专题 25.1 一元二次方程的概念 讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题25.1 一元二次方程的概念 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 列一元二次方程 题型2 一元二次方程的辨析 题型3 一元二次方程的一般式 题型4 一元二次方程根的检验 题型5 特殊根的一元二次方程 题型6 整体思想的应用 1.准确识别一元二次方程，熟练整理成标准一般形式； 2.分清二次项、一次项、常数项，准确写出各项系数； 3.理解一元二次方程根的定义，会检验数值是否为方程的根； 4.通过实际问题列方程，类比一元一次方程归纳一元二次方程特征，提升建模、类比归纳能力。 知识点讲解 一元二次方程概念：只含有一个未知数，未知数最高次数是 2，且等号两边都是整式的方程叫一元二次方程。 一般形式：ax²+bx+c=0 (a、b、c为已知数，且a≠0) 二次项：ax²叫作二次项，a是二次项系数； 一次项：bx叫作一次项，b是一次项系数； 常数项：c叫作常数项. 方程的根：能使方程左右两边相等的未知数的值，也叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解又叫作方程的根。 【易错辨析】 1. 满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2； 2．一元二次方程辨析时，要先将方程化简为一般式，化简后二次项消失、含分式、含多个未知数的方程都不是一元二次方程。 题型归纳 题型1 列一元二次方程 【例1】一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为______． 【答案】 【详解】解：设每次降价的百分率都是，由题意可列方程为． 【例2】我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则可列方程为__________． 【答案】 【分析】根据长与宽的和以及长比宽多步，表示出长和宽，再结合矩形面积公式即可列出方程． 【详解】解∶ 设长比宽多步，由题意得，长+宽，长宽， 所以长，宽． ∵矩形面积为平方步， ∴可得方程． 【例3】以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日正式开园迎客．园内售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为元．当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该产品每件售价每上涨元，每天销售量就会减少件．若每天销售该文创产品的总利润为元，设每件文创产品上涨了元，根据题意，可列方程为___________． 【答案】 【分析】根据总利润等于每件利润乘以销售量的等量关系，分别表示出涨价后的每件利润和销售量，即可列出方程. 【详解】解：设每件文创产品上涨了元，列方程得： . 【例4】某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 【答案】 【分析】设有名选手参加比赛，每名选手与其他名选手各赛一场，每场比赛涉及两名选手，总比赛场数需除以避免重复计算，结合总场数为即可列出方程． 【详解】解：∵设有名选手参加比赛，初赛共进行了55场 ∴． 【变式练习】 1．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，则两次降价平均每次的降价率是_______． 【答案】 【分析】设平均每次降价的百分率为，根据原价经过两次降价后零售价为9元，找出等量关系列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的解，即可得到结果． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得：或 由于降价率大于且小于， 则两次降价平均每次的降价率是． 2．“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图，在一幅长、宽的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是，设边框的宽度为，则列出的方程为_________． 【答案】 【分析】根据题意，设边框的宽度为，则长为，宽为，列出方程为：，由此得到答案． 【详解】解：根据题意，设边框的宽度为， 则整个挂图的长为，宽为， 列出方程为：． 3．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，若建成的饲养室面积为．求垂直于墙的一边长为多少？设垂直于墙的一边长为，可列方程为______． 【答案】或 【分析】设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为，根据矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， ∵建成的饲养室面积为， ∴或． 4．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨5元，其销售量就减少50个，为了实现平均每月10000元的销售利润这种台灯的售价应定为多少元？若设台灯的售价为x元，则可列得方程为______． 【答案】 【分析】设这种台灯的售价定为x元，那么就少卖出个，根据利润售价进价，可列方程． 【详解】解：设这种台灯的售价定为x元， 则每个利润为元，每月销售量减少个， 则每月销量为个， 由题意得． 5．某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向组内其他成员每人赠送一件，全组共相互赠送标本件．设全组有x名同学，则可列方程为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、确定等量关系是解答本题的关键． 设全组有x名同学，则每个同学需赠送出件标本，x名同学需赠送出件标本，根据全组共相互赠送标本件列方程即可． 【详解】解：由题意，全组有x名同学，则每个同学需赠送出件标本， ∴． 故答案为：． 6．学校运动会期间，选拔了若干支球队进行篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，设一共有支球队，那么可列出方程__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，掌握相关量之间的等量关系是解题的关键． 每两支球队之间比赛一场，总比赛场数为从x支球队中选取2支的组合数，即，根据题意总场数为，即可列出方程． 【详解】解：设有x支球队，每两队之间比赛一场，则总比赛场数为， 根据题意，总场数为场，所以方程为． 故答案为：． 题型2 一元二次方程的辨析 【例1】下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2． 【详解】选项A，整理后为，是一元一次方程，不符合要求； 选项B，，是整式方程，只含一个未知数x，未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义； 选项C，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求； 选项D，含有两个未知数x和y，是二元一次方程，不符合要求． 【例2】方程中，，，是一元二次方程有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，逐个判断每个方程是否符合即可． 【详解】解：1．对于方程 ∵整理为一般式为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程 ∴是一元二次方程． 2．对于方程 ∵整理为一般式为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程 ∴是一元二次方程． 3．对于方程 ∵展开整理得，化简为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程 ∴是一元二次方程． 4．对于方程 ∵展开整理得，移项合并同类项得，未知数最高次数为1 ∴不是一元二次方程． 综上，是一元二次方程的有3个． 故选：C． 一元二次方程辨析时，要先将方程化简为一般式，化简后二次项消失、含分式、含多个未知数的方程都不是一元二次方程。 【变式练习】 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的三个判定条件：只含有一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】A选项，原方程整理为，同时满足三个条件，是一元二次方程． B选项，方程分母中含有未知数，不是整式方程，不满足条件，排除． C选项，原方程展开整理得，含有两个未知数，不满足条件，排除． D选项，未知数的最高次数为3，不满足条件，排除． 2．下列关于x的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程的定义是：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程是一元二次方程．逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A中，未说明，若，方程不是一元二次方程．∴A错误． ∵选项B中，方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程．∴B错误． ∵选项C中，满足只含一个未知数．未知数最高次数是2．是整式方程．二次项系数为．符合一元二次方程定义．∴C正确． ∵选项D中，方程含有和两个未知数，是二元方程，不符合一元二次方程定义．∴D错误． 题型3 一元二次方程的一般式 【例1】将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （2）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （3）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （4）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项． 【例2】关于的方程是一元二次方程，求的值． 【详解】解：依题意，得， 由，得，解得， 又因为，即， 所以的值为， ∴当时，方程是一元二次方程． 【变式练习】 1．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的一般形式（，，，为常数），先展开多项式乘法，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 整理得， 移项合并同类项得． 2．一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的有关定义，解题的关键是掌握相关定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，一般形式为，其中，，分别为二次项，一次项和常数项．先将一元二次方程化为一般式，即可求解． 【详解】解：由可得， 则常数项为，D选项符合题意． 3．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，， 【答案】B 【分析】将原方程整理为的形式，即可确定，，的值. 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项整理为一般式得， ，，． 4．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为 ，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为5和． 5．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 【答案】(1)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (2)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义． （1）移项，将方程化为一般形式，即可求解； （2）去括号，移项，合并同类项，将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 5．已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 题型4 检验一个数是否为一元二次方程的根 【例1】在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．当时，，不是方程的根； B．当时，，不是方程的根； C．当时，，是方程的根； D．当时，，不是方程的根． 【例2】下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 【变式练习】 1．下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，熟知方程的解是满足方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入各方程，验证方程是否成立． 【详解】解：A、当时，，该选项不符合题意； B、当时，，该选项符合题意； C、当时，，该选项不符合题意； D、当时，，该选项不符合题意． 故选：B． 2．下列方程有一个根为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入各方程，看左右的值是否相等即可判断，正确计算是解题的关键． 【详解】解：、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以不是方程的根，该选项不合题意； 、把代入方程的左边，左边右边， 所以是方程的根，该选项符合题意； 故选：． 3．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意； 故选：D． 4．下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程等价于，从表格中直接找出时对应的值即可． 【详解】解：∵等价于， 从表格中，当时，；当时，， ∴方程的根为，． 故选：C． 题型5 根为0、、、的一元二次方程 【例1】已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 一元二次方程特殊根的情况： （1）有根为1的条件：；有根为1的条件：； （2）有根为2的条件：4；有根为2的条件：4； （3）有根为3的条件：9；有根为3的条件：9； （4）有根为0的条件：； 【变式练习】 1．若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据，，得到当时，满足一元二次方程，即可得出结果. 【详解】解：∵系数a，b，c满足，， ∴当时，使一元二次方程成立， 即方程的解为，. 2．若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，即可解答．解题的关键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， 又把代入方程中得：， ∴这个方程必有一个根是． 故选：D． 3．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 4．若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 5．若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】解：当时，方程为， 方程必有一个根是， 故选：C． 6．若方程中，满足和，则方程的根是（　　） A．1，2 B．1 C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解的定义，掌握方程的解的定义并能准确利用定义进行判断是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，将未知数的值代入方程，计算后即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴把代入方程得：， ∴方程的一个根， 把代入方程得：， ∴是方程的一个根； ∴方程的根是，， 故选：B． 7．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【分析】将代入方程求解判断即可． 【详解】解：将代入得，， 此方程必有一根为． 8．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，对比已知条件即可得到方程的一个根． 【详解】解：将代入， 得， ， 当时，成立， 根据一元二次方程的解的定义，可知该一元二次方程一定有一个根为2． 题型6 已知一元二次方程的根，用整体思想求代数式的值 【例1】已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ． 【例2】若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 【变式练习】 1．已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程的根的定义可得，再代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：． 2．若是方程的一个根，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，理解一元二次方程的根的定义是解题的关键． 将代入方程得到关于m的方程，变形后整体代入求出代数式的值即可． 【详解】 m是方程的一个根，， ， 将代入得 ． 故答案为：9． 3．已知是一元二次方程一个根，则的值为_____． 【答案】2026 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义等知识，根据是一元二次方程一个根，得到变形为，把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵ 是一元二次方程一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2026． 4．已知是方程的一个根，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解的概念，利用整体代入法求代数式的值．由方程根的定义可得 ，再将所求代数式变形后整体代入计算． 【详解】解： 是方程 的一个根， ， 即 ， ． 故答案为：． 5．已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义可得出，然后把化简为，最后把整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴ ∴ ． 6．已知是方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，求代数式的值，先根据方程根的定义推出，然后将进行化简，再把代入化简后的代数式中计算即可．解题的关键是掌握一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为． 一、单选题过关练习 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程． ∵选项A中未规定，当时，方程不是二次方程， ∴A不符合要求； ∵选项C中含有和两个未知数， ∴C不符合要求； ∵选项D中分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程， ∴D不符合要求； 选项B满足一元二次方程的所有条件． 2．下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程必须满足四个条件：整式方程；只含一个未知数；未知数最高次数为2；二次项系数不为0，逐一判断选项即可 【详解】解：一元二次方程必须是整式方程，选项A中是分式，该方程是分式方程， A不符合要求； 选项B中未规定，当时方程不是一元二次方程， B不符合要求； 对选项C，，可得，即二次项系数一定不为0，方程是只含一个未知数的整式方程，且最高次数为2，一定是一元二次方程， C符合要求； 整理选项D的方程得，当时二次项系数为0，方程不是一元二次方程， D不符合要求 3．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵是一元二次方程 的一个根， ∴将代入原方程得， 解得． 4．将一元二次方程化成一般形式后，则二次项系数和一次项系数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 原方程为 ， 将方程移项整理为一般形式得 ， 其中二次项为 ，一次项为 ，常数项为 ，符合题意 ∴ 二次项系数为 ，一次项系数为． 5．对于实数a，b定义新运算：，例如：，若关于x的方程有一个根为1，则m的值是（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】解：关于x的方程有一个根为1， ∴ ∴ ∴． 6．下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 7．已知是方程的解，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程解的定义得到所求部分的值，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得， ∴， ∴． 8．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 9．已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，， 解得： 10．已知关于的一元二次方程． ①若，则该方程一定有一个根为； ②若方程的两个根为和2，则和的数量关系为． 下列判断正确的是（     ） A．①②的说法都正确 B．①②的说法都错误 C．①的说法错误，②的说法正确 D．①的说法正确，②的说法错误 【答案】A 【详解】解：①．∵将代入，可得， 又∵， ∴满足方程，即方程一定有一个根为，故①说法正确． ②．∵方程的两个根为和，两根都满足方程，代入得： ， ，得 ， ∴，故②说法正确． 综上①②都正确． 二、填空题 11．将一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 12．将一元二次方程化为一般式为______． 【答案】 【分析】先根据单项式乘多项式法则展开方程左边，再通过移项整理得到一元二次方程的一般式． 【详解】解： ， ， 移项，得 ． 13．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是________． 【答案】2024 【分析】将代入原方程得到关于、的等式，整理得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的解， ∴， 整理得， ∴． 14．若是方程的一个根，则的值为__________． 【答案】13 【分析】根据方程的根的定义，将代入原方程可得的值，再将所求代数式变形后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：是方程的一个根， ， ∴， ∴． 15．若a是方程的根，则代数式值是_________． 【答案】 【分析】利用方程变形得到相关关系式，再通过整体代入法求解代数式的值． 【详解】解：是方程的根，且， ， 变形可得， 方程两边同时除以得， 即， ∴ ． 16．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到与的关系式，整理得出的值，再利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， 等式两边同时除以得， 可得， 所以． 三、解答题 17．判断下列方程是否为一元二次方程． （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）是；（2）不是；（3）是；（4）不是 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：（1），是一元二次方程； （2），不含二次项，不是一元二次方程； （3），是一元二次方程； （4），不是整式方程，不是一元二次方程． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义，是解题的关键． 18．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答； （2）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答； （3）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答； （4）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答． 【详解】（1）解：化为一般形式是， 二次项系数是4，一次项系数是，常数项是3． （2）解：化为一般形式是， 二次项系数是3，一次项系数是0，常数项是． （3）解：化为一般形式是， 二次项系数是2，一次项系数是10，常数项是． （4）解：化为一般形式是， 二次项系数是3，一次项系数是，常数项是0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的相关定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般式为，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 19．下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 【答案】1和3 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，逐一把数据代入方程进行检验即可． 【详解】解：当时，左边12． 左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边， ∵左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边=右边， 是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边=右边， 是一元二次方程的根． 综上可知，1和3是一元一次方程的根． 20．若是关于的一元二次方程的一个解．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，找出关于的方程是解题的关键．将代入原方程可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值． 【详解】解：将代入原方程得：， ， ． 答：的值为 21．已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要查了一元二次方程的定义．根据“含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程式是一元二次方程”，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：． 22．已知t是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】根据方程根的定义得出，然后化简求值即可． 【详解】解：根据题意得，， ， 将代入上式得， 原式． 23．先化简，再求值：，其中为方程的解． 【答案】， 【详解】解：原式 为方程的解， ∴． ∴原式 ． 24．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如． (1)判断是否为一元二次方程． (2)判断和是否是方程的根． 【答案】(1)是 (2)不是  是 【分析】本题考查了新定义运算、一元二次方程的定义以及方程根的检验方法，掌握新运算的转化规则和方程根的验证方法是解题的关键． （1）根据新运算的法则，将展开并整理成整式方程形式，再根据一元二次方程的定义进行判断； （2）先根据新运算将转化为整式方程，再将和分别代入方程，通过检验等式是否成立来判断是否为方程的根． 【详解】（1）解：由题意可得， 整理，得， 是一元二次方程． （2）解：由题意可得， 整理，得． 当时，， 不是方程的根． 当时，， 是方程的根． 25．如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 【答案】(1)是“凤凰方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，准确理解“凤凰方程”的定义是解题的关键． （1）根据凤凰方程的意义进行计算即可； （2）根据凤凰方程的意义得到关于的方程计算即可． 【详解】（1）解：是“凤凰方程”，理由如下： ，，， ， 是“凤凰方程”； （2）是关于的“凤凰方程”，，，， ， 解得：． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题25.1 一元二次方程的概念 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 列一元二次方程 题型2 一元二次方程的辨析 题型3 一元二次方程的一般式 题型4 一元二次方程根的检验 题型5 特殊根的一元二次方程 题型6 整体思想的应用 1.准确识别一元二次方程，熟练整理成标准一般形式； 2.分清二次项、一次项、常数项，准确写出各项系数； 3.理解一元二次方程根的定义，会检验数值是否为方程的根； 4.通过实际问题列方程，类比一元一次方程归纳一元二次方程特征，提升建模、类比归纳能力。 知识点讲解 一元二次方程概念：只含有一个未知数，未知数最高次数是 2，且等号两边都是整式的方程叫一元二次方程。 一般形式：ax²+bx+c=0 (a、b、c为已知数，且a≠0) 二次项：ax²叫作二次项，a是二次项系数； 一次项：bx叫作一次项，b是一次项系数； 常数项：c叫作常数项. 方程的根：能使方程左右两边相等的未知数的值，也叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解又叫作方程的根。 【易错辨析】 1. 满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2； 2．一元二次方程辨析时，要先将方程化简为一般式，化简后二次项消失、含分式、含多个未知数的方程都不是一元二次方程。 题型归纳 题型1 列一元二次方程 【例1】一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为______． 【例2】我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则可列方程为__________． 【例3】以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日正式开园迎客．园内售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为元．当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该产品每件售价每上涨元，每天销售量就会减少件．若每天销售该文创产品的总利润为元，设每件文创产品上涨了元，根据题意，可列方程为___________． 【例4】某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 知识归纳： 一元二次方程满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2； 【变式练习】 1．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，则两次降价平均每次的降价率是_______． 2．“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图，在一幅长、宽的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是，设边框的宽度为，则列出的方程为_________． 3．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，若建成的饲养室面积为．求垂直于墙的一边长为多少？设垂直于墙的一边长为，可列方程为______． 4．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨5元，其销售量就减少50个，为了实现平均每月10000元的销售利润这种台灯的售价应定为多少元？若设台灯的售价为x元，则可列得方程为______． 5．某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向组内其他成员每人赠送一件，全组共相互赠送标本件．设全组有x名同学，则可列方程为__________． 6．学校运动会期间，选拔了若干支球队进行篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，设一共有支球队，那么可列出方程__________． 题型2 一元二次方程的辨析 【例1】下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【例2】方程中，，，是一元二次方程有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 易错点睛： 一元二次方程辨析时，要先将方程化简为一般式，化简后二次项消失、含分式、含多个未知数的方程都不是一元二次方程。 【变式练习】 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于x的方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型3 一元二次方程的一般式 【例1】将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【例2】关于的方程是一元二次方程，求的值． 【变式练习】 1．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 3．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，， 4．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 5．已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 题型4 检验一个数是否为一元二次方程的根 【例1】在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【例2】下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式练习】 1．下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程有一个根为的是（   ） A． B． C． D． 3．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 4．下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 题型5 根为0、、、的一元二次方程 【例1】已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 知识归纳；一元二次方程有特殊根的条件 （1）有根为1的条件：；有根为1的条件：； （2）有根为2的条件：4；有根为2的条件：4； （3）有根为3的条件：9；有根为3的条件：9； （4）有根为0的条件：； 【变式练习】 1．若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 3．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 5．若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 6．若方程中，满足和，则方程的根是（　　） A．1，2 B．1 C．1 D．无法确定 7．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 8．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 题型6 已知一元二次方程的根，用整体思想求代数式的值 【例1】已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【例2】若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【变式练习】 1．已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 2．若是方程的一个根，则______． 3．已知是一元二次方程一个根，则的值为_____． 4．已知是方程的一个根，则的值为________． 5．已知是方程的一个根，求代数式的值． 6．已知是方程的根，求代数式的值． 一、单选题过关练习 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 4．将一元二次方程化成一般形式后，则二次项系数和一次项系数分别是（    ） A． B． C． D． 5．对于实数a，b定义新运算：，例如：，若关于x的方程有一个根为1，则m的值是（    ） A． B． C． D．0 6．下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知是方程的解，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 8．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 10．已知关于的一元二次方程． ①若，则该方程一定有一个根为； ②若方程的两个根为和2，则和的数量关系为． 下列判断正确的是（     ） A．①②的说法都正确 B．①②的说法都错误 C．①的说法错误，②的说法正确 D．①的说法正确，②的说法错误 二、填空题 11．将一元二次方程化成一般形式为________． 12．将一元二次方程化为一般式为______． 13．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是________． 14．若是方程的一个根，则的值为__________． 15．若a是方程的根，则代数式值是_________． 16．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______． 三、解答题 17．判断下列方程是否为一元二次方程． （1）；（2）；（3）；（4）． 18．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 20．若是关于的一元二次方程的一个解．求的值． 21．已知是关于x的一元二次方程，求m的值． 22．已知t是方程的一个根，求代数式的值． 23．先化简，再求值：，其中为方程的解． 24．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如． (1)判断是否为一元二次方程． (2)判断和是否是方程的根． 25．如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． (1)判断一元二次方程是否为“凤凰方程”，并说明理由； (2)若关于的方程是“凤凰方程”，求的值． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $