专题07 解直角三角形实际应用与格点作图（2大考点）（吉林专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦解直角三角形实际应用与格点作图两大核心考点，精选吉林地区名校期中及二模真题，情境真实且梯度分明，适配中考二模复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/解答题|10题|解直角三角形（仰角俯角、坡度坡角、实际测量）|结合风力发电机测量、遮阳篷设计等真实场景，考查建模能力| |作图题|14题|格点作图（等腰/直角/钝角三角形、平行四边形、圆）|在5×5等网格中设计无刻度直尺操作，涉及面积计算与图形性质综合应用|

专题07 解直角三角形实际应用与格点作图（2大考点） 2大考点概览 考点01 解直角三角形实际应用 考点02 格点作图 解直角三角形实际应用 考点01 1．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，某滑雪运动员沿坡度为的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为（     ） A．10米 B．15米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】由斜坡的坡比为，可知斜坡坡角为，然后运用正弦函数解答即可． 【详解】解：如图， 因为坡度比为，即， ∴ ， 由题意可知，运动员沿斜坡滑下米， 则其下降的高度米． 2．如图，山区公路管理处在山顶观景台处架设了监测设备，从处测得山下公路上事故点的俯角为．已知设备点到事故点的直线距离为米，观景台正下方的山脚点为，则事故点到山脚点的水平距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先由平行线的性质得到，在中，由余弦函数定义列式计算即可． 【详解】解：由平行线性质可知， 在中，，米，则， （米）． 3．如图，甲、乙两位登山者同时从点出发后，一段时间后，甲步行米到达点，乙步行米到达点，若坡角为，则甲、乙两人的水平距离可以表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；由题意得米，，由余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图，米， ∵， ∴， 在中，， ∴米， 故选：A． 4．(25-26九下·吉林长春德惠·)如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为米，则气球顶部离地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先解直角三角形得，后根据解答即可． 本题考查了矩形的判定和性质，仰角的计算，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得到四边形是矩形， 故， 由 得， 故, 故选：C． 5．在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝：图2是其风筝骨架示意图，已知两条侧翼，的长为60，夹角为，平分，则侧翼两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握三角函数的知识是解题关键．设与交于点，，首先根据等腰三角形的性质得到，，，，然后在中求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设与交于点， ∵两条侧翼，的长为60，夹角为，平分， ∴，，，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴即两点间的距离为． 故选：D． 6．如图，在塔前的平地上选择一点，由点看塔顶的仰角是，在点和塔之间选择一点，由点看塔顶的仰角是．若测量者的眼睛距离地面的高度为，，，，则塔的高度大约为（    ）m．（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟悉利用三角函数边的比值关系建立等量关系是解题的关键． 根据锐角三角函数边的比值关系建立等式运算求解即可． 【详解】解：由题意可建立如图所示平面图： ∴，， ∵， ∴设，则， ∴，即， 解得：， ∴， ∴ ，即塔高为m， 故选：A． 二、解答题 7．(2026·吉林省吉林市·二模)图1是一座风力发电机．图2是某团队使用无人机测量该风力发电机塔筒高度（轮毂中心高度）的示意图．已知无人机在距塔筒水平距离的地面点处竖直升至点处悬停，点距离地面的高度为，在点处测得塔筒顶端的仰角为．求这座风电塔筒的高度（结果取整数）．（参考数据：，，） 【答案】这座风电塔筒的高度约为． 【分析】由图可知四边形是矩形，因此可得 是直角三角形，在中，已知，根据正切定义 ，可求得的长度，进而，即得到塔筒高度． 【详解】解：延长，交于点， ∴根据题意可知，，，， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∴在中，， ∴ ， ∴， ∴ ， 答：这座风电塔筒的高度约为． 8．(2026九·吉林省四平市·二模)某小区活动中心想在房前高的墙上安装一个遮阳篷，使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光线与水平地面的夹角为，遮阳篷与水平面的夹角为，如图为侧面示意图，请求出此时遮阳篷端到墙的距离是多长（结果精确到，参考数据：，，；，，）？ 【答案】的长约是 【分析】过点作于点，则，设，根据三角函数求得，求出，解得，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，则，设， 在中，， ， ， ． 在中，， ， ， ，， ， 解得， ． 答：的长约是． 9．(2026·吉林省松原市·二模)学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】博学楼的高度为9米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形是矩形，解中，得到，设，则，，解，得到，求解，再代入即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴设， 则，， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 10．如图①，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅．图②是上课期间椅子摆放样式，已知座面，座面高，背垫为，点G到地面的垂直距离为，．求背垫的长（参考数据：，，，）． 【答案】背垫的长约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作交的延长线于，求出，，再解直角三角形即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ， ∴， ∵， ∴， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， 故背垫的长约为． 格点作图 考点02 1．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中作一个面积为的等腰，点在格点上． (2)在图②中作一个面积为的直角，点在格点上． (3)在图③中作一个面积为的钝角，点在格点上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意作一个底边为4，高为1，以为腰的等腰三角形，即可求解； （2）根据勾股定理求得，作，且为直角，即可确定点的位置，即可求解； （3）作一个以为底，高为的钝角三角形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，取格点，则，作直线找到格点，连接，则为所求钝角三角形， 2．(25-26九·吉林延边朝鲜族·模拟)图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1个单位长度，在图中已画出线段，其中点、点均为格点．仅用无刻度直尺按照以下要求作图： (1)在图①中，以为边作直角三角形，使其面积为6，且点在格点上； (2)在图②中，以为对角线作平行四边形，使其面积为6，且点、点在格点上． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】（1）根据格点特性画图即可； （2）分别在网格中取点E、F，分别连接即可． 【详解】（1）如图所示； 由网格可知，面积为：； （2）如图所示． 如图可知，， ∴四边形是平行四边形， 四边形的面积为：． 3．(2026·吉林省吉林市·二模)图1，图2，图3均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，，，，均在格点上，点在网格中的圆上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中，画出圆的直径． (2)在图2中，画出圆的直径． (3)在图3中，画出圆心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用圆周角定理即可作出图形； （2）证明，利用圆周角定理即可作出图形； （3）综合（1）（2）即可作出圆心． 【详解】（1）解：圆的直径如图所示： ； （2）解：圆的直径如图所示： ；，，， ∴， ∴， ∴， ∴是圆的直径； （3）解：圆心如图所示： ． 4．图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1． (1)在图1、图2中，以格点为顶点，线段为一边，分别画一个平行四边形和菱形．（要求两个四边形面积相等但不全等，） (2)在图3中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据菱形和平行四边形的判定即可作图，此时平行四边形的面积等于，菱形的面积等于； （2）根据正方形的判定即可作图，此时面积为． 【详解】（1）解：如图1和图2，菱形和平行四边形即为所求； （2）解：如图，正方形即为所求． 5．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，画线段，使，且点在格点上； (2)在图②中，画等腰三角形，点、在格点上，且三边长均为无理数． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】（1）选取矩形网格的对角线即可； （2）结合（1）中得到的边，选取矩形网格的对角线、小正方形对角线即可． 【详解】（1）解：如图所示： ，点即为所求； （2）解：如图所示： 由①知，同样可得，， ，且三边长均为无理数，等腰即为所求． 6．(2026九·吉林省四平市·二模)如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，以为斜边画一个面积为5的等腰直角三角形，使点在格点上； (2)在图②中，以为边画一个面积为5的钝角三角形，使点在网格线上． 【答案】(1)如图①，即为所求； (2)如图②，即为所求． 【分析】（1）面积为需要两条直角边为，即三个小正方形宽，一个小正方形长的斜边； （2）利用等高模型作出点即可． 【详解】（1）略 （2）略 7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均在格点上，请用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中找一个格点D，使得为等腰三角形（画出一个即可）； (2)在图②中作出的角平分线； (3)在图③中的线段上确定一点M，使得． 【答案】(1) 解：如图，，， 则为等腰三角形； (2) 解：如图，取的中点，射线即为所求； (3) 解：如图，点即为所求． 【分析】（1）作一个腰为5的等腰三角形即可； （2）取格点，连接，取的中点，作射线即可； （3）取格点，，连接交于点，点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 8．(2026·吉林省松原市·二模)如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点．三个格点都在圆上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中作图（保留作图痕迹．不写作法）． (1)在图1中作出这个圆的一条直径； (2)在图2中作格点，使得与相切． 【答案】(1) 如图1，直径即为所求； (2) 如图2，格点即为所求； 【分析】本题考查了勾股定理、圆周角定理、切线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理解题即可； （2）结合勾股定理的逆定理证明，进而求解． 【详解】（1）解：如图1，直径即为所求； 理由如下：由图可知，，即， ∴此时为直径； （2）解：如图2，格点即为所求； 理由如下：根据勾股定理可知，，， ， ∴， ∴， ∵为直径， ∴与圆相切． 9．(25-26九下·吉林长春德惠·)图①，图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点和点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找一格点，连接，使； (2)在图②中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形对角互补； (3)在图③中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形被对角线分得的两个三角形均是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了无刻度的直尺作图，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，网格与勾股定理等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题关键． （1）如图，取格点，连接，根据等腰三角形的性质结合网格线的特征即可得到； （）根据网格特征得出，从而求解； （）根据网格特征得出，，从而可判断，是等腰三角形． 【详解】（1）解：如图，点为所求， （2）解：如图， 根据网格可知，， ∴， ∴四边形即为所求； （3）解：如图， 根据网格可知，，， ∴，是等腰三角形， ∴四边形即为所求． 10．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列问题，在给定的网格中作图，作图时要求只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． (1)图①中，点是的中点，在边上确定一点，连接，使． (2)图②中，在边上确定一点，连接，使． (3)图③中，在边上确定一点，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取的中点，连接即可； （2）取格点M连接，交于点F，则点F即为所求； （3）取格点G、H，连接，交于一点，该点即为所求作的点． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求作的点． ∵在和中， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； （2）解：如图，点F即为所求． ∵，点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，点M即为所求作的点． 连接交于点Q，连接， 根据解析（2）可知：此时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴点Q为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴． 【点睛】本题主要考查了格点作图，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握格点的特点和相关的判定和性质． 11．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画，使点C在格点上，且； (2)如图②中以线段为边画，； (3)如图③中以线段为边画，使，． 【答案】(1)如图：即为所求； (2)如图：即为所求； (3)如图：即为所求； 【分析】本题考查作图应用与设计作图，正切的定义，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形． （1）取格点，连接，，使为等腰直角三角形，此时，故为所求； （2）取格点，连接交格线于，连接，是等腰直角三角形，可得，，得出，，所以，故即为所求； （3）取格点，，，连接，交的延长线于点，连接， 可得，即，四边形是平行四边形，且其面积等于9，所以的面积等于，故即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 12．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)解答下列各题： (1)【探究】如图，在中，将劣弧沿弦所在直线翻折，点为劣弧上任意一点，翻折后点的对应点为，连接并延长交于点，连接、．探究与的数量关系，发现结论：． 理由如下：如图1，连接、 由翻折可得 ， °，（依据：_________） °， _________． ． 补全上面的证明过程． (2)【应用】如图2，在探究的条件下，在中，将劣弧沿弦所在直线翻折，连接并延长交翻折后的弧于点，交于点，连接． ①请用圆规和无刻度的直尺在图2中作出的中点．（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑） ②若，，则_________． (3)如图3，在中，，弦，将劣弧沿弦所在直线翻折，点为翻折后的弧上任意一点，连接并延长交于点，为中点．则的最小值为_________． 【答案】(1)圆内接四边形对角互补，，． (2)①，② (3) 【分析】（1）根据翻折的性质以及圆内接四边形对角互补，完成填空； （2）①作线段的垂直平分线交于点； ②连接，根据勾股定理求得，进而求得，求得，进而求得的长； （3）过点作于点，连接，根据垂径定理，勾股定理求得的长，根据得出在为圆心，为半径的圆上运动，则的最小值为，即可求解． 【详解】（1）略 （2）②如图，连接， 由（1）可得 ∵， ∴ ∵为直径 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； （3）如图，过点作于点，连接， ∵，， ∴， 在中， 由（2）可得， ∴在为圆心，为半径的圆上运动， ∴的最小值为 13．如图①，直线（直线在直线之间），直线被这组平行线所截，与直线分别交于点（点在点的右上方）．点是直线上不与点重合的动点，连接并延长交直线于点，连接．若直线与直线所成锐角为． (1)求的值； (2)用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出点，使；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑）． (3)当点在点右侧，且时，求线段的长； (4)作点关于直线的对称点，连接，设线段交直线于点．当点落在直线上时，直接写出线段的长． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) (4)或 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理可得，据此可得答案； （2）作线段的垂直平分线交直线b于点D，连接，则点D即为所求；由线段垂直平分线的性质得到； （3）求出，，根据相似三角形的性质得到，据此求解即可； （4）分两种情况：点C在点B右侧和点C在点B左侧，分别画出示意图讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵直线， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，点D即为所求； （3）解：∵， ∴， 由（1）得， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴或（舍去）； （4）解：如图所示，当点C在点B右侧时，过点B作于点T， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点C在点B左侧时，过点B作于点T， 同理可证明， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； 14．如图，在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上的点F处． (1)如图①，若． ①请用无刻度的直尺和圆规作出点E； ②求的大小． (2)如图②，延长，与的角平分线交于点M，交于点N，若． ①求证：； ②直接写出的值． 【答案】(1)①如图，点E即为所求； ② (2)①证明：过点N作于点G， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【分析】（1）①以点B为圆心，为半径作弧交于点F，再作的平分线交于点E；②由折叠的性质得出，，根据直角三角形的性质得出，可求出答案； （2）①过点N作于点G，证明，得出，由得； ②设，设，则，由勾股定理得出，解得，则可求出答案． 【详解】（1）解：①略 ②∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿翻折，使点C恰好落在边上点F处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （2）①略 ②解：设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， 由勾股定理得， 设， ∵， ∴； 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 4/32 5/32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07解直角三角形实际应用与格点作图(2大考点) 考点01 解直角三角形实际应用 【答案】B 2. 【答案】C 3. 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：由题意 BC=(m-m）米，∠CBD=a, 由余弦函数的定义即 可 【答案】C 5. 【答案】D 6 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟悉利用三角函数边的比值关系建立等量关系是解题的关 个 【详解】解：延长DE,交AB于点F, 42D ∴根据题意可知， ,AB⊥BC. B 图2 DF⊥AB DC⊥BC ∴.四边形DFBC是矩形， .DF=BC=100m,BF=CD=50m,/AFD=90 .在RtAADF中，∠ADF=42°， 1/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 tan∠ADF=AF DE .AF=DF.tan42°≈100×0.900=90m, .AB=AF+BF=90+50=140m, 答：这座风电塔筒AB的高度约为140m. 8. 【详解】解：过点C作CH⊥AD于点H,则CH=AE,设DH=m, 在RtACDH中，∠CHD=90°， CH :tan∠CDH=tan63.4°= ≈2 DH ..CH 2xm ∴.AE=CH=2xm 在RtABEC中，：tan∠BCE=tanl3.4°= BE ≈0.25」 CE 3-2x≈0.25 CE .CE=12-8x, AD=2m,AD+DH=CE. .2+x=12-8x, 10 解得x=9(m), ..CE= 28 9 ≈3.1(m) 答：CE的长约是3.lm, B 134 人63.4 D HK 9 【详解】解：过点E作EF⊥AB于点F,由题意得，∠1=∠2=22°，∠3=42°，BC=15m,AB=19m, 2/12 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 22° 厚 楼 博 楼 B C 42°D ,∠D=∠EFB=∠B=90° ∴四边形FBDE是矩形， .FB=DE,EF BD 在Ra4fE中，：an∠2= EF AF 2 .EF5’ 设AF=2x,EF=5x, CD=BD-BC=EF-BC=5x-15,BF=ED=AB-AF=19-2x, ED 在RtEFD中，：tan∠3= CD· 919-2x .105x-15 解得：x=5, .DE=19-2×5=9m. 答：博学楼DE的高度为9米 10 【详解】解：如图，作GM⊥AB交AB的延长线于M, IG A CF D .∠GMB=90 3/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,∠ABG=100° .∠GBM=180°-∠ABG=80°， 由题意可得：EF+GM=93.9cm, EF=40cm. .GM=53.9cm, .BG= GM 53.953.9 =55cm sin∠GBM sin80°0.98 故背垫BG的长约为55cm. 考点02 格点作图 【答案】(1) B 图1 (2) B 图2 3) 4 图3 4/12 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)如图所示： B 图① 由网格可知，△ACB面积为： 2×3x4=6; (2)如图所示. 图② 3. 【详解】(1)解：圆的直径MN如图所示： M B 图1 (2)解：圆的直径PQ如图所示： 5/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E G D 图2 (3)解：圆心O如图所示： E M B D 图3 【详解】(1)解：如图1和图2，菱形和平行四边形即为所求： A B 图1 图2 (2)解：如图，正方形即为所求 图3 5. 【详解】(1)解：如图所示： 6/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图① (2)解：如图所示： D 图② 6 【答案】(I)如图①，△ABC即为所求： (2)如图②，△ADB即为所求， B 图① 图② 个 【答案】 D 图1 图2 图3 8 【答案】(1) 如图1，直径AC即为所求： 7/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图1 (2) 如图2，格点D即为所求： 图2 9 【详解】(1)解：如图，点E为所求， D (2)解：如图， D (3)解：如图， 8/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G 10 【详解】(1)解：如图，点E即为所求作的点 D E B (2)解：如图，点F即为所求 M (3)解：如图，点M即为所求作的点. B 11. 【答案】(I)如图：△ABC即为所求： (2)如图：△ABD即为所求： 9/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)如图：△ABE即为所求： 12. 【答案】I)圆内接四边形对角互补，BDE,∠BDE=∠E (2)① ② 511 3)22 13. 【详解】(1)解：直线abc, AD AE ∴.CDBE, AE=4,BE=2, 82 (2)解：如图所示，点D即为所求： 10/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D -b B (3)解：AE=4,BE=2, .AB=AE+BE=6. AD=2 由(1)得C C,即aC= AD 2 AD ,△ABD~△ACB, 6 AD AB、AD 即34D 6 AC AB .4D=26或4D=-26 (舍去)： (4)解：如图所示，当点C在点B右侧时，过点B作BT⊥b于点T, B' M B C 由轴对称的性质可得AB=AB, .∠ABB'=∠AB'B, .allc, .∠CBB'=∠AB'B .1 :∠CB'=∠ABB=∠ABB=2∠ABC: ..bllc, ∴.∠EMB=∠CBM,∠BET=∠ABC, ∴.∠EBM=∠EMB, ∴.EM=BE=2; 11/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..cosa= 1 3,即cos∠ABC= 3 cos∠BET= 3 TE=BE·cos∠BET= 3, BT=VBE2-TE-42 TM=TE+EM=8 BM=VBT+TM 3; 当点C在点B左侧时，过点B作BT⊥b于点T, A M b B 同理可证明 EM=BE=2,TE-2, B7=4V2 3, :.TM =ME-TE=4 3 BM=BT+TM 3 454V6 综上所述，BM的长为3或3： 14. 【答案】(1)①如图，点E即为所求： F D ②15° 12/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)①证明：过点N作NG⊥BF于点G, M D G 图3 :∠NFG=∠AFB,∠NGF=∠BAF=90°， ∴.△NFG一△BFA, NG_NF AB BF ,BN是∠ABF的角平分线，AN⊥AB,NG⊥BF, .AN NG. ANNF ·ABBF ..FN=AN+FD, ∴.AD=2FN, 由折叠的性质得：BF=BC, :四边形ABCD是矩形， .AD=BC, .AD=BF, ∴.BF=2FN, AN NF1 AB ..AB=2AN: ②5 13/12 专题07 解直角三角形实际应用与格点作图（2大考点） 2大考点概览 考点01 解直角三角形实际应用 考点02 格点作图 解直角三角形实际应用 考点01 1．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，某滑雪运动员沿坡度为的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为（     ） A．10米 B．15米 C．米 D．米 2．如图，山区公路管理处在山顶观景台处架设了监测设备，从处测得山下公路上事故点的俯角为．已知设备点到事故点的直线距离为米，观景台正下方的山脚点为，则事故点到山脚点的水平距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，甲、乙两位登山者同时从点出发后，一段时间后，甲步行米到达点，乙步行米到达点，若坡角为，则甲、乙两人的水平距离可以表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．(25-26九下·吉林长春德惠·)如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为米，则气球顶部离地面的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝：图2是其风筝骨架示意图，已知两条侧翼，的长为60，夹角为，平分，则侧翼两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在塔前的平地上选择一点，由点看塔顶的仰角是，在点和塔之间选择一点，由点看塔顶的仰角是．若测量者的眼睛距离地面的高度为，，，，则塔的高度大约为（    ）m．（参考数据：，） A． B． C． D． 二、解答题 7．(2026·吉林省吉林市·二模)图1是一座风力发电机．图2是某团队使用无人机测量该风力发电机塔筒高度（轮毂中心高度）的示意图．已知无人机在距塔筒水平距离的地面点处竖直升至点处悬停，点距离地面的高度为，在点处测得塔筒顶端的仰角为．求这座风电塔筒的高度（结果取整数）．（参考数据：，，） ∴根据题意可知，，，， ∴四边形是矩形， 8．(2026九·吉林省四平市·二模)某小区活动中心想在房前高的墙上安装一个遮阳篷，使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光线与水平地面的夹角为，遮阳篷与水平面的夹角为，如图为侧面示意图，请求出此时遮阳篷端到墙的距离是多长（结果精确到，参考数据：，，；，，）？ 9．(2026·吉林省松原市·二模)学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 10．如图①，某地计划为学校添置新式课桌椅，椅子可供学生午休的躺椅．图②是上课期间椅子摆放样式，已知座面，座面高，背垫为，点G到地面的垂直距离为，．求背垫的长（参考数据：，，，）． 格点作图 考点02 1．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中作一个面积为的等腰，点在格点上． (2)在图②中作一个面积为的直角，点在格点上． (3)在图③中作一个面积为的钝角，点在格点上． 2．(25-26九·吉林延边朝鲜族·模拟)图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1个单位长度，在图中已画出线段，其中点、点均为格点．仅用无刻度直尺按照以下要求作图： (1)在图①中，以为边作直角三角形，使其面积为6，且点在格点上； (2)在图②中，以为对角线作平行四边形，使其面积为6，且点、点在格点上． 3．(2026·吉林省吉林市·二模)图1，图2，图3均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，，，，均在格点上，点在网格中的圆上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中，画出圆的直径． (2)在图2中，画出圆的直径． (3)在图3中，画出圆心． 4．图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1． (1)在图1、图2中，以格点为顶点，线段为一边，分别画一个平行四边形和菱形．（要求两个四边形面积相等但不全等，） (2)在图3中，以点为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形． 5．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，画线段，使，且点在格点上； (2)在图②中，画等腰三角形，点、在格点上，且三边长均为无理数． 6．(2026九·吉林省四平市·二模)如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，以为斜边画一个面积为5的等腰直角三角形，使点在格点上； (2)在图②中，以为边画一个面积为5的钝角三角形，使点在网格线上． 7．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均在格点上，请用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中找一个格点D，使得为等腰三角形（画出一个即可）； (2)在图②中作出的角平分线； (3)在图③中的线段上确定一点M，使得． 8．(2026·吉林省松原市·二模)如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点．三个格点都在圆上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中作图（保留作图痕迹．不写作法）． (1)在图1中作出这个圆的一条直径； (2)在图2中作格点，使得与相切． 9．(25-26九下·吉林长春德惠·)图①，图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点和点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找一格点，连接，使； (2)在图②中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形对角互补； (3)在图③中的外部找一个格点，画四边形，使该四边形被对角线分得的两个三角形均是等腰三角形． 根据网格可知，，， ∴，是等腰三角形， ∴四边形即为所求． 10．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列问题，在给定的网格中作图，作图时要求只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． (1)图①中，点是的中点，在边上确定一点，连接，使． (2)图②中，在边上确定一点，连接，使． (3)图③中，在边上确定一点，连接，使． 11．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画，使点C在格点上，且； (2)如图②中以线段为边画，； (3)如图③中以线段为边画，使，． 12．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)解答下列各题： (1)【探究】如图，在中，将劣弧沿弦所在直线翻折，点为劣弧上任意一点，翻折后点的对应点为，连接并延长交于点，连接、．探究与的数量关系，发现结论：． 理由如下：如图1，连接、 由翻折可得 ， °，（依据：_________） °， _________． ． 补全上面的证明过程． (2)【应用】如图2，在探究的条件下，在中，将劣弧沿弦所在直线翻折，连接并延长交翻折后的弧于点，交于点，连接． ①请用圆规和无刻度的直尺在图2中作出的中点．（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑） ②若，，则_________． (3)如图3，在中，，弦，将劣弧沿弦所在直线翻折，点为翻折后的弧上任意一点，连接并延长交于点，为中点．则的最小值为_________． 13．如图①，直线（直线在直线之间），直线被这组平行线所截，与直线分别交于点（点在点的右上方）．点是直线上不与点重合的动点，连接并延长交直线于点，连接．若直线与直线所成锐角为． (1)求的值； (2)用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出点，使；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑）． (3)当点在点右侧，且时，求线段的长； (4)作点关于直线的对称点，连接，设线段交直线于点．当点落在直线上时，直接写出线段的长． 14．如图，在矩形的边上取一点E，将沿翻折，使点C恰好落在边上的点F处． (1)如图①，若． ①请用无刻度的直尺和圆规作出点E； ②求的大小． (2)如图②，延长，与的角平分线交于点M，交于点N，若． ①求证：； ②直接写出的值． 4/32 5/32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $