专题03 几何图形初步（5大考点）（吉林专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦几何图形初步5大核心考点，融合文化素材（如李白诗句帆船模型）与生活情境（花窗月洞、摆动小球），汇编吉林地区多市二模真题，适配九年级二模复习，注重基础与综合能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|16题|平行线求角、作图判断等|结合古诗情境（第2题）、地域模拟题（第3题延边模拟）| |填空|15题|多边形内角和、圆的计算等|生活应用（第15题小球摆动）、文化元素（第10题正多边形叠合）| |解答|15题|圆的证明与计算、四边形综合等|探究性问题（第23题圆的翻折）、多结论判断（第34题正方形综合）|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题3几何图形初步 考点01 平行线求角 1. 【答案】B 2. 【答案】B 3 【答案】A 4. 【答案】B 5. 【答案】78°178度 考点02 三角形（多边形）内角和 6. 【答案】B 【答案】C 8 【答案】360 9. 【答案】45 10. 【答案】12 考点03 圆有关的计算 11 【答案】B 12. 1/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】B 13 【答案】D 14. 【答案】3n-23,-25+3z 15 【答案】π 16 【答案】9 17 【答案】50 18. 【答案】 BD 19 【答案】①③④ 20. 8 【答案】3π 21. 【答案】130°130度 22. 【答案】16π 23, 【答案】(I)圆内接四边形对角互补，BDE,∠BDE=∠E M (2)① ② 2/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、5行 3)22 【分析】(1)根据翻折的性质以及圆内接四边形对角互补，完成填空： (2)①作线段MN的垂直平分线交MN于点H: ②连接BH,BN,根据勾股定理求得AN,进而求 sin∠BAw= 5,求得 w=25 5,进而求得MN的长； (3)过点O作OT⊥AB于点T,连接OT,OH,TH,根据垂径定理，勾股定理求得T0的长，根据 BH⊥AN得出H在T为圆心，21B为半径的圆上运动，则OH的最小值为-OT,即可求解. 24. 【详解】(1)证明：.CD⊥AB, .∠ACE=90° 又：∠BAE=45°. :∴△ACE是等腰直角三角形， ∴∠AEC=45°，AC=CE, DF⊥I于点F. ∠DFE=90°， △DEF是等腰直角三角形. 在RtADEF中， si∠DEF=sin45°=DF-V2 DE 2 :DE =2DF ..CE+CD=2DF .AC+CD=√2DF (2)解：过圆心O作OH⊥AB于H,连接OA,如图， 3/12 可学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 D H 1 1 根据垂径定理可知，4H=2AB= ×14=7 2 ,⊙0 5W2 的半径为 由勾股定理可得0H=VO4P-AH-5V2)-7=1: 由(1)可知， AC+CD=2DF 当弦垂和AC+CD有最大值时，即DF有最大值， 当点D经过圆心与直线AE垂直时，DF有最大值，如图， D PH C B :直线与AB的夹角为45°， .BAE=45°， DF⊥AE,则∠AFO=90°， △AFP为等腰直角三角形， ∠APF=45° 设F=PF= AP=√2x ,则 '∠OPH=45° :∴△OHP为等腰直角三角形， ..PH=OH=1 OP=2 :AP+PH=7 2x+1=7 ,即 4/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得32 :.0F=√2+3√2=4v2 :.DF=0D+0F=5√2+4V2=9√2 .AC+CD=V2DF=√2x9√2=18 即“弦垂和”AC+CD的最大值为18. 25. 【答案】(1) 证明：因为⊙O是∠BAC的一个内切圆， 不妨设⊙O与AB、AC分别相切于点D、E,如图②， 连接OA、OD、OE, B .所以 OD=OE OD⊥ABOE⊥AC ∴.点O在∠BAC的平分线上： @2Vr 3)16π 【分析】(I)根据切线的性质可得OD⊥AB,OE⊥AC,根据圆的半径相等可得OD=OE,结合角平分 线的判定定理，即可得证： (2)根据题意求得 OD=3 再根据圆的周长公式，即可求解： (3)根据(1)可得点O在∠BAC的平分线上，则ON⊥AO时，ON最小，根据含30度角的直角三角形的 性质，即可求解。 26. 【答案】 [问题解决]如图，点C为OO上任意一点，连接PC,OC, 5/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 当点C与点B不重合时， :在aPOC中，PO+CO>PC, 又CO=BO. .PO+BO>PC,即PB>PC, 当点C与点B重合时，PB=PC, 综上可得，PB≥PC, :点C为⊙0上任意一点， PB的长是点P到⊙O上的点的最长距离. [初步应用](1)2或5： (2)2v17-2 所展延何2+ 2 27. 【详解】证明：：C=BC, ∠A=∠D .AB=CD :AB-CD .∠ACB=∠DBC, 在△ABC与△DCB中， 「∠A=∠D ∠ACB=∠DBC BC=CB 6/12 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△ABC≌ADCB(AAS) 考点04 根据作图痕迹求解、判断 28 【答案】C 29」 【答案】C 30. 【答案】A 31. 【答案】D 32 【答案】B 33 【答案】C 考点05 四边形有关证明、求解 34. 【答案】①②④ 35. 【答案】36 36 【答案】①③④ 37. 【答案】24 38. 【答案】22.5 39」 【答案】①②③ 40. 7/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】证明：：四边形ABCD是矩形， .ADI BC.AD=BC, CF=BE, ∴.CF+BF=BE+BF,即BC=EF, .AD=EF, ADIEF, ∴.四边形AEFD是平行四边形， .AF⊥DE, ∴.四边形AEFD是菱形. 41 【详解】证明：在正方形ABCD中，∠C=90°，BC=CD, ..∠BDC=45° EF⊥BD, ∴.∠BEF=∠DEF=∠C=90° .∠EFD=∠BDC=45°」 ∴DE=EF, .在Rt△BEF和RIABCF中， BE=BC BF=BF ∴.Rt△BEF≌Rt△BCF(HL) :EF=CF, :.DE=CF. 42. 【详解】(I)证明：四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD, .∠D0C=90°， ..DE AC.CE BD ∴.四边形OCED是平行四边形， 8/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠D0C=90°， ∴.四边形OCED是矩形； (2)解：：四边形ABCD是菱形， 1 AC1BD,AB=BC=6,40=C0=24C,B0=D0, :∠ABC=60°， ∴.△ABC为等边三角形， ∴.AC=AB=6, a0c-号4c=3 :0D=0B=VBC2-0C2=3V5 ×3V3=93 ∴矩形OCED的面积为 (3)解：菱形ABCD, 08=0n-8D-x24=2.0c=01=4c=*20=l10,010c 、∠BOF=∠D0F=90°， :四边形CODE为矩形， ..CE=OD ..CE=BO. ..CEll BD, .∠ECF=∠BOF,∠OBF=LCEF, ACEF≌AOBF(SAS) &CF=0F=c0=5 2 在Rt△ODF中根据勾股定理得： DF=V0D2+0F2=V122+52=13 43 【答案】 9/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 证明：AB⊥l,CD⊥1， ∴.AB‖CD AB=CD, ∴.四边形ABDC是平行四边形. .AC‖BD.即AC∥I. 44. 【答案】(I)证明：，菱形ABCD ∴.CD‖AB ∴.∠ACD=CAB :∠ACD=∠ABF ∴.∠MAB=∠MBA ∴△AMB是等腰三角形： (2)3 45. 【答案】 证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,∠B=∠D,AD=BC, 又.∠1=∠2， 片△MBE≌ACDF(ASA) ..BE=DF,AE=CF, .AD-DF=BC-BE,AF=CE, “.四边形AFCE是平行四边形 46, 【答案】(1) 证明：，四边形ABCD是矩形， ..AB CD,OC=OA, :.∠FCO=∠EAO .∠COF=∠AOE. 10/12 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△FCO≌△EAO ASA, ∴.CF=AE, ∴.四边形AECF是平行四边形， ,EF垂直平分线段AC, .FA=FC, “.四边形AECF是菱形： (2)∠CAF=32° 47. 【详解】(1)证明：在四边形ABCD中，AB‖CD,AD‖BC, .四边形ABCD是平行四边形 ..OA=OC,OB=OD 又，∠AOB=∠COD .△ABO≌aCDO(SAS). (2)解：，AB⊥BC,四边形ABCD是平行四边形. ∴.平行四边形ABCD是矩形. ·AC=BD=2:即OA=OB= 4C=1. 2 .AB+OA+OB=1+1+1=3, 即△ABO的周长是3. 48 【详解】证明：：AD/BC, .∠OAD=∠OCB 在△AOD和△COB中， ∠OAD=∠OCB OA=OC ∠AOD=∠COB' △AOD≌ACOB(ASA) .OD=OB 11/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又：OA=OC, .四边形ABCD是平行四边形. .∠ABC=90° ∴.平行四边形ABCD是矩形. 49 【答案】1) 解：四边形ABCD是菱形，理由如下： ,四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC, .∠ADB=∠CBD ,BD平分∠ABC, .∠ABD=∠CBD, ∴∠ADB=∠ABD, .AB=AD, :四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形 ②ABDE的面积为120，sinE=12 13 12/12 专题03 几何图形初步 5大考点概览 考点01平行线求角 考点02三角形（多边形）内角和 考点03圆有关的计算 考点04根据作图痕迹求解、判断 考点05四边形有关证明、求解 平行线求角 考点01 1．如图，在中，，．直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在直线b上取一点F，则，∠1 是 的外角，由外角性质求 ；由 得 ；，在等腰 中由 求 ，即可得 ． 【详解】 解：在直线b上取一点F，则， ，， ， 是 的外角， ， ， ， （两直线平行，同位角相等）， ， ， 2．唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．(25-26九·吉林延边朝鲜族·模拟)如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质求出的度数，邻补角求出的度数，三角形的外角求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 4．如图，是的平分线，，若，则的度数为（    ） A．17.5° B．35° C．55° D．70° 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键． 5．如图，直线，且，，则________． 【答案】/度 【分析】过点作，根据平行线的性质可得，，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三角形（多边形）内角和 考点02 6．(2026·吉林省吉林市·二模)若正多边形的一个外角等于，则这个多边形的边数是（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题利用正多边形外角和性质求解，任意多边形的外角和为，正多边形的所有外角都相等，据此计算可得边数． 【详解】解：∵任意多边形的外角和恒为，正多边形的每个外角都相等， 又∵该正多边形的一个外角等于， ∴这个多边形的边数为． 7．如图，将五边形纸片沿对角线裁剪得三角形和四边形，设三角形与四边形的外角和的度数分别为，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的外角和．根据任意多边形的外角和都是，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：； 故选C． 8．六边形的外角和是______度． 【答案】 360 【详解】解：根据多边形外角和定理可知，任意多边形的外角和都为， ∴六边形的外角和是度． 9．(2026九·吉林省四平市·二模)如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据正多边形内角计算公式求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 10．(25-26九下·吉林长春德惠·)将边长相等的正六边形和正五边形按如图所示的方式叠合在一起，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解答本题的关键． 根据正多边形的内角和定理求得正五边形和正六边形的内角，再作差即可解答． 【详解】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于，正五边形的每个内角都等于， ， 故答案为：． 圆有关的计算 考点03 11．如图，直线与相切于点，半径，点在优弧上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相切和可得，再根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：直线与相切于点， ， ， ， ． 12．(2026九·吉林省四平市·二模)如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用弧长公式求解即可． 【详解】解：的长度． 故选：B． 13．如图，点A、B、C、D在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆心角的性质，熟练掌握同弧所对的圆心角相等是解题的关键，连接，根据题意可得到，再根据，可得到，利用三角形内角和计算即可得到答案． 【详解】解：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 14．在如图所示的扇形中，C为上一点，连接交于点P，，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留根号和）． 【答案】/ 【分析】首先求出，然后解直角三角形求出，然后利用阴影部分的面积求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 15．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，，则的长是_________． 【答案】 【分析】根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴的长为． 16．(25-26九·吉林延边朝鲜族·模拟)如图，是苏州园林中一处花窗月洞的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，点、点、点在圆上，，垂足为点，月洞底部长为，已知此圆的半径为，则花窗月洞的最大高度________． 【答案】9 【分析】连接，则，由垂径定理求出，利用勾股定理求出长，最后利用求解即可． 【详解】解：连接， 是的半径、， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即花窗月洞的最大高度． 17．(2026·吉林省吉林市·二模)如图，，是的半径，，是的弦，，点为上一点，连接，．当时，的度数为________． 【答案】50 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质可得，再结合等腰三角形的性质以及平行线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．如图，是半圆的直径，点C，D将分成相等的三条弧，点P在上．已知点Q在上，且，则点Q所在的弧是______． 【答案】 【分析】根据圆周角定理和弧角关系求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是半圆的直径，P在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C、D将分成相等的三段弧， ∴， ∴， ∵， ∴Q在上． 19．如图，为等边三角形的外接圆，为延长线上一点，连接与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若是的直径，则． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①③④ 【分析】根据等边三角形的性质得到，，由同弧所对的圆周角相等可判断①；根据可得，据此可判断②；根据圆内接四边形对角互补和平角的定义可证明，再由，可证明，据此可判断③；由直径所对的圆周角是直角得到，再由直角三角形的性质可判断④． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴不成立，故②错误； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，故③正确； 当是的直径时，， 又∵， ∴，故④正确； ∴正确的有①③④． 20．如图是一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形花园，这个花园的直径是4，在这个花园内以为圆心，为半径画弧交半圆于点，沿着弧围篱笆再围成一个小型花园，一共需要篱笆_____．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查弧长公式，找准圆心角和半径是解题关键． 先在扇形中，计算，再在半圆中，计算，最后计算总共需要的篱笆长． 【详解】解：由题意得，直径， 半径， 以为圆心，为半径画弧交半圆于点， ， 是等边三角形，， 在扇形中，， 在半圆中，， ， 故答案为：． 21．(2026·吉林省长春市榆树市·二模)如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 ____． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键，根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 22．如图，在矩形中，已知，将矩形绕点旋转，到达的位置，则在转动过程中，边扫过的图形的面积______． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算．先设，再根据勾股定理求出的值，再根据扇形的面积公式求解． 【详解】解：设， 则， ， 扫过的图形为扇环， 面积， 故答案为：． 23．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)解答下列各题： (1)【探究】如图，在中，将劣弧沿弦所在直线翻折，点为劣弧上任意一点，翻折后点的对应点为，连接并延长交于点，连接、．探究与的数量关系，发现结论：． 理由如下：如图1，连接、 由翻折可得 ， °，（依据：_________） °， _________． ． 补全上面的证明过程． (2)【应用】如图2，在探究的条件下，在中，将劣弧沿弦所在直线翻折，连接并延长交翻折后的弧于点，交于点，连接． ①请用圆规和无刻度的直尺在图2中作出的中点．（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑） ②若，，则_________． (3)如图3，在中，，弦，将劣弧沿弦所在直线翻折，点为翻折后的弧上任意一点，连接并延长交于点，为中点．则的最小值为_________． 【答案】(1)圆内接四边形对角互补，，． (2)①，② (3) 【分析】（1）根据翻折的性质以及圆内接四边形对角互补，完成填空； （2）①作线段的垂直平分线交于点； ②连接，根据勾股定理求得，进而求得，求得，进而求得的长； （3）过点作于点，连接，根据垂径定理，勾股定理求得的长，根据得出在为圆心，为半径的圆上运动，则的最小值为，即可求解． 【详解】（1）略 （2）②如图，连接， 由（1）可得 ∵， ∴ ∵为直径 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； （3）如图，过点作于点，连接， ∵，， ∴， 在中， 由（2）可得， ∴在为圆心，为半径的圆上运动， ∴的最小值为 24．【定义】 如图，是半径为的的弦，，点在弦上（点不与，重合），交于，使点和点在的同侧，规定：为点对应的“弦垂和”． (1)为了解决“弦垂和”问题，如图小李同学过作直线使其与的夹角为，延长交直线于点，过点作，垂足为点．求证：． 证明：， 又， 是等腰直角三角形． 请你帮助小李完成上述过程． 【应用】 (2)过圆心作于，的长度________；点运动时，“弦垂和”的最大值为________． 【答案】(1)见解析 (2)1，18 【分析】（1）作辅助线先得到是等腰直角三角形，由此可得，，再结合的正弦值得到，结合边的关系即可得解． （2）根据垂径定理即可求解的长度；根据，确定的最大值即可求解“弦垂和”的最大值，当点经过圆心与直线垂直时，有最大值，结合等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， 又， 是等腰直角三角形． ，， 于点． ， 是等腰直角三角形． 在中，， ， ， ． （2）解：过圆心作于，连接，如图， 根据垂径定理可知，， 的半径为， 由勾股定理可得； 由（1）可知，． 当弦垂和有最大值时，即有最大值， 当点经过圆心与直线垂直时，有最大值，如图， 直线与的夹角为， ， ，则， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 为等腰直角三角形， ，， ，即， 解得， ， ， ． 即“弦垂和”的最大值为18． 25．【定义】对于给定的一个大于且小于的角，我们这样定义它的内切圆：如果一个圆与这个角的两边都相切，那么我们称这个圆是这个角的内切圆．例如：如图①，都与的两边相切，所以都是的内切圆． (1)【探究】已知是的一个内切圆．求证：点在的平分线上．以下是小明的部分证明过程： 证明：因为是的一个内切圆， 不妨设与分别相切于点，如图②， 连接． …… 请你帮助小明完成上述证明过程． (2)【应用】如图③，是的一个内切圆，连接若，则的周长为_____． (3)【拓展】如图④，，点在边上，．若是的一个内切圆，以点为圆心，的长为半径作圆，则面积的最小值为_____． 【答案】(1) 证明：因为是的一个内切圆， 不妨设与分别相切于点，如图②， 连接． 所以，， 点在的平分线上； (2) (3) 【分析】（1）根据切线的性质可得，，根据圆的半径相等可得，结合角平分线的判定定理，即可得证； （2）根据题意求得，再根据圆的周长公式，即可求解； （3）根据（1）可得点在的平分线上，则时，最小，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设与相切于点， 由（1）可得平分 ∴ ∴ ∴的周长为； （3）解：如图，连接 由（1）可得平分 ∴ ∵时，最小， ∴当时， ∴面积的最小值为 26．(2026·吉林省长春市榆树市·二模)[模型建立] 如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸] 如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． 【答案】 [问题解决]如图，点C为上任意一点，连接，， 当点C与点B不重合时， ∵在中，， 又， ∴，即， 当点C与点B重合时，， ∴综上可得，， ∵点C为上任意一点， ∴的长是点P到上的点的最长距离． [初步应用]（1）2或5； （2）； [拓展延伸] 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，三角形中位线的性质等，掌握题意中的模型是解题的关键． [初步应用]（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点P在外，②点P在内，根据线段的和差即可求解； 连接，交于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； [拓展延伸]取点，连接，可得是的中位线，因此当线段取得最大值时，线段也取得最大值．连接，并延长交于点，当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与的半径即可求出的长，进而即可解答． 【详解】解：[问题解决]略； [初步应用] （1）若点P在外，如图①， 则，， ∴， ∴的半径为2； 若点P在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为5； 综上所述，的半径为2或5． 故答案为：2或5 （2）连接，交于点D，由[模型建立]可得的长是点A到上的点的最短距离， ∴的最小值是的长 ∵在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． [拓展延伸] 取点，连接， ∵，， ∴点A是线段的中点， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， 连接，并延长交于点， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵，， ∴， ∵的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为． 故答案为： 27．(25-26九·吉林延边朝鲜族·模拟)已知：如图，点A、B、C、D是上四点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了弦、弧形的关系，圆周角定理与全等三角形的判定与性质． 由，则，根据圆周角定理，可求得，然后由，可判定：． 【详解】证明：∵， ∴ ∵ ∴， ， 在与中， ， ． 根据作图痕迹求解、判断 考点04 28．(25-26九·吉林延边朝鲜族·模拟)如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由作图可证，进而得到，说明的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据尺规作图的痕迹，判断对应的判定定理即可． 【详解】解：由作图可知：，， 在和中 ， ， 29．(2026九·吉林省四平市·二模)如图，点在的边上，需要用尺规作．以下是作图步骤，其正确的顺序是（    ） ①作射线，则就是所求作的角． ②以为圆心，长为半径画弧，交于点． ③以M为圆心，长为半径画弧，交弧于点D． ④以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，． A．①→②→③→④ B．②→④→①→③ C．④→②→③→① D．④→③→②→① 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图--作一个角等于已知角，掌握作图方法是解题的关键． 【详解】解：根据作一个角等于已知角的尺规作图，正确步骤为：④→②→③→①， 故选：C． 30．如图，已知钝角，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，过点D作于点C，过点D作，交于点B．若，，则的长为（   ）． A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了基本作图、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．如图，过点B作于点E．先证明，推出，再证明，再利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：如图，过点B作于点E． 由作图可知：平分， ∴， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ∴，解得：． 故选：A． 31．(2026·吉林省松原市·二模)如图，在中，，．根据图中的尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识．根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可． 【详解】解：A、由作图可知，是的垂直平分线， ，故选项A正确，不符合题意； B、由作图可知，是的垂直平分线， ， ，， ， ， 故选项B正确，不符合题意； C、由作图可知，平分， ， 故选项C正确，不符合题意； D、，， ； 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 32．(2026·吉林省长春市榆树市·二模)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，则∠CDE等于（　　） A．8° B．10° C．15° D．20° 【答案】B 【分析】由题意得MN垂直平分AB，得到AD=BD，∠ADE=90°，证得CD=AD=BD，求出∠ADC=2∠B＝80°，即可得到∠CDE的度数． 【详解】解：由题意得MN垂直平分AB， ∴AD=BD，∠ADE=90°， ∵∠ACB＝90°， ∴CD=AD=BD， ∴∠BCD=∠B＝40°， ∴∠ADC=2∠B＝80°， ∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=10°， 故选：B． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图方法，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，正确理解线段垂直平分线的作图是解题的关键． 33．(25-26九下·吉林长春德惠·)如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用及在数轴上表示实数，关键是先利用勾股定理求出的长度，再根据圆的半径相等得到的长度，最后结合数轴上点的位置关系求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴； ∵于点，， ∴是直角三角形，， 由勾股定理得：； ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 四边形有关证明、求解 考点05 34．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，已知正方形与，连接，过D作的垂线交于点H，以和为邻边作平行四边形，连结、，与交于点M，和交于点N．给出下面四个结论：①平行四边形是正方形；②；③；④，上述结论中，正确结论的序号是_________． 【答案】①②④ 【分析】先证明得出，结合四边形是平行四边形，，即可证明四边形是正方形，即可判断①；证明得出，在中，，等量代换，即可判断②，假设，连接，证明得出，从而得出矛盾，即可判断③，过点作于点，证明，得出，证明得出，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴ ∴ ∴， ∴四边形是正方形，故①正确； ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ 在中， ∴，故②正确； 若，则 又∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 如图，连接， ∵ ∴ ∴， 而，则，故假设不成立， ∴，故③错误； 如图，过点作于点， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴，故④正确， 综上所述，正确的有①②④ 35．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，用五面完全相同的平面镜围成一个正五边形，有一束光线从上的点M处射出，到达上的点N处，经平面镜反射后，反射光线为，根据光的反射原理可得到，若，则___________． 【答案】 【分析】根据正多边形的内角和公式求得，进而根据平行线的性质可得，结合题意，从而求得的度数． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 36．(25-26九下·吉林长春德惠·)如图，菱形的对角线与相交于点，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交于点，与相交于点，若，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角函数的运算、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．利用菱形的性质得到菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边都相等，即可得到，通过三角形全等的判定条件得到，即可求得，再利用三角函数的运算，可得出，根据，可求得，即可求解． 【详解】解：菱形， ， 故①正确； 菱形， ，， ，菱形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故②错误； ，， ， 菱形， ，， ， 在和中， ， ， ，， 设，由②知， ，， ，， ， 由②， ， ， ， 菱形，， ， ，， ， ， ， ， 故③正确； 在和中， ， 由菱形的性质可知， ， ； 故④正确； 综上：①③④正确． 37．如图，矩形纸片中，，，将此矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为______． 【答案】24 【分析】由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可． 【详解】解：由折叠可知， 设， ∵四边形是矩形， ∴， ∴由勾股定理可得， 即，解得， 的面积为：． 38．如图，为正方形的对角线，将绕点C旋转，与的延长线交于点E，连接，则______． 【答案】 【分析】先由正方形性质得到，再由旋转可得，结合等边对等角得到，最后根据求解． 【详解】解：∵为正方形的对角线， ∴， 由旋转可得， ∴， ∴． 39．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为4，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点O转动，给出下列结论： ①； ②正方形的面积是四边形的面积的4倍； ③连接，总有； ④当时，四边形的周长为． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】可证明，得到，则可证明，据此可判断①②；根据勾股定理可得，，则，据此可判断③；由勾股定理可得，，可证明，据此可判断④． 【详解】解：①四边形是正方形， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ， 正方形的面积是四边形的面积的4倍，故②正确； ， ， 在中，由勾股定理得，则， 在中，由勾股定理得， ，故③正确； 当时，，则， ， ， ，即四边形的周长大于，故④不正确． 综上所述，正确的有①②③． 40．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，四边形是矩形，点是延长线上一点，过点作的垂线交于点．若，求证：四边形是菱形． 【答案】证明：四边形是矩形， ，， ， ，即， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【分析】先根据矩形的性质得到，，进而求出，证明四边形是平行四边形，利用证明四边形是菱形． 【详解】略． 41．(25-26九下·吉林长春德惠·)如图，是正方形的对角线上一点，且，过点且与垂直的直线交于点，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质可知，可得出是等腰直角三角形，再利用可得出，即可求证． 【详解】证明：在正方形中，，， ． ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 42．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点C作． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形中的，，矩形的面积是___________； (3)连接，交于点，连接，若，，的长___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)13 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得到，由此即可证明四边形是矩形； （2）先根据菱形的性质得出，，，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，最后求出矩形的面积即可； （3）根据菱形的性质得出，，，证明，得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ， ， ∵，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为； （3）解：∵菱形， ，，， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得： ． 43．如图，、是直线同侧的两点，，，垂足分别是点，，并且．求证：． 【答案】 证明：， ． ， 四边形是平行四边形． ．即． 【分析】先根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行，得到；再结合已知条件，根据平行四边形的判定定理，证明四边形是平行四边形；最后根据平行四边形的对边平行，推出，进而证明． 【详解】略 44．(2026九·吉林省四平市·二模)如图，在菱形中，已知点为边上的一点，与对角线交于点，过点作于点，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，则______． 【答案】(1)证明：菱形， ， 是等腰三角形； (2)3 【分析】（1）根据菱形的性质得到，证明，即可得到结论； （2）根据等腰三角形三线合一证明点是的中点，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：菱形， ， 是等腰三角形，， 点是的中点， ． 45．已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明，得到，，再根据平行四边形的判定即可证明． 【详解】略 46．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质． （1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴． 47．(2026·吉林省松原市·二模)如图，四边形的对角线与相交于点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长是3 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，掌握相关图形的判定方法是解决问题的关键； （1）先判定四边形是平行四边形，由平行四边形对角线互相平分得出, ，再由两边及夹角对应相等的两个三角形全等得出结论； （2）由可得平行四边形是矩形．由此得出，进而得出，由此求出三角形周长. 【详解】（1）证明：在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形． ∴, ． 又∵， ∴． （2）解：∵，四边形是平行四边形． ∴平行四边形是矩形． ∴．即． ∴， 即的周长是3． 48．如图，在四边形中，与交于点，，，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 先通过证明三角形全等得到线段相等，进而得出四边形是平行四边形，再结合一个角是直角的平行四边形是矩形来证明． 【详解】证明：∵ ， ∴ ． 在和中， ， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ 四边形是平行四边形． ∵ ， ∴ 平行四边形是矩形． 49．如图，已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点F，且平分，过点D作，交的延长线于点E． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的面积及的值． 【答案】(1) 解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． (2)的面积为120， 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、三角函数，勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，则，而，所以，则，所以四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，则，所以，则，，再证明四边形是平行四边形，则，因为，即可得出面积，根据勾股定理得出，即可得出的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为120． ∴． 50/50 49/50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 几何图形初步 5大考点概览 考点01平行线求角 考点02三角形（多边形）内角和 考点03圆有关的计算 考点04根据作图痕迹求解、判断 考点05四边形有关证明、求解 平行线求角 考点01 1．如图，在中，，．直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 2．唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．(25-26九·吉林延边朝鲜族·模拟)如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，是的平分线，，若，则的度数为（    ） A．17.5° B．35° C．55° D．70° 5．如图，直线，且，，则________． 三角形（多边形）内角和 考点02 6．(2026·吉林省吉林市·二模)若正多边形的一个外角等于，则这个多边形的边数是（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．如图，将五边形纸片沿对角线裁剪得三角形和四边形，设三角形与四边形的外角和的度数分别为，则正确的是（    ） A． B． C． D． 8．六边形的外角和是______度． 9．(2026九·吉林省四平市·二模)如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，______． 10．(25-26九下·吉林长春德惠·)将边长相等的正六边形和正五边形按如图所示的方式叠合在一起，则的度数为______． 圆有关的计算 考点03 11．如图，直线与相切于点，半径，点在优弧上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．(2026九·吉林省四平市·二模)如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 13．如图，点A、B、C、D在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．在如图所示的扇形中，C为上一点，连接交于点P，，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留根号和）． 15．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，，则的长是_________． 16．(25-26九·吉林延边朝鲜族·模拟)如图，是苏州园林中一处花窗月洞的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，点、点、点在圆上，，垂足为点，月洞底部长为，已知此圆的半径为，则花窗月洞的最大高度________． 17．(2026·吉林省吉林市·二模)如图，，是的半径，，是的弦，，点为上一点，连接，．当时，的度数为________． 18．如图，是半圆的直径，点C，D将分成相等的三条弧，点P在上．已知点Q在上，且，则点Q所在的弧是______． 19．如图，为等边三角形的外接圆，为延长线上一点，连接与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④若是的直径，则． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 20．如图是一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形花园，这个花园的直径是4，在这个花园内以为圆心，为半径画弧交半圆于点，沿着弧围篱笆再围成一个小型花园，一共需要篱笆_____．（结果保留） 21．(2026·吉林省长春市榆树市·二模)如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 ____． 22．如图，在矩形中，已知，将矩形绕点旋转，到达的位置，则在转动过程中，边扫过的图形的面积______． 23．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)解答下列各题： (1)【探究】如图，在中，将劣弧沿弦所在直线翻折，点为劣弧上任意一点，翻折后点的对应点为，连接并延长交于点，连接、．探究与的数量关系，发现结论：． 理由如下：如图1，连接、 由翻折可得 ， °，（依据：_________） °， _________． ． 补全上面的证明过程． (2)【应用】如图2，在探究的条件下，在中，将劣弧沿弦所在直线翻折，连接并延长交翻折后的弧于点，交于点，连接． ①请用圆规和无刻度的直尺在图2中作出的中点．（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑） ②若，，则_________． (3)如图3，在中，，弦，将劣弧沿弦所在直线翻折，点为翻折后的弧上任意一点，连接并延长交于点，为中点．则的最小值为_________． 24．【定义】 如图，是半径为的的弦，，点在弦上（点不与，重合），交于，使点和点在的同侧，规定：为点对应的“弦垂和”． (1)为了解决“弦垂和”问题，如图小李同学过作直线使其与的夹角为，延长交直线于点，过点作，垂足为点．求证：． 证明：， 又， 是等腰直角三角形． 请你帮助小李完成上述过程． 【应用】 (2)过圆心作于，的长度________；点运动时，“弦垂和”的最大值为________． 25．【定义】对于给定的一个大于且小于的角，我们这样定义它的内切圆：如果一个圆与这个角的两边都相切，那么我们称这个圆是这个角的内切圆．例如：如图①，都与的两边相切，所以都是的内切圆． (1)【探究】已知是的一个内切圆．求证：点在的平分线上．以下是小明的部分证明过程： 证明：因为是的一个内切圆， 不妨设与分别相切于点，如图②， 连接． …… 请你帮助小明完成上述证明过程． (2)【应用】如图③，是的一个内切圆，连接若，则的周长为_____． (3)【拓展】如图④，，点在边上，．若是的一个内切圆，以点为圆心，的长为半径作圆，则面积的最小值为_____． 26．(2026·吉林省长春市榆树市·二模)[模型建立] 如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸] 如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． 27．(25-26九·吉林延边朝鲜族·模拟)已知：如图，点A、B、C、D是上四点，且．求证：． 根据作图痕迹求解、判断 考点04 28．(25-26九·吉林延边朝鲜族·模拟)如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由作图可证，进而得到，说明的依据是（     ） A． B． C． D． 29．(2026九·吉林省四平市·二模)如图，点在的边上，需要用尺规作．以下是作图步骤，其正确的顺序是（    ） ①作射线，则就是所求作的角． ②以为圆心，长为半径画弧，交于点． ③以M为圆心，长为半径画弧，交弧于点D． ④以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，． A．①→②→③→④ B．②→④→①→③ C．④→②→③→① D．④→③→②→① 30．如图，已知钝角，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，过点D作于点C，过点D作，交于点B．若，，则的长为（   ）． A． B． C． D．5 31．(2026·吉林省松原市·二模)如图，在中，，．根据图中的尺规作图痕迹，下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 32．(2026·吉林省长春市榆树市·二模)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，则∠CDE等于（　　） A．8° B．10° C．15° D．20° 33．(25-26九下·吉林长春德惠·)如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 四边形有关证明、求解 考点05 34．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，已知正方形与，连接，过D作的垂线交于点H，以和为邻边作平行四边形，连结、，与交于点M，和交于点N．给出下面四个结论：①平行四边形是正方形；②；③；④，上述结论中，正确结论的序号是_________． 35．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，用五面完全相同的平面镜围成一个正五边形，有一束光线从上的点M处射出，到达上的点N处，经平面镜反射后，反射光线为，根据光的反射原理可得到，若，则___________． 36．(25-26九下·吉林长春德惠·)如图，菱形的对角线与相交于点，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交于点，与相交于点，若，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______． 37．如图，矩形纸片中，，，将此矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为______． 38．如图，为正方形的对角线，将绕点C旋转，与的延长线交于点E，连接，则______． 39．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为4，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点O转动，给出下列结论： ①； ②正方形的面积是四边形的面积的4倍； ③连接，总有； ④当时，四边形的周长为． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 40．(25-26九下·吉林长春东北师范大学附属中学·期中)如图，四边形是矩形，点是延长线上一点，过点作的垂线交于点．若，求证：四边形是菱形． 41．(25-26九下·吉林长春德惠·)如图，是正方形的对角线上一点，且，过点且与垂直的直线交于点，连接，求证：． 42．如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点C作． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形中的，，矩形的面积是___________； (3)连接，交于点，连接，若，，的长___________． 43．如图，、是直线同侧的两点，，，垂足分别是点，，并且．求证：． 44．(2026九·吉林省四平市·二模)如图，在菱形中，已知点为边上的一点，与对角线交于点，过点作于点，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，则______． 45．已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 46．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的度数． 47．(2026·吉林省松原市·二模)如图，四边形的对角线与相交于点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 48．如图，在四边形中，与交于点，，，，求证：四边形是矩形． 49．如图，已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点F，且平分，过点D作，交的延长线于点E． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的面积及的值． 50/50 49/50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $