第01讲 整式与合并同类项（暑假预习讲义，9题型突破+过关检测）新七年级数学新教材沪教版五四制

第01讲 整式与合并同类项 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 单项式的判断 题型2 单项式的系数、次数 题型3 同类项的判断 题型4 整式的判断 题型5 合并同类项 题型6 整式的系数、指数中字母求值 题型7 将整式按某个字母升幂（降幂）排列 题型8 数字类规律探索 题型9 图形类规律探索 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 10.1 整式 核心关键词 单项式、数字与字母乘积、单独数字/字母、单项式系数、单项式次数、多项式、多项式的项、常数项、多项式次数、整式、代数式分类、整式与分式区分 10.2 合并同类项 核心关键词 同类项（两相同两无关）、合并同类项、乘法分配律、合并法则、升幂排列、降幂排列、整式化简 10.1 整式 1. 知识与技能 理解单项式的定义，能够准确区分单项式与非单项式，明确含加减运算、分母含字母的式子不属于单项式。 熟练掌握单项式系数与次数的判定方法，系数包含符号，π为常数而非字母，单独常数的单项式次数为0。 掌握多项式的定义，能够精准识别多项式的各项、常数项，学会根据最高次项次数判定多项式的次数。 厘清整式的分类，明确整式仅包含单项式和多项式，分母含有字母的代数式为分式，不属于整式。 2. 过程与方法 通过对各类代数式的观察、对比与分类，建立归纳总结的数学思维。 能够用规范的文字语言描述单项式、多项式的构成特征，养成规范书写代数式的习惯。 10.2 合并同类项 1. 知识与技能 牢记同类项的判定标准：所含字母完全相同，且相同字母的指数分别相同；与系数大小、字母排列顺序无关。 理解合并同类项的理论依据是乘法分配律，熟练掌握合并法则：系数相加作为新系数，字母和字母的指数保持不变。 能够熟练合并多组同类项，掌握多项式按单一字母升幂、降幂排列的方法，规范整理多项式。 掌握简单整式的化简方法，为后续整式加减运算、代数式求值题型奠定基础。 2. 过程与方法 类比有理数乘法分配律的运算规则，实现从数的运算到式的运算的知识迁移。 掌握标记同类项、分组合并的解题方法，养成分步运算、规范解题的习惯，减少计算失误。 重点：单项式的系数、次数求解；多项式的项、次数、常数项识别。 快速准确识别同类项，熟练完成同类项合并与多项式排序。 易错点：遗漏系数的正负符号；将π误判为字母；错误判定常数项次数；混淆整式与分式。 难点：多字母、高次数复杂同类项的合并；运算中符号出错；遗漏常数项合并；随意改动字母与指数。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01单项式及相关概念 1. 单项式：由数和字母的积组成的代数式叫作单项式 . 单个的字母或数也是单项式 . 2. 单项式的系数与次数 (1) 系数： 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数 . (2) 次数： 一个单项式中，所有字母的指数之和叫作这个单项式的次数 . 特别提醒： (1) 单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字因数有关，而单项式的次数只与字母的指数有关 . (2)确定一个单项式的次数时，要注意：①没有写指数的字母，实际上其指数是“ 1”，计算时不要将其遗漏；②不要把系数的指数当作字母的指数一同计算 . 如的次数是 1+4=5， 不能把系数的指数“ 2”当作字母的指数 . 特别解读 1. 单项式中不含加减运算； 2.分母中含有字母的式子不是单项式，如不是单项式； 3. 指数和次数是两个不同的概念，指数是单个字母的指数，而次数是所有字母的指数之和. 知识点02 同类项 1. 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫作同类项 . 常数项与常数项是同类项 . 特别解读 1. 同类项的对象是单项式，而不是多项式，但可以是多项式中的单项式； 2.判断两个单项式是否为同类项的关键就是看其是否满足同类项中的“两个相同” . 2. 判断同类项的方法 (1)同类项必须同时满足“ 两个相同”： ① 所含字母相同； ②相同字母的指数也分别相同，两者缺一不可 . (2) 是不是同类项有“ 两个无关”： ①与系数无关； ②与字母的排列顺序无关，如 3mn 与 －nm 是同类项 (3) 同类项可以有两项，也可以有三项、四项或更多项，但至少有两项 . 知识点03 整式（多项式） 有限个单项式求和得到的代数式叫作整式.整式也叫作多项式。例如，3t²-t-4是由 3t²、-t 和一4这三个单项式求和得到的整式.单项式也是整式 知识点04 合并同类项 1.合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项 . 2.合并同类项法则 同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变 . 3. 合并同类项的一般步骤 (1) 找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面作相同的标记(连同各项的符号一同标记)； (2) 运用加法交换律、加法结合律将多项式中的同类项结合； (3) 利用合并同类项法则合并同类项； (4) 写出合并后的结果(可能是单项式，也可能是多项式). 4.特别解读 1. 合并同类项法则可简记为“一相加，两不变”. 其中，“一相加”是指各同类项的系数相加；“两不变”是指字母连同它的指数不变. 2. 合并同类项是将多项式中的两项或几项合并成一项，达到化简整式的目的. 知识点05 整式的项与次数 1.整式的项： 合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项。合并同类项后，整式有几项，就称为几项式。特别地，只含有一项就是单项式 . 2.整式的次数： 各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数。 知识点06 整式的升幂（降幂）排列 为了表达方便或计算需要，在合并同类项后，可以根据加法的交换律将一个整式中的各项按照其中某一个字母指数的大小顺序来排列. 我们常常把一个多项式各项的位置按照其中某一字母指数的大小顺序来排列 . 若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作这个多项式关于这个字母的降幂排列；若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫作这个多项式关于这个字母的升幂排列 . 特别提醒 将多项式按某个字母降幂(升幂)排列时，要注意各项移动时要连同它们前面的符号一起移动.因为常数项的次数为0，所以将多项式按某个字母降幂排列时，一般将其放在多项式的最后，反之，则放在最前面. 题型1单项式的判断 【例1】．（23-24七年级上·上海·期中）下列代数式中，单项式有：（   ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式的定义，熟记数字与字母的乘积或单独的数字或字母，叫做单项式，是解题的关键． 根据单项式的定义，逐个判断各代数式是否为单项式即可得出答案． 【详解】解：①是单项式， ②不是单项式， ③不是单项式， ④不是单项式， ⑤是单项式， 综上，单项式有2个． 故选：B． 【技巧归纳】：数或字母的积，单独一个数、单独一个字母都是单项式。 【变式1-1】．（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式． 【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 【变式1-2】．下列代数式中：a ， ， ， ， 0 ，单项式有________个． 【答案】3 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查单项式的定义“数字和字母的乘积的形式为单项式，单个数字和字母，也是单项式”．熟练掌握单项式的定义，再逐项判断即可解答，这也是解题关键． 【详解】解：单项式有a ，   ， 0 ，共3个． 故答案为：3． 【变式1-3】．在式子中，单项式有_______________个． 【答案】3 【知识点】单项式的判断 【分析】本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握数字与字母的乘积组成的式子是单项式，单个的数字和字母也是单项式是解题的关键．根据单项式的定义，即可求解． 【详解】解：单项式有，共3个， 故答案为：3 题型2 单项式的系数、次数 【例2】．（25-26七年级上·上海普陀·期末）单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】该题考查了单项式的系数，单项式的系数是指数字部分，包括符号． 【详解】解：单项式的系数是， 故选：D． 【核心定义】：数字因数为系数；所有字母的指数和为次数。 【变式2-1】．（23-24七年级上·上海·期中）下列各代数式中，是五次单项式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】单项式是数与字母的积组成的代数式，单项式的次数为所有字母的指数和，根据定义计算各选项即可判断． 【详解】解：A、的次数为 ，是六次单项式，不符合要求； B、 的次数为 ，是三次单项式，不符合要求； C、的次数为 ，是五次单项式，符合要求； D、不是单项式，不符合要求． 【变式2-2】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）的系数为_____________． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】找出单项式中的数字因数即可得到结果，注是常数，不属于字母因数. 【详解】解：的系数为. 【变式2-3】．（23-24七年级上·上海·期中）单项式的系数是________． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，据此可得答案． 【详解】解：原单项式可改写为，其中数字因数为， 故系数是． 题型3同类项的判断 【例3】．（25-26七年级上·上海虹口·期末）下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类项的判断 【分析】本题主要考查同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键；根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，据此问题可求解． 【详解】解：选项A：与不是同类项，故不符合题意； 选项B：与是同类项，故符合题意； 选项C：与不是同类项，故不符合题意； 选项D：与不是同类项，故不符合题意； 故选B． 【技巧归纳】：所有单独的数字均为同类项，可直接合并为一个常数。 【变式3-1】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）下列各组单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与7 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项．根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、与不是同类项，故该选项不符合题意； B、与，相同字母的指数不同，不是同类项，故该选项不符合题意； C、与是同类项，故该选项符合题意； D、与7不是同类项，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-2】．（22-23七年级·上海·暑假作业）下列各组单项式中属于同类项的是________： ①和；②和；③和； ④和；⑤和；⑥和． 【答案】②⑤⑥ 【知识点】同类项的判断 【分析】同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，判断即可． 【详解】①③两个单项式所含字母不相同；④相同字母的次数不相同， 故答案为：②⑤⑥． 【点睛】本题主要考查同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式，注意同类项与字母的顺序无关． 【变式3-3】．（2024七年级上·上海·专题练习）生活中处处有分类现象，我们可以把具有相同特征的事物归为一类，利用好分类将会给我们的生活和学习带来很大的便利．观察下列式子，哪些可以分为同一类？你能说出理由吗？，，，，，，，0，，． ___________，___________，___________，___________分别是同一类． 【答案】2和0，和和，和，和 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了整式，同类项的定义，熟记同类项的定义是解题的关键．根据同类项的定义解答即可． 【详解】解：在，，，，，，，0，，中．和0，和和，和，和分别是同一类， 理由是它们同类项． 故答案为：2和0；和和；和；和． 题型4 整式的判断 【例4】．（25-26七年级上·上海·期中）下列代数式中整式有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【知识点】整式的判断 【分析】本题考查了整式的识别；整式是分母中不含字母的代数式．逐个检查每个代数式，判断分母是否含有字母． 【详解】解：：分母为3（常数），是整式； ：无分母，是整式； ：分母为n（字母），不是整式； ：常数，是整式； ：分母为5（常数），是整式； ：多项式，无分母，是整式； ：常数，是整式； ：分母为（含字母），不是整式； ：单项式，是整式． ∴ 整式有7个（第1、2、4、5、6、7、9个）． 故选：B． 【变式4-1】．（25-26七年级上·上海·期末）代数式，，，，，中，整式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】整式的判断 【分析】根据整式的概念逐一判断即可求解． 本题主要考查了整式的概念，单项式和多项式统称为整式．熟练掌握整式的概念是解题的关键． 【详解】解：是多项式，∴ 是整式； 分母中含有字母 n，∴ 不是整式； 分母中含有字母 b，∴ 不是整式； 是常数，是单项式，∴ 是整式； 是单项式，∴ 是整式； 是多项式，∴ 是整式． ∴ 整式有 4 个． 故选：C． 【变式4-2】．（22-23七年级上·上海长宁·期中）在代数式：①，②，③，④，⑤中，是整式的是___________．（填相应序号） 【答案】① ② ④ ⑤ 【知识点】整式的判断 【分析】根据整式的定义进行求解即可． 【详解】解：①是整式； ②是整式； ③不是整式； ④是整式； ⑤是整式； ∴整式一共有4个， 故答案为：① ② ④ ⑤ ． 【点睛】本题主要考查了整式的定义，熟知整式的定义是解题的关键：整式是单项式和多项式的统称，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 【变式4-3】．把下列代数式分别填在相应的大括号内． ，，，，，，． (1)单项式：{______…}． (2)二次三项式：{______…}． (3)整式：{______…}． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)，，，，，． 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了整式的分类． （1）根据单项式的定义作答即可； （2）根据二次三项式的定义作答即可； （3）根据整式的定义作答即可． 【详解】（1）解：单项式：{，，…}． 故答案为：，，； （2）解：二次三项式：{，…}． 故答案为：，； （3）解：整式：{，，，，，…}． 故答案为：，，，，，． 题型5 合并同类项 【例5】．（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查合并同类项的法则，只有同类项才能合并，合并时系数相加减，字母和字母的指数保持不变，根据法则逐一判断选项即可． 【详解】解：对选项A：，A错误； 对选项B：与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，B错误； 对选项C：，C错误； 对选项D：，D正确． 【例6】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：___________． 【答案】/ 【知识点】合并同类项 【分析】利用合并同类项法则求解即可． 【详解】解：． 【例7】．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）化简：________________． 【答案】0 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，通过合并同类项法则进行化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：0． 【技巧归纳】：同类项系数相加减，字母和对应指数保持不变； 【变式5-1】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）整式的项数和次数分别是（　　） A．4，6 B．4，10 C．5，6 D．5，10 【答案】A 【详解】解：整式为：． ∵常数项2和是同类项，合并为1； x、和无其他同类项． ∴合并后整式为：，项数为4． 各项次数：1的次数为0，x的次数为1，的次数为3，的次数为． ∴最高次数为6． 故项数和次数分别为4和6， 对选A． 【变式5-2】．（24-25七年级上·上海·期中）合并同类项：________． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查合并同类项，需识别字母相同且相同字母的指数也相同的项，然后根据合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式5-3】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项，直接合并同类项即可． 【详解】解： 题型6 整式系数、指数中字母求值 【例8】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知关于和的整式是一个二次三项式，则__． 【答案】 【详解】解：关于和的整式是一个二次三项式， ，且， 解得，且， ， 故答案为：． 【变式6-1】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）若是关于x、y的五次三项式，则______． 【答案】 【详解】解：∵是关于x、y的五次三项式 ∴ 且 解得：且 ∴ 故答案为：. 【变式6-2】．（1）已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式相同．求的值． （2）是一个关于的二次三项式，满足，求这个多项式的值． 【答案】（1）的值是；（2）这个多项式的值是． 【详解】解：（1）由题意得： 且， 解得，， ∴， 即的值是； （2）由题意得，， 解得或，且， ∴， ∵， ∴且， 解得，， ∴ ； ∴这个多项式的值是． 【变式6-3】．已知式子． (1)若它是关于x的一次式，求a的值并写出常数项； (2)若它是关于x的三次二项式，求a的值并写出次数最高的项． 【答案】(1)，常数项为 (2)，最高次项为 【详解】（1）解：是关于的一次式， ， 解得， ； （2）解：关于的三次二项式 ， 解得， 最高次项为：． 题型7整式按某个字母升幂（降幂）排列 【例9】．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）代数式是（   ） A．按x降幂排列 B．按x升幂排列 C．按y降幂排列 D．按y升幂排列 【答案】A 【详解】解：按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，降幂则相反，常数项应该放在最前面， ∵多项式中，的指数为：，y的指数为：， ∴按x降幂排列， 故选：A． 【变式7-1】．（25-26七年级上·上海·期末）把整式按字母x的升幂排列是________________． 【答案】 【详解】解：整式中，各项关于的指数分别为：中的指数为，中的指数为，中的指数为，中的指数为， 按的指数从小到大排列为：． 故答案为：． 【变式7-2】．（25-26七年级上·上海·期中）整式按a降幂排列的结果是________________________． 【答案】 【详解】解：确定多项式中各项的指数分别为，按照的降幂排列，即按的指数从大到小排列各项， 可得 【变式7-3】．请把多项式重新排列． (1)按x降幂排列： (2)按y降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察x的指数，按x的指数从大到小排列，即可； （2）观察y的指数，按y的指数从大到小排列，即可． 【详解】（1）按x降幂排列：； （2）按y降幂排列：． 【点睛】本题主要考查多项式的相关概念，掌握多项式的升幂或降幂排列的意义，是解题的关键． 题型8 数字类规律探索 【例10】．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）材料节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律．则的计算结果各项系数之和为（   ） 我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子： ； ； ； ； ； … 你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？ A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，通过赋值法，令，代入二项式展开式，直接计算系数之和. 【详解】解：∵的展开式中，各项系数之和等价于当时的值， ∴系数之和 故选：B. 【例11】．（25-26七年级上·上海金山·阶段检测）观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：．化简下列代数式________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了利用规律解题，解决此题的关键能力是根据题意找出规律．观察分母为，可因式分解为，将每一项拆分为两个分数的差，利用望远镜求和法化简． 【详解】解：． ， ， ， ， ． 故答案为：． 【例12】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】， 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查数字规律下的有理数的四则混合计算， （1）根据分数的通分运算，把所求式子裂项求解即可； （2）根据整数的混合运算和分数的通分运算，把所求式子裂项求解即可； 【详解】解： ； ． 【变式8-1】．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）我国北宋数学家宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第行有个数，不仅如此，这个“三角形”第行中的数竟然与（是正整数）展开式各项的系数完全吻合，如下图所示： 根据“贾宪三角形”请计算的展开式中从左起第五项的系数为（    ） A．84 B．56 C．28 D．70 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字变化规律，据图形中的规律即可求出的展开式中从左起第五项的系数． 【详解】解：找规律发现的第三项系数为1； 的第五项系数为； 的第五项系数为； 的第五项系数为； ∴第五项系数为． 故选：D． 【变式8-2】．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）观察下列各式： ； ； ； ； …… 探索其中规律并计算：_______．（结果保留幂的形式） 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】先观察给出的等式，归纳总结出一般规律，再将所求式子变形，结合规律计算得到结果. 【详解】解：观察已知各式，可得到一般规律：， ∴． 【变式8-3】．（23-24七年级上·上海宝山·阶段检测）阅读、理解和探索： (1)观察下列各式：①；②；③；… 用你发现的规律写出：第ⓝ个式子是______； (2)利用（1）中的规律，计算：______； (3)应用以上规律：化简：． (4)观察按规律排列的一组数：，，，…，猜想第n个数（用含n的式子表达），将猜想的结果填入下式的横线上， ______，并把这个式子化简． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】本题考查规律探索问题， （1）根据观察得到的规律求解即可； （2）利用（1）中的规律求解即可； （3）利用（1）中的规律求解即可； （4）首先得到第1个数为，第2个数为，第3个数为，然后总结出规律得到第n个数为，进而变形求解即可． 结合已知条件总结出规律：，是解题的关键． 【详解】（1）观察下列各式：①；②；③；… 用你发现的规律写出：第ⓝ个式子是； （2） ； （3） ； （4）第1个数为； 第2个数为； 第3个数为； … ∴第n个数为； ∴ ． 题型9 图形类规律探索 【例13】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）如图是一回形图，其回形通道的宽和的长均为，回形线与射线交于，．若从点到点的回形线为第圈（长为），从点到点的回形线为第圈，，依此类推，则第圈的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，由已知图形可得第圈的长为，据此解答即可求解，由图形找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：第1圈的长：， 第圈的长：， 第圈的长：， ， ∴第圈的长为， 当时，， ∴第圈的长为， 故选：． 【例14】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）如图所示的几何体都是由棱长为1的正方体叠放而成．图（1）几何体为1个正方体，其表面积为6；图（2）几何体由4个正方体组成，其表面积为18；图（3）几何体由10个正方体组成，其表面积为36；……，按照这样的规律，第15个几何体的表面积为________． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了与图形有关的规律题型，结合图形表面积的计算是解题的关键． 结合图形，发现每一个图形的表面积得出规律计算即可； 【详解】解：结合图形，发现：（1）中个平方单位， （2）中个平方单位， （3）中个平方单位， （4）中个平方单位， 以此类推，可得第15个图形的表面积是个平方单位． 故答案为：． 【变式9-1】．（22-23七年级上·上海闵行·期中）如图是按规律排列的一组图形的前四个，观察图形：那么第个图形中的点的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形类规律探索 【分析】根据前三个图形的变化规律即可写出第个图形点的数量，根据所得规律即可写出第个图形中点的个数． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第一个图形中，一共有个点， 第二个图形中，一共有个点， 第三个图形中，一共有个点， 第个图形中，一共有个点． 第个图形中，一共有个点． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是寻找规律． 【变式9-2】．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，点C是线段上的一点，分别以为边在的同侧作正方形和正方形，连接、当时，三角形的面积记为；当时，三角形的面积记为；⋯；以此类推，当时，三角形的面积记为，那么的值为________． 【答案】 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及三角形的面积，令的长为a，进一步表示出，据此进行计算即可． 【详解】解：由题知， 令， 则     ， 所以 故答案为： 【变式9-3】．（23-24七年级上·上海·期中）如图，用长度相等的若干根小木棒搭成梯形，根据图示填写下列表格． … 层数 一层 二层 三层 四层 … n层 所含三角形的个数 … 所需小木棒数的根数 3（1+2）-2=7 3（1+2+3）-2=16 3（1+2+3+4）-2=28 … 【答案】见解析 【知识点】图形类规律探索 【分析】先写出第四层所含小三角形个数及所需小木棒的根数，再发现规矩即可求解． 【详解】解：∵一层时，所含小三角形个数为3=，所需小木棒的根数为7=3（1+2）-2， 二层时，所含小三角形个数为8=32-1，所需小木棒的根数为16=3×（1+2+3）-2， 三层时，所含小三角形个数为15=42-1，所需小木棒的根数为28=3×（1+2+3+4）-2， 四层时，所含小三角形个数为24=52-1，所需小木棒的根数为43=3×（1+2+3+4+5）-2， … ∴n层时，所含小三角形个数为(n+1)2-1，所需小木棒的根数为3×（1+2+…+n+n+1）-2= =， 完成表格如下： 层数 一层 二层 三层 四层 … n层 所含三角形的个数 … 所需小木棒数的根数 3（1+2）-2=7 3（1+2+3）-2=16 3（1+2+3+4）-2=28 =43 … = 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据简单图形中所含小三角形个数和所需小木棒的根数，总结出一般规律是解题的关键． 一、单选题 1．已知一次二项式合并后的结果是零，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的定义，合并同类项，根据一次二项式 合并后结果为零，即可得出，即可求解． 【详解】解：∵一次二项式合并后的结果是零，即 ∴ ，且， ∴ 故选：A． 2．下列各组式子中，（    ）不是同类项． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查的是同类项的定义，准确理解“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项”是解题的关键．根据同类项的定义，对每个选项逐一判断，从而找出不是同类项的式子． 【详解】同类项要求字母部分完全相同， 选项：和均为常数项，无字母，是同类项； 选项：和的字母部分均为，指数相同，是同类项； 选项：含有字母，为常数项，无字母，字母部分不同，不是同类项； 选项：即，与的字母部分均为，指数相同，是同类项； 故选：． 3．一组按规律排列的式子：，，，，，它的第个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，观察给定式子的变化规律，每个式子由的幂次方减去一个常数项构成，分析幂次和常数项的变化规律，确定第个式子的形式． 【详解】解：第个式子为， 第个式子为， 第个式子为， 第个式子为， ， 第个式子为． 故选：C． 4．在下列代数式：，，，，，中，整式有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查整式，整式是分母中不含字母的代数式，根据定义，逐个判断每个代数式是否为整式即可． 【详解】解：∵整式是分母中不含字母的代数式， ∴是多项式，分母无字母，是整式； ∴是常数，是整式； ∴分母是常数π，无字母，是整式； ∴分母含字母x，不是整式； ∴是单项式，分母无字母，是整式； ∴分母是常数5，无字母，是整式． 综上，整式有5个． 故选：C． 5．下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【答案】B 【分析】本题根据单项式、整式的定义，以及单项式系数、次数的计算方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵单独的一个数是单项式，∴是单项式，A选项错误； ∵的数字因数为，所有字母的指数和为，∴它的系数是，次数是，B选项正确； ∵是单项式，单项式属于整式，∴是整式，C选项错误； ∵的数字因数是，∴它的系数是，不是，D选项错误． 6．下列说法中，正确的是（   ） A．是单项式 B．的系数是0 C．1是单项式 D．的次数是3 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义和性质； 根据单项式是数字或字母的积，形式如系数乘以变量的乘积，或单独数字或字母，次数是变量指数的和逐一判断即可． 【详解】解： A、∵ 是分式，∴不是单项式，故此选项错误； B、∵的系数是1，不是0，故此选项错误； C、∵1是数字，∴1是单项式，故此选项正确； D、∵的次数是，不是3，故此选项错误； 故选：C． 二、填空题 7．下列式子：，，，，，0，整式的个数是____个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了整式的概念，正确把握定义是解题关键．根据整式的定义从给出的式子中找出整式的个数即可． 【详解】解：在，，，，，0中，整式有，，，0，共4个． 故答案为：4． 8．一个单项式满足下列三个条件：①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母．写出一个满足上述条件的单项式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的概念和单项式的次数的概念，单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和，根据单项式系数、次数的定义来求解即可． 【详解】解：∵单项式满足∶①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母 ∴满足单项式的条件如：， 故答案为：． 9．一组数∶1，，3，，5，，…，第n个数是____________(用含n的代数式表示)． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律． 序列的绝对值是连续正整数，符号交替变化，利用的幂次表示符号规律． 【详解】解：序列的绝对值依次为1，2，3，…，n， 因此第n个数的绝对值为n． 符号规律：当n为奇数时为正，当n为偶数时为负， 因此第n个数为． 故答案为：． 10．将整式按升幂排列：______． 【答案】 【分析】本题考查多项式，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．正确理解降幂排列或升幂排列的定义是解题的关键．按的升幂排列，即根据各项中的指数从小到大进行排列． 【详解】解：整式中， 各项的指数分别为：的指数为，的指数为，的指数为，的指数为 ，的指数为． 按的指数升序排列， 得到 ， 故答案为：． 11．整式的次数是_____次，一次项系数是_____． 【答案】 三 【分析】本题考查了多项式的定义，几个单项式的和（或者差），叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项的次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项，根据多项式的相关定义即可得出结果，熟练掌握多项式的定义是解此题的关键． 【详解】解：整式的次数是三次，一次项系数是， 故答案为：三，． 12．已知，是常数，如果和是同类项，那么它们合并同类项后得______． 【答案】 【分析】本题考查同类项的定义，根据相同字母的指数必须相等，因此建立关于m和n的方程并求解，再计算合并后的系数． 【详解】解：∵和是同类项， ∴x的指数相等，y的指数相等． 即，． 解得．， 所以合并后为． 13．已知整式与的和是一个单项式，则_____，_________． 【答案】 3 2 【分析】两个整式的和为单项式，说明两个整式是同类项，根据同类项定义列出关于，n的方程，求解即可得到结果． 【详解】∵整式与的和是一个单项式， ∴这两个整式是同类项， ∴，， 解得，． 14．若是关于x、y的六次单项式，则a＝__________． 【答案】1 【分析】本题主要考查了单项式．根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵是关于x，y的六次单项式， ∴， 解得：， 当时，系数，符合题意． 故答案为：1． 15．已知单项式与单项式的和仍然是单项式，那么______． 【答案】5 【分析】本题主要考查单项式及同类项，熟练掌握单项式及同类项是解题的关键；因此此题可根据同类项及单项式可进行求解． 【详解】解：由单项式与单项式的和仍然是单项式，可知：， ∴； 故答案为5． 16．已知是关于x的二次三项式，则________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数．根据多项式的有关概念求出a，b的值是解题的关键． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 17．已知与是同类项，则__________． 【答案】1 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列出方程求解． 【详解】解：∵与是同类项， ∴a的指数相等，即，解得， ∴b的指数相等，即，解得， ∴． 故答案为：1． 18．邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第1次操作，在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第2次操作……，依此类推，如果第次操作余下的四边形是正方形，那么称原长方形为阶方形，如图1，邻边长分别为1和2的长方形是1阶方形；如图2，邻边长分别是2和3的长方形是2阶方形，已知一个邻边长分别为1和的长方形是3阶方形，按图3裁剪，可得，那么满足条件的其它的值是______． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，图形类的规律探索，根据题意可得3阶方形需要操作3次后剩余的图形为正方形，据此画出图形求解即可． 【详解】解：当按图4裁剪时，则； 当按图5裁剪时，则，解得； 当按图6裁剪时，则； 综上所述，满足条件的其它a的值是或或， 故答案为：或或． 三、解答题 19．分别写出下列单项式的系数和次数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)单项式的系数是－1，次数是3 (2)单项式的系数是，次数是6 (3)单项式的系数是，次数是3 【分析】本题考查了单项式的概念单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． （1）（2）（3）根据单项式的系数和次数的定义解答即可． 【详解】（1）单项式的系数是－1，次数是3； （2）单项式的系数是，次数是6； （3）单项式的系数是，次数是3． 20．合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键． （1）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变； （2）根据合并同类项法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”，例如：与是“强同类项”． (1)给出下列四个单项式：①，②，③，④．其中与是“强同类项”的是______（填写序号）； (2)若与是“强同类项”，求m的值． 【答案】(1)①④ (2)或或5． 【分析】本题考查新定义，绝对值，单项式和同类项，理解新定义是解题的关键． （1）根据“强同类项”的概念判断即可； （2）根据“强同类项”的概念即可确定m的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴①与是“强同类项”， ∵， ∴②与不是“强同类项”， ∵， ∴③与是不“强同类项”， ∵，， ∴④与是“强同类项”， ∴①④与是“强同类项”， 故答案为：①④； （2）解：∵与是“强同类项”， ∴，，， ∴，，5． 22．对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新运算法则，进行计算即可； （2）由题意可知，，根据新运算法则，先求，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）根据题意可知，，， ， ． 23．“整体思想”是一种重要的数学思想，它在多项式化简与求值有极为广泛的应用．例如：把看成一个整体，则． (1)把看成一个整体，请化简 ； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查合并同类项，代数式求值，掌握“整体思想”是解题的关键． （1）将看成一个整体，合并同类项即可； （2）将变形为，再将代入求值即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：． 24．类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据，，，得出一般规律即可得出； （2）①可根据（1）的结论进行解答； ②可类比（1）的裂项方法，将其通项分解后再进行计算． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴； （2）解：① ； ② ． 25．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 【答案】(1) (2)；； (3)2100 【分析】（1）根据前面三个等式及图形规律求解即可； （2）根据前五个等式及图形规律求解即可； （3）根据，再结合（2）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：； （2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知： 第7个等式为； ∵， ， ； ， ， … 依此类推，第个等式：； （3）解： ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 整式与合并同类项 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 单项式的判断 题型2 单项式的系数、次数 题型3 同类项的判断 题型4 整式的判断 题型5 合并同类项 题型6 整式的系数、指数中字母求值 题型7 将整式按某个字母升幂（降幂）排列 题型8 数字类规律探索 题型9 图形类规律探索 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 10.1 整式 核心关键词 单项式、数字与字母乘积、单独数字/字母、单项式系数、单项式次数、多项式的项、常数项、多项式次数、整式、代数式分类、整式与分式区分 10.2 合并同类项 核心关键词 同类项（两相同两无关）、合并同类项、乘法分配律、合并法则、升幂排列、降幂排列、整式化简 10.1 整式 1. 知识与技能 理解单项式的定义，能够准确区分单项式与非单项式，明确含加减运算、分母含字母的式子不属于单项式。 熟练掌握单项式系数与次数的判定方法，系数包含符号，π为常数而非字母，单独常数的单项式次数为0。 掌握多项式的定义，能够精准识别多项式的各项、常数项，学会根据最高次项次数判定多项式的次数。 厘清整式的分类，明确整式仅包含单项式和多项式，分母含有字母的代数式为分式，不属于整式。 2. 过程与方法 通过对各类代数式的观察、对比与分类，建立归纳总结的数学思维。 能够用规范的文字语言描述单项式、多项式的构成特征，养成规范书写代数式的习惯。 10.2 合并同类项 1. 知识与技能 牢记同类项的判定标准：所含字母完全相同，且相同字母的指数分别相同；与系数大小、字母排列顺序无关。 理解合并同类项的理论依据是乘法分配律，熟练掌握合并法则：系数相加作为新系数，字母和字母的指数保持不变。 能够熟练合并多组同类项，掌握多项式按单一字母升幂、降幂排列的方法，规范整理多项式。 掌握简单整式的化简方法，为后续整式加减运算、代数式求值题型奠定基础。 2. 过程与方法 类比有理数乘法分配律的运算规则，实现从数的运算到式的运算的知识迁移。 掌握标记同类项、分组合并的解题方法，养成分步运算、规范解题的习惯，减少计算失误。 重点：单项式的系数、次数求解；多项式的项、次数、常数项识别。 快速准确识别同类项，熟练完成同类项合并与多项式排序。 易错点：遗漏系数的正负符号；将π误判为字母；错误判定常数项次数；混淆整式与分式。 难点：多字母、高次数复杂同类项的合并；运算中符号出错；遗漏常数项合并；随意改动字母与指数。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01单项式及相关概念 1. 单项式：由数和字母的积组成的代数式叫作单项式 . 单个的字母或数也是单项式 . 2. 单项式的系数与次数 (1) 系数： 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数 . (2) 次数： 一个单项式中，所有字母的指数之和叫作这个单项式的次数 . 特别提醒： (1) 单项式的系数包括它前面的符号，且只与数字因数有关，而单项式的次数只与字母的指数有关 . (2)确定一个单项式的次数时，要注意：①没有写指数的字母，实际上其指数是“ 1”，计算时不要将其遗漏；②不要把系数的指数当作字母的指数一同计算 . 如的次数是 1+4=5， 不能把系数的指数“ 2”当作字母的指数 . 特别解读 1. 单项式中不含加减运算； 2.分母中含有字母的式子不是单项式，如不是单项式； 3. 指数和次数是两个不同的概念，指数是单个字母的指数，而次数是所有字母的指数之和. 知识点02 同类项 1. 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫作同类项 . 常数项与常数项是同类项 . 特别解读 1. 同类项的对象是单项式，而不是多项式，但可以是多项式中的单项式； 2.判断两个单项式是否为同类项的关键就是看其是否满足同类项中的“两个相同” . 2. 判断同类项的方法 (1)同类项必须同时满足“ 两个相同”： ① 所含字母相同； ②相同字母的指数也分别相同，两者缺一不可 . (2) 是不是同类项有“ 两个无关”： ①与系数无关； ②与字母的排列顺序无关，如 3mn 与 －nm 是同类项 (3) 同类项可以有两项，也可以有三项、四项或更多项，但至少有两项 . 知识点03 整式（多项式） 有限个单项式求和得到的代数式叫作整式.整式也叫作多项式。例如，3t²-t-4是由 3t²、-t 和一4这三个单项式求和得到的整式.单项式也是整式 知识点04 合并同类项 1.合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项 . 2.合并同类项法则 同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变 . 3. 合并同类项的一般步骤 (1) 找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面作相同的标记(连同各项的符号一同标记)； (2) 运用加法交换律、加法结合律将多项式中的同类项结合； (3) 利用合并同类项法则合并同类项； (4) 写出合并后的结果(可能是单项式，也可能是多项式). 4.特别解读 1. 合并同类项法则可简记为“一相加，两不变”. 其中，“一相加”是指各同类项的系数相加；“两不变”是指字母连同它的指数不变. 2. 合并同类项是将多项式中的两项或几项合并成一项，达到化简整式的目的. 知识点05 整式的项与次数 1.整式的项： 合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项。合并同类项后，整式有几项，就称为几项式。特别地，只含有一项就是单项式 . 2.整式的次数： 各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数。 知识点06 整式的升幂（降幂）排列 为了表达方便或计算需要，在合并同类项后，可以根据加法的交换律将一个整式中的各项按照其中某一个字母指数的大小顺序来排列. 我们常常把一个多项式各项的位置按照其中某一字母指数的大小顺序来排列 . 若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作这个多项式关于这个字母的降幂排列；若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫作这个多项式关于这个字母的升幂排列 . 特别提醒 将多项式按某个字母降幂(升幂)排列时，要注意各项移动时要连同它们前面的符号一起移动.因为常数项的次数为0，所以将多项式按某个字母降幂排列时，一般将其放在多项式的最后，反之，则放在最前面. 题型1单项式的判断 【例1】．（23-24七年级上·上海·期中）下列代数式中，单项式有：（   ） ①；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【技巧归纳】：数或字母的积，单独一个数、单独一个字母都是单项式。 【变式1-1】．（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】．下列代数式中：a ， ， ， ， 0 ，单项式有________个． 【变式1-3】．在式子中，单项式有_______________个． 题型2 单项式的系数、次数 【例2】．（25-26七年级上·上海普陀·期末）单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 【核心定义】：数字因数为系数；所有字母的指数和为次数。 【变式2-1】．（23-24七年级上·上海·期中）下列各代数式中，是五次单项式的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（23-24七年级上·上海·阶段检测）的系数为_____________． 【变式2-3】．（23-24七年级上·上海·期中）单项式的系数是________． 题型3同类项的判断 【例3】．（25-26七年级上·上海虹口·期末）下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】：所有单独的数字均为同类项，可直接合并为一个常数。 【变式3-1】．（25-26七年级上·上海闵行·期中）下列各组单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与7 【变式3-2】．（22-23七年级·上海·暑假作业）下列各组单项式中属于同类项的是________： ①和；②和；③和； ④和；⑤和；⑥和． 【变式3-3】．（2024七年级上·上海·专题练习）生活中处处有分类现象，我们可以把具有相同特征的事物归为一类，利用好分类将会给我们的生活和学习带来很大的便利．观察下列式子，哪些可以分为同一类？你能说出理由吗？，，，，，，，0，，． ___________，___________，___________，___________分别是同一类． 题型4 整式的判断 【例4】．（25-26七年级上·上海·期中）下列代数式中整式有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【变式4-1】．（25-26七年级上·上海·期末）代数式，，，，，中，整式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-2】．（22-23七年级上·上海长宁·期中）在代数式：①，②，③，④，⑤中，是整式的是___________．（填相应序号） 【变式4-3】．把下列代数式分别填在相应的大括号内． ，，，，，，． (1)单项式：{______…}． (2)二次三项式：{______…}． (3)整式：{______…}． 题型5 合并同类项 【例5】．（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例6】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：___________． 【例7】．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）化简：________________． 【技巧归纳】：同类项系数相加减，字母和对应指数保持不变； 【变式5-1】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）整式的项数和次数分别是（　　） A．4，6 B．4，10 C．5，6 D．5，10 【变式5-2】．（24-25七年级上·上海·期中）合并同类项：________． 【变式5-3】．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 题型6 整式系数、指数中字母求值 【例8】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知关于和的整式是一个二次三项式，则__． 【变式6-1】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）若是关于x、y的五次三项式，则______． 【变式6-2】．（1）已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式相同．求的值． （2）是一个关于的二次三项式，满足，求这个多项式的值． 【变式6-3】．已知式子． (1)若它是关于x的一次式，求a的值并写出常数项； (2)若它是关于x的三次二项式，求a的值并写出次数最高的项． 题型7整式按某个字母升幂（降幂）排列 【例9】．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）代数式是（   ） A．按x降幂排列 B．按x升幂排列 C．按y降幂排列 D．按y升幂排列 【变式7-1】．（25-26七年级上·上海·期末）把整式按字母x的升幂排列是________________． 【变式7-2】．（25-26七年级上·上海·期中）整式按a降幂排列的结果是________________________． 【变式7-3】．请把多项式重新排列． (1)按x降幂排列： (2)按y降幂排列． 题型8 数字类规律探索 【例10】．（25-26七年级上·上海宝山·阶段检测）材料节选的是教材第11章的阅读材料《贾宪三角》的部分内容．我们除了发现等式右边各项系数有规律之外，右边各项的次数也存在着规律．则的计算结果各项系数之和为（   ） 我们已经学习了整式乘法，可以计算以下的式子： ； ； ； ； ； … 你能发现以上等式右边的各项系数的规律吗？ A． B． C． D． 【例11】．（25-26七年级上·上海金山·阶段检测）观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：．化简下列代数式________． 【例12】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）（1）计算：； （2）计算：． 【变式8-1】．（25-26七年级上·上海徐汇·期中）我国北宋数学家宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第行有个数，不仅如此，这个“三角形”第行中的数竟然与（是正整数）展开式各项的系数完全吻合，如下图所示： 根据“贾宪三角形”请计算的展开式中从左起第五项的系数为（    ） A．84 B．56 C．28 D．70 【变式8-2】．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）观察下列各式： ； ； ； ； …… 探索其中规律并计算：_______．（结果保留幂的形式） 【变式8-3】．（23-24七年级上·上海宝山·阶段检测）阅读、理解和探索： (1)观察下列各式：①；②；③；… 用你发现的规律写出：第ⓝ个式子是______； (2)利用（1）中的规律，计算：______； (3)应用以上规律：化简：． (4)观察按规律排列的一组数：，，，…，猜想第n个数（用含n的式子表达），将猜想的结果填入下式的横线上， ______，并把这个式子化简． 题型9 图形类规律探索 【例13】．（24-25七年级上·上海·阶段检测）如图是一回形图，其回形通道的宽和的长均为，回形线与射线交于，．若从点到点的回形线为第圈（长为），从点到点的回形线为第圈，，依此类推，则第圈的长为（　　） A． B． C． D． 【例14】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）如图所示的几何体都是由棱长为1的正方体叠放而成．图（1）几何体为1个正方体，其表面积为6；图（2）几何体由4个正方体组成，其表面积为18；图（3）几何体由10个正方体组成，其表面积为36；……，按照这样的规律，第15个几何体的表面积为________． 【变式9-1】．（22-23七年级上·上海闵行·期中）如图是按规律排列的一组图形的前四个，观察图形：那么第个图形中的点的数量为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，点C是线段上的一点，分别以为边在的同侧作正方形和正方形，连接、当时，三角形的面积记为；当时，三角形的面积记为；⋯；以此类推，当时，三角形的面积记为，那么的值为________． 【变式9-3】．（23-24七年级上·上海·期中）如图，用长度相等的若干根小木棒搭成梯形，根据图示填写下列表格． … 层数 一层 二层 三层 四层 … n层 所含三角形的个数 … 所需小木棒数的根数 3（1+2）-2=7 3（1+2+3）-2=16 3（1+2+3+4）-2=28 … 一、单选题 1．已知一次二项式合并后的结果是零，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组式子中，（    ）不是同类项． A．和 B．和 C．和 D．和 3．一组按规律排列的式子：，，，，，它的第个式子是（   ） A． B． C． D． 4．在下列代数式：，，，，，中，整式有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 6．下列说法中，正确的是（   ） A．是单项式 B．的系数是0 C．1是单项式 D．的次数是3 二、填空题 7．下列式子：，，，，，0，整式的个数是____个． 8．一个单项式满足下列三个条件：①系数是2；②次数是3；③只含有两个字母．写出一个满足上述条件的单项式：_______． 9．一组数∶1，，3，，5，，…，第n个数是____________(用含n的代数式表示)． 10．将整式按升幂排列：______． 11．整式的次数是_____次，一次项系数是_____． 12．已知，是常数，如果和是同类项，那么它们合并同类项后得______． 13．已知整式与的和是一个单项式，则_____，_________． 14．若是关于x、y的六次单项式，则a＝__________． 15．已知单项式与单项式的和仍然是单项式，那么______． 16．已知是关于x的二次三项式，则________． 17．已知与是同类项，则__________． 18．邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第1次操作，在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第2次操作……，依此类推，如果第次操作余下的四边形是正方形，那么称原长方形为阶方形，如图1，邻边长分别为1和2的长方形是1阶方形；如图2，邻边长分别是2和3的长方形是2阶方形，已知一个邻边长分别为1和的长方形是3阶方形，按图3裁剪，可得，那么满足条件的其它的值是______． 三、解答题 19．分别写出下列单项式的系数和次数． (1)； (2)； (3)． 20．合并同类项： (1)； (2)． 21．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”，例如：与是“强同类项”． (1)给出下列四个单项式：①，②，③，④．其中与是“强同类项”的是______（填写序号）； (2)若与是“强同类项”，求m的值． 22．对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 23．“整体思想”是一种重要的数学思想，它在多项式化简与求值有极为广泛的应用．例如：把看成一个整体，则． (1)把看成一个整体，请化简 ； (2)已知，求的值． 24．类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② 25．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $