专题04 平面与平面间的位置关系（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年高二数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第三册）

专题04 直线与平面间的位置关系（17大题型+15道拓展培优） 题型一 判断面面平行 题型二 证明面面平行 题型三 面面平行证明线线平行 题型四 面面平行证明线面平行 题型五 空间平行的转化 题型六 判断面面是否垂直 题型七 证明面面垂直 题型八 二面角的概念及辨析 题型九 求二面角 题型十 面面垂直证线面垂直 题型十一 空间垂直的转化 题型十二 由二面角大小求线段长度或距离 题型十三 由二面角大小求异面直线所成角 题型十四 求异面直线的距离 知识点01：平面与平面的平行 定义和特征：两个平面如果互不相交，则称这两个平面为平行平面。在几何体中，这种位置关系表明两个平面之间的距离处处相等且大于0。 判定定理：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行。 性质：平行于同一平面的两个平面也平行。 知识点02：平面与平面的垂直 定义：当两个平面相交，并且其中一个平面内的任一直线与另一个平面垂直时，称这两个平面为垂直平面。 判定定理：一个平面垂直于另一个平面内的两条相交直线，则这个平面与另一平面垂直。 性质：垂直于同一平面的两个平面也互相垂直。 知识点03：二面角 定义：由两个相交平面的交线所夹的角称为二面角。 类型：根据两个平面的相对位置，二面角可以是锐角、直角或钝角。 应用：二面角的概念在解决实际问题如建筑学和工程学中非常重要，用于测量和计算两个平面的相对倾斜度。 知识点04：平面与平面所成的角 定义和计算：两个平面所成的角是通过考虑两个平面的法线向量之间的夹角来定义的。可以利用向量的点积公式来计算这个角度。 特殊情况：当两个平面平行或垂直时，它们所成的角分别为0度和90度。 【经典例题一 判断面面平行】 【例1】（23-24高一上·陕西渭南·期末）下列选项中，能判定平面和平面平行的是（    ） A．内有无数条直线都与平行 B．内的任意一条直线都与平行 C．与垂直于同一平面 D．与平行于同一直线 1．（22-23高一下·北京顺义·期末）若是两个不同的平面，则“存在两条异面直线m，n，满足”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）正方体的棱长为1，点M，N分别是棱BC，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，且平面AMN，则的长度范围为 ． 3．（2022高三·全国·专题练习）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长. 【经典例题二 证明面面平行】 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，下列四对截面彼此平行的一对是（    ） A．平面与平面 B．平面与平面 C．平面与平面 D．平面与平面 1．（2024高一下·全国·专题练习）在下列四个正方体中，、、为所在棱的中点，则能得出平面平面的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，是的中点，是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，M，N分别为AC，的中点．求证：平面平面； 【经典例题三 面面平行证明线线平行】 【例3】（2024·福建南平·二模）在正四面体中，为棱的中点，过点的平面与平面平行，平面平面，平面平面，则，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 1．（2023高一上·全国·专题练习）已知为所在平面外一点，平面平面，且交线段，，于点，若，则（    ） A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：25 2．（24-25高二·上海·随堂练习）已知平面∥平面∥平面，平面在平面、平面之间，和的距离为5，和的距离为3，直线l和、、分别交于点A、B、C，且，则 ． 3．（22-23高二上·上海黄浦·期末）如图，正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC上，并且，平面，求线段PQ的长． 【经典例题四 面面平行证明线面平行】 【例4】（23-24高一下·浙江湖州·阶段练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·贵州毕节·一模）已知平面：在平面内，过点存在唯一一条直线与平行，与不平行，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023北京门头沟·一模）在边长为2的正方体中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则动点M的轨迹所形成区域的面积是 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.求证：平面；    【经典例题五 空间平行的转化】 【例5】（2024·贵州黔东南·二模）平面过直三棱柱的顶点，平面平面，平面平面，且，，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 1．（20-21高一下·全国·课后作业）平面α//平面β，直线l//α，则（　　） A．l//β B．l⊂β C．l//β或l⊂β D．l，β相交 2．（23-24高二上·上海金山·期中）在正四棱柱中，已知是棱的中点，是对角线的中点，设是正四棱柱的面上的动点，且平面，则动点P围成的图形的周长为 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）过平面外一点作已知平面的平行线必在同一平面内． 【经典例题六 判断面面是否垂直】 【例6】（24-25高一下·全国·课后作业）已知矩形所在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有（    ）    A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若平面与平面不垂直，那么平面内能与平面垂直的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 2．（22-23高二上·上海闵行·期末）设、、为三个不同的平面，m、n为两条不同的直线，给出下列条件：①，；②，；③，；④，，.其中能使成立的条件是 .（选填序号） 3．（22-23高一·全国·随堂练习）总结空间线面的垂直关系，怎样判定这些关系？它们之间有什么联系？如何证明性质定理？ 【经典例题七 证明面面垂直】 【例7】（2024·贵州·模拟预测）设m、n为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（    ） A．若m上有两个点到平面的距离相等，则 B．若，，则“”是“”的既不充分也不必要条件 C．若，，，则 D．若m、n是异面直线，，，，，则 1．（2024·广东·一模）已知点分别在平面的两侧，四棱锥与四棱锥的所有侧棱长均为2，则下列结论正确的是（    ） A．四边形可能是的菱形 B．四边形一定是正方形 C．四边形不可能是直角梯形 D．平面不一定与平面垂直 2．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知直三棱柱，底面三角形是等腰直角三角形，其中为直角顶点，且．若点为棱的中点，点为平面的一动点，则的最小值是 ． 3．（23-24高二下·广东深圳·期末）如图，在四棱锥，底面，，，，. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【经典例题八 二面角的概念及辨析】 【例8】（2023·江苏·二模）埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面与底面所成角的余弦值为，则侧面三角形的底角的正切值为（    ）．    A．2 B．3 C． D． 1．（2023高二·全国·竞赛）已知二面角的大小为为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数最多为（    ）． A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．（22-23高三·全国·对口高考）如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是 （写出你认为正确的序号）． ①相等     ②互补     ③相等或互补     ④不确定 3．（22-23高一·全国·随堂练习）想一想，本章5.2节在表示二面角的平面角时，为何要求“，”？为什么的大小与点O在l上的位置无关？ 【经典例题九 求二面角】 【例9】（23-24高二上·上海长宁·期中）在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 1．（2023·浙江·模拟预测）已知矩形，是边上一点，沿翻折，使得平面平面，记二面角的大小为，二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，正方体中，，则二面角的余弦值为 . 3．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在四面体ABCD中，已知，，且．试作出二面角的平面角，并求它的度数． 【经典例题十 面面垂直证线面垂直】 【例10】（24-25高一下·全国·课后作业）平面平面，平面平面，平面平面，则（    ） A． 平面 B．平面 C．与平面斜交 D．平面 1．（23-24高一下·河南新乡·期末）在正三棱柱中，，M是AB的中点，N是棱上的动点，则直线与平面所成角的正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，平面平面，，且，则与平面所成角的大小是 ．    3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四边形中，是边长为2的正三角形，.现将沿边折起，使得平面平面，点是的中点.求证：平面. 【经典例题十一 空间垂直的转化】 【例11】（2024·广东广州·二模）已知是三个不重合的平面，且，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．（2024·河南·三模）在四面体中，平面平面，是直角三角形，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东梅州·期末）如图，在三棱锥中，是直二面角，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    3．（2024高三·全国·专题练习）在四棱锥中，平面平面，，，，．证明：． 【经典例题十二 由二面角大小求线段长度或距离】 【例12】（2024高一下·江苏·专题练习）已知为等边三角形，为等腰直角三角形，为斜边，若二面角为，则直线与平面所成角的正切值为（ ）． A． B． C． D． 1．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知正方形的边长为1，现将沿对角线向上翻折，使得二面角的夹角为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·单元测试）如图60°的二面角的棱上有，两点，直线，分别在二面角两个半平面内，且垂直于，，，则 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）在中，，，高为CD，将沿CD折成一个二面角，问二面角的余弦值多大时，才能使的度数为60°？ 【经典例题十三 由二面角大小求异面直线所成角】 【例13】（22-23高三上·吉林长春·阶段练习）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·浙江台州·阶段练习）将正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角，则异面直线AB和CD所成的角是 A．30° B．45° C．60° D．90° 2．（2023高三·全国·专题练习）矩形的边，过作直线的垂线，垂足分别为，且分别为的三等分点.沿着将矩形翻折，使得二面角成直角，则长度为 . 3．（23-24高三上·重庆·阶段练习）如图1，在平行四边形中，，，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，经过直线且与直线平行的平面为，平面平面，平面平面. (1)证明：. (2)若二面角的大小为，求的长. 【经典例题十四 求异面直线的距离】 【例14】（24-25高二·上海·随堂练习）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ）． A． B． C． D． 1．（22-23高一下·山东青岛·期末）如图，正方体的棱长为1，设直线与分别交于点，且，则线段的长为（    ）      A． B． C． D． 2．（24-25高二·上海·课堂例题）已知正方体的棱长为a，异面直线与之间的距离为 ． 3．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，设正方体的棱长为1，求下列异面直线之间的距离： (1)与； (2)与． 1．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）正三棱锥底面边长为，侧棱与底面所成角为，过底面一边作一截面使其与底面成的二面角，则此截面面积为（） A． B． C． D．以上都不对 2．（2023·江西景德镇·三模）已知正方体的棱长为2，P为正方形ABCD内的一动点（包含边界），E、F分别是棱、棱的中点．若平面BEF，则AP的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·上海·期中）在单位正方体中，点P在线段上，点Q线段上．①二面角的大小为定值；②长度的最小值为．对于以上两个命题，下列判断正确的是（    ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 4．（2024·上海金山·二模）如图，点为正方形的中心，△为正三角形，平面⊥平面，是线段的中点，则以下命题中正确的是（    ）． A． B． C．A、、三点共线 D．直线与相交 5．（23-24高二上·上海·期末）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，顶点在底面内的射影在正方形的内部（不在边上），且，为常数，设侧面与底面所成的二面角依次为,则下列各式为常数的是（    ） ①   ②   ③   ④    A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 6．（24-25高二·上海·课堂例题）中，，面ABC，，，则面PBC与面ABC所成二面角的大小是 ． 7．（25-26高二上·上海·期中）菱形ABCD的对角线，沿BD把平面ABD折起与平面BCD成的二面角后，点A到平面BCD的距离为 ． 8．（24-25高二·上海·课堂例题）如果四边形ABCD是矩形，SD⊥平面ABCD，D是垂足，那么图中互相垂直的平面的组数是 ． 9．（24-25高二·上海·课堂例题）下列命题：①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线平面，直线，则；④是异面直线，则存在唯一的平面，使它与都平行且与距离相等，其中所有正确的命题序号为 ． 10．（2023高三·河北·专题练习）在正四棱柱中，、分别是为棱、的中点，是的中点，点在四边形上及其内部运动，则满足条件 时，有平面（或）． 11．（23-24高二·上海·课堂例题）已知平面、、，且及均垂直于，记与的交线为l．求证：l垂直于． 12．（23-24高二·上海·课堂例题）证明：如果两个平面垂直，那么过第一个平面上一点且垂直于第二个平面的直线，必在第一个平面上． 13．（23-24高二·上海·课堂例题）在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是，求这个点到二面角的棱的距离． 14．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在四面体中，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上，如果，能否判定以及平面平面. 15．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，，．求： (1)二面角的大小； (2)二面角的大小（结果用反三角函数值表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 直线与平面间的位置关系（17大题型+15道拓展培优） 题型一 判断面面平行 题型二 证明面面平行 题型三 面面平行证明线线平行 题型四 面面平行证明线面平行 题型五 空间平行的转化 题型六 判断面面是否垂直 题型七 证明面面垂直 题型八 二面角的概念及辨析 题型九 求二面角 题型十 面面垂直证线面垂直 题型十一 空间垂直的转化 题型十二 由二面角大小求线段长度或距离 题型十三 由二面角大小求异面直线所成角 题型十四 求异面直线的距离 知识点01：平面与平面的平行 定义和特征：两个平面如果互不相交，则称这两个平面为平行平面。在几何体中，这种位置关系表明两个平面之间的距离处处相等且大于0。 判定定理：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行。 性质：平行于同一平面的两个平面也平行。 知识点02：平面与平面的垂直 定义：当两个平面相交，并且其中一个平面内的任一直线与另一个平面垂直时，称这两个平面为垂直平面。 判定定理：一个平面垂直于另一个平面内的两条相交直线，则这个平面与另一平面垂直。 性质：垂直于同一平面的两个平面也互相垂直。 知识点03：二面角 定义：由两个相交平面的交线所夹的角称为二面角。 类型：根据两个平面的相对位置，二面角可以是锐角、直角或钝角。 应用：二面角的概念在解决实际问题如建筑学和工程学中非常重要，用于测量和计算两个平面的相对倾斜度。 知识点04：平面与平面所成的角 定义和计算：两个平面所成的角是通过考虑两个平面的法线向量之间的夹角来定义的。可以利用向量的点积公式来计算这个角度。 特殊情况：当两个平面平行或垂直时，它们所成的角分别为0度和90度。 【经典例题一 判断面面平行】 【例1】（23-24高一上·陕西渭南·期末）下列选项中，能判定平面和平面平行的是（    ） A．内有无数条直线都与平行 B．内的任意一条直线都与平行 C．与垂直于同一平面 D．与平行于同一直线 【答案】B 【分析】利用面面平行的判定直接判断即可． 【详解】对于A中，当内有无数条直线都与平行，平面与平面可能平行，也可能时相交的，所以A不正确； 对于B中，若平面内的任何一条直线都与平行，则平面内必存在两条相交直线和平面平行，根据面面平行的判定定理，可得，所以B正确； 对于C中，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可以相交，所以C不正确； 对于D中，平行于同一条直线的两个平面可能不平行，还可以相交. 故选：B. 1．（22-23高一下·北京顺义·期末）若是两个不同的平面，则“存在两条异面直线m，n，满足”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分，必要条件的定义，结合几何关系，数形结合，即可判断. 【详解】必要性：如图，，平面与平面交于，平面交平面交于，，，平面是相交平面，所以与，与是相交直线， 所以与是异面直线， 且，，所以，同理，      所以满足必要性， 充分性， 若异面直线平移至点，成为相交直线，当直线都与平面平行时，    则所确定的平面都与平行， 此时，所以“存在两条异面直线m，n，满足”是“”的充分条件， 由以上可知，“存在两条异面直线m，n，满足”是“”的充分必要条件. 故选：C 2．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）正方体的棱长为1，点M，N分别是棱BC，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，且平面AMN，则的长度范围为 ． 【答案】 【分析】连接，分别取的中点，连接，，可证得平面∥平面，从而可得点轨迹为，进而可求出的长度范围 【详解】连接，分别取的中点，连接，，则∥， 因为∥， 所以∥， 因为点M，N分别是棱BC，的中点， 所以∥，∥，， 所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为， 所以平面∥平面， 因为∥， 所以平面平面， 因为动点P在正方形（包括边界）内运动，且平面AMN， 所以点轨迹为， 所以的最大值为，最小值为点到的距离为， 所以的长度范围为， 故答案为： 3．（2022高三·全国·专题练习）如图，棱长为2的正方体中，，是棱，的中点，在图中画出过底面中的心且与平面平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长. 【答案】作图见解析，周长为 【分析】利用面面平行的判定定理作出截面，求得各边长度则可得周长. 【详解】 如图，分别取，为棱，的中点，连结、、、、， 则，同理，，，，. 显然四边形是平行四边形，所以，， 则，E，F，B，D四点共面. 显然、不平行，所以四边形为梯形. 又，则 又，所以，四边形是平行四边形. 则， 因为，平面，所以，平面. 同理，平面. 因为，平面，平面，， 所以，平面平面. 所以，平面即为所求截面. 由题意知，，，,同理，， 所以截面四边形的周长为. 【经典例题二 证明面面平行】 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，下列四对截面彼此平行的一对是（    ） A．平面与平面 B．平面与平面 C．平面与平面 D．平面与平面 【答案】A 【分析】根据面面平行的判定定理进行判断即可. 【详解】如图， 对于A：，平面，平面， 平面，又，同理可证平面， 又，，平面， 平面平面，因此A正确; 对于B： 平面，且与相交，又平面，平面， 故平面与平面不可能平行，因此B不正确; 对于C：平面与平面有公共点，故平面与平面不可能平行，因此C不正确; 对于D：平面，且与相交，又平面，平面， 故平面与平面不可能平行，因此D不正确; 故选：A. 1．（2024高一下·全国·专题练习）在下列四个正方体中，、、为所在棱的中点，则能得出平面平面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用反证法可判断A选项；利用面面平行的判定定理可判断B选项；利用反证法结合面面平行的性质可判断C选项；利用面面平行的判定和性质定理、结合反证法可判断D选项. 【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如下图所示，连接， 因为、分别为、的中点，则， 在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，， 平面，平面， 平面，同理可证平面， ，面，因此平面平面，B满足条件； 对于C选项，如下图所示： 在正方体中，若平面平面， 又平面平面，则平面平面， 但这与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如下图所示： 因为且，则四边形为平行四边形，则， 平面，平面，所以平面，同理可证平面， ，面，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面， 这与平面与平面相交矛盾，故平面与平面不平行，D不满足条件. 故选：B. 2．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，是的中点，是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为 ． 【答案】 【分析】通过作图得到截面，再利用直四棱柱的结构特征，求出截面各条边长的长度，最后求得截面面积. 【详解】取的中点记， 在上取一点，使得，连接， 作图得： 是直线的中点， ∴，又平面，平面,∴平面， 又， 则，又平面，平面,∴平面， 又且平面， ∴平面平面， 又三点都在直四棱柱表面， 平面就是所得截面， ，由勾股定理得：，， 为等腰三角形， 过点作底边的高，记为，由勾股定理得， . 故答案为： 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，M，N分别为AC，的中点．求证：平面平面； 【答案】证明见解析 【分析】由线面平行和面面平行的判定定理证明即可. 【详解】因为M，N分别为侧面为矩形的边，的中点， 所以，即四边形是平行四边形， 所以， 因为， 所以，即四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为M，N分别为侧面为矩形的边，的中点， 所以，即四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，且，平面，平面， 所以平面平面； 【经典例题三 面面平行证明线线平行】 【例3】（2024·福建南平·二模）在正四面体中，为棱的中点，过点的平面与平面平行，平面平面，平面平面，则，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由面面平行的性质定理可得，，所以，所成角即为，在中，由余弦定理求解即可. 【详解】因为平面平面，平面，平面面， 所以， 因为平面平面，平面，平面面， 所以， 所以，所成角即为所成角， 而所成角为，设正四面体的棱长为， 所以，所以， 所以.    故选：B. 1．（2023高一上·全国·专题练习）已知为所在平面外一点，平面平面，且交线段，，于点，若，则（    ） A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：25 【答案】D 【分析】根据面面平行的性质定理可得，，且，，进而根据等角定理可得，，，即可得出答案. 【详解】由已知可得，平面平面，平面，平面平面， 根据面面平行的性质定理可得，，且. 同理可得，，. 根据等角定理可得，，，， 所以，. 所以，. 故选：D. 2．（24-25高二·上海·随堂练习）已知平面∥平面∥平面，平面在平面、平面之间，和的距离为5，和的距离为3，直线l和、、分别交于点A、B、C，且，则 ． 【答案】 【分析】如图，过点作于，交于，则可得∥，然后利用平行线分线段成比例定理可求得结果. 【详解】如图，过点作于，交于， 因为平面∥平面∥平面，平面在平面、平面之间， 所以， 则由题意可得， 分别连接，因为，所以与可确定平面， 因为平面∥平面，平面平面，平面平面， 所以∥， 所以， 所以，解得. 故答案为： 3．（22-23高二上·上海黄浦·期末）如图，正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC上，并且，平面，求线段PQ的长． 【答案】 【分析】过作，交于，根据线面平行即面面平行的判定定理可得平面平面，进而，然后利用余弦定理结合条件即得． 【详解】如图，过作，交于，连结， 因为，， 所以，又平面，平面， 所以平面，又平面， 又，平面， 所以平面平面，又平面平面，平面平面， ， 由，可得， ， ，， ， ， 所以， 所以线段的长为． 【经典例题四 面面平行证明线面平行】 【例4】（23-24高一下·浙江湖州·阶段练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面平行的条件构造面面平行从而得到点的轨迹，在根据平面几何知识求出的范围. 【详解】如图，取的中点，的中点，连接，显然，且， 所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面,所以平面，因为，平面， 平面,所以平面，又因为，所以平面平面， 因为平面，所以平面，点在侧面上，所以点位于线段上， 因为， ，所以当点位于点时，最大， 当点位于的中点时，最小， 此时， 所以，所以线段长度的取值范围是. 故选：B 1．（2024·贵州毕节·一模）已知平面：在平面内，过点存在唯一一条直线与平行，与不平行，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用线面、面面平行的判定性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由平面，得平面是不同平面， 命题“若，则”：假设平行，则过点有无数条直线与平行，与矛盾，因此“若，则”是真命题； 命题“若，则”：不平行，则相交，令交线为，由，得， 平面内过点有唯一一条直线与直线平行，该直线不在内，而在内，则该直线与平行， 因此在平面内，过点存在唯一一条直线与平行，“若，则”是真命题， 所以是的充要条件. 故选：C 2．（2023北京门头沟·一模）在边长为2的正方体中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则动点M的轨迹所形成区域的面积是 ． 【答案】 【分析】连接，，，证明平面平面，则动点M的轨迹所形成区域为，即可得解. 【详解】如图，边长为2的正方体中， 动点M满足平面， 由面面平行的性质得：当始终在一个与平面平行的面内，即满足题意， 连接，，， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，同理， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以平面， 又因平面， 所以平面平面， 又平面，所以动点M的轨迹所形成区域为， ， ， 所以动点M的轨迹所形成区域的面积是. 故答案为：. 3．（2025高三·全国·专题练习）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.求证：平面；    【答案】证明见解析 【分析】由面面平行的判定定理可证得平面平面，再由线面平行的判定定理即可证得. 【详解】连接、，由分别为的中点，则， 又平面，平面，故平面， 正四棱台中，且， 则四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面， 又，且平面，平面， 故平面平面，又平面，故平面；    【经典例题五 空间平行的转化】 【例5】（2024·贵州黔东南·二模）平面过直三棱柱的顶点，平面平面，平面平面，且，，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直三棱柱向上补一个直三棱柱，证得平面平面，得到平面即为平面，得出交线即为直线，结合为等边三角形，即可求解. 【详解】如图所示，将直三棱柱向上补一个全等的直三棱柱， 则，， 因为平面，平面，且平面，平面， 所以平面，且平面， 又因为，且平面， 所以平面平面，且平面，故平面即为平面， 所以交线即为直线， 因为，则与所成角为， 设，则，，可得， 所以为等边三角形，所以，所以 即与所成角的正弦值为. 故选：A.    1．（20-21高一下·全国·课后作业）平面α//平面β，直线l//α，则（　　） A．l//β B．l⊂β C．l//β或l⊂β D．l，β相交 【答案】C 【分析】根据面面平行的性质结合选项可得答案. 【详解】因为平面α//平面β，直线l//α， 所以直线l可能和平面β平行，也可能在平面β内． 故选：C. 2．（23-24高二上·上海金山·期中）在正四棱柱中，已知是棱的中点，是对角线的中点，设是正四棱柱的面上的动点，且平面，则动点P围成的图形的周长为 ． 【答案】 【分析】 利用面面平行的性质确定动点P的运动轨迹即可. 【详解】是对角线的中点,故是正四棱柱的中心， 所以点均在平面上， 平面，即平面， ， 取的中点分别为, 且是棱的中点 ,, 且平面，平面， 平面，平面, 且平面，, 所以平面平面， 所以当平面时，平面， 此时平面，即平面. 且是正四棱柱的面上的动点， 故围成的图形即四边形, 四边形的周长为: . 故答案为： 3．（2024高三·全国·专题练习）过平面外一点作已知平面的平行线必在同一平面内． 【答案】证明见解析 【分析】 根据面面平行的性质，结合反证法即可求解. 【详解】 已知：已知平面，且， , 求证：若，则在同一平面, 证明：由于为相交直线，确定一个平面， 又，，且，, 故平面平面． 过点再作平面，假设，则必与平面相交，矛盾，因此不成立，即, 因此在同一平面, 【经典例题六 判断面面是否垂直】 【例6】（24-25高一下·全国·课后作业）已知矩形所在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有（    ）    A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】C 【分析】根据面面垂直的判定定理判断． 【详解】因为，，， 且，平面，所以平面， 因为，所以平面， 由题易知平面，且，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，平面平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面平面，共5对. 故选：C. 1．（24-25高一下·全国·课后作业）若平面与平面不垂直，那么平面内能与平面垂直的直线有（    ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】A 【分析】根据条件，利用面面垂直的判定定理，即可求出结果. 【详解】假设平面内存在直线满足，又，所以，与题设矛盾， 所以平面内不存在直线满足， 故选：A. 2．（22-23高二上·上海闵行·期末）设、、为三个不同的平面，m、n为两条不同的直线，给出下列条件：①，；②，；③，；④，，.其中能使成立的条件是 .（选填序号） 【答案】①③ 【分析】利用面面垂直的判定定理判断①；利用特例法判断②④；利用线面平行的性质结合面面垂直的判定定理判断③. 【详解】对于①，若，，根据面面垂直的判定定理可知，正确； 对于②，若，，则可能平行、相交但不垂直，垂直，错误； 对于③，若，则内存在一条直线，因为所以，所以，正确； 对于④，若，，，可能平行、相交但不垂直，垂直，错误； 综上可得，中能使成立的条件是①③ 故答案为：①③. 3．（22-23高一·全国·随堂练习）总结空间线面的垂直关系，怎样判定这些关系？它们之间有什么联系？如何证明性质定理？ 【答案】见解析 【分析】由线线，线面，面面垂直的判定定理和性质定理即可得出答案. 【详解】线线垂直的判定： ①若两直线成，则这两条直线互相垂直； ②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直； ③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线； 线面垂直的判定： ①若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面； 面面垂直的判定： ①两个平面相交，如果所成的二面角为直角，那么这两个平面互相垂直； ②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直； ③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个； 它们之间的联系：线线垂直能推导线面垂直，线面垂直能推导面面垂直，反之也可； 性质定理的证明：所有性质定理的证明都可以从定义出发证明. 【经典例题七 证明面面垂直】 【例7】（2024·贵州·模拟预测）设m、n为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（    ） A．若m上有两个点到平面的距离相等，则 B．若，，则“”是“”的既不充分也不必要条件 C．若，，，则 D．若m、n是异面直线，，，，，则 【答案】D 【分析】对于A，m与可以相交，直线m上关于交点对称的两点到平面的距离相等；对于B，C，根据面面垂直的判定及性质进行判断；对于D，根据面面平行的判定定理进行判断. 【详解】对于A，当直线m与相交时，直线m上关于交点对称的两点到平面的距离相等，故A错误； 对于B，若，，，则，又，所以；当时，，当时，，可以相交，所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误； 对于C，若，，，m与n位置关系不固定，可以是各自平面内的任意直线，故C错误； 对于D，若m、n是异面直线，，，，，则在直线任取一点，过直线与点确定平面，，又，则，，，所以，又，，所以，故D正确. 故选：D. 1．（2024·广东·一模）已知点分别在平面的两侧，四棱锥与四棱锥的所有侧棱长均为2，则下列结论正确的是（    ） A．四边形可能是的菱形 B．四边形一定是正方形 C．四边形不可能是直角梯形 D．平面不一定与平面垂直 【答案】C 【分析】根据题设得到面，且四边形有外接圆，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】因为四棱锥与四棱锥的所有侧棱长均为2，可得点在底面上的投影都是四边形的外心， 所以两射影重合，即有面，且四边形有外接圆， 对于选项A，当四边形是的菱形时，此时四边形没有有外接圆，所以选项A错误， 对于选项B，当四边形是矩形时，显然满足题意，所以选项B错误， 对于选项C，因为直角梯形没有外接圆，一定不合题意，所以选项C正确， 对于选项D，因为面，又面，所以平面，所以选项D错误，    故选：C. 2．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知直三棱柱，底面三角形是等腰直角三角形，其中为直角顶点，且．若点为棱的中点，点为平面的一动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由，得到平面平面，从而达到点关于平面BCD对称点E落在的延长线上，然后由最小时，三点共线求解. 【详解】解：如图所示： 由题意得，又因为三棱柱是直三棱柱， 所以平面平面，且平面平面， 平面ABC，所以平面， 又平面BCD，所以平面平面， 所以点关于平面BCD对称点E落在的延长线上， 且，即， 若最小，则三点共线， 所以， ， 故答案为： 3．（23-24高二下·广东深圳·期末）如图，在四棱锥，底面，，，，. (1)证明：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证，结合，根据线面垂直的判断定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理可得平面平面. （2）先做出直线与平面所成的角，再解三角形可得线面角的正弦值. 【详解】（1）在中，，，，则，，所以 在中，， 故，所以为直角三角形，故， 又因为底面，底面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又平面，故平面平面. （2）如图：作于， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，故为与平面所成的角， 中，，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【经典例题八 二面角的概念及辨析】 【例8】（2023·江苏·二模）埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面与底面所成角的余弦值为，则侧面三角形的底角的正切值为（    ）．    A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由侧面与底面所成角的余弦值可得，即可得到结果. 【详解】   如图所示，设正四棱锥的底面边长，则，点为底面的中心，取中点为，连接，则，则侧面与底面所成角的平面角即为，因为侧面与底面所成角的余弦值为，即，则，在中，. 故选：D 1．（2023高二·全国·竞赛）已知二面角的大小为为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数最多为（    ）． A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】过点作平面垂直于平面、的交线，并且交直线于点，连接，则，过点在平面内作的平分线，根据题意可得出有1条直线满足题意；以点为轴在平面内前后转动，根据题意可得出有两条直线满足题意，综合可得结果. 【详解】首先给出下面两个结论： ①两条平行线与同一个平面所成的角相等； ②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面内或平行于角平分面. （1）如图1，过二面角内任一点作棱的垂面，交棱于点，      与两半平面交于、， 因为平面，、平面，所以，，， 则为二面角的平面角，则， 设为的平分线，则， 与平面、所成的角都是，则过点的直线与直线平行，此时直线只有1条， （2）如图2，设为的补角的平分线，        则，与平面、所成的角都是， 当以为轴心，在二面角的平分面上转动时， 与两平面夹角变小 ，对称地在图2中的两侧会出现的情形，有两条， 此时，过点且与平行的直线符合要求，有两条. 综上所述，符合条件的直线有条. 故选：B. 2．（22-23高三·全国·对口高考）如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是 （写出你认为正确的序号）． ①相等     ②互补     ③相等或互补     ④不确定 【答案】④ 【分析】举例验证两个二面角的位置关系，进而得到两个二面角的大小关系. 【详解】如图，为直二面角，为另一个二面角， 平面平面，平面平面，直线平面， 把平面固定不动，使平面绕直线m转动， 则的角度不能确定， 则这两个二面角的大小关系是不确定. 故答案为：④ 3．（22-23高一·全国·随堂练习）想一想，本章5.2节在表示二面角的平面角时，为何要求“，”？为什么的大小与点O在l上的位置无关？ 【答案】见解析 【分析】根据给定二面角则二面角的平面角的大小是确定的，角的大小具有的唯一性解释即可. 【详解】如图，    要求，，是为了保证用平面角度量二面角的唯一性， 由几何知识我们知道，在各种几何位置关系中，垂直具有“唯一性”， 可以作为分界点，实际上，如果在二面角的棱上任找一点，从这一点 出发分别在两个半平面内任作一条射线， 虽然它们可构成一个平面角， 但这样的角的大小会由于所作的射线的位置的不同而改变，因而不具有“唯一性”， 但如果所作射线与棱垂直，因为在一个平面内经过棱上一点只能作棱的一条垂线， 这样过棱上一点所作的角是唯一确定的. 的大小与点O在l上的位置无关： 因为在一个平面内和同一条直线垂直的两条直线平行，根据等角定理知在棱上选 取的点O的位置不同，但是由于得到的平面角的两边分别平行，且方向相同， 故所得平面角的大小都相等（例如图中）. 【经典例题九 求二面角】 【例9】（23-24高二上·上海长宁·期中）在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取是中点，连接，，确定是二面角的平面角，计算得到答案. 【详解】如图所示：是中点，连接，，设正方体边长为，   ，则；，则， 平面，平面， 故是二面角的平面角，故. 故选：C 1．（2023·浙江·模拟预测）已知矩形，是边上一点，沿翻折，使得平面平面，记二面角的大小为，二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点在平面内作，垂足为点，过点作分别交直线、于点、，连接、，设，，则为锐角，利用二面角的定义可得出，，计算得出，，利用正切函数的单调性结合两角和的正切公式可判断各选项的正误. 【详解】过点在平面内作，垂足为点， 过点作分别交直线、于点、，连接、， 设，，则为锐角， 因为平面平面，平面平面，，平面，所以，平面， 平面，，因为，则， ，平面，平面，， 故二面角的平面角为，且，同理， 在中，， 又因为，则， ，，， ，则， 所以，，， ，， 无法比较和的大小关系，故无法比较、的大小关系，即、的大小无法确定， 因为，，则， 因为， 所以，. 故选：D. 2．（23-24高二上·上海浦东新·期中）如图，正方体中，，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【分析】首先取BD的中点O，连接A1O，C1O，A1C1，根据题意得到为二面角的平面角，再利用余弦定理计算其余弦值即可. 【详解】取BD的中点O，连接A1O，C1O，A1C1，如图所示： 因为长方体中， 所以，即 ， 所以，，且. 所以为二面角的平面角， 故答案为：. 3．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在四面体ABCD中，已知，，且．试作出二面角的平面角，并求它的度数． 【答案】 【分析】依据题意作出二面角的平面角，再利用等边三角形的性质求解角度即可. 【详解】如图，取中点，连结，， 因为在四面体中， , 所以， 所以是二面角的平面角， 因为在四面体中，， ，，是中点， 所以， 所以是等边三角形，所以, 所以二面角的大小为. 【经典例题十 面面垂直证线面垂直】 【例10】（24-25高一下·全国·课后作业）平面平面，平面平面，平面平面，则（    ） A．平面 B．平面 C．与平面斜交 D．平面 【答案】D 【分析】在平面内任取不在直线上的一点，在平面内，过作于，过作于，根据条件，利用面面垂直的性质，得到，，再利用线面垂直的判定定理，即可求出结果. 【详解】如图，设，在平面内任取不在直线上的一点， 在平面内，过作于，过作于， 因为平面平面，，，，所以面， 又面，所以，同理可得，又，面， 所以平面， 故选：D. 1．（23-24高一下·河南新乡·期末）在正三棱柱中，，M是AB的中点，N是棱上的动点，则直线与平面所成角的正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先画出图象，作，然后由面面的垂直的性质可得平面，进而可知为直线与平面所成的角，当取得最大值时，取得最大值，取得最小值，从而可得直线与平面所成角的正切值的最大值. 【详解】如图，作，垂足为G，连接.    在正三棱柱中，平面平面， 因为平面平面，平面，， 所以平面. 故为直线与平面所成的角. 当取得最大值时，取得最大值，取得最小值. 不妨设，则，的最小值为a， 于是. 故选：D. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在空间四边形中，平面平面，，且，则与平面所成角的大小是 ．    【答案】 【分析】过点作于点，利用面面垂直的性质得到平面，从而得到为与平面所成的角，再利用几何关系，即可求出结果. 【详解】过点作于点，   平面平面，平面平面，平面， 平面，则为与平面所成的角， ，，， 故答案为： 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四边形中，是边长为2的正三角形，.现将沿边折起，使得平面平面，点是的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】先由面面垂直的性质定理得平面，则，再结合等边三角形的性质以及线面垂直的判定定理可得证. 【详解】因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为为中点，为正三角形，所以， 又因为平面，，所以平面. 【经典例题十一 空间垂直的转化】 【例11】（2024·广东广州·二模）已知是三个不重合的平面，且，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间中线面位置关系的性质定理和判定定理可判断各选项的正误． 【详解】若，则或与相交，故A错误； 若，则或与相交，故B错误； 若，则，故C正确； 若，则与相交，不一定是垂直，故D错误． 故选：C． 1．（2024·河南·三模）在四面体中，平面平面，是直角三角形，，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，连接，分别证得和，证得平面，得到，得出为二面角的平面角，在中，即可求解. 【详解】设的中点分别为，连接，则， 因为，所以， 又因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，而平面，则， 因为是直角三角形，，所以， 所以，且， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，则，所以为二面角的平面角， 且. 故选：A. 2．（23-24高二上·广东梅州·期末）如图，在三棱锥中，是直二面角，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【答案】/0.5 【分析】由题意结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质，可得各边的位置关系及数量关系，借助中位线分别作出异面直线与的平行线，可将求异面直线夹角转化为求相交直线夹角. 【详解】由是直二面角，故平面平面， 由，故、， 又平面平面，平面， 故平面，又平面，故， 由，，则， 又，故， 则， 取、、、中点、、、， 连接、、、、， 可得、，，， 故异面直线与所成角与直线与所成角相等， 亦可得，，， 故，则， 故，即为等边三角形， 故，即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 3．（2024高三·全国·专题练习）在四棱锥中，平面平面，，，，．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】由余弦定理求出，利用勾股定理有，再由面面垂直的性质定理可得答案. 【详解】因为，，所以，， 由余弦定理可得 ， 所以，则， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面PAD． 因为平面PAD，所以． 【经典例题十二 由二面角大小求线段长度或距离】 【例12】（2024高一下·江苏·专题练习）已知为等边三角形，为等腰直角三角形，为斜边，若二面角为，则直线与平面所成角的正切值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答. 【详解】取的中点，连接，    因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有， 又是等边三角形，则， 从而为二面角的平面角，即， 显然平面，于是平面， 又平面，因此平面平面， 因为平面平面，直线平面， 则直线在平面内的射影在直线上， 从而为直线与平面所成的角， 不妨设，则， 在中，由余弦定理得： ， 由正弦定理得，即， 显然是锐角，， 所以， 所以直线与平面所成角的正切值为. 故选：C. 1．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知正方形的边长为1，现将沿对角线向上翻折，使得二面角的夹角为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点，连接，取的中点，连接，可得为二面角的平面角，线段长即为点到平面的距离，求解即可. 【详解】取线段的中点，连接，明显有，又 所以面， 则为二面角的平面角，即， 则， 取的中点，连接， 则， 又面，面， 所以，又， 所以面，则线段长即为点到平面的距离， 所以. 故选：B. 2．（23-24高一下·全国·单元测试）如图60°的二面角的棱上有，两点，直线，分别在二面角两个半平面内，且垂直于，，，则 ． 【答案】10 【分析】过点作，且，连接，，先证明为等边三角形，从而得到，再证明，进而利用勾股定理即可求解． 【详解】如图，过点作，且，连接，， 则，又， 所以为等边三角形，所以， 则四边形为矩形，即， 由，则，又，且， 所以平面，所以平面， 又平面，所以， 则由勾股定理得． 故答案为：10． 3．（2024高三·全国·专题练习）在中，，，高为CD，将沿CD折成一个二面角，问二面角的余弦值多大时，才能使的度数为60°？ 【答案】 【分析】先由已知得就是二面角的平面角，过D作AB的垂线DE，通过证明面可得就是二面角的平面角，设，利用解三角形的知识可得答案. 【详解】∵，， ∴就是二面角的平面角， 过D作AB的垂线DE， ∵平面ABD，且面ABD ∴，又，面，， 所以面， 因此就是二面角的平面角，应使．    设，则，，． 在中，得，在中，得， ∴． 在中，由余弦定理，得， 即当二面角的余弦值为时，二面角为60°． 【经典例题十三 由二面角大小求异面直线所成角】 【例13】（22-23高三上·吉林长春·阶段练习）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 取中点，根据二面角平面角定义可知，得到为等边三角形；根据三角形中位线性质和异面直线所成角定义可知或其补角即为所求角，结合长度关系，利用余弦定理可求得，进而得到结果. 【详解】连接，，取中点，连接， 四边形为矩形，，， 即为二面角的平面角，， 又，，，为等边三角形，； 分别为中点，，， 或其补角即为异面直线与所成角， ，， ， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 1．（23-24高三上·浙江台州·阶段练习）将正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角，则异面直线AB和CD所成的角是 A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【详解】 如图，取中点，连接，则有，则就是异面直线和所成角．设正方形边长为1，因为二面角为直二面角且，所以是等腰直角三角形，从而可得．而，所以，则是等边三角形，从而可得，故选C 2．（2023高三·全国·专题练习）矩形的边，过作直线的垂线，垂足分别为，且分别为的三等分点.沿着将矩形翻折，使得二面角成直角，则长度为 . 【答案】/ 【分析】根据，可以求出，再根据勾股定理即可求出的长度. 【详解】解：因为矩形的边，过作直线的垂线，垂足分别为，且分别为的三等分点. 故设， 所以，，即，解得， 所以，， 所以， 因为二面角成直角， 所以，异面直线所成角为， 所以，. 故答案为：. 3．（23-24高三上·重庆·阶段练习）如图1，在平行四边形中，，，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，经过直线且与直线平行的平面为，平面平面，平面平面. (1)证明：. (2)若二面角的大小为，求的长. 【答案】(1)证明详见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质定理、平行直线等知识来证得. （2）作出二面角的平面角，求得，解直角三角形求得. 【详解】（1）由于，平面，平面平面，所以， 由于，平面，平面平面，所以， 所以. （2）折叠前，四边形是平行四边形，，所以， 折叠后， 过作，则四边形是矩形，所以， 所以是二面角的平面角，所以， 由于，所以三角形是等边三角形，所以， 由于平面，所以平面， 而，所以平面， 由于平面，所以，， 所以. 【经典例题十四 求异面直线的距离】 【例14】（24-25高二·上海·随堂练习）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于A，利用与直线平行的直线和平面相交，可得直线AB与平面MNQ不平行；对于B，利用面面平行可得直线AB与平面MNQ平行；对于C，利用和平行的直线平行平面，可得平面；对于D，利用和平行的直线平行平面，可得平面. 【详解】对于A，如图取底面中心，连接， 由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 因为与平面相交，所以与平面相交，即直线AB与平面MNQ不平行； 对于B，如图连接， 因为，分别为，的中点，所以， M，N分别为所在棱的中点，所以， 因为，平面， ，平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面； 对于C，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面； 对于D，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面. 故选：A. 1．（22-23高一下·山东青岛·期末）如图，正方体的棱长为1，设直线与分别交于点，且，则线段的长为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把异面直线的距离转化为直线到平面的距离，进而转化为点到平面的距离，然后利用等体积法即可求出答案. 【详解】因为直线与分别交于点，且， 则线段的长即为异面直线的距离， 连接，，由条件可知， 又因为平面，平面， 所以平面， 所以异面直线的距离，即为直线到平面的距离， 由平面可知， 直线到平面的距离等于到平面的距离， 设到平面的距离为， 由题意可知平面，所以到平面的距离为的长， 由得，， 由正方体的棱长为1， 可知，， 所以，， 所以，所以， 所以线段的长为. 故选：B.    2．（24-25高二·上海·课堂例题）已知正方体的棱长为a，异面直线与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】分别取，中点，，由等腰三角形三线合一性质可得，利用勾股定理证明，由异面直线间距离的定义可知所求距离为公垂线段的长度，即可得出答案． 【详解】解：分别取，中点，，连接，，，，，如图所示：   ， ， ， ， 满足， ， 由两条异面直线之间距离的定义可得直线与之间的距离即为公垂线段的长度， 又， 则， 故答案为：． 3．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，设正方体的棱长为1，求下列异面直线之间的距离： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）依据题意找到公垂线，求解公垂线长度即可. 【详解】（1）由正方体性质得，， 又，，所以是与的公垂线， 由题意得，所以与的距离为. （2）由正方体性质得，， 又，， 所以是与的公垂线， 由题意得，所以与的距离为. 1．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）正三棱锥底面边长为，侧棱与底面所成角为，过底面一边作一截面使其与底面成的二面角，则此截面面积为（） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】在正三棱锥中，取的中点，连接，设点在底面内的射影为点，在直线上取一点，使得二面角的大小为，利用线面角的定义可得出，利用二面角的定义可得出，求出的长，利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】解：在正三棱锥中，取的中点，连接， 设点在底面内的射影为点， 在直线上取一点，使得二面角的大小为， 因为平面，所以，与底面所成的角为， 因为平面，平面， 所以，， 因为为的中点，且为等边三角形，则且， 因为，平面 所以，平面， 因为平面， 所以，， 所以，二面角的平面角为，故， 所以， 因此，. 故选：C. 2．（2023·江西景德镇·三模）已知正方体的棱长为2，P为正方形ABCD内的一动点（包含边界），E、F分别是棱、棱的中点．若平面BEF，则AP的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作辅助线，证明平面平面，说明线段AM即为动点P的轨迹，由此求得AM的长，即可求得答案. 【详解】连接，则， 又平面，平面，故平面，      设为BC的中点，连接， 由于F分别是棱的中点，故， 则四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面， 又平面， 故平面平面， 由于平面BEF，故平面， 又因为P为正方形ABCD内的一动点，且平面平面， 故AM即为动点P的轨迹， 而，故AP的取值范围是， 故选：A 3．（23-24高三上·上海·期中）在单位正方体中，点P在线段上，点Q线段上．①二面角的大小为定值；②长度的最小值为．对于以上两个命题，下列判断正确的是（    ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 【答案】A 【分析】由题意根据平面具有延展性可知二面角的大小实质为面与平面所成的二面角判断①；将平面沿直线翻折到平面内，过点做，，此时，的值最小，判断②. 【详解】 对于①，平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，故二面角为定值，①正确; 对于②，将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下， 过点做，，此时，的值最小. 由题可知， 则， 故，又故的最小值为，故②正确. 故选：A. 4．（2024·上海金山·二模）如图，点为正方形的中心，△为正三角形，平面⊥平面，是线段的中点，则以下命题中正确的是（    ）． A． B． C．A、、三点共线 D．直线与相交 【答案】D 【分析】分别求得的长度判断选项A；利用反证法否定选项B和选项C；求得直线与的位置关系判断选项D. 【详解】取中点F，连接,取中点H，连接. 又△为正三角形，则，， 又平面⊥平面，平面平面， 则平面，平面， 又平面，平面， 则，， 设，则, 则， 则.故选项A判断错误； 假设， 又，，平面， 则平面，又平面，则， 这与矛盾，故假设不成立，不互相垂直. 故选项B判断错误； 由平面，可得直线平面， 假设A、、三点共线，则，则平面， 这与平面矛盾，故假设不成立. 故选项C判断错误； 由，可得，， 则四边形为梯形，则直线与相交. 故选项D判断正确. 故选：D 5．（23-24高二上·上海·期末）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，顶点在底面内的射影在正方形的内部（不在边上），且，为常数，设侧面与底面所成的二面角依次为,则下列各式为常数的是（    ） ①   ②   ③   ④    A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】作出图形找到二面角的平面角，证明即可. 【详解】    过点作，又顶点在底面内的射影，平面， 则，平面，所以平面， 所以，则分别为在底面上的射影， 则即为侧面与底面所成的二面角，即为侧面与底面所成的二面角， ， 故， 则，即为定值， 同理可得为定值. 故选：B． 6．（24-25高二·上海·课堂例题）中，，面ABC，，，则面PBC与面ABC所成二面角的大小是 ． 【答案】/ 【分析】证明是平面和平面所成二面角的平面角，再利用特殊角三角函数即可得到答案. 【详解】，，如图所示： 平面平面， ， 为直角三角形，平面， 所以平面，又平面，， 又且平面，平面平面， 是平面和平面所成二面角的平面角， 在Rt中，， 是三角形内角，所以. 故答案为：.    7．（25-26高二上·上海·期中）菱形ABCD的对角线，沿BD把平面ABD折起与平面BCD成的二面角后，点A到平面BCD的距离为 ． 【答案】/0.75 【分析】做辅助线，可得，即，可证平面，进而可得点到面的距离. 【详解】为了区别，设折起后的点A为， 设，连接，可知为的中点，， 则，可知，即， 过点作，垂足为， 则，，平面， 可知平面，由平面，可知， 且，，平面， 可得平面， 所以点到平面BCD的距离为即为. 故答案为：. 8．（24-25高二·上海·课堂例题）如果四边形ABCD是矩形，SD⊥平面ABCD，D是垂足，那么图中互相垂直的平面的组数是 ． 【答案】6 【分析】根据题意结合面面垂直的判定定理分析判断. 【详解】因为SD⊥平面，平面，平面，平面， 所以平面平面，平面平面，平面平面， 因为SD⊥平面，平面，所以， 因为四边形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 同理可证得平面平面， 因为SD⊥平面，平面，所以， 四边形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 所以图中互相垂直的平面的组数是6. 故答案为：6 9．（24-25高二·上海·课堂例题）下列命题：①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线平面，直线，则；④是异面直线，则存在唯一的平面，使它与都平行且与距离相等，其中所有正确的命题序号为 ． 【答案】②④ 【分析】举出反例即可判断①③；利用面面平行的性质定理与线面平行的判定定理即可判断②；设是异面直线的公垂线段，为的中点，过作，由此即可判断④. 【详解】对于①，当直线在平面内时，直线上有两点到平面的距离相等，故①错误； 对于②，如图，平面且分别为的中点， 过点作交平面于，连接， 设是的中点，则， 又，所以， 因为，所以， 又平面， 所以平面平面， 又，所以平面平面， 又平面，所以， 即夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面，故②正确； 对于③，若直线平面，直线，则或，故③错误； 对于④，如图，设是异面直线的公垂线段，为的中点， 过作， 则确定的平面即为与都平行且与距离相等的平面，并且它是唯一确定的， 故④正确. 故答案为：②④. 10．（2023高三·河北·专题练习）在正四棱柱中，、分别是为棱、的中点，是的中点，点在四边形上及其内部运动，则满足条件 时，有平面（或）． 【答案】点M在线段FH上 【分析】取中点Q，先证明平面平面，再由面面平行的性质定理求解． 【详解】解：如图所示： 取中点Q，连接QN，QF，连接FH， 由已知得QN，FH与、都平行且相等，因此FH与QN平行且相等， 从而是平行四边形，则， 又分别是中点，则，平面，平面， ∴平面，同理平面， 而，平面， ∴平面平面， 因此只要，就有平面． 故答案为：点M在线段FH上 11．（23-24高二·上海·课堂例题）已知平面、、，且及均垂直于，记与的交线为l．求证：l垂直于． 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质结合线面平行的判定求解即可. 【详解】如图，设，在内作，在内作， 由题意得，结合面面垂直性质得， 所以，又，，所以，又， ，所以，而，所以. 12．（23-24高二·上海·课堂例题）证明：如果两个平面垂直，那么过第一个平面上一点且垂直于第二个平面的直线，必在第一个平面上． 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的性质求解即可. 【详解】如图，我们将垂直的两个平面记为，两条直线分别记为，点记为，    由题意得，，且设，过点作，故， 由面面垂直的性质得，因为过一点有且只有一条直线与垂直， 所以直线与直线重合，故. 13．（23-24高二·上海·课堂例题）在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是，求这个点到二面角的棱的距离． 【答案】 【分析】作出二面角的平面角后利用直角三角形的性质结合给定条件求解即可. 【详解】如图，我们把两个平面记为，假定一个定点在内，    且记，由题意得，且， 因为，所以，且作， 所以这个点到二面角的棱的距离为的长度， 因为，面， 所以面，故， 故是二面角的平面角，即， 在直角中，. 14．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在四面体中，从顶点作平面的垂线，垂足恰好落在的中线上，如果，能否判定以及平面平面. 【答案】能，理由见解析 【分析】利用线面垂直的性质得到，再结合面面垂直的判定定理求解即可. 【详解】因为是的中线，所以是的中点， 因为，所以，因为面， 面，所以，因为， 面，所以面， 因为面，所以， 故，而面，所以平面平面. 15．（24-25高二·上海·课堂例题）如图，在长方体中，，．求： (1)二面角的大小； (2)二面角的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平面得为二面角的平面角可得答案； （2）取的中点得为二面角的平面角，求出正切值可得答案. 【详解】（1）长方体中，平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为是正方形，所以， 所以二面角的大小为； （2）取的中点，连接， 因为是正方形，所以， ，， 所以，可得， 所以为二面角的平面角， 因为， 所以， 可得. 学科网（北京）股份有限公司 $$