于吨则划入区； 高耗区：每户月用水量减少，若新月用水量小于吨则划入区． 如果所有用户均按要求整改，则区户数占比将从原来的升至． 补全所有用户均按要求整改后居民用户分布表； 分类 名称 用户数（单位：户） 低耗区 标准区 预警区 高耗区 该社区宣称“如果所有用户均按要求整改后，高耗区居民月用水量分布更集中”．为验证此宣传，该社区随机抽取整改后高耗区5户月用水量（吨）：，，，，．若抽取的户月用水量方差小于则认为“分布更集中”，通过计算判断该社区的宣传是否可信． 26．(2026·吉林省松原市·二模)每年春季都是流感高发期．为“预防流感，守护健康”增强学生防疫意识，某中学八、九年级举办了防疫知识问答竞赛．现八、九年级各随机抽取了20名学生的知识竞赛分数（单位：分）进行整理和分析，当分数不低于95分为优秀，下面给出部分信息．    八、九年级被抽取的学生防疫知识竞赛分数的中位数、众数、优秀率如下表： 年级 中位数 众数 优秀率 八年级 a 95 n% 九年级 95 b 60% (1)填空：a＝______；b＝______；m＝______；n＝______；并补全条形统计图； (2)若该校八、九年级各有500名学生，估计这两个年级的学生知识竞赛成绩优秀的总人数． (3)根据以上数据分析，你认为八、九年级哪个年级防疫知识掌握的更好？请说明理由（写出一条理由即可） 27．为整体提升学生的综合素质，某中学利用课后服务时间，对七年级300名学生全员开设了A、、三类课程．经过一个学期的课程学习，学校想了解学生课程学习的效果，从中随机抽取20名学生进行了检测．这三类课程的成绩均为百分制，抽取的20名学生A、、三类课程的成绩情况统计图如下： (1)例如：学生甲A类课程的成绩是60分，则该生类课程的成绩是80分，类课程的成绩是80分． ①学生乙A类课程的成绩是98分，则该生类课程的成绩是______分． ②学生丙类课程的成绩是45分，则该生三类课程的平均成绩是______分． (2)在图③中补全这20名学生类课程成绩的频数分布直方图． （数据分成7组：，，，，， ，） (3)学校规定成绩在85分及以上为优秀，估计该校七年级学生A类课程成绩优秀的人数． 30/31 31/31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 概率与统计 2大考点概览 考点01列表法或树状图求概率 考点02统计及数据分析 列表法或树状图求概率 考点01 1．(2026·吉林省吉林市·二模)有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着，，．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次取出的字母相同的概率． 【答案】 【详解】解：由题意，列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共9种等可能的结果，其中两次取出的字母相同的结果有3种， ∴. 2．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，每个小方框代表一个座位，横为排，竖为列，其中黑色圆点表示已有人入座，甲从第二排剩余的3个座位中随机选择一个入座，乙从第三排剩余的3个座位中随机选择一个入座．用画树状图（或列表）的方法，求甲和乙刚好坐在同一列的概率． 【答案】 【分析】甲有3种选择方式，乙有3种选择方式，据此画出树状图，再确定所有等可能的结果和甲和乙刚好坐在同一列的结果数，最后利用概率的公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下， 由树状图可得，共有种等可能结果，其中甲和乙刚好坐在同一列的结果数为，即 甲和乙刚好坐在同一列的概率为 3．(25-26九·吉林延边朝鲜族·模拟)2025年3月14日（国际圆周率日）发行了名称为《数学之美》的邮票．如图，A：“圆周率”、B：“勾股定理”、C：“欧拉公式”、D：“莫比乌斯环带”（邮票背面完全相同）．将这四张邮票背面朝上，洗匀后放在桌面上．从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法求抽到的两张邮票恰好是A和B的概率． 【答案】 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中两张邮票恰好是A和B有2种结果， 抽到的两张邮票恰好是A和B的概率为． 4．一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于左右． (1)估计箱子里白色小球的个数为 个； (2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后不放回箱子里，然后再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率．（用画树状图或列表的方法） 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先求出随机摸出一个小球是红色的概率，再利用概率公式建立方程，解方程即可； （2）先画出树状图，则可得两次摸出的小球颜色的所有等可能的结果，再找出两次摸出的小球颜色恰好不同的结果，然后利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵随机摸出一个小球，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于左右， ∴随机摸出一个小球是红色的概率为， 设箱子里白色小球的个数为个， 由题意得：， 解得，经检验，是所列分式方程的解， ∴估计箱子里白色小球的个数为1个． （2）解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，两次摸出的小球颜色共有12种等可能的结果，其中，两次摸出的小球颜色恰好不同的结果有6种， ∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为， 答：两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为． 5．(2026·吉林省长春市榆树市·二模)如图，某一时刻停车场内有序号为1，2，3的三个空车位顺次排成一排，现有甲、乙两车需要随机停放到其中一个车位，求甲、乙两车停放在不相邻的位置的概率． 【答案】 【分析】根据题意，画出树状图，进行求解即可. 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 共6种等可能的结果，其中甲、乙两车停放在不相邻的位置有2种结果， （甲、乙两车停放在不相邻的位置）. 6．如图，两条完全相同的绳子穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一段绳子．已知每边每段绳子被选中的机会均等，用画树状图（或列表）的方法，求姐妹两人选中同一条绳子的概率． 【答案】 【分析】由画树状图的方法求概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 则共有种等可能的结果，其中姐妹两人选中同一条绳子的结果有种， 姐妹两人选中同一条绳子的概率． 7．(2026九·吉林省四平市·二模)有4张除数字外完全相同的卡片，上面分别写着数字1、2、3、4，将卡片背面朝上洗匀，随机抽取一张后不放回，再随机抽取一张，用列表或画树状图的方法，求出“第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字”的概率． 【答案】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知可能出现的结果有12种，其中第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字有6种， ∴第二次抽取的数字小于第一次抽取的数字的概率为． 8．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2026年1月19日9时，神舟二十号飞船返回舱在东风着陆场成功着陆．下面是四张印有中国航天飞行任务标识图案的卡片A，B，C，D，四张卡片除正面图案外其他均相同．将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上．从这四张卡片中随机同时抽取两张卡片，用列表或画树状图的方法求出抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率． 【答案】抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率为 【分析】需要通过列表法或树状图法列出所有不放回抽取两张卡片的等可能结果，注意抽取两张不考虑顺序，避免重复计数，再根据概率公式求出符合条件的事件概率． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知共有12种等可能的结果，符合条件的是AC或者CA，共2种， ∴抽到的卡片正面图案恰好是“神舟19”和“神舟21”飞行任务标识的概率为 ． 9．(25-26九下·吉林长春德惠·)在某校七年级（1）班组织的“六·一儿童节”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． (1)求小丽获胜的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？若不公平，如何使这个游戏变得公平？请说明理由． 【答案】(1)小丽获胜的概率是 (2)不公平．将其中一个奇数改为偶数就公平了，理由见解析 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）比较两人获胜概率可知不公平，将其中一个奇数改为偶数即可． 【详解】（1）解：P（偶数）， 即小丽获胜的概率是； （2）解：∵若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去， ∴小芳获胜的概率是， 可知这个游戏不公平； 措施：将其中一个奇数改为偶数就公平了． 理由：此时P（偶数）， ∵若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去， ∴小芳获胜的概率是， 可知此时这个游戏公平． 10．(2026·吉林省松原市·二模)每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了培养学生的阅读习惯，计划开展以“书香润泽心灵，阅读丰富人生”为主题的读书节活动．在“形象大使”选拔活动中，甲、乙、丙、丁4位同学表现最为优秀，学校现打算从4位同学中任选2人作为学校本次读书节活动的“形象大使”，请你用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】 【分析】本题考查了利用树状图和列表法求概率，利用树状图和列表法求出所有可能出现的结果，再求出符合条件的个数，然后利用概率公式即可求解． 【详解】解：列表如下， 一二 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 一共有12种等可能的结果，其中甲和乙在一起的有2种情况， 因此（选中甲乙）． 11．一个不透明的盒子中有三张卡片，卡片上面分别标有数字，每张卡片除数字不同外其他都相同．小明先从盒子中随机抽出一张卡片，记下数字后放回并搅匀；再从盒子中随机抽出一张卡片记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽出的卡片上的数字之和大于的概率． 【答案】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，根据题意列出表格即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：列表如下： 由表可得，共有种等结果，其中两次抽出的卡片上的数字之和大于的结果有种， ∴小明两次抽出的卡片上的数字之和大于的概率为． 12．为庆祝神舟十五号载人飞船发射成功，某中学组织志愿者周末到社区进行航天航空知识宣讲活动，现有四名同学报名参加．若从这四人中随机选取两人作为志愿者，请用列表或画树状图的方法求恰好选中两名同学作为志愿者参加活动的概率． 【答案】 【分析】本题考查两步概率问题的解法，涉及列表法解两步概率问题、简单概率公式等知识，根据题意，列出表格，从表格得到总的结果数及满足题意的结果数，再由简单概率公式求解即可得到答案，熟练掌握列举法解两步概率问题是解决问题的关键． 【详解】解：列表如下： — — — — 由上表可知，共有12种等可能得结果，其中，恰好选中两名同学作为志愿者参加活动的结果有2种， （恰好选中两名同学作为志愿者参加活动）． 统计及数据分析 考点02 13．已知一组数据的方差计算公式为，由公式提供的信息，下列说法错误的是（    ） A．中位数是 B．众数是 C．方差是 D．平均数是 【答案】D 【分析】本题主要考查方差，中位数，众数及平均数的定义，根据已知的方差计算公式得出这组数据为2、3、3、4，再根据中位数，众数，平均数以及方差的概念求解即可． 【详解】由题意可知这组数据为2、3、3、4、所以中位数为，故选项A不符题意． 众数为3，故选B不符合题意． 平均数为，故选项D符合题意． 方差为，故选项C不符题意， 故选：D． 14．甲、乙两名学生进行实心球测试，每人投掷5次，他们各自成绩（单位：米）的平均数和方差如下表，则测试成绩更稳定的学生是_____．（填“甲”或“乙”） 学生 平均数 方差 甲 乙 【答案】甲 【分析】当两组数据平均数相等时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，只需比较甲乙两人方差的大小即可求解． 【详解】解：由表格可得，甲乙两人测试成绩的平均数相等，甲的方差为，乙的方差为， 因为 ，即甲的方差小于乙的方差， 根据方差的意义，方差越小，成绩波动越小，测试成绩越稳定， 因此测试成绩更稳定的学生是甲． 15．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)某校组织了“科技创新知识”大赛，从八、九年级中各随机抽取20名学生的大赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制且为整数，均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．）．下面给出了部分信息： a．八年级20名学生的“科技创新知识”大赛成绩在A组中的是：91，91，93，94，97，97，99，100． b．九年级20名学生的“科技创新知识”大赛成绩：68，69，77，78，78，81，86，87，87，88，88，90，96，96，96，97，99，99，100，100． c．八、九年级抽取的学生“科技创新知识”大赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 88 89 89 九年级 88 m n 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_________，_________； (2)在八年级抽取的20名同学中，高于这20人大赛成绩平均数的人数为，在九年级抽取的20名同学中，高于这20人大赛成绩平均数的人数为，则_________；（填“”“<”或“=”） (3)该校八年级有800名学生、九年级有600名学生参加了此次“科技创新知识”大赛，若成绩不低于90分为优秀，估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生共有多少人． 【答案】(1)， (2) (3)590人 【分析】（1）利用众数和中位数的定义求解即可； （2）利用八年级的中位数求出，再求出九年级高于成绩平均数的人数，据此求解即可； （3）利用“样本估计总体”进行计算即可． 【详解】（1）解：九年级20名学生大赛成绩为：68，69，77，78，78，81，86，87，87，88，88，90，96，96，96，97，99，99，100，100， 其中，96出现次数最多， 则众数为，中位数； （2）解：八年级的平均数为88，A组共8人，都高于88， 由于八年级中位数为89，说明第10、11个成绩都是， 因此高于平均数的共有11人，即， 九年级的平均数为88，成绩高于88的共有9人，即， ； （3）解：（人）     答：估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数约为590人． 16．(25-26九·吉林延边朝鲜族·模拟)人参是吉林省特色药材，人参皂苷含量是衡量人参品质的核心指标．某科研小组从吉林省抚松产区采摘的1000株人参中，随机抽取20株作为样本，测定其皂苷含量（单位：%），数据整理如表： 人参组别 皂苷含量 频数/株 A 2 B 5 C 9 D 4 根据以上信息，回答下列问题： (1)抽取的20株人参皂苷含量的中位数落在________组（填组别字母）； (2)吉林省人参品质标准规定：皂苷含量不低于6%为优质人参．根据样本数据，估计科研小组采摘的1000株人参中符合优质人参标准的数量； (3)科研小组复查时发现，样本中A组的2株人参因生长环境异常导致皂苷含量异常偏低，属于数据异常值，若剔除这2个数据，则剩余18株人参的统计量与原数据相比： ①平均数将________（填“增大”“减小”或“不变”）； ②中位数所在的组别将________（填“改变”或“不变”）． 【答案】(1)C； (2)科研小组采摘的1000株人参中符合优质人参标准的数量为650株； (3)①增大；②不变． 【分析】（1）中位数是指将数列从小到大依次排列最中间的数，偶数个数时取最中间两位数的平均值； （2）总体符合条件的数量总体数量样本中符合条件的频率，利用该式子即可解出答案； （3）平均数所有数之和数的个数，剔除掉数据组较小的数，平均数会增大． 【详解】（1）解：中位数是指将数列从小到大依次排列最中间的数， 共20株人参， ∴最中间的数是第10个和第11个， 从小到大，A组频数为2，B组频数为5， ∵， ∴中位数在C组； （2）解：C，D两组人参皂苷含量不小于，共（株）， ∴小组采摘的1000株人参中符合优质人参标准的数量为： （株）； （3）解：A组的人参皂苷含量较少，剔除较小的数据后，整体数据的平均值会增大， 剔除A组后剩余18株人参，中位数是第9个和第10个数据， 此时B组有5株， ∵， ∴中位数仍落在C组，组别不变． 17．(25-26九下·吉林长春德惠·)根据《学校食品安全与营养健康管理规定》，进一步加强和规范中小学食堂供餐管理，保障学生在校集中用餐的食品安全与营养健康，助力守护校园“舌尖上的安全”．某学校为了解学生对学校餐厅的满意程度．随机抽取了名学生进行满意程度评价．根据这名学生的评价结果（百分制），绘制如下不完整的统计图表： 评价等级分数段 评价等级 分数（x分） 非常满意（A） 满意（B） 一般（C） 不满意（D） 非常不满意（E） C等级统计表 得分 70 72 75 76 78 频数 1 3 5 3 分析C等级统计表的数据，得到下表： 平均分 众数 中位数 75 c 请你根据图表中的信息完成下列问题： (1)表中的_____，_____，_____； (2)补全频数分布直方图； (3)请估计该校名学生中对学校餐厅的评价不低于分的人数． 【答案】(1)3，76，76 (2)补全频数分布直方图如图，； (3)估计该校名学生中对学校餐厅的评价不低于分的人数为人． 【分析】（1）根据中位数、众数、平均数的定义结合题目中的图表求解即可； （2）分别算出B、C的频数，然后补全即可； （3）利用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：∵等级C的平均数为， ∴ ， 解得， ∴等级为C的人数为（人），其中得分为分的人数最多， ∴众数，中位数为按从小到大（或从大到小）排列第名学生的成绩为分 ， 则中位数， 故答案为：，，； （2）解：由（1）得等级为C的人数为人， ∴等级为的人数为（人）， 图略； （3）解：（人）， 答：估计该校名学生中对学校餐厅的评价不低于分的人数为人． 18．(2026·吉林省吉林市·二模)冰雪经济是吉林省新质生产力重要板块．如图为年吉林省冰雪经济市场规模及同比增速的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)年吉林省冰雪经济市场规模中，同比增速的中位数是________． (2)下列判断合理的是________（填序号）． ①年，2026年吉林省冰雪经济市场规模最高． ②年，2026年吉林省冰雪经济市场规模增量最多． ③2023年吉林省冰雪经济市场规模同比增速． (3)若2027年吉林省冰雪经济市场规模同比增速与2026年持平，则2027年吉林省冰雪经济市场规模约为________亿元（只填算式，不计算结果）． 【答案】(1) (2) ① (3) 【分析】（1）根据中位数的定义，将5个同比增速数据从小到大排列，找出位于中间位置的数即可； （2）根据条形统计图的数据判断市场规模的大小及增量的多少，根据折线统计图读取具体的增速数值进行逐一判断； （3） 根据增长率的计算公式：现期量基期量增长率，代入2026年的市场规模和增速列式即可. 【详解】（1） 解：年的同比增速分别为：， 将这组数据从小到大排列为：； 位于中间位置的数是，所以中位数为； （2）解：①观察条形统计图可知，2026年的条形最高，数值为3414，是年中最大的，故①合理； ②计算各年市场规模的增量： 2023年增量：； 2024年增量：； 2025年增量：； 2026年增量：； ∵， ∴2024年增量最多，故②不合理； ③观察折线统计图可知，2023年的同比增速为，不是，故不合理； 综上所述，合理的判断是①； （3）解：2026年吉林省冰雪经济市场规模为3414亿元，2026年同比增速为， 若2027年同比增速与2026年持平，则2027年增速也为， 故2027年市场规模. 19．某校要了解学生平均每天上学路上所花费的时间，从全校学生中随机抽取30名学生进行调查，将收集到的数据制作成如下的条形统计图． 抽取的30名学生上学路上所花费时间的条形统计图 根据以上信息，回答下列问题： (1)假如老师在抽取的30名学生中随机地问一名学生上学路上所花费的时间，老师最可能得到的回答是_____分钟； (2)该校共有600名学生，估计其中平均每天上学路上所花费的时间超过20分钟的学生人数； (3)从全校学生中再随机抽取一名学生．若该学生平均每天上学路上所花费的时间为15分钟，将这个数据加入到原数据中，得到一组新数据．下列指标中，与原数据相比，新数据中发生变化的是_____．（填序号） ①平均数   ②中位数    ③众数 【答案】(1)20 (2)200名 (3)① 【分析】（1）根据题意可得抽取的学生上学路上所花费的时间为20分钟的可能性最大，据此可得答案； （2）用600乘以样本中平均每天上学路上所花费的时间超过20分钟的学生人数占比即可得到答案； （3）根据中位数，众数和平均数的定义求出加入前后的中位数，众数和平均数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵学生上学路上所花费的时间为20分钟的人数最多， ∴抽取的学生上学路上所花费的时间为20分钟的可能性最大， ∴老师最可能得到的回答是20分钟； （2）解：名， 答：估计其中平均每天上学路上所花费的时间超过20分钟的学生人数为200名； （3）解：原来的众数为20分钟， 把原来30名学生上学路上所花费的时间按照从低到高排列，中位数为第15个数据和第16个数据的平均数， ∵， ∴中位数为分钟， 加1名学生的数据之和，一共有31个数据，众数仍为20分钟， 把这31个数据按照从低到高的顺序排列中位数为第16个数据， ∵， ∴中位数为分钟； 原来的平均数为分， 而加入的1名学生的每天上学路上所花费的时间为15分钟，故加入后的平均数要变小， ∴中位数和众数不变，平均数发生变化． 20．(2026九·吉林省四平市·二模)“法治中国的未来在年轻人身上”，为了筑牢青少年的法治之基，某中学进行了满分为分的“法治知识”测评，分别从九年级班和班各随机抽取了参与测评的名学生的成绩（单位：分）并进行整理分析： 【收集数据】 班名学生成绩数据如下： 班名学生成绩数据如下： 【整理数据】 成绩 班 班 【分析数据】 根据以上信息，解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)若成绩不低于分为“合格”，判断在本次测评中合格率较高的是______班，班的平均分______班的平均分（填“”“”或“”）； (3)在本次测评中，班的甲同学和班的乙同学成绩均为分，你认为两人在各自班级参与测评的学生中______的排名更靠前； (4)请结合具体数据，从平均数、中位数、众数中选择一个角度，说明哪个班的学生对“法治知识”的掌握程度更好． 【答案】(1)， (2)， (3)甲 (4)见解析 【分析】（）根据数据解答即可求解； （）根据数据及算术平均数的定义解答即可求解； （）根据中位数的意义解答即可求解； （）根据平均数、中位数、众数的意义解答即可求解； 本题考查了统计表，平均数、中位数和众数，掌握平均数、中位数、众数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由数据可知，班测评成绩在的有人，班测评成绩在的有人， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由数据可知，班成绩不低于分的人数有人，班成绩不低于分的人数有人， ∴本次测评中合格率较高的是班， ∵班的平均分为 分， 班的平均分为 分， ∴班的平均分班的平均分， 故答案为：，； （3）解：由数据可知，班测评成绩的中位数为分，班测评成绩的中位数为分， ∵班的甲同学和班的乙同学成绩均为分， ∴甲同学的成绩排名在本班处于参与测评学生的中等位置，乙同学的成绩排名在本班处于参与测评学生的中等偏下， ∴甲同学排名更靠前， 故答案为：甲； （4）解：从平均数看，由（）可知，班参与测评学生的成绩的平均数比班的高，所以班的学生对“法治知识”的掌握程度更好； 从中位数看，由（）可知，班参与测评学生的成绩的中位数比班的高，所以班的学生对“法治知识”的掌握程度更好； 从众数看，班参与测评学生的成绩的众数为分，班参与测评学生的成绩的众数为分，班参与测评学生的成绩的众数比班的高，所以班的学生对“法治知识”的掌握程度更好．（答案不唯一，写出一个即可） 21．【项目背景】为提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力，某校在开设心理健康课前后，对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100分，用x表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 A B C D E x 整理1：学生在心理健康课后的测试成绩在D组的记录如下：，，，，，，，，，，，，，，，． 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①所示的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②所示的扇形统计图． 整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为． 【数据处理和应用】 (1)任务1：心理健康课前测试成绩在C组的有 人，并补全频数分布直方图； (2)任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是 分，B组对应扇形的圆心角是 ； (3)任务3：若心理健康课后测试成绩不低于80分为优秀，试估计该校2000名学生在心理健康课后测试成绩为优秀的人数． 【答案】(1)， 补全频数分布直方图如图， (2)， (3) 【分析】（1）根据这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为．得出D、E组有人，进而求得D组的人数，根据频数直方图求得C组的人数，进而补全统计图； （2）根据中位数的定义，即可求解；用B组占比乘以，进而求得B组对应圆心角的度数； （3）根据样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：根据这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为． ∴人 ∴组的人数为人 则组的人数为：人 （2）根据图②可得E组占比为，共有人， 根据整理1：学生在心理健康课后的测试成绩在D组的记录如下：，，，，，，，，，，，，，，，． ∴D组的人数为人 ∴从大到小排列，第，个数据分别为，， ∴心理健康课后这名同学测试成绩的中位数是. B组对应扇形的圆心角是 （3）解：学生在心理健康课后的测试成绩在D组为16人，E组占比即人， 课后优良人数（人） 答：估计该校2000名学生在心理健康课后测试成绩为优秀有人． 22．2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能＋”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图．为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试．从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图． 根据以上信息，整理、分析数据，得到下表： 平均成绩/分 中位数/分 众数/分 第一次测试 第二次测试 (1)________，________； (2)若规定分及分以上为优秀，该社团共名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数； (3)结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可． 【答案】(1)； (2)该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人 (3)第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可） 【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行计算即可； （2）先计算第二次测试成绩优秀的人在样本中的占比，再乘以社团的学生数即可； （3）对比两次成绩的平均数、中位数和众数，得出结论． 【详解】（1）解：∵第一次能力测试的学生成绩中，分的占比最高，为， ∴第一次成绩的众数为分，即； ∵第二次测试的名学生的成绩中，第名和第名的成绩都是分， ∴第二次成绩的中位数为（分），即； （2）解：第二次测试中分及分以上的人数为（人），占比为， （人）． 答：该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人． （3）解：第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可） 23．某市义务教育阶段初中阶段部分学校践行了“每周半天计划”活动，减少学生的上课时间，按单双周安排轮流设置半天的校外课程与阅读课程，某校为了了解师生对这两类课程的喜爱程度，现抽取部分师生分别对这两类课程进行打分(分数为整数，满分为分)． 信息一：学生打分的平均数、众数、中位数如下表所示： 项目 平均数 众数 中位数 校外课程 阅读课程 信息二：名学生打分情况的折线统计图如图所示： 抽取的位教师对“校外课程”和“阅读课程”这两类课程打分的平均分分别为分和分．请根据以上信息解答下列问题： (1)下列抽样调查的名学生中，抽样调查方式更合理的是 ．(填序号) ①从八年级中抽取：②从七年级（1）班中抽取：③抽取名男生：④从个班中各随机抽取一个． (2)填空∶ ， ． (3)如果该校将根据综合平均分的高低来判断师生对这两类课程的喜爱程度，其中综合平均分中教师打分占，学生打分占，那么请你通过计算分析该校师生更喜欢哪类课程？ 【答案】(1)④ (2)， (3)更喜欢阅读课程 【分析】（1）根据抽样调查的样本要具有广泛性和代表性解答即可； （2）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （3）利用加权平均数公式解答即可． 【详解】（1）由题意可知，抽样调查方式更合理的是从个班中各随机抽取一个， 故答案为：④． （2）把校外课程的打分从小到大排列，排在中间的两个数均为，故中位数， 在阅读课程的打分中，出现的次数最多，故众数． （3）校外课程的得分为（分）， 阅读课程的得分为（分）， ∵， ∴该校师生更喜欢阅读课程． 24．(2026·吉林省长春市榆树市·二模)为增强学生的社会实践能力，某校拟实施每周半天计划，并同步建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．小聪、小颖的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值）如图： 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小聪 83 72 80 78 小颖 86 84             (1)在摄影测试中，七位评委给小颖打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是 分，众数是 分，平均数是 分； (2)请你计算小颖的总评成绩； (3)学校决定根据总评成绩择优选拔10名小记者，试分析小聪、小颖能否入选，并说明理由． 【答案】(1)69，69，70 (2)小颖的总评成绩是82分 (3)小颖能入选，小聪不能， 理由如下： 从这20名学生的总评成绩频数分布直方图可以看出，恰好有10名同学总评成绩低于80分，因为小聪总评成绩78分，小颖总评成绩82分，又所以小颖能入选，小聪不能． 【分析】本题考查了中位数、众数、（加权）平均数，解题的关键是熟悉相关概念． （1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，再计算平均数； （2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可； （3）小聪、小颖的总评成绩分别是78分，82分，学校要选拔10名小记者，小颖的成绩在前10名，因此小颖一定能入选；小聪的成绩不在前10名，因此小聪不能入选． 【详解】（1）解：七位评委给小颖打出的分数从小到大排列为：67，68，69，69，71，72，74， 所以这组数据的中位数是69分，众数是69分， 平均数是：（分）； 故答案为：69，69，70； （2）解：（分）， 答：小颖的总评成绩是82分． （3）略 25．年月日是第届“世界水日”，某社区为了响应“世界水日”的节水号召，将居民月用水量划分为四个区间，并随机抽取了该社区户居民的月用水量（单位：吨），将收集到的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ．居民月用水量区间分布表如下表： 分类 名称 月用水量（单位：吨） 低耗区 标准区 预警区 高耗区 根据以上信息，回答下列问题： (1)抽查的户居民的月用水量的中位数在________；（填“低耗区”、“标准区”、“预警区”或“高耗区”） (2)该社区打算对预警区和高耗区实施整改，整改方案如下： 预警区：每户月用水量减少吨，若新月用水量小于吨则划入区； 高耗区：每户月用水量减少，若新月用水量小于吨则划入区． 如果所有用户均按要求整改，则区户数占比将从原来的升至． 补全所有用户均按要求整改后居民用户分布表； 分类 名称 用户数（单位：户） 低耗区 标准区 预警区 高耗区 该社区宣称“如果所有用户均按要求整改后，高耗区居民月用水量分布更集中”．为验证此宣传，该社区随机抽取整改后高耗区5户月用水量（吨）：，，，，．若抽取的户月用水量方差小于则认为“分布更集中”，通过计算判断该社区的宣传是否可信． 【答案】(1)预警区； (2)；；；； 抽取的户月用水量平均数为， 抽取的户月用水量方差为： 因为， 所以该社区的宣传可信． 【分析】本题考查了中位线、平均数、方差，扇形统计图和条形统计图，读懂图表，获取信息是解题的关键． （）根据中位数定义即可求解； （）根据图表信息整改后区户数为（户），增加户，由扇形统计图可知，高耗区用户月用水量在有（户），用水量在有（户），则整改后每户月用水量为的个用户划入区，整改后用水量在的个用户还在区，然后填入表格即可； 根据平均数和方差进行决策即可． 【详解】（1）解：∵抽取了户居民的月用水量，中位数是第，户月用水量的平均数， ∴根据抽取的户居民的月用水量条形统计图可知，落在预警区， 故答案为：预警区； （2）解：根据整改方案可知：区户数为（户）， ∵所有用户均按要求整改，区户数占比将从原来的升至， ∴整改后区户数为（户），增加户， 由扇形统计图可知，高耗区用户月用水量在有（户），用水量在有（户）， 则整改后每户月用水量为即的个用户划入区，整改后用水量在即的个用户还在区， ∴整改后区户数为（户），整改后区户数为（户）， 如图： 分类 名称 用户数（单位：户） 低耗区 标准区 预警区 高耗区 故答案为：；；；； 略 26．(2026·吉林省松原市·二模)每年春季都是流感高发期．为“预防流感，守护健康”增强学生防疫意识，某中学八、九年级举办了防疫知识问答竞赛．现八、九年级各随机抽取了20名学生的知识竞赛分数（单位：分）进行整理和分析，当分数不低于95分为优秀，下面给出部分信息．    八、九年级被抽取的学生防疫知识竞赛分数的中位数、众数、优秀率如下表： 年级 中位数 众数 优秀率 八年级 a 95 n% 九年级 95 b 60% (1)填空：a＝______；b＝______；m＝______；n＝______；并补全条形统计图； (2)若该校八、九年级各有500名学生，估计这两个年级的学生知识竞赛成绩优秀的总人数． (3)根据以上数据分析，你认为八、九年级哪个年级防疫知识掌握的更好？请说明理由（写出一条理由即可） 【答案】(1)，，5，50，补全图形如下： ； (2)这两个年级的学生知识竞赛成绩优秀的总人数是550 (3)我认为九年级更优秀， 理由如下：九年级中位数95大于八年级中位数92.5，所以九年级更优秀． 【分析】（1）根据统计图结合中位数、众数可进行求解； （2）根据两个年级的优秀率可进行求解； （3）根据题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：八年级被抽取学生防疫知识竞赛成绩为95分的人数为（人）， 其中位数， 由扇形统计图知九年级被抽取学生防疫知识竞赛成绩为100分的人数最多， 所以其中位数， 九年级成绩优秀的人数为（人）， 得分为100分的人数为（人）， 得分为100分的人数所占百分比为， ，即， 八年级成绩优秀的人数所占百分比，即， （2）解：（人）， 答：这两个年级的学生知识竞赛成绩优秀的总人数是550； （3）略 27．为整体提升学生的综合素质，某中学利用课后服务时间，对七年级300名学生全员开设了A、、三类课程．经过一个学期的课程学习，学校想了解学生课程学习的效果，从中随机抽取20名学生进行了检测．这三类课程的成绩均为百分制，抽取的20名学生A、、三类课程的成绩情况统计图如下： (1)例如：学生甲A类课程的成绩是60分，则该生类课程的成绩是80分，类课程的成绩是80分． ①学生乙A类课程的成绩是98分，则该生类课程的成绩是______分． ②学生丙类课程的成绩是45分，则该生三类课程的平均成绩是______分． (2)在图③中补全这20名学生类课程成绩的频数分布直方图． （数据分成7组：，，，，， ，） (3)学校规定成绩在85分及以上为优秀，估计该校七年级学生A类课程成绩优秀的人数． 【答案】(1)①90；②65 (2) 补全频数分布直方图如图． (3)75人 【分析】（1）①观察统计图可得出答案． ②观察统计图可得出答案． （2）由统计图可知，B类课程的成绩在的人数为1人，分数在的人数为6人，即可补全频数分布直方图． （3）用七年级总人数乘以样本中A类课程成绩优秀的人数占比即可． 【详解】（1）①由统计图可知， 若A类课程的成绩是98分，则该生C类课程的成绩是90分． 故答案为：90． ②由统计图可知， 若C类课程的成绩是45分，则该生B类成绩为70分，A类成绩为80分， ∴平均成绩为 ． 故答案为：65． （2）由统计图可知， B类课程的成绩在的人数为1人，分数在的人数为6人． （3）分数高于分有5人 （人）． 答：该校七年级学生类课程成绩优秀的人数约为75人． 【点睛】本题考查统计图、频数分布直方图、平均数、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 30/31 31/31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $