专题08 函数综合与实际应用（3大考点）（吉林专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦函数综合应用，融合光敏电阻、新能源充电等科技与生活情境，精选吉林各地二模真题，突出实际问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|1题|反比例函数实际应用|以光敏电阻阻值与光照强度关系为情境，考查反比例函数性质| |填空题|3题|一次函数图象分析|结合光缆铺设、空气质量监测等实际问题，考查函数图象解读与参数计算| |解答题|20题|一次函数应用、二次函数综合|一次函数题涉及充电费用、行程问题等；二次函数综合题融合几何图形（矩形、平行四边形）、面积分割，如第13题结合抛物线与平行四边形边的交点问题，体现与中考真题命题趋势的关联性|

专题08 函数综合与实际应用 3大考点概览 考点01反比例函数实际应用 考点02一次函数实际应用 考点03二次函数综合 反比例函数实际应用 考点01 1．(25-26九下·吉林长春德惠·)光敏电阻的阻值随着光照强度的改变而改变，光敏电阻R的阻值（单位：）与光照强度（单位：，光越强，光照强度越大）之间的关系如图所示．已知当光照强度为时，光敏电阻的阻值为5Ω．若要使光敏电阻的阻值增大到10Ω，则下列关于光照强度的说法正确的是（    ）    A．增大至12.5 B．减小至12.5 C．增大至2 D．减小至2 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．根据图象和已知条件确定光敏电阻R的阻值与光照强度成反比例关系，进而利用反比例函数的关系解答即可． 【详解】解：∵由图知，光敏电阻R的阻值与光照强度成反比例关系， 设这个函数关系式为， ∵当光照强度为时，光敏电阻的阻值为5Ω， ∴， ∴这个函数关系式为， 当时，， ∴光照强度减小至2， 故选：D． 一次函数实际应用 考点02 3．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，整个工程工期延长．设铺设光缆时间为（单位：天），工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为（单位：米），甲、乙两队关于的函数关系分别如图所示． (1)直道两端的距离为_________米，乙队的施工速度为_________米/天； (2)求甲队若干名工人离队后关于的函数关系式； (3)甲队若干名工人离队导致工期比原计划多了_________天． 【答案】(1)， (2)； (3) 【分析】（1）由函数图象即可得到答案； （2）设甲队若干名工人离队后关于的函数关系式为，代入，，用待定系数法求函数解析式即可； （3）由原计划甲队y关于x的函数解析式，再求得乙队y关于x的函数关系式，根据题意列出方程，，解方程，进而即可求解 【详解】（1）解：由图象得, 直道两端的距离为米，乙队的施工速度为（米/天）； （2）解：设甲队若干名工人离队后关于的函数关系式为，代入， ∴， 解得：， 甲队若干名工人离队后关于的函数关系式， （3）解：设乙队y关于x的函数关系式为， 把，代入得， 解得， 则乙队y关于x的函数解析式； ， 原计划甲队y关于x的函数解析式， 甲、乙两队完成光缆工程需满足， 解得， （天）， 答：甲队工人离队导致工期比原计划延长了2天． 4．为研究城区空气质量变化，某校环保社团对吉林市某日的空气状况进行连续监测，记录了10个小时城区浓度（单位：）与监测时间（单位：）的变化情况，函数图象如图所示． (1)当时，求关于的函数解析式． (2)当时，求的值． (3)当时，直接写出时的取值范围． 【答案】(1)（）； (2)60 (3)． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入，求解即可； （3）利用待定系数法求得时函数的解析式，求得时，的值，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数解析式为， 将和代入，得， 解得， 所以y与x的函数解析式为（）； （2）解：把代入，得； （3）解：当时，设y与x的函数解析式为， 将和代入，得， 解得， 所以y与x的函数解析式为； 当时，或， 解得或， 观察图象，当时的取值范围是． 5．有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为（单位：），装置内液体体积为（单位：）．如表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度（单位：） 装置内液体体积（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知（）与（）满足一次函数关系．解决下列问题： (1)求与之间的函数表达式； (2)当探针浸入液面以下的长度为时，求装置内液体的体积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值即可. 【详解】（1）解：设，代入 和得： ，解得， ∴； （2）解：当时，. 6．(25-26九下·吉林长春德惠·)新能源车已经普及到千家万户，充电站也应运而生．某充电站施行峰谷电价收费制度（高峰时段：，低谷时段：—次日），已知峰时充电单价是谷时充电单价的2倍，且充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间成一次函数关系，下图为一辆新能源汽车从充电开始直至充电结束的收费情况． (1)当这辆汽车充电结束时，总费用是_____元． (2)当时，求充电总费用（元）与充电度数（千瓦时）之间的函数表达式． (3)若充电站每小时能充千瓦时的电，直接写出这辆汽车充电结束的时间． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】（1）先求出谷时候的充电单价，再求出低谷用电费用，加上6即可求解； （2）令y等于高峰充电费用6加上低谷充电费用即可求解； （3）求出低谷充电的时间即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，充电到5千瓦时开始低谷时段的充电模式， 由于峰时充电单价是谷时充电单价的2倍， ∴谷时充电单价为（元）， ∴低谷用电费用为（元）， ∵（元）， ∴这辆汽车充电结束时，总费用是9元； （2）由小问1可知，低谷时候的充电单价为（元）， 当时，， （3）由图象可知，低谷时充电（千瓦时）， 若充电站每小时能充千瓦时的电， 则低谷时充电（小时）（分钟）， ∵低谷时段：—次日， ∴这辆汽车充电结束的时间是． 7．清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)小刚在服务区休息了_____小时； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家_____小时． 【答案】(1)1 (2) (3)3.2 【分析】（1）根据函数图象，可得两点之间的函数值无变化，即可求解； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解： 根据函数图象可得小刚在服务区休息了1小时； （2）解：设所在直线对应的函数表达式为， 把代入， 得， 解得， 所以线段所在直线对应的函数表达式为． （3）解：当时， 解得：， ∴小刚离开家3.2小时． 8．已知甲、乙两地相距，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离与两车行驶的时间之间的函数图象如图所示． (1)求客车返回时与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距． 【答案】(1) (2)两车第一次相遇后，再经过或，两车之间相距 【分析】（1）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （2）设客车、货车两车相距时，客车行驶了，分三种情况：其一是两车相遇前，两车相距；其二是两车相遇后客车到达乙地前两车相距；其三是货车静止，客车到达乙地后返程途中两车相距；列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，客车从甲地开到乙地需要， 即点的坐标为， 设客车返回时y与x之间的函数关系式是（）， 把，代入， 得，解得， 即客车返回时y与x之间的函数关系式是（）. （2）解：由函数图象得：货车速度为（） 设客车、货车两车相距时，客车行驶了， 根据题意，得或或， 解得，或，或. ∵两车第一次相遇后时间大于， ∴，或 ，. ∴两车第一次相遇后，再经过或，两车之间相距． 9．若电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素，小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据．用函数图象表示如下． (1)电池充满电时的电量为_____千瓦时； (2)求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)小明爸爸计划满电量状态下开车去距家的城市出差，请问途中是否需要充电？并说明理由． 【答案】(1)60 (2) (3)途中需要充电， 理由如下： 当时，， 解得：， 即当汽车电量为0时，行驶的路程为， ∵， ∴途中需要充电． 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求一次函数解析式，有理数比较大小的应用． （1）根据函数图象，即可得到答案； （2）利用待定系数法求出段的函数解析式，求出解析式即可； （3）先求出当汽车电量为0时行驶的路程为，与比较即可得出答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，电池充满电时的电量为60千瓦时， 故答案为：60； （2）解：设段的函数解析式为， 将点和代入解析式得： ， 解得：， ∴段的函数解析式为； （3）略 10．(2026九·吉林省四平市·二模)为响应国家积极推进中小学生每天综合体育运动的号召，某学校实施了“运动积分”奖励制度，鼓励学生周末在家多锻炼．现有甲、乙两班的奖励方案如图所示，学生可根据运动时间（分钟/周）兑换相应的运动积分（分）． 请根据图象解决下列问题： (1)若甲班学生本周末的运动时间为12分钟，可兑换_____运动积分？ (2)求乙班运动积分与运动时间的函数表达式，若某学生本周末的运动时间为21分钟，则他根据哪个班的方案兑换更好？ (3)对于相同的运动时间（分钟/周），若根据两个班的方案兑换的运动积分相差15分，求的值． 【答案】(1)10 (2)，根据乙班的方案兑换更好 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据函数图象作答即可； （2）根据待定系数法求出乙班运动积分与运动时间的函数表达式，进而求出两个班的积分，比较后作答即可； （3）分、两种情况作答即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，当时，可兑换运动积分恒为10， 即若甲班学生本周末的运动时间为12分钟，可兑换10运动积分． 故答案为：10； （2）解：设乙班运动积分与运动时间的函数表达式为， 将代入得， 即， 即乙班运动积分与运动时间的函数表达式为， 将代入得：， 即根据乙班的方案兑换更好； （3）解：当时， 将代入得：， ∵， ∴不存在x的值使得两个班的方案兑换的运动积分相差15分； 当时， 设甲班运动积分与运动时间的函数表达式为， 将、代入得： ， 解得：， 即甲班运动积分与运动时间的函数表达式为， ∵根据两个班的方案兑换的运动积分相差15分， ∴， 解得：； 综上所述，． 11．(2026·吉林省松原市·二模)【函数图象分析】阅读以下素材，完成相应的任务． 判断车辆是否因超速被罚款 背景 我国高速公路上的隧道通常限速80千米/时，在隧道前会有一个提示牌及限速标志，在提示牌与隧道口之间会有雷达测速仪进行两次测速，且测速时有闪光提示，根据规定，若平均车速超速以上未达到，将处以200元以内罚款 素材一 如图1，当物体做匀减速运动时，在其速度关于时间的函数图象中，函数图象与横轴以及直线，所围成的图形（如图的阴影部分）面积等于物体从到这个时间段的运动距离，即 素材二 雷达测速仪安装在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提示），测出两个时刻车辆和雷达测速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的时间差，算出这段路程的平均车速 素材三 某车以126千米/时的速度驶来，到达限速标志位置（隧道前600米）时开始匀减速，从开始减速到车头进入隧道口用了20秒，其速度关于时间的函数图象如图2所示，和是两次雷达测速的时间（已知速度1米/秒千米/时） 问题解决： (1)直接写出该车进入隧道口时的速度为________米/秒． (2)如图2，当第一次闪光时，车速已经降到了108千米/时，求时间． (3)在（2）的条件下，从第一次闪光后到第二次闪光时，经过了4秒，从平均车速考虑，此次该车是否会因超速而被罚款？请通过计算说明理由． 【答案】(1)25 (2) (3)从平均车速考虑，此次该车会因超速而被罚款，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，读懂函数图象，从中正确获取信息是解题关键． （1）设该车进入隧道口时的速度为米/秒，根据该车从开始减速到进入隧道口时，行驶的路程等于600米建立方程，解方程即可得； （2）先利用待定系数法求出速度关于时间的函数关系式，再求出108千米/时等于30米/秒，将代入计算即可得； （3）先求出，代入函数关系式求出此时的速度，再根据平均速度的公式计算即可得． 【详解】（1）解：设该车进入隧道口时的速度为米/秒， 由题意得：， 解得， 所以该车进入隧道口时的速度为25米/秒， 故答案为：25． （2）解：设速度关于时间的函数关系式为， 由（1）可知，这个函数的图象经过点， ∵（米/秒）， ∴这个函数的图象经过点， 将点和代入得：，解得， ∴， ∵（米/秒）， ∴将点代入函数得：， 解得． （3）解：由（2）已得：， ∵从第一次闪光后到第二次闪光时，经过了4秒， ∴， 将代入函数得：， ∵（米/秒）， ∴从第一次闪光后到第二次闪光时，平均车速为（米/秒）， ∵，， ∴从平均车速考虑，此次该车会因超速而被罚款． 12．(2026·吉林省长春市榆树市·二模)某农科所对当地小麦从抽穗期到灌浆期连续天的累计需水量进行研究，得到当地每公顷小麦在这天内累计需水量与天数之间的关系如图所示，其中，线段，分别表示抽穗期、灌浆期的与之间的函数关系． (1)求这天内，与之间的函数关系式； (2)求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意，分和两段通过待定系数法可以得解； （2）依据题意，令时求出需水总量，再减去前天的需水量，即可得解． 【详解】（1）解：由题意，当时，设， ∴， ， ∴， 当时，设关系式为， ∴， 解得：， ∴， 综上，所求函数关系式为． （2）解：由题意，令， ∴， 又当时，， 每公顷小麦在整个灌浆期的需水量为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，根据函数图象获取信息，求一次函数值，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出函数解析． 13．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、．二次函数综合 考点03 (1)求此抛物线的解析式； (2)当时，求的值； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为10，求的值； (4)过点作于点，以、为邻边作．当的边与直线有交点时，设交点为，若，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式； （2）先求出点、的坐标，进而得到点B与点Q重合，利用锐角三角函数的定义求解即可； （3）先求出抛物线的顶点坐标，分情况讨论：抛物线的顶点在图象上或抛物线的顶点不在图象上时，结合点P在点Q左侧或点P在点Q右侧，找出最大值与最小值，利用图象的最高点与最低点的纵坐标之差为10列出方程，求出的值； （4）利用待定系数法求出直线和的解析式，联立两直线的解析式求出点的坐标，进而求出长；过点P作轴交与点，则轴，求出点的坐标，进而求出长，在中，利用求出的长，结合列出方程，解绝对值方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 当时，， ， ， 当时，， ， ， ； （3）解：由（1）知，抛物线， 抛物线的顶点坐标为， ①当点P在点Q左侧，抛物线的顶点在图象上时： ， 解得：， 点P到对称轴的距离为， 点Q到对称轴的距离为， ， 抛物线的图象开口向上， 图象的最小值为，最高点为点Q， 当时，， ， 整理得：， 解得：或（舍去）； ②当点P在点Q右侧，抛物线的顶点在图象上时： ， 解得：， 点P到对称轴的距离为， 点Q到对称轴的距离为， ， 抛物线的图象开口向上， 图象的最小值为，最高点为点P， 当时，， ， 整理得：， 解得：或（舍去）； ③当抛物线顶点不在图象上，点P在点Q左侧，则，即， 若点P、Q都在对称轴的左侧， 解得：，与矛盾 此情况不存在； 若点P、Q都在对称轴的右侧， ， 解得：， ， 在上，随的增大而增大， ， ， 解得：， ， 此情况不存在； ④当抛物线顶点不在图象上，点P在点Q右侧，则，即， 若点P、Q都在对称轴的左侧， ，与矛盾， 此情况不存在； 若点P、Q都在对称轴的右侧， ， 解得：， ， 在上，随的增大而增大， ， ， 解得：， ， 此情况不存在； 综上所述，的值为或； （4）解：当时，， ， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 由（3）知，、， 设直线的解析式为， 将、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：， 将代入得：， ， ， 过点P作轴交与点，则轴，且点M的纵坐标为， ，， ， 的等腰直角三角形， ， 轴， ， ， ， 将代入得：， 解得：， ， ， 在中，， ， ， ， 整理得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、解直角三角形、两点间距离公式、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质，分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． 14．(2026·吉林省长春市榆树市·二模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点，抛物线上点的坐标分别为． (1)求抛物线的表达式． (2)当时，求的取值范围． (3)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，直线交点为，连接． ①求； ②线段与轴相交于点，过点作直线交线段于点，当直线将的面积分为两部分时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得抛物线与轴的交点坐标为和，再分①当时，；②当时，，两种情况讨论，据此求解即可； （3）①当点在第一象限，点在第四象限时，求得，，据此求解即可；当点在第四象限，点在第一象限时，同理可解； ②根据直线将的面积分为两部分时，分类讨论，当点在第一象限，点在第四象限时，求得，证明，利用相似三角形的性质求得，列式计算即可求解；当点在第四象限，点在第一象限时，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴当时，； 当或时，； ①∵，，， ∴当时，，此时， ∴， ∵， ∴点在第四象限，即， ∴， ∴； ②当时，， 当点在第三象限，， ∴， ∴此时点在第四象限，即， ∴，不符合题意，舍去； 当点在第四象限，， ∴， ∵， ∴点在第一象限，即， 解得， ∴； 综上，或； （3）解：①∵点，在抛物线上， ∴，， 如图，当点在第一象限，点在第四象限时， ，， ∴； 如图，当点在第四象限，点在第一象限时， ，， ∴； ②中，， 设，， ∴， ∴， 如图，当点在第一象限，点在第四象限时， ， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线将的面积分为两部分时， 当时 ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）； 如图，当点在第四象限，点在第一象限时， 同理可得，， 此时， ∴， 解得（舍去），． 综上，m的值为或． 15．(25-26九·吉林延边朝鲜族·模拟)如图①，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过、两点且与轴交于另一点．点是抛物线上的动点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求线段的长度； (3)当点在轴下方时，抛物线在点、点之间的部分（包括端点）记为图象，图象上最高点和最低点的纵坐标之差为5时，求点的坐标； (4)以为对角线构造矩形，边平行于轴．当直线将矩形的面积分成两部分的比为时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)4； (3)点的坐标为或者； (4)或． 【分析】（1）先由直线解析式求出点、点坐标，再用待定系数法求抛物线解析式． （2）由知点与点纵坐标相同，代入抛物线求出点坐标，即可求长． （3）抛物线开口向下，顶点为，点，分点在点左侧和右侧两种情况讨论图象的最高点与最低点，根据纵坐标之差为列方程求解． （4）由矩形构造可知其四个顶点为、、、，直线经过点，分与讨论它与矩形边的交点位置，利用面积比为1:3列方程求． 【详解】（1）解：对于直线， 令，得， 令，得， ，． 抛物线经过、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：在轴上，， 点与点的纵坐标相同，均为． 令，得， 即， 解得：，． ． ． （3）解：令，得， 即， ． ， 抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线． 点在轴下方， 或． ①当时，图象对应自变量取值范围是， 抛物线在上y随x增大而增大， 最高点为，最低点为． 由题意：， 即， 解得：． ， ． 此时． ②当时，图象对应自变量取值范围是，包含顶点， 最高点为顶点，纵坐标为． 点在轴下方，点在轴上， 最低点为，纵坐标为． 由题意：， 即， 解得：． ， ． 此时． 综上，点的坐标为或． （4）解：四边形为矩形，为对角线，且轴， ，． 矩形面积． 当时，直线与边交于点， ． 由，得， 解得：． 当时，直线与边交于点， ，， ． 由，得， 解得：． 当时，直线不经过矩形内部，不符合题意． 综上，的值为或． 16．(2026·吉林省吉林市·二模)如图，抛物线经过点，点，在抛物线上，作射线，过点作轴交射线于点．已知点的横坐标为，点的横坐标为（，），线段的长为． (1)求的值． (2)当时，求关于的函数解析式． (3)当时，若随的增大而增大，则的取值范围为________． (4)当（为常数，且）时，若随的增大而增大，则的取值范围为________（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)或 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得直线的解析式为，根据题意得，，分当和，两种情况讨论； （3）根据（2）的结论，分别利用二次函数的性质求解即可； （4）求得，，同（3）理，分别利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； （2）解：由（1）知，， 当时， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 根据题意得，， 当时，； 当时，； 综上，； （3）解：当时，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； 当时，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； 综上，当或时，随的增大而增大； （4）解：由（1）知，， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 根据题意得，， 当即时，； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； 当即时，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； 综上，当或时，随的增大而增大． 17．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)若点P为直线上方抛物线上一点，连接并交于点Q，若分的面积为3：5两部分，请求出点P的坐标； (3)在y轴上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，N的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法，将抛物线与x轴、y轴交点坐标，代入抛物线表达式，即可求出； （2）先求出两直线的表达式，联立求出点Q的坐标，分的两部分以为底，则高相等，两部分面积比等于底边之比；过点P、点Q向x轴做垂线，将面积之比转换成，横坐标差值比；再将面积比分两种情况，分别求出点P坐标； （3）在y轴上取点，，所以，当N在y轴正半轴时，点N在上，证明，然后根据相似三角形的性质可求出；当N在y轴负半轴时，根据轴对称性求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 将点A、C代入， ， 解得， ； （2）解：令， 解得，， ， 如图，过点P作轴交于点G，过点Q作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，直线的解析式为， ，解得， ， 、所在两直线联立方程组，求交点Q坐标， ， 解得：， ， 分的面积为两部分， 以为底，高相等，两部分面积比等于底边之比， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得，， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； （3）解：存在一点N，使得，理由如下： 在y轴上取点， 当N在y轴正半轴时，如图，     ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ； 当N在y轴负半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ,满足条件， 综上，N的坐标为或． 18．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．点在直线上，其横坐标为，作射线，将射线绕点顺时针旋转，旋转后的射线交抛物线于点，连结，以为邻边作矩形． (1)求抛物线的对称轴及与轴的交点坐标； (2)连结，当轴时， ①点的坐标为_____； ②求的值； (3)设矩形的边与坐标轴相交于点，连结．过点作的垂线与矩形的边交于点．连结，当时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①，② (3)或 【分析】（1）根据对称轴公式求得抛物线的对称轴为直线，将代入解析式，即可得出抛物线与轴的交点坐标为， （2）①将代入抛物线解析式，即可求解； ②过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）先证明，设，分两种情况画出图形，分别得出或，得出或，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，，则抛物线与轴的交点坐标为， （2）解：①当时， 解得： ， ②如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、 ， ， 由题可知，， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， ， ； （3）解：∵点在直线上，其横坐标为， ∴， 设 如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、 ， ， ， 轴，轴， ， ， ， 当在轴上时， ∵， ∴， ∴ 设 当时， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∵ ∴ 即 同（2）②可得 ∵， ∴ ∴ 解得：， 当时，如图， 同理可得， ∵， ∴ ∴ 解得：， 综上所述，或 19．(2026·吉林省松原市·二模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过点，其顶点A的横坐标为1．点P是该抛物线在x轴上方的图象上的一点，其横坐标为m，点Q的坐标为，连接并延长交该抛物线的对称轴于点M，连接，以、为边作． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当，且轴时，求点Q的坐标； (3)当点N与点Q的纵坐标之和为0时，求m的值； (4)当四边形是轴对称图形时，直接写出m的值． 【答案】(1)； (2)点Q的坐标为； (3)或； (4)m的值为或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意求得点M和点P的纵坐标都为1，解方程，即可求解； （3）根据题意求得点N的纵坐标为，再根据平行四边形的性质得到，求得，，设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （4）要两种情况讨论，当平行四边形是菱形或矩形时，同（3）求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点A的横坐标为1， ∴， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴该抛物线对应的函数关系式为； （2）解：设点P的坐标为， ∵轴，且点Q的坐标为， ∴点M和点P的纵坐标都为1， 解方程， 得或（舍去）， ∴点Q的坐标为； （3）解：对于抛物线，顶点A的坐标为． ∵点N与点Q的纵坐标之和为0，又点Q的纵坐标为1， ∴点N的纵坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 整理得， 解得或； （4）解：当平行四边形是菱形时，平行四边形是轴对称图形， 此时，对角线与对角线互相垂直平分， ∵点Q的坐标为， ∴点N的纵坐标为， ∵点A的坐标为， ∴点M与点A关于直线对称， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为， ∵， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 整理得， 解得或． 当平行四边形是矩形时，平行四边形是轴对称图形， 此时，， ∴， 设， , , , ∴， ∴， ∴， 同理得的解析式为， 将代入得， 整理得， 解得或． 综上，m的值为或或或． 20．已知，抛物线（），与x轴交于A，B，（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，顶点为点D． (1)抛物线的对称轴为 （用含有a的式子表示）； (2)若当时，函数值y随着x的增大而减小，求a的取值范围； (3)如图1，当时，点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F． ①连接，过点E作轴，交于点H，以为邻边构造矩形，当矩形的周长为时，求m的值； ②以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)①或；② 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）直接利用对称轴的计算公式计算即可； （2）分和，利用二次函数的增减性进行求解即可； （3）①求出的坐标，进而求出的解析式，由题意，求出，，利用矩形的周长公式列出方程进行求解即可； ②求出抛物线的顶点坐标，进而求出翻折后的抛物线的解析式，求出翻折后的抛物线的顶点恰好在轴上，和翻折后的抛物线恰好经过原点两种临近情况的值，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； 故答案为：； （2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，时，随着的增大而减小， ∵当时，函数值y随着x的增大而减小， ∴； 当时，时，随着的增大而减小， ∵当时，函数值y随着x的增大而减小， ∴； 综上：或； （3）①当时，则：，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，，当时，解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∵点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F，轴，交于点H， ∴，，，， ∴，， ∴当矩形的周长为时，， ∴， 当，即：时，， 解得：或（舍去）； 当，即：时，， 解得：； 综上：或； ②∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 由题意，得：直线的解析式为， ∴点关于的对称点为：， ∴翻折后的抛物线的解析式为， 当抛物线的顶点恰好在轴上时，则：， ∴， 当抛物线过原点时，则：，解得：， ∵翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴， ∴． 21．(25-26九下·吉林长春德惠·)如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点A在抛物线上，且点A的横坐标为，点B的坐标为． (1)求该抛物线对应的函数解析式及顶点坐标； (2)过点A作轴于点，以、为邻边作． ①当时，求的面积； ②当的面积被轴平分时，求的值； ③若，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)①6；②；③或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可，将求得的解析式化成顶点式，即可得顶点坐标； （2）①当时，先求出A、B、C三点的坐标，再求，由即可求得的面积； ②由的面积被轴平分可得A点与B点位于x轴两侧，且距x轴的距离相等． 即A点与B点的纵坐标互为相反数，由此可得，求出m的值即可； ③点B的坐标为，则，解得：，因此B在直线上运动.再分情况讨论，当时，当时，当时，当时，当时，当时,当时，分别作出图像即可得解． 【详解】（1）将点代入中， 得， 解得， ∴该抛物线对应的函数解析式为， ， ∴顶点坐标为． （2）①当时，，， ∵轴， ， ， ， ． ②∵的面积被轴平分， ∴A点与B点位于x轴两侧，且距x轴的距离相等， ∴A点与B点的纵坐标互为相反数， ∵A点的横坐标为m， ∴A点的纵坐标为， ， 解得． ③∵点B的坐标为， ，解得：， ∴B在直线上运动． ∵， ∴， 当时，， 如图 ∴此时抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，符合题意； 当时，点A与点C重合，不存在； 当时，如图， 此时，， 不符合题意，舍去； 当时， ，如图， 此时不符合题意，舍去； 当时，，如图， 此时D为顶点，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，符合题意； 当时，如图， 抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，符合题意， 当时，如图， 此时不符合题意，舍去， 综上，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时， 的取值范围为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，点的轨迹问题，平行四边形的性质，难度很大，清晰的分类讨论与数形结合的方法是解本题的关键． 22．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)设点是直线上方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，与直线交于点． ①连接，求四边形的面积与的函数关系式，并求出的最大值； ②连接．在①的条件下，试判断四边形的形状，并说明理由； ③是否存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，的最大值为12；②平行四边形，理由见解析；③存在，满足条件的的值为或或 【分析】此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形相似，平行四边形的性质等，分类求解是解决问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）①由，即可求解； ②由，即可求解； ③分、、三种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得 解得， 该抛物线的表达式为． （2）①， 直线的解析式为． 设点的坐标为，故点的坐标为，其中， 则． 四边形的面积与的函数关系式为 ． ，， 当时，有最大值，的最大值为12． ②四边形是平行四边形．理由如下： 由①可得，当时，． ， 四边形是平行四边形． ③存在，理由如下： 如图， 点的坐标为，点的坐标为，其中， 点的坐标为， ． ，． ，，即， ． 分三种情况讨论： I．当时，则，解得（舍去）． Ⅱ．当时，如图，过点作于点，则． ， 解得（舍去）． Ⅲ．当时，如图，过点作于点， 则． ， ， ， ， 即， ， 解得（舍去）， 综上所述，满足条件的的值为或或． 23．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点．点在该抛物线上，点的横坐标为，点的坐标是，以为对角线构造矩形．使得轴． (1)求该抛物线所对应的函数表达式． (2)当抛物线在A、之间的部分（包括A、两点）的最高点与最低点的纵坐标差为5时，求点的坐标． (3)当点在矩形的内部时，求的取值范围． (4)当点在轴下方时，设抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为．点到抛物线对称轴的距离为，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)m的值为或或 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）求出抛物线的顶点坐标为，当点P在对称轴左侧时，最低点为顶点，则，解得：或（舍），则，当点P在对称轴右侧时，抛物线在A、之间的部分（包括A、两点）的最高点与最低点的纵坐标差为5时，，，解得：或，则． （3）分四种情况分别画出图形，列出不等式组，解不等式组即可； （4）解：①当点P在y轴左侧，点P在点N上方，抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点为点P，最低点记为点E，由得，，解得：或（舍）；②当点P在y轴右侧，记抛物线与分别交于点E，F，此时最高点为点E，最低点为点F，则， 由得，，解得：或（舍）；③当点P在y轴右侧，此时记抛物线与分别交于，由得，，解得：，综上所述：或或． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴，解得： ∴抛物线的解析式为：； （2）解：抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， 当点P在对称轴左侧时，最低点为顶点， ∴当时，， 解得：或（舍）， ∴， 当点P在对称轴右侧时，抛物线在A、之间的部分（包括A、两点）的最高点与最低点的纵坐标差为5时， ∴， ∴， 解得：或， ∴， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：∵点的横坐标为，点P在抛物线上， ∴点P的坐标为， ∵轴，点Q的坐标是， 又∵四边形为矩形， ∴点的坐标为，点N的坐标为， 当，即时，点P在点M的右侧，在点Q的上方，如图所示：    ∵点在矩形的内部， ∴， 解得：， 综合可得，此时没有符合条件的m存在； 当，即时，点P在点M的右侧，在点Q的下方，如图所示：    ∵点在矩形的内部， ∴， 解得：， 综合可得，； 当，即时，点P在点M的左侧，在点Q的上方，如图所示：    ∵点在矩形的内部， ∴， 解得：， 综合可得，； 当，即时，点P在点M的左侧，在点Q的下方，如图所示：    根据画图可知，点B不可能在矩形的内部； 综上分析可知，点m的取值范围是或． （4）解：①当点P在y轴左侧，点P在点N上方，抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点为点P，最低点记为点E， ∴， 由轴得，， ∴， ∵点到抛物线对称轴的距离为， ∴， 由得，， 解得：或（舍）； ②当点P在y轴右侧，记抛物线与分别交于点E，F，此时最高点为点E，最低点为点F， ∴， 而，， ∴， 而， 由得，， 解得：或（舍）； ③当点P在y轴右侧，此时记抛物线与分别交于， ∴， 由轴，得， ∴， 由轴，得， 由题意得，， ∴， 而， 由得，， 解得：， 综上所述：或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，矩形的性质，解题的关键是画出图形，数形结合，并注意分类讨论． 24．(2026九·吉林省四平市·二模)在平面直角坐标系中，抛物线（b、c是常数）的顶点坐标为．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m，点B、C为抛物线与x轴的交点（点B在点C的左侧）． (1)求b、c的值． (2)当的面积为1时，求点A的坐标； (3)当时，，则m的取值范围为______； (4)过点B作x轴的垂线l，过点A作于点P，点Q在直线l上，且点Q的纵坐标为，以AP、PQ为边作矩形，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，； (2)点A的坐标为或或； (3)； (4)或或 【分析】（1）根据顶点坐标公式，即可求解； （2）先求出，再结合，即可得到答案； （3）由图可知：时，，进而即可得到答案； （4）分三种情况讨论，①当点A在对称轴右侧时，，②当点A在对称轴左侧时，，③时，，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（b、c是常数）的顶点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：抛物线， 令，解得：， ∴， ∴， ∴的面积=， ∴， ∴，解得：， ∴点A的坐标为或或； （3）解：令， 则， ∵，由图可知：， ∵当时，， ∴； （4）解：①当点A在对称轴上或右侧时，，则， 此时点Q在x轴上或下方，抛物线在矩形内部，y随x得增大而增大， 当时，无重合； ②当点A在对称轴左侧时，，则，此时无重合； ③时，， ，解得， ∴当时，y随x得增大而增大， 当时，y随x得增大而减小， 综上所述：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数得图形和性质，掌握待定系数法以及数形结合的思想方法是关键． 58/59 57/59 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08函数综合与实际应用 ☆3大考点概览 考点01反比例函数实际应用 考点02一次函数实际应用 考点03二次函数综合 考点01 反比例函数实际应用 1.(2526九下·吉林长春德惠)光敏电阻的阻值随着光照强度的改变而改变，光敏电阻R的阻值（单位： 2)与光照强度（单位：x,光越强，光照强度越大）之间的关系如图所示.已知当光照强度为4x时， 光敏电阻的阻值为52.若要使光敏电阻的阻值增大到102，则下列关于光照强度的说法正确的是() 光敏电阻阻值/Ω 光照强度/x A. 增大至12.5xB.减小至12.5x C.增大至2x D.减小至2x 考点02 一次函数实际应用 3.(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学期中)为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个 工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工.开工几天后， 甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，整个工程工期延长.设铺设光缆时间为x(单位：天)， 工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为y(单位：米)，甲、乙两队y关于x的函数关系分别如图 所示. 1/59 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A(米) 6000 乙队 3200 1200 甲队 4 14x天) (1)直道两端的距离为 米，乙队的施工速度为 米天： (2)求甲队若干名工人离队后y关于x的函数关系式： 3)甲队若干名工人离队导致工期比原计划多了 天 4.为研究城区空气质量变化，某校环保社团对吉林市某日的空气状况进行连续监测，记录了10个小时城 区PM2. 浓度y(单位： ug/m3 )与监测时间（单位：h)的变化情况，函数图象如图所示. y/ug/m 80 50 40 0 4 10主 1)当0≤x≤4时，求y关于x的函数解析式. (2)当x=2时，求y的值. 3)当0≤x≤10时，直接写出y≥60时x的取值范围。 5.有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与 探针接触时开始记录实验数据.设探针浸入液面以下的长度为x(单位：Cm),装置内液体体积为'（单 位：mL).如表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度x 装置内液体体积V (单位：cm) (单位：mL) 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 2/59 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 若探针粗细忽略不计，己知'(mL)与x(cm)满足一次函数关系.解决下列问题： (1)求V与x之间的函数表达式： (②)当探针浸入液面以下的长度为l2cm时，求装置内液体的体积： 6.(25-26九下·吉林长春德惠)新能源车已经普及到千家万户，充电站也应运而生.某充电站施行峰谷电价 收费制度（高峰时段：10：00-22：00，低谷时段：22：00一次日10：00），已知峰时充电单价是谷时充电 单价的2倍，且充电总费用y(元)与充电度数x(千瓦时)之间成一次函数关系，下图为一辆新能源汽 车从充电开始直至充电结束的收费情况， 个y/元 6 05 10x/千瓦时 (1)当这辆汽车充电结束时，总费用是一元. (2)当5≤x≤10时，求充电总费用y（元)与充电度数x(千瓦时)之间的函数表达式. (3)若充电站每小时能充15千瓦时的电，直接写出这辆汽车充电结束的时间. 7.清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以 另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离y(千米)与离开家的时间心（小时）之间的函数关系如 图所示 y(千米) 280 80 A B 1 2 4x(小时) (1)小刚在服务区休息了一小时； (2)求BC所在直线对应的函数表达式： 3/59 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家小时. 8.已知甲、乙两地相距150m,客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往 乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之 ykm 间的距离 与两车行驶的时间 之间的函数图象如图所示. y(km) 150 B 60 \A D 4 x(h) (I)求客车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距100km. 9.若电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素，小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电 池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些.于是小明细心 观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量y(千瓦时)和已行驶路程x(千米)的相关数据 用函数图象表示如下. y(千瓦时) 60A 35 B 10----- 150200x(千米) (1)电池充满电时的电量为一千瓦时： (2)求BC所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）： 3)小明爸爸计划满电量状态下开车去距家240km的城市出差，请问途中是否需要充电？并说明理由. 10.(2026九·吉林省四平市：二模)为响应国家积极推进中小学生每天综合体育运动的号召，某学校实施了 “运动积分”奖励制度，鼓励学生周末在家多锻炼.现有甲、乙两班的奖励方案如图所示，学生可根据运 动时间x(分钟/周)兑换相应的运动积分y(分)· 4/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y(分) 甲 100 乙 80 60 40 20 10 306090120150x(分钟/周) 请根据图象解决下列问题： (1)若甲班学生本周末的运动时间为12分钟，可兑换运动积分？ (②)求乙班运动积分y与运动时间x的函数表达式，若某学生本周末的运动时间为21分钟，则他根据哪个班 的方案兑换更好？ 3)对于相同的运动时间x(分钟/周)，若根据两个班的方案兑换的运动积分相差15分，求x的值. 11.(2026:吉林省松原市二模)【函数图象分析】阅读以下素材，完成相应的任务， 判断车辆是否因超速被罚款 我国高速公路上的隧道通常限速80千米时，在隧道前会有一个提示牌及限速标 背 志，在提示牌与隧道口之间会有雷达测速仪进行两次测速，且测速时有闪光提 景 示，根据规定，若平均车速超速20%以上未达到50%，将处以200元以内罚款 如图1，当物体做匀减速运动时，在其速度关于时间t的函数图象中，函数图象 与横轴以及直线t=t,(=6 所围成的图形（如图的阴影部分）面积等于物体从t1 素 到，这个时间段的运动距离5，即s=+),-) 材 图1 5/59 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 素 雷达测速仪安装在车辆前进方向的路上，根据短时间的两次测速（均有闪光提 材 示)，测出两个时刻车辆和雷达测速仪之间的距离，再用距离差除以两次测速的 二 时间差，算出这段路程的平均车速 某车以126千米/时的速度驶来，到达限速标志位置（隧道前600米）时开始匀减 速，从开始减速到车头进入隧道口用了20秒，其速度v关于时间t的函数图象如图 素 2所示，t1和t2是两次雷达测速的时间（已知速度1米/秒=3.6千米/时） v(米/秒) 材 35 A B 4220/秒 图2 问题解决： (1)直接写出该车进入隧道口时的速度为， 米/秒， (2)如图2，当第一次闪光时，车速已经降到了108千米时，求时间t1. 3)在(2)的条件下，从第一次闪光后到第二次闪光时，经过了4秒，从平均车速考虑，此次该车是否会 因超速而被罚款？请通过计算说明理由， 12.(2026:吉林省长春市榆树市·二模)某农科所对当地小麦从抽穗期到灌浆期连续51天的累计需水量进行 研究，得到当地每公顷小麦在这51天内累计需水量(m)与天数x之间的关系如图所示，其中，线段OA, AC分别表示抽穗期、灌浆期的y与x之间的函数关系 y/m个 1660 960 20 4051x/天 (1)求这51天内，y与x之间的函数关系式： (2)求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量， 考点03 二次函数综合 6/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，抛物线'=r+-3与轴交于点4(-3,0)， 与y轴交 于点B.点P、Q是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m、1-m. (1)求此抛物线的解析式： (2)当m=1时，求tan∠QPA的值： 3)设抛物线在P、Q两点之间的部分（含P、Q两点）为图象G,若图象G的最高点与最低点的纵坐标之 差为10，求m的值： ④)过点P作PH⊥AB于点H,以PH、PQ为邻边作POMH.当POMH的边PQ与直线AB有交点时，设 BK 1 交点为K,若PH5,直接写出m的值. 32 14.2026吉林省长春市榆树市·二模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-6ax经过点’9，抛物线上 m,y),(9-m,y2) 点A,B的坐标分别为 (1)求抛物线的表达式. 2)当片上<0 ，求m的取值范围。 1,12 3)过点A作轴的垂线1，过点B作y轴的垂线l2,直线1，交点为C,连接 AC,BC,AB ①求tan∠ABC; ②线段AB与x轴相交于点E,过点E作直线EF⊥AB交线段AC于点F,当直线EF将△ABC的面积分 为1：3两部分时，直接写出m的值. 7/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.25-26九吉林延边朝鲜族模拟)如图①，在平面直角坐标系中，直线y=x-3交x轴于点B,交y轴于 点C,抛物线y=-x+bx+C经过B、C两点且与x轴交于另一点A.点P是抛物线上的动点，其横坐标为 V 图① 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)当CP‖AB时，求线段CP的长度： 3)当点P在x轴下方时，抛物线在点P、点A之间的部分（包括端点）记为图象G,图象G上最高点和最低 点的纵坐标之差为5时，求点P的坐标： (4)以PB为对角线构造矩形PMBN,边PM平行于x轴.当直线BC将矩形PMBN的面积分成两部分的比 为1：3时，直接写出m的值. y=-x2+bx 16.(2026吉林省吉林市二模)如图，抛物线 经过点5,0，点A,B在抛物线上，作射线0A, 过点B作8C)销交射线OA于点C.已知点A的横坐标为m>0）,点B的横坐标为”(m≥0，n≠m ),线段BC的长为L 备用图 (1)求b的值. (2)当m=4时，求L关于n的函数解析式. 3)当m=4时，若L随n的增大而增大，则n的取值范围为 8/59 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (4)当m+n=t(t为常数，且t>0)时，若L随n的增大而增大，则n的取值范围为 (用含t的式子 表示)· 17.如图，已知抛物线y=-x+bx+c与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C, 0A=0C=4 VA Q B ⊙ 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)若点P为直线AC上方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q,若AC分△ABP的面积为3：5两部分， 请求出点P的坐标： )在y轴上是否存在一点N,使得∠BC0+∠BNO=∠OAC,若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请 说明理由. 18.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点.点P在直线y=3上，其横坐标为m,作射线OP,将 射线OP绕点O顺时针旋转90°，旋转后的射线交抛物线y=-x2+2x+3于点，连结O0,以OPO0为 邻边作矩形OPMQ y=3 y=-x2+2x+3 (1)求抛物线的对称轴及与y轴的交点坐标： (②)连结PQ,当PQ‖x轴时， ①点Q的坐标为一： 9/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OP ②求0g的值： B)设矩形OPMQ的边与坐标轴相交于点C,连结OC.过点Q作OC的垂线与矩形OPMQ的边交于点D. 连结QD,当QD=20C时，直接写出m的值. 19.(2026吉林省松原市二模)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x+bx+c(其中 b、c为常数)的图象经过点3,1，其顶点A的横坐标为1.点P是该抛物线在x轴上方的图象上的一点， 其横坐标为m,点Q的坐标为 2m-1,1 ,连接OP并延长交该抛物线的对称轴于点M连接AQ,以AQ、 AOMN QM为边作 (1)求该抛物线对应的函数关系式： (②)当m>0,且QM1y轴时，求点0的坐标： 3)当点N与点Q的纵坐标之和为0时，求m的值： ④)当四边形AQMN是轴对称图形时，直接写出m的值. 20.已知，抛物线 y=a-2ar-30(a≠0)，与x轴交于A,B,(点A在点B的左侧)与y轴交于点 C,顶点为点D. 10/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D D 图1 备用图 (1)抛物线的对称轴为_（用含有a的式子表示）： (2)若当-1<x<2时，函数值y随着x的增大而减小，求a的取值范围： 3)如图1，当a=1时， 点E(m,川)为第四象限的抛物线上一点，过点B作EF川x轴与抛物线另外一个交点 为点F EH∥y EF.EH ①连接BC,过点E作 轴，交BC于点H,以为邻边构造矩形EFGH,当矩形EFGH的周长 9 为2时，求m的值； ②以EF所在直线为对称轴将抛物线位于EF下方的部分翻折，若翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都 位于x轴正半轴，请直接写出n的取值范围. 21.(25-26九下吉林长春德惠)如图，在平面直角坐标系中，抛物 y=x2-br-3b是常数)经过点 3,0.点A在抛物线上，且点A的横坐标为 m(m≠0 ,点B的坐标为 1-m,2m-1 (1)求该抛物线对应的函数解析式及顶点坐标： 11/59 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)过点A作AC⊥y轴于点C,以AC、CB为邻边作口ACBD ①当m=2时，求△ABD的面积： ②当口ACBD的面积被x轴平分时，求m的值； ③若m<1,当抛物线在ACBD内部的点的纵坐标y随的增大而减小，或者y随x的增大而增大时，直接 写出m的取值范围 22.如图，已知抛物线y=一 +b+c与轴交于点A40和点B,与y轴交于点C0,3 B 备用图 (1)求该抛物线的表达式； (2)设点 P(m,n 是直线AC上方抛物线上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G,PG与直线AC交于点H】 ①连接AP、CP,求四边形AOCP的面积S与m的函数关系式，并求出S的最大值； ②连接OH.在①的条件下，试判断四边形PHOC的形状，并说明理由： ③是否存在点P,使得以P、H、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的m的值； 若不存在，请说明理由. 23.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+cb,C为常数)经过点 A(3,0),B(0,-3) 点P在该抛物线 上，点P的横坐标为m,点Q的坐标是 m+12m-2 以PQ为对角线构造矩形PMQN.使得PM⊥y 轴. (1)求该抛物线所对应的函数表达式. (2)当抛物线在A、P之间的部分（包括A、P两点）的最高点与最低点的纵坐标差为5时，求点P的坐标. 3)当点B在矩形PMQN的内部时，求m的取值范围. 12/59 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ④)当点P在x轴下方时，设抛物线在矩形PMQN内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差 4 为p·点Q到抛物线对称轴的距离为g,当P=39时，直接写出m的值。 24.(2026九吉林省四平市二模)在平面直角坐标系中，抛物线y=-x+bx+c(b、c是常数)的顶点坐标 为2,1).点A在抛物线上，且点A的横坐标为m,点B、C为抛物线与x轴的交点（点B在点C的左侧）， (1)求b、c的值. (2)当△ABC的面积为1时，求点A的坐标： 3)当0≤x≤m时，-3≤y≤1，则m的取值范围为一； (4)过点B作x轴的垂线1，过点A作AP1I于点P,点Q在直线1上，且点Q的纵坐标为2-m,以AP、 PQ为边作矩形APOH,当抛物线在矩形APQH内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增 大而减小时，直接写出的取值范围. 13/59 专题08 函数综合与实际应用 反比例函数实际应用 考点01 1． 【答案】D 一次函数实际应用 考点02 3． 【详解】（1）解：由图象得, 直道两端的距离为米，乙队的施工速度为（米/天）； （2）解：设甲队若干名工人离队后关于的函数关系式为，代入， ∴， 解得：， 甲队若干名工人离队后关于的函数关系式， （3）解：设乙队y关于x的函数关系式为， 把，代入得， 解得， 则乙队y关于x的函数解析式； ， 原计划甲队y关于x的函数解析式， 甲、乙两队完成光缆工程需满足， 解得， （天）， 答：甲队工人离队导致工期比原计划延长了2天． 4． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数解析式为， 将和代入，得， 解得， 所以y与x的函数解析式为（）； （2）解：把代入，得； （3）解：当时，设y与x的函数解析式为， 将和代入，得， 解得， 所以y与x的函数解析式为； 当时，或， 解得或， 观察图象，当时的取值范围是． 5． 【详解】（1）解：设，代入 和得： ，解得， ∴； （2）解：当时，. 6． 【详解】（1）解：由图可知，充电到5千瓦时开始低谷时段的充电模式， 由于峰时充电单价是谷时充电单价的2倍， ∴谷时充电单价为（元）， ∴低谷用电费用为（元）， ∵（元）， ∴这辆汽车充电结束时，总费用是9元； （2）由小问1可知，低谷时候的充电单价为（元）， 当时，， （3）由图象可知，低谷时充电（千瓦时）， 若充电站每小时能充千瓦时的电， 则低谷时充电（小时）（分钟）， ∵低谷时段：—次日， ∴这辆汽车充电结束的时间是． 7． 【详解】（1）解： 根据函数图象可得小刚在服务区休息了1小时； （2）解：设所在直线对应的函数表达式为， 把代入， 得， 解得， 所以线段所在直线对应的函数表达式为． （3）解：当时， 解得：， ∴小刚离开家3.2小时． 8． 【详解】（1）解：由图可知，客车从甲地开到乙地需要， 即点的坐标为， 设客车返回时y与x之间的函数关系式是（）， 把，代入， 得，解得， 即客车返回时y与x之间的函数关系式是（）. （2）解：由函数图象得：货车速度为（） 设客车、货车两车相距时，客车行驶了， 根据题意，得或或， 解得，或，或. ∵两车第一次相遇后时间大于， ∴，或 ，. ∴两车第一次相遇后，再经过或，两车之间相距． 9． 【答案】(1)60 (2) (3)途中需要充电， 理由如下： 当时，， 解得：， 即当汽车电量为0时，行驶的路程为， ∵， ∴途中需要充电． 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求一次函数解析式，有理数比较大小的应用． （1）根据函数图象，即可得到答案； （2）利用待定系数法求出段的函数解析式，求出解析式即可； （3）先求出当汽车电量为0时行驶的路程为，与比较即可得出答案． 10． 【答案】(1)10 (2)，根据乙班的方案兑换更好 (3) 11． 【详解】（1）解：设该车进入隧道口时的速度为米/秒， 由题意得：， 解得， 所以该车进入隧道口时的速度为25米/秒， 故答案为：25． （2）解：设速度关于时间的函数关系式为， 由（1）可知，这个函数的图象经过点， ∵（米/秒）， ∴这个函数的图象经过点， 将点和代入得：，解得， ∴， ∵（米/秒）， ∴将点代入函数得：， 解得． （3）解：由（2）已得：， ∵从第一次闪光后到第二次闪光时，经过了4秒， ∴， 将代入函数得：， ∵（米/秒）， ∴从第一次闪光后到第二次闪光时，平均车速为（米/秒）， ∵，， ∴从平均车速考虑，此次该车会因超速而被罚款． 12． 【详解】（1）解：由题意，当时，设， ∴， ， ∴， 当时，设关系式为， ∴， 解得：， ∴， 综上，所求函数关系式为． （2）解：由题意，令， ∴， 又当时，， 每公顷小麦在整个灌浆期的需水量为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，根据函数图象获取信息，求一次函数值，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出函数解析． 13． 二次函数综合 考点03 【详解】（1）解：将点代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 当时，， ， ， 当时，， ， ， ； （3）解：由（1）知，抛物线， 抛物线的顶点坐标为， ①当点P在点Q左侧，抛物线的顶点在图象上时： ， 解得：， 点P到对称轴的距离为， 点Q到对称轴的距离为， ， 抛物线的图象开口向上， 图象的最小值为，最高点为点Q， 当时，， ， 整理得：， 解得：或（舍去）； ②当点P在点Q右侧，抛物线的顶点在图象上时： ， 解得：， 点P到对称轴的距离为， 点Q到对称轴的距离为， ， 抛物线的图象开口向上， 图象的最小值为，最高点为点P， 当时，， ， 整理得：， 解得：或（舍去）； ③当抛物线顶点不在图象上，点P在点Q左侧，则，即， 若点P、Q都在对称轴的左侧， 解得：，与矛盾 此情况不存在； 若点P、Q都在对称轴的右侧， ， 解得：， ， 在上，随的增大而增大， ， ， 解得：， ， 此情况不存在； ④当抛物线顶点不在图象上，点P在点Q右侧，则，即， 若点P、Q都在对称轴的左侧， ，与矛盾， 此情况不存在； 若点P、Q都在对称轴的右侧， ， 解得：， ， 在上，随的增大而增大， ， ， 解得：， ， 此情况不存在； 综上所述，的值为或； （4）解：当时，， ， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 由（3）知，、， 设直线的解析式为， 将、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：， 将代入得：， ， ， 过点P作轴交与点，则轴，且点M的纵坐标为， ，， ， 的等腰直角三角形， ， 轴， ， ， ， 将代入得：， 解得：， ， ， 在中，， ， ， ， 整理得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、解直角三角形、两点间距离公式、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质，分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． 14． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴当时，； 当或时，； ①∵，，， ∴当时，，此时， ∴， ∵， ∴点在第四象限，即， ∴， ∴； ②当时，， 当点在第三象限，， ∴， ∴此时点在第四象限，即， ∴，不符合题意，舍去； 当点在第四象限，， ∴， ∵， ∴点在第一象限，即， 解得， ∴； 综上，或； （3）解：①∵点，在抛物线上， ∴，， 如图，当点在第一象限，点在第四象限时， ，， ∴； 如图，当点在第四象限，点在第一象限时， ，， ∴； ②中，， 设，， ∴， ∴， 如图，当点在第一象限，点在第四象限时， ， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线将的面积分为两部分时， 当时 ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）； 如图，当点在第四象限，点在第一象限时， 同理可得，， 此时， ∴， 解得（舍去），． 综上，m的值为或． 15． 【详解】（1）解：对于直线， 令，得， 令，得， ，． 抛物线经过、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：在轴上，， 点与点的纵坐标相同，均为． 令，得， 即， 解得：，． ． ． （3）解：令，得， 即， ． ， 抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线． 点在轴下方， 或． ①当时，图象对应自变量取值范围是， 抛物线在上y随x增大而增大， 最高点为，最低点为． 由题意：， 即， 解得：． ， ． 此时． ②当时，图象对应自变量取值范围是，包含顶点， 最高点为顶点，纵坐标为． 点在轴下方，点在轴上， 最低点为，纵坐标为． 由题意：， 即， 解得：． ， ． 此时． 综上，点的坐标为或． （4）解：四边形为矩形，为对角线，且轴， ，． 矩形面积． 当时，直线与边交于点， ． 由，得， 解得：． 当时，直线与边交于点， ，， ． 由，得， 解得：． 当时，直线不经过矩形内部，不符合题意． 综上，的值为或． 16． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； （2）解：由（1）知，， 当时， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 根据题意得，， 当时，； 当时，； 综上，； （3）解：当时，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； 当时，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； 综上，当或时，随的增大而增大； （4）解：由（1）知，， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 根据题意得，， 当即时，； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； 当即时，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大； 综上，当或时，随的增大而增大． 17． 【详解】（1）解：， ，， 将点A、C代入， ， 解得， ； （2）解：令， 解得，， ， 如图，过点P作轴交于点G，过点Q作轴交于点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，直线的解析式为， ，解得， ， 、所在两直线联立方程组，求交点Q坐标， ， 解得：， ， 分的面积为两部分， 以为底，高相等，两部分面积比等于底边之比， 或， ， ， 当时，， 可得， 解得，， 或； 当时，， 可得， 此时方程无解， 综上所述，或； （3）解：存在一点N，使得，理由如下： 在y轴上取点， 当N在y轴正半轴时，如图，     ，， ，，， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， ； 当N在y轴负半轴时，记为，如图， 则和N关于x轴对称， ,满足条件， 综上，N的坐标为或． 18． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，，则抛物线与轴的交点坐标为， （2）解：①当时， 解得： ， ②如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、 ， ， 由题可知，， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， ， ； （3）解：∵点在直线上，其横坐标为， ∴， 设 如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、 ， ， ， 轴，轴， ， ， ， 当在轴上时， ∵， ∴， ∴ 设 当时， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∵ ∴ 即 同（2）②可得 ∵， ∴ ∴ 解得：， 当时，如图， 同理可得， ∵， ∴ ∴ 解得：， 综上所述，或 19． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点A的横坐标为1， ∴， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴该抛物线对应的函数关系式为； （2）解：设点P的坐标为， ∵轴，且点Q的坐标为， ∴点M和点P的纵坐标都为1， 解方程， 得或（舍去）， ∴点Q的坐标为； （3）解：对于抛物线，顶点A的坐标为． ∵点N与点Q的纵坐标之和为0，又点Q的纵坐标为1， ∴点N的纵坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 整理得， 解得或； （4）解：当平行四边形是菱形时，平行四边形是轴对称图形， 此时，对角线与对角线互相垂直平分， ∵点Q的坐标为， ∴点N的纵坐标为， ∵点A的坐标为， ∴点M与点A关于直线对称， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为， ∵， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， 整理得， 解得或． 当平行四边形是矩形时，平行四边形是轴对称图形， 此时，， ∴， 设， , , , ∴， ∴， ∴， 同理得的解析式为， 将代入得， 整理得， 解得或． 综上，m的值为或或或． 20． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； 故答案为：； （2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，时，随着的增大而减小， ∵当时，函数值y随着x的增大而减小， ∴； 当时，时，随着的增大而减小， ∵当时，函数值y随着x的增大而减小， ∴； 综上：或； （3）①当时，则：，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，，当时，解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∵点为第四象限的抛物线上一点，过点E作轴与抛物线另外一个交点为点F，轴，交于点H， ∴，，，， ∴，， ∴当矩形的周长为时，， ∴， 当，即：时，， 解得：或（舍去）； 当，即：时，， 解得：； 综上：或； ②∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 由题意，得：直线的解析式为， ∴点关于的对称点为：， ∴翻折后的抛物线的解析式为， 当抛物线的顶点恰好在轴上时，则：， ∴， 当抛物线过原点时，则：，解得：， ∵翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴， ∴． 21． 【详解】（1）将点代入中， 得， 解得， ∴该抛物线对应的函数解析式为， ， ∴顶点坐标为． （2）①当时，，， ∵轴， ， ， ， ． ②∵的面积被轴平分， ∴A点与B点位于x轴两侧，且距x轴的距离相等， ∴A点与B点的纵坐标互为相反数， ∵A点的横坐标为m， ∴A点的纵坐标为， ， 解得． ③∵点B的坐标为， ，解得：， ∴B在直线上运动． ∵， ∴， 当时，， 如图 ∴此时抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，符合题意； 当时，点A与点C重合，不存在； 当时，如图， 此时，， 不符合题意，舍去； 当时， ，如图， 此时不符合题意，舍去； 当时，，如图， 此时D为顶点，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，符合题意； 当时，如图， 抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，符合题意， 当时，如图， 此时不符合题意，舍去， 综上，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时， 的取值范围为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，点的轨迹问题，平行四边形的性质，难度很大，清晰的分类讨论与数形结合的方法是解本题的关键． 22． 【详解】（1）解：将代入， 得 解得， 该抛物线的表达式为． （2）①， 直线的解析式为． 设点的坐标为，故点的坐标为，其中， 则． 四边形的面积与的函数关系式为 ． ，， 当时，有最大值，的最大值为12． ②四边形是平行四边形．理由如下： 由①可得，当时，． ， 四边形是平行四边形． ③存在，理由如下： 如图， 点的坐标为，点的坐标为，其中， 点的坐标为， ． ，． ，，即， ． 分三种情况讨论： I．当时，则，解得（舍去）． Ⅱ．当时，如图，过点作于点，则． ， 解得（舍去）． Ⅲ．当时，如图，过点作于点， 则． ， ， ， ， 即， ， 解得（舍去）， 综上所述，满足条件的的值为或或． 23． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴，解得： ∴抛物线的解析式为：； （2）解：抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， 当点P在对称轴左侧时，最低点为顶点， ∴当时，， 解得：或（舍）， ∴， 当点P在对称轴右侧时，抛物线在A、之间的部分（包括A、两点）的最高点与最低点的纵坐标差为5时， ∴， ∴， 解得：或， ∴， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：∵点的横坐标为，点P在抛物线上， ∴点P的坐标为， ∵轴，点Q的坐标是， 又∵四边形为矩形， ∴点的坐标为，点N的坐标为， 当，即时，点P在点M的右侧，在点Q的上方，如图所示：    ∵点在矩形的内部， ∴， 解得：， 综合可得，此时没有符合条件的m存在； 当，即时，点P在点M的右侧，在点Q的下方，如图所示：    ∵点在矩形的内部， ∴， 解得：， 综合可得，； 当，即时，点P在点M的左侧，在点Q的上方，如图所示：    ∵点在矩形的内部， ∴， 解得：， 综合可得，； 当，即时，点P在点M的左侧，在点Q的下方，如图所示：    根据画图可知，点B不可能在矩形的内部； 综上分析可知，点m的取值范围是或． （4）解：①当点P在y轴左侧，点P在点N上方，抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点为点P，最低点记为点E， ∴， 由轴得，， ∴， ∵点到抛物线对称轴的距离为， ∴， 由得，， 解得：或（舍）； ②当点P在y轴右侧，记抛物线与分别交于点E，F，此时最高点为点E，最低点为点F， ∴， 而，， ∴， 而， 由得，， 解得：或（舍）； ③当点P在y轴右侧，此时记抛物线与分别交于， ∴， 由轴，得， ∴， 由轴，得， 由题意得，， ∴， 而， 由得，， 解得：， 综上所述：或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，矩形的性质，解题的关键是画出图形，数形结合，并注意分类讨论． 24． 【详解】（1）解：∵抛物线（b、c是常数）的顶点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：抛物线， 令，解得：， ∴， ∴， ∴的面积=， ∴， ∴，解得：， ∴点A的坐标为或或； （3）解：令， 则， ∵，由图可知：， ∵当时，， ∴； （4）解：①当点A在对称轴上或右侧时，，则， 此时点Q在x轴上或下方，抛物线在矩形内部，y随x得增大而增大， 当时，无重合； ②当点A在对称轴左侧时，，则，此时无重合； ③时，， ，解得， ∴当时，y随x得增大而增大， 当时，y随x得增大而减小， 综上所述：或或． 38/40 39/40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $