专题3 第17练 导数的几何意义-2027届高三数学一轮复习微题型练习

**基本信息** 聚焦导数几何意义的系统性应用，通过分层题型构建“概念-方法-综合”逻辑链条，强化切线斜率、方程构建及参数问题的解题思维，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-3|切线方程求法（点斜式）|导数定义→切线斜率→方程构建| |综合应用|单选4-6+多选7-8|导数几何意义综合应用（平行/垂直/最值）|导数性质→多条件关联→参数范围| |创新拓展|填空9-10|对称曲线距离转化|函数变换→对称关系→距离最小化|

专题3　一元函数的导数及其应用 第17练　导数的几何意义 (分值：52分) 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.设函数f(x)=ln(x2+1)+sin x+1，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 2.函数y=f(x)的图象如图所示，f'(x)是函数f(x)的导函数，则下列大小关系正确的是(　　) A.2f'(3)<f(5)-f(3)<2f'(5) B.2f'(3)<2f'(5)<f(5)-f(3) C.f(5)-f(3)<2f'(3)<2f'(5) D.2f'(5)<2f'(3)<f(5)-f(3) 3.已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=x3-x，则曲线y=f(x)在点(1，0)处的切线方程是(　　) A.2x-y-2=0 B.4x-y-4=0 C.2x+y-2=0 D.4x+y-4=0 4.若点P是曲线y=ln x-x2上任意一点，则点P到直线l：x+y-4=0距离的最小值为(　　) A. B. C.2 D.4 5.若函数f(x)=+ln(x+1)的图象上不存在互相垂直的切线，则a的取值范围是(　　) A.(-∞，1] B.(-∞，0) C.[1，+∞) D.(-∞，0] 6.已知函数f(x)=的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f(x)在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.(1，+∞) D.(-∞，-1)∪ 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两个不同点处的切线相互平行，则下列等式一定不成立的是(　　) A.x1+x2=2 B.x1+x2= C.x1x2=2 D.x1x2= 8.已知函数f(x)=x3-mx，若过点P(-1，1)恰能作曲线y=f(x)的3条切线，则m的值可以为(　　) A. B. C. D. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.若直线y=kx+1为曲线y=ln x的一条切线，则实数k=　　　　　　. 10.设点P在曲线y=e2x+2+1上，点Q在曲线y=1+ln上，则|PQ|的最小值为　　　　. 第17练　导数的几何意义 (分值：52分) 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.设函数f(x)=ln(x2+1)+sin x+1，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　f'(x)=+cos x，则f'(0)=1，即切线方程为y=x+1. 令x=0，则y=1，令y=0，则x=-1，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 2.函数y=f(x)的图象如图所示，f'(x)是函数f(x)的导函数，则下列大小关系正确的是(　　) A.2f'(3)<f(5)-f(3)<2f'(5) B.2f'(3)<2f'(5)<f(5)-f(3) C.f(5)-f(3)<2f'(3)<2f'(5) D.2f'(5)<2f'(3)<f(5)-f(3) 答案　A 解析　由图可知，f'(3)<<f'(5)， 即2f'(3)<f(5)-f(3)<2f'(5). 3.已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=x3-x，则曲线y=f(x)在点(1，0)处的切线方程是(　　) A.2x-y-2=0 B.4x-y-4=0 C.2x+y-2=0 D.4x+y-4=0 答案　C 解析　当x<0时，f(x)=x3-x， 则f'(x)=3x2-1，所以f'(-1)=2， 由f(x)为偶函数，得f'(1)=-f'(-1)=-2， 则曲线y=f(x)在点(1，0)处的切线方程是 y=-2(x-1)，即2x+y-2=0. 4.若点P是曲线y=ln x-x2上任意一点，则点P到直线l：x+y-4=0距离的最小值为(　　) A. B. C.2 D.4 答案　C 解析　过点P作曲线y=ln x-x2的切线， 当切线与直线l：x+y-4=0平行时， 点P到直线l：x+y-4=0的距离最小. 设切点为P(x0，y0)(x0>0)， 又y'=-2x， 所以切线斜率k=-2x0， 由题意知-2x0=-1， 解得x0=1或x0=-(舍)， 所以P(1，-1)， 此时点P到直线l：x+y-4=0的距离d==2. 5.若函数f(x)=+ln(x+1)的图象上不存在互相垂直的切线，则a的取值范围是(　　) A.(-∞，1] B.(-∞，0) C.[1，+∞) D.(-∞，0] 答案　A 解析　因为函数f(x)=+ln(x+1)(x>-1)， 所以f'(x)=x+-a=x+1+-a-1 ≥2-a-1=1-a， 当且仅当x+1=即x=0时，等号成立， 因为函数f(x)的图象上不存在互相垂直的切线， 所以f'(x)min≥0，即1-a≥0，解得a≤1. 6.已知函数f(x)=的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f(x)在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.(1，+∞) D.(-∞，-1)∪ 答案　B 解析　当x<0时，f(x)=x2+x+2a的导数为f'(x)=2x+1； 当x>0时，f(x)=-的导数为f'(x)= 设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1<x2， 当x1<x2<0或0<x1<x2时，f'(x1)≠f'(x2)，故x1<0<x2， 函数f(x)在点A(x1，f(x1))处的切线方程为y-(+x1+2a)=(2x1+1)(x-x1)， 函数f(x)在点B(x2，f(x2))处的切线方程为y+=(x-x2). 两直线重合的充要条件是=2x1+1， ① -=-+2a， ② 由①及x1<0<x2，得0<<1， 由①②，令t=则0<t<1， 且2a=(t4-2t2-8t+1)，记y=(t4-2t2-8t+1)， 则其导数为y'=t3-t-2=t(t+1)(t-1)-2，易知y'<0在(0，1)上恒成立， 则函数y=(t4-2t2-8t+1)在(0，1)上单调递减， 所以-2<2a<-1<a<. 所以实数a的取值范围是. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两个不同点处的切线相互平行，则下列等式一定不成立的是(　　) A.x1+x2=2 B.x1+x2= C.x1x2=2 D.x1x2= 答案　ACD 解析　因为f(x)=x2+2ln x，x>0， 所以f'(x)=2x+x>0. 因为f(x)在A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两个不同点处的切线相互平行， 所以f'(x1)=f'(x2)，即2x1+=2x2+ 整理得(x1-x2)=0， 又x1≠x2，所以x1x2=1，故C，D不成立； 因为x1>0，x2>0，且x1≠x2， 所以x1+x2>2=2，故A不成立； 当x1=x2=3时，x1+x2=故B可能成立. 8.已知函数f(x)=x3-mx，若过点P(-1，1)恰能作曲线y=f(x)的3条切线，则m的值可以为(　　) A. B. C. D. 答案　BC 解析　设切点为(x0，y0)，则f'(x)=3x2-m， 所以切线的斜率为k=3-m， 则切线的方程为y-y0=(3-m)(x-x0)， 因为点P(-1，1)在切线上，且y0=-mx0， 所以1-+mx0=(3-m)(-1-x0)， 即m=2+3+1， 令g(x)=2x3+3x2+1，则g'(x)=6x2+6x， 令g'(x)=0，得x=0或x=-1， 当x<-1或x>0时，g'(x)>0； 当-1<x<0时，g'(x)<0， 所以当x=-1时，g(x)取得极大值g(-1)=2， 当x=0时，g(x)取得极小值g(0)=1， 因为过点P(-1，1)恰能作曲线y=f(x)的3条切线，所以直线y=m与y=g(x)的图象有3个交点， 如图所示， 所以m的取值范围是1<m<2，故选B，C. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.若直线y=kx+1为曲线y=ln x的一条切线，则实数k=　　　　　　. 答案　 解析　设直线y=kx+1在曲线y=ln x上的切点为P(x0，y0)， 因为y=ln x，所以y'= 所以切线斜率k=y'= 所以曲线y=ln x在点P(x0，y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0)， 又y0=ln x0， 所以切线方程为y=·x-1+ln x0， 又切线方程为y=kx+1， 所以解得 10.设点P在曲线y=e2x+2+1上，点Q在曲线y=1+ln上，则|PQ|的最小值为　　　　. 答案　 解析　将函数y=e2x+2+1与y=1+ln的图象分别向右、再向下各平移1个单位长度，得到函数y=e2x与y=ln 的图象. 易知y=e2x与y=ln 的图象关于直线y=x对称，则这两条曲线的最短距离即为所求|PQ|的最小值. 对y=e2x求导得y'=2e2x，设函数y=e2x图象上的点M的坐标为(x0，y0)，则过点M且与直线y=x平行的切线的斜率为2 令2=1，得x0=-ln 2，则y0== 则点M到直线y=x的最短距离d== 则点M到曲线y=ln 的最短距离为2d= 即|PQ|的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $