10.4.2 二面角“四基”测试题-2021-2022学年高二上学期数学沪教版(2020)必修第三册

《第 10 章 空间直线与平面》【10.4.2 二面角】 一、选择题（每小题6分，共12分） 1、如果一个二面角的两个半平面分别垂直另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是(　　) A大小不确定 B．相等 C．互补 D．相等或互补 【答案】A； 【解析】如图，α－l－β为直二面角，γ－a－δ为另一个二面角， 使γ⊥α，δ⊥β，a⊥β.把γ平面固定不动，使平面δ绕直线a转动时， 满足条件，但γ－a－δ的度数不能确定．故选A. 【考点】二面角的定义；与空间想象能力和画特殊图形进行了交汇； 2、已知直线m，n与平面α，β，γ，下列可能使α⊥β成立的条件是（ ） A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝m，m⊥n，n β C．m∥α，m∥β D．m∥α，m⊥β 【答案】D； 【解析】选择适合条件的几何图形观察可得，A中α∥β或α与β相交，B中α，β相交，但不一定垂直，C中α∥β或α与β相交； 【考点】平面与平面垂直的判定定理；与线、面平行性质定理进行了交汇； 二、填充题（每小题10分，共60分） 3、已知AB是平面α的垂线，AC是平面α的斜线，CD α，CD⊥AC，则平面ABC与平面ACD的位置关系是________． 【答案】垂直； 【解析】∵AB⊥α，CD α，∴AB⊥CD， 又∵CD⊥AC，AB∩AC＝A，∴CD⊥平面ABC；而CD 平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD； 【考点】平面与平面垂直的判定定理；与线、面垂直判定定理进行了交汇； 4、如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中， 二面角D′－AB－D的大小为________． 【答案】45°； 【考点】二面角的定义； 5、如图所示，点P在三角形ABC外，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°， 二面角B－PA－C的大小等于________． 【答案】90°； 【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC是二面角B－PA－C的平面角， 又∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的平面角是90°； 【考点】二面角的定义； 6、如图所示，平面角为锐角的二面角α­EF­β，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°， 若AG与β所成角为30°，则二面角α­EF­β的大小为 【答案】45°； 【解析】作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB. 则GB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角． 又∠GAH是AG与β所成的角， 设AG＝a，则，GB＝a， a，GH＝ sin∠GBH＝. ＝ 所以∠GBH＝45°，即二面角α­EF­β的大小为45°； 【考点】二面角的定义；与利用三垂线定理整合找二面角的平面角的方法； 7、如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4cm， AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB， 并且AC＝3cm，BD＝12cm，则线段CD的长为 cm。 【提示】利用已知三角形中的长度关系求解注意△ACB，△BCD都是Rt△； 【答案】13 ； 【解析】连接BC；因为BD⊥AB，直线AB是两个互相垂直的平面α和β的交线， 所以BD⊥α，BD⊥BC．所以△CBD是直角三角形， 在Rt△BAC中，BC＝＝13，所以CD的长为13cm；＝5，在Rt△CBD中，CD＝ 【考点】面面垂直的性质定理；同时本题综合运用了面面垂直的性质以及直角三角形中的勾股定理；要求CD的长，关键要构造三角形，将CD转化到三角形中去求解；另外，本题也可以通过连接AD求解。 8、如图所示，检查工作的相邻两个面是否垂直时， 只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的 另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了， 其原理是 【答案】面面垂直的判定定理； 【解析】如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β且OB∩OC＝O， 根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA⊂α， 根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β； 【考点】面面垂直的判定定理；同时与线面垂直的判定定理进行了交汇； 三、解答题（第9题12分，第10题16分） 9、如图所示，点P在直角梯形ABCD外，PA⊥平面ABCD， AB⊥AD，CD⊥AD； 求证：平面PDC⊥平面PAD； 【证明】∵PA⊥平面ABCD，CD(平面ABCD，∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD. 又∵CD 平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD； 【考点】面面垂直的判定定理；同时与线面垂直的判定定理进行了交汇； 10、如图所示，点P在四边形ABCD外，底面四边形ABCD是边长为1的菱形， ∠BCD＝60°，E是CD的中点，P