2026年中考数学复习 专题39 瓜豆原理的底层逻辑是旋转相似

该初中数学中考复习讲义聚焦“瓜豆原理线生线”专题，针对中考选择填空压轴及解答题压轴考点，以旋转相似为底层逻辑，构建“知识储备-模型详解-分层训练”体系，通过考点梳理、六步轨迹法指导及真题（如2022广州中考题）训练，帮助学生突破动点轨迹难点。 亮点在于原创“旋转相似三结论”，通过矩形、等边三角形等基础模型实例（如例1等腰直角三角形构造），引导学生用几何直观确定初始位置，借推理能力分析第二组相似三角形找定角，精准定位轨迹。设课堂随练与巩固提高分层练习，教师可按步骤化教学把控节奏，高效提升学生应考能力。

专题39 瓜豆原理的底层逻辑是旋转相似 瓜豆原理，是初中阶段动点学习的重要模型，虽然瓜豆原理有线生线、圆生圆两种，但是从实际考试中来看，基本考的全是线生线。原因也很简单，初中阶段的动点轨迹要么是直线，要么是圆，如果要考圆，可以在圆这一章，隐圆有大把模型可以考，所以就没有必要在瓜豆原理这里考圆生圆了。 瓜豆原理的线生线，经常出现在选择填空压轴，以及解答题的压轴题中，所以学习瓜豆原理就重点掌握好线生线这种模型。认真学习本专题，抽丝剥茧解析瓜豆原理的底层逻辑，让您彻底搞定瓜豆原理线生线找动点运动轨迹的方法，不大可能还不会找运动轨迹。 ( 模型讲解 ) 一、知识储备 在学习本专题内容之前，大家先记住三个重要结论（三个结论是本人根据多年教学做题经验的原创），在学完本专题内容之后，您会对这三个结论有更深的认识和理解： 1.瓜豆原理的本质和底层逻辑是旋转相似。 2.旋转相似必然会有两组相似三角形。 3.第二组相似三角形更重要，是解题的关键。 我们知道，要想确定一条直线，常考的主要有以下四种： 第一种：两点确定一条直线。即2个定点可以确定一条直线。 第二种：动点定距离。即有1个动点到一条定直线的距离始终是一定的。那么该动点的轨迹就是与定直线的平行线。 第三种：动点到两个定点的距离相等。那么此时该动点就在这两个定点的垂直平分线上运动。 第四种：定点加方向。即过一个定点，且倾斜角（与一条定边的夹角）是固定的，那么这条直线也是确定的。 而瓜豆原理中的确定直线的方式就是第四种：定点加方向。如上图，动点H经过定点F，F在定直线FG上，且∠HFG为定角，那么H的轨迹就是FH这条直线。 二、模型详解 （一）以矩形、正方形或者直角坐标系为基础形状，主动点在其边上运动。主动点、旋转中心、从动点组成等边三角形或等腰直角三角形。（有的时候题目可能以某条边旋转60度或90的形式给出，这条旋转的边往往是主动点与旋转中心的连线段） 【例1】如图，已知矩形AODE，AO=2，AE=4，点M是AE上的动点，从A出发往E点运动，以OM为边向右构造等腰直角三角形OMN，OM与ON为直角边，∠OMN=90°，求N点的轨迹。 第一步：找到主动点M、旋转中心O、从动点N 第二步：将主动点放到初始位置A，从而确定从动点的初始位置B，此时A与M点重合，N与B点重合。B点为定点。 第三步：连接旋转中心点O与从动点的初始位置点B，如原图已连接，此步可省略。构造这条线段的作用是为了后面构造相似三角形用。 第四步：将主动点M运动到任一位置，此时从动点也运动到相应的位置N。连接从动点的初始点B和新的位置点N。 第五步：识别旋转相似。此时必然会出现以旋转中心为中心点的旋转相似，而旋转相似必然会出现两组相似三角形。 第一组相似三角形是主动点的初始位置点A、旋转中心O、从动点的初始位置点B构成的△AOB与主动点的任一位置点M、旋转中心O、从动点的任一位置点N构成的△MON相似。因为他们形状完全一样。 第二组相似三角形更重要，是必须要找到的（如果主动点与从动点到旋转中心的距离相等，即OM=ON，则第二组相似就成了全等三角形，全等三角形是相似比等于1 的特殊的相似三角形）。第二组相似就是主动点的初始位置点A、旋转中心O、主动点的任一位置点M构成的△AOM与从动点的初始位置点B、旋转中心O、从动点的任一位置点N构成的△BOM相似。理由就是对应边成比例，夹角相等。 第六步：根据找到的第二组相似三角形（△AOM与△BOM），推出从动点的初始位置点B与从动点的任一位置点N的连线段（BM）与从动点的初始位置点B与旋转中心O的连线段（BO）的夹角是一个定角，等于主动点的初始位置点A与主动点的任一位置点M的连线段（AM）与主动点的初始位置点A与旋转中心O的连线段（AO）的夹角，即∠OAM=∠OBN。从而确定从动点的运动轨迹是以从动点的初始位置点B与旋转中心O的连线段（OB）为定边，经过从动点的初始位置点B的一个固定角度的直线（即BN所在的直线）。 结论：在这里我们可以得出结论，从动点的轨迹必然过从动点的初始位置点，在正方形或者矩形中，从动点的轨迹BN与从动点初始位置点B与旋转中心O的连线OB构成的定角就是90度。从而确定从动点的轨迹。 【变式一】其他条件不变。以OM为边向右构造等边三角形OMN，求N点的运动轨迹。原题为2022年广州中考填空压轴题。 步骤与上面的完全一致。 第一步：找到主动点M、旋转中心O、从动点N 第二步：将主动点放到初始位置A，从而确定从动点的初始位置B，此时A与M点重合，N与B点重合。B点为定点。 第三步：连接旋转中心点O与从动点的初始位置点B，如原图已连接此步可省略。构造这条线段的作用是为了后面构造相似三角形用。 第四步：将主动点M运动到任一位置，此时从动点也运动到相应的位置N。连接从动点的初始点B和新的位置点N。 第五步：识别旋转相似。此时必然会出现以旋转中心为中心点的旋转相似，而旋转相似必然会出现两组相似三角形。 第一组相似三角形是主动点的初始位置点A、旋转中心O、从动点的初始位置点B构成的△AOB与主动点的任一位置点M、旋转中心O、从动点的任一位置点N构成的△MON相似。因为他们形状完全一样。 第二组相似三角形（如果主动点与从动点到旋转中心的距离相等，即OM=ON，则第二组相似就成了全等三角形，在本题中，OM=ON，所以第二组相似成了全等）。第二组相似就是主动点的初始位置点A、旋转中心O、主动点的任一位置点M构成的△AOM与从动点的初始位置点B、旋转中心O、从动点的任一位置点N构成的△BOM相似。理由就是对应边成比例，夹角相等。本题中△AOM与△BOM全等。 第六步：根据找到的第二组相似三角形（本题中△AOM与△BOM全等），推出从动点的初始位置点B与从动点的任一位置点N的连线段（BM）与从动点的初始位置点B与旋转中心O的连线段（BO）的夹角是一个定角，等于主动点的初始位置点A与主动点的任一位置点M的连线段（AM）与主动点的初始位置点A与旋转中心O的连线段（AO）的夹角，即∠OAM=∠OBN。从而确定从动点的运动轨迹是以从动点的初始位置点B与旋转中心O的连线段（OB）为定边，经过从动点的初始位置点B的一个固定角度的直线（即BN所在的直线）。 【变式二】其他条件不变。以OM为边向右构造等腰直角三角形OMN，OM与ON为直角边，∠MON=90°，求N点的轨迹。 还是和上面一样的步骤。 第一步：找到主动点M、旋转中心O、从动点N 第二步：将主动点放到初始位置A，从而确定从动点的初始位置B，此时A与M点重合，N与B点重合。B点为定点。 第三步：连接旋转中心点O与从动点的初始位置点B，如原图已连接此步可省略。构造这条线段的作用是为了后面构造相似三角形用。 第四步：将主动点M运动到任一位置，此时从动点也运动到相应的位置N。连接从动点的初始点B和新的位置点N。 第五步：识别旋转相似。此时必然会出现以旋转中心为中心点的旋转相似，而旋转相似必然会出现两组相似三角形。 第一组相似三角形是主动点的初始位置点A、旋转中心O、从动点的初始位置点B构成的△AOB与主动点的任一位置点M、旋转中心O、从动点的任一位置点N构成的△MON相似。因为他们形状完全一样。 第二组相似三角形（如果主动点与从动点到旋转中心的距离相等，即OM=ON，则第二组相似就成了全等三角形，在本题中，OM=ON，所以第二组相似成了全等）。第二组相似就是主动点的初始位置点A、旋转中心O、主动点的任一位置点M构成的△AOM与从动点的初始位置点B、旋转中心O、从动点的任一位置点N构成的△BOM相似。理由就是对应边成比例，夹角相等。本题中△AOM与△BOM全等。 第六步：根据找到的第二组相似三角形（本题中△AOM与△BOM全等），推出从动点的初始位置点B与从动点的任一位置点N的连线段（BM）与从动点的初始位置点B与旋转中心O的连线段（BO）的夹角是一个定角，等于主动点的初始位置点A与主动点的任一位置点M的连线段（AM）与主动点的初始位置点A与旋转中心O的连线段（AO）的夹角，即∠OAM=∠OBN。从而确定从动点的运动轨迹是以从动点的初始位置点B与旋转中心O的连线段（OB）为定边，经过从动点的初始位置点B的一个固定角度的直线（即BN所在的直线）。 【变式三】其他条件不变。以OM为边向右构造等腰直角三角形OMN，OM为斜边，∠ONM=90°，求N点的轨迹。 步骤和上面仍然一样，大家可以根据下面的提示图自己找一下N的轨迹。 1.初始位置： 2.某一运动位置： 3.第一组相似三角形： 4.第二组相似三角形： 【变式四】已知正方形ABEO。点M在AB上运动，以OM为边向右构造等腰直角三角形OMN，OM、MN为直角边，∠OMN=90°，求N点的轨迹。 步骤和上面的仍然是一样的。请根据下面的提示图找到N点的轨迹。 1.初始位置： 2.某一运动位置： 3.第一组相似三角形： 4.第二组相似三角形： （二）以等边三角形或者含60度角的菱形、平行四边形为基础形状，主动点在其边上运动，主动点、旋转中心、从动点组成等边三角形。 【例2】在等边三角形AOC中，M为OC边一动点，从A点出发向C运动，以OM为边向右构造等腰直角三角形OMN，∠MON=90°，求N点的轨迹。 第一步：找到主动点M、旋转中心O、从动点N 第二步：将主动点放到初始位置A，从而确定从动点的初始位置B，此时A与M点重合，N与B点重合。B点为定点。 第三步：连接旋转中心点O与从动点的初始位置点B，如原图已连接此步可省略。构造这条线段的作用是为了后面构造相似三角形用。 第四步：将主动点M运动到任一位置，此时从动点也运动到相应的位置N。连接从动点的初始点B和新的位置点N。 第五步：识别旋转相似。此时必然会出现以旋转中心为中心点的旋转相似，而旋转相似必然会出现两组相似三角形。 第一组相似三角形是主动点的初始位置点A、旋转中心O、从动点的初始位置点B构成的△AOB与主动点的任一位置点M、旋转中心O、从动点的任一位置点N构成的△MON相似。因为他们形状完全一样。 第二组相似三角形更重要，是必须要找到的（如果主动点与从动点到旋转中心的距离相等，即OM=ON，则第二组相似就成了全等三角形，全等三角形是相似比等于1 的特殊的相似三角形）。第二组相似就是主动点的初始位置点A、旋转中心O、主动点的任一位置点M构成的△AOM与从动点的初始位置点B、旋转中心O、从动点的任一位置点N构成的△BOM相似。理由就是对应边成比例，夹角相等。 第六步：根据找到的第二组相似三角形（△AOM与△BOM），推出从动点的初始位置点B与从动点的任一位置点N的连线段（BM）与从动点的初始位置点B与旋转中心O的连线段（BO）的夹角是一个定角，等于主动点的初始位置点A与主动点的任一位置点M的连线段（AM）与主动点的初始位置点A与旋转中心O的连线段（AO）的夹角，即∠OAM=∠OBN。从而确定从动点的运动轨迹是以从动点的初始位置点B与旋转中心O的连线段（OB）为定边，经过从动点的初始位置点B的一个固定角度的直线（即BN所在的直线）。 结论：在这里我们可以得出结论，从动点轨迹必然过从动点的初始位置点，在等边三角形中，从动点的轨迹BN与从动点初始位置点与旋转中心的连线OB构成的定角就是60度。从而确定从动点的轨迹。 【变式一】在等边三角形AOC中，M为OC边一动点，从A点出发向C运动，以OM为边向右构造等边三角形OMN，求N点的轨迹。 请根据以下提示图找到N的轨迹。 1.初始位置: 2.某一运动位置 3.第一组相似三角形 4.第二组相似三角形 【变式二】在等边三角形AOC中，M为OC边一动点，从A点出发向C运动，以OM为边向右构造等腰直角三角形OMN，OM为斜边，求N点的轨迹。 请根据以下提示图找到N的轨迹。 1.初始位置图 2.某一运动位置 3.第一组相似三角形 4.第二组相似三角形 、 到这里，相信大家对于找瓜豆原理直线运动轨迹很熟悉了。用直白的话再总结一下的话，就是先找到从动点的初始位置点B，连接旋转中心O与B，得到OB。然后经过B点这个定点，连接B与某一运动状态的点N，BN即为轨迹，且BN与BO的夹角等于AM与AO的夹角，该夹角为一定角。如果在正方形或者矩形中，这个夹角一般是90度，如果在等边三角形中，这个夹角一般是60度。 ( 课堂随练 ) 1．如图，矩形中，，，与相交于为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质. 取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点，设直线交于点，证明，推出，得到点在直线上运动，当在线段上即时，此时线段有最小值，据此即可求解. 【详解】解：如图，取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点， 设直线交于点， ∵点是中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵P为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当在线段上即时，此时线段有最小值， 同理可得四边形是矩形， ∴， 故选：D. 2．如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、，由旋转的性质得到，，，，通过证明得到，利用菱形的性质和等边对等角得到，，则有，分析可得点在过点且与夹角为的直线上运动，当时，有最小值，再利用等腰直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、， 由旋转的性质得到，，，， ，即， ， ， 菱形的边长为4， ， ， ， E是的中点， ， ，， ， ， 点在过点且与夹角为的直线上运动， 当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，则， 的最小值为，即的最小值为． 故选：A． 3．如图，四边形是边长为5的正方形，点P为线段的上一点，，点E是直线上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点F，连接，则的最小值为____． 【答案】 【分析】过点作，利用一线三垂直证得，得到，从而得到，找出点是在的角平分线上运动，利用点到直线垂线段最短求解． 【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点F， ∴， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点在的角平分线上运动， 作的角平分线，过点作交于点，交于点， 当点与点重合时，取得最小值， ∵是的角平分线， ∴ 在中，, ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， 解得， ∴， 即的最小值为． 4．如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____． 【答案】 【分析】过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接，交于H，根据正方形的性质和勾股定理即可求出；设，则，根据求出，证明，可得，则点N在直线上运动，当时，的值最小，再证明可得，即可得解． 【详解】解：过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接交于H， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， ， 线段绕点C顺时针旋转得， ， ， ， ， ， 点N在直线上运动， 过D作， 当时，的值最小， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 5．如图，矩形中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转至，且，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理及垂线段最短等知识．解题的关键是利用瓜豆原理确定点的运动轨迹，再通过矩形的性质转化线段长度，求出最小值．由旋转确定定点与定比，推出从动点的轨迹为直线；再根据点到直线的距离垂线段最短，求出的最小值． 【详解】解：如图，矩形中，，， ，，， 由勾股定理得：， 将线段绕点逆时针旋转至， ，， ，即 在上取点，使，连接， 在和中， ， ， ，即， 点的运动轨迹在过点且垂直于的直线上， 过点作于，过点作直线于， 则当与重合时，取得最小值，最小值为的长， ， ，解得， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ，，， 四边形为矩形， ，即的最小值为． 故答案为：． ( 巩固提高 ) 6．如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是___________． 【答案】 【分析】以为边作等边，连接．证明，得到，从而，因此是定值，即点G在与成定角的直线上运动．过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长．当点E与点A重合时，过点G作于点M，过点F作于点N，求出，，的面积，得到，根据勾股定理求出，再由三角形的面积求出，即可解答． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接． ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴是定值，即点G在与成定角的直线上运动． 过点C作于点H，则点G在点H时，取得最小值，最小值为的长． 如图，当点E与点A重合时， 过点G作于点M，过点F作于点N， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ，， ∴在中， ∵， 又， ∴， ∴， ∴点从点运动到点的过程中，线段的最小值是． 故答案为： 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确找出点G的运动轨迹，根据三角形的面积求解是解题的关键． 7．如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为__________． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形等知识的综合，理解等边三角形的性质，构造三角形全等，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接，证明，得到，当时，的值最小，根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，结合坐标与图形即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的值最小时，的值最小， 当时，的值最小， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：4 ． 8．在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，将线段绕点顺时针旋转得，得，将线段绕点顺时针旋转得，得，证明，得判断要使最大，则三点共线时最大，最大值为，根据勾股定理可求出即可得出结论 【详解】解：∵在平面内，且， ∴在以为圆心，3为半径的圆上，如图， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴， 将线段绕点顺时针旋转得， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴在点为圆心，3为半径的圆上， 要使最大，则三点共线时最大，最大值为； ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴的最大值为， 故答案为：． 9．正方形的边长为1， E为边上动点，将绕点E顺时针旋转得到线段，M为的中点，连接，则的最小值为________ 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质． 连接，A点是定点，E，F动点，根据勾股定理得到，根据正方形的性质得到，，根据相似三角形的判定和性质得到，即F在射线上运动，且，取的中点H，连接，根据三角形中位线得到，，即，过F点作，则四边形是矩形，即，过点F作垂足为G，由旋转性质可知：，，根据证明，得到，，设，根据勾股定理列出关于的函数解析式，得到当时，的最小值为，即可求出的最小值． 【详解】解：连接，A点是定点，E，F动点， ∵， ∴，， 在正方形中，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴F在射线上运动，且． 取的中点H，连接， ∵， ∴，， ∴， 过F点作， ∴四边形是矩形， ∴， 过点F作垂足为G， ∵在正方形中，，， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ， 在中，， 即：， ∴， 当时，的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 10．如图，在矩形中，对角线和相交于点，边的长为4，边的长为，在平面内绕点旋转，且始终保持，． (1)如图1，当点与点重合时，线段与线段的数量关系是_____，线段与线段的位置关系是_____． (2)如图2，我们发现在绕点旋转的程中始终保持，当点旋转至线段的中点时，求线段的长． (3)如图3，若点的运动轨迹为直线，连接，请直接写出线段的最小值和此时的面积． 【答案】(1)，EF (2) (3)， 【分析】（1）根据点与点重合时，点在上，由已知可求矩形对角线长为； （2）作于，易求，，进而求出，再利用，列比例方程即可求解； （3）作于，连接，并延长交于，由旋转相似容易证明，由点为定点，可知点在定直线上，而且，根据点到直线的距离垂线段最短可得，由此即可得出，再利用解三角形求出面积即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∵点与点重合， ∴， ∵，， ∴，在上， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上所述：，． （2）解：作于，如图2， 四边形为矩形， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 为中点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即长为． （3）解：，． 详细解答过程： 作于，连接，并延长交于，如图： 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 为定点，， 在直线上， ，， ， ， ，， ∴，， ， ， ， ． 【点睛】解题关键是利用特殊角解三角形求线段长和利用旋转相似模型转化线段和角的关系，问题（3）是典型的瓜豆模型，利用旋转相似构造，从而证明从而得出点的轨迹． 11．如图，在中，． (1)如图，若，点在边上（不与，点重合）．连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求的度数； (2)如图，若，点，分别在，上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接．请用等式表示线段，，的数量关系并证明； (3)如图，若，点在上，且，点在直线上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接，．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到，连接，当取最大值时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) 解：，证明： 如图1，过点F作，交于点G，连接， ∴． ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，． ∴为等腰直角三角形． ∵点是的中点， ∴，， ∴，即． 在四边形中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴． (3) 【分析】（1）观察图形，结合已知条件证即可； （2）通过取特殊点，先猜想出三条线段应满足的数量关系：，然后结合已知条件，过点F作，交于点G，连接，通过全等把转化为一条线段的长，最后利用等腰直角三角形的性质即可得证； （3）首先通过取特殊点猜想点E的运动轨迹，进而确定出取得最小值时的位置以及对应的线段、角度等；然后再探究点Q的运动轨迹，进而确定取得最大值时的位置即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，． 由旋转，得，， ∴，即， ∴， ∴； （2）略 （3）解：，思路提示： 第一步，确定取得最小值时的位置 如图2，在直线上再取一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接分别交，于H，I，则易知，为等腰直角三角形． ∴，， ∴，即， ∴，∴． ∵在和中，， ∴， ∴． 由条件易知， ∴． 由条件可知当D和A重合时，点E恰好和点H重合，此时． ∴点E在与边垂直、且经过点H的直线上运动． 根据垂线段最短，当时取得最小值，如图3所示． 连接，设，则由条件易知 ． 在等腰直角三角形，和中，，，， ∴，． 第二步，确定取得最大值的位置 ∵点是的中点， ∴． ∵是由沿所在直线翻折得到的， ∴， ∴点Q的运动轨迹为以E为圆心，为半径的圆上（如图4）． ∴当Q在的延长线上时，最大（如图5），此时有． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰直角三角形、全等、相似、圆等知识，掌握解决动态问题的一般方法；熟悉常见的最值模型，如瓜豆问题、圆外一点到圆上一点的最值问题等；如何根据已知条件构造恰当的辅助线是解决问题的关键． 12．如图，在中，，，D为线段上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线于点E，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，若，过点B作，交射线于点F，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若，，过点A作的垂线，垂足为点M，当取得最小值时，直线上方有一点Q，使得，当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点F，过点D作于点G，证明四边形是矩形，先由，，，求得，从而得到，最后在中，由求得； （2）过点A作交延长线于点G，连接，过点G作交于点H，先证，再证，从而得到； （3）先由瓜豆原理得到点M的轨迹为线段，当垂直于该线段时，取得最小值，此时点M为线段的中点，点D为线段的中点，再根据定角定弦，得到点Q在以线段的中点O为圆心，为半径的圆上，当C，O，Q三点共线且点Q在C，O之间时，取得最小值，连接，过点M作于点R，通过，求得的长度，再根据，求得的长度，最后根据三角形面积公式求出． 【详解】（1）解：如图1，过点D作于点F，过点D作于点G， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图2，过点A作交延长线于点G，连接，过点G作交于点H， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，过点A作的垂线，垂足为点M， ∴，， 如图3，取的中点，连接，当点D与重合时，设此时的对应点为 连接，由瓜豆原理，点M的运动轨迹即为直线的一部分． ∵在中，，， ∴， 即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，取得最小值， 此时点M与点重合，点D与点重合，即点M为线段的中点，点D为线段的中点． 如图4，当点M为线段的中点，点D为线段的中点时， ∵， ∴点Q在以线段的中点O为圆心，为半径的圆上， 连接，交于点Q，且点Q位于点C与点O之间，此时取得最小值， 连接，过点M作于点R， ∵，O为线段的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∵M为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．如图，在等腰三角形中，，点E在直线上，点D是平面内一点，连接. (1)如图1，若，点E在线段上，，连接，将绕点A逆时针旋转至，连接，点D为中点，连接，求出此时的面积； (2)如图2，若，点D在外部，点E，点F分别是，的中点，连接，将绕点F顺时针旋转至，连接，，，试猜想线段和的数量关系，并证明； (3)如图3，若，若点D是平面内一动点，连接，将沿翻折得，当B，D，Q三点共线时，在线段上取一点N，使，点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至，连接，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想：，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点F作于点K，证明三角形是等边三角形，再证，在中，求出的长，最后求出； （2）连接，过点D作交延长线于点Q，连接，，先证，再证，最后运用相似三角形性质，特殊角的三角函数值等知识，得出； （3）先证明A，B，C，D四点共圆，再推导出点D在圆上，在上确定一个点F，连接，，使得，连接，，证得，连接，将绕F点顺时针旋转，并将缩短，得到，则点N在圆上，运用瓜豆原理得到点K的运动轨迹，最后得到取最小值时， ． 【详解】（1）解：如图1，过点F作于点K， ∵等腰三角形中，，， ∴三角形是等边三角形， ∵， ∴，， ∵将绕点A逆时针旋转至， ∴，， ∴， ∴，即， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵点D为中点，， ∴， ∴； （2）解：猜想：，理由如下： 如图2，连接，过点D作交延长线于点Q，连接，， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵将绕点F顺时针旋转至， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，     ∵，， ∴， ∴． ∵在等腰三角形中，，， ∴， ∵，点E是的中点， ∴，即， 在中，     ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，     ∵， ∴， ∴， ， ∴； （3）解：∵等腰三角形中，，， ∴三角形是等边三角形， ∵将沿翻折得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴， 设， 则点D在以O为圆心的圆上，点O为等边的内心， 如图3，作，连接，， 则，，， ∴，，， ∴， ∴如图3，点D在以O为圆心，为半径的圆上， 如图4，在上确定一个点F，连接，，使得，连接，， ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 如图5，连接，将绕F点顺时针旋转，并将缩短，得到， 即，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴点N在以为圆心，为半径的圆上， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴，． ∵点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至， ∴点K也在直线上运动， 如图6，设点E运动到中点处为，点E运动到B点处为，作出，的对应点，，连接，则点K在直线上运动， 设直线与延长线交于点S，作于点K，当，N，K三点共线，且点N位于之间时，取最小值． ∵，，， ∵为中点，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， 过点K作于点P，设交于点L， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴如图7，在中， 作于点Z， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等边及等腰三角形的性质与判定，相似三角形及全等三角形的性质与判定，隐圆，瓜豆线等动点问题，综合难度大． 14．如图，在中，，为直线上一点，点为直线上一点，在线段上．    (1)如图1，，，平分，求的长度； (2)如图2，，以为边向上作一个等边三角形，连接，，点为的中点，连接，求证：； (3)如图3，，，点在直线上运动的过程中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当取最小值时，连接，，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3) 【分析】本题考查“全等三角形的性质与判定”“相似三角形的性质与判定”“勾股定理”，灵活运用“瓜豆原理”，进行手拉手全等、相似三角形的构造，找到从动点的运动轨迹是解题关键． （1）根据等腰直角三角形的性质，可知，过点E作的垂线，通过勾股定理列方程即可解出的长度． （2）已知，因此求证等价于求证，以为边向上作等边三角形，利用全等三角形的判定与性质，确定点G的运动轨迹，进而确定点Q的运动轨迹，通过中位线的性质和全等三角形的性质，得到和之间的关系，再借助，即可得到与的关系，从而得证． （3）同（2）中构造方式，分别将点B、点C绕点A逆时针旋转45°，从而得到点M的运动轨迹，进而确定取得最小值时的位置及最小值，再根据翻折的性质，得到，从而确定点N的运动轨迹是圆，进而确定进而确定取得最小值时的位置及最小值，最后通过作垂线，利用相似三角形的性质与判定和勾股定理求的高，即可求出面积． 【详解】（1）解：如图，过点E作于点F．    ∵，， 又， ∴，，． ∵平分，， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 解得． （2）证明：如图，分别以，为边，向上作等边三角形，得到，，连接，，，延长交于点H．    由作法可得，，，，， ∴． 又， ∴． ∴． 又，， ∴． 同理，． ∴，． ∴． ∴点，，三点共线，即点在线段上． ∵，， ∴． ∴点，，三点共线． 又， ∴点A为的中点． 又点为的中点， ∴是的中位线， ∴，． ∵， ∴． ∴． 又是等边三角形， ∴，． ∴，． ∴点在线段上． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （3）解：如图，分别将点B、点C绕点A逆时针旋转45°，得到，，作直线交于点H．    同（2）理，可得，， ∴点M在直线上． ∴当时，取最小值． 由旋转的性质，可知，，知，， ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴，． ∵， ∴． ∴． 由翻折的性质，可知， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上． 如图，当点N在上时，取得最小值，连接，过点作于点．    此时． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中，． ∴． ∵，， ∴． ∴，即． 解得． ∴． 15．已知：在菱形中，，点E为直线上的一点，连接． (1)如图1，，若，求的长； (2)如图2，与对角线交于点F，，求证：； (3)如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先由得，从而得出的值，再根据勾股定理得，然后在中，可得，最后再根据勾股定理即可解答； （2）由菱形中，可得，延长，在上取点，作，可证，可证得， ，从而得出，进而证得，从而得出； （3）由旋转可得，可证，当时取最小值，作交于点，如图，再证可证，最后由三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴ ， ∵ 在中，， ∴ ，则，根据勾股定理得： ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ （2）∵菱形中， ∴ ，， ∵， ∴ ∴ 如图；延长，在上取点，作 ∵ ， ∴ ， ∵ 是菱形的对角线， ∴ 在与中 ∴ ∴， 在与 ∴ ∴ ∵ ∴ （3）如图；∵点E为直线上的一点，线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当时取最小值； ∴ ∵ ∴ ∴ ，即： ∴   ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 作交于点， ∵ ， ∴ ，即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的面积，直角三角形的性质和判定等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 16．在中，D为直线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接与相交于点F． (1)如图1，若D为的中点，，，，连接，求线段的长； (2)如图2，G是线段延长线上一点，D在线段上，连接，，若，，，，证明； (3)如图3，若为等边三角形，，点M为线段上一点，且，点P是直线上的动点，连接，，，请直接写出当最小时的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）根据题意由勾股定理可得长度，作，交于，利用旋转及互余可证得（AAS），则得，，可求出，再由勾股定理可得的长度； （2）由旋转可知，为等腰直角三角形，根据其性质再利用互余可证得（AAS），则有，，由，可证，由，利用三角形内角和定理可得，作，交延长线于，连接，易知，为等腰直角三角形，可得，，，易得，可证四边形是平行四边形，即，利用可得证结论； （3）作，交于，将绕点逆时针旋转，证明（SAS），进而证得，作点关于的对称点，连接，，由对称易知，易知当最小时，即最小，亦即、、在同一直线，且，如图，作，交于，易知四边形是矩形，证得是等边三角形，求出，的高，根据可得答案． 【详解】（1）解：∵为的中点，，， ∴，则由勾股定理，可得：， 作，交于， 由题意可知，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴（AAS）， ∴，， 则， 由勾股定理可得：； （2）证明：由旋转可知，为等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中，， ∴（AAS）， ∴，， 则：， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵， 由三角形内角和定理可得：， 即：， ∴， 作，交延长线于，连接， ∴为等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∴； （3）作，交于， ∵是等边三角形， ∴，，平分， 则， 将绕点逆时针旋转，则，， ∴， ∴（SAS）， ∴ ∴， 作点关于的对称点，连接，，由对称易知，， ∴ 当最小时，即最小，亦即、、在同一直线，且，如图： 作，交于，则， ∴，， ∵，， ∴，，四边形是矩形， 则，，即， 由轴对称可知，， ∴是等边三角形，则：， ∵， ∴，， ∴，， 则由勾股定理可得：，， ∵，， 则为，之间的距离， ∴，即的高 ∴， ∴． 【点睛】本题属于几何综合题，考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，第（2）问证明，解决问题的关键，第（3）问弄清的运动轨迹是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题39 瓜豆原理的底层逻辑是旋转相似 瓜豆原理，是初中阶段动点学习的重要模型，虽然瓜豆原理有线生线、圆生圆两种，但是从实际考试中来看，基本考的全是线生线。原因也很简单，初中阶段的动点轨迹要么是直线，要么是圆，如果要考圆，可以在圆这一章，隐圆有大把模型可以考，所以就没有必要在瓜豆原理这里考圆生圆了。 瓜豆原理的线生线，经常出现在选择填空压轴，以及解答题的压轴题中，所以学习瓜豆原理就重点掌握好线生线这种模型。认真学习本专题，抽丝剥茧解析瓜豆原理的底层逻辑，让您彻底搞定瓜豆原理线生线找动点运动轨迹的方法，不大可能还不会找运动轨迹。 ( 模型讲解 ) 一、知识储备 在学习本专题内容之前，大家先记住三个重要结论（三个结论是本人根据多年教学做题经验的原创），在学完本专题内容之后，您会对这三个结论有更深的认识和理解： 1.瓜豆原理的本质和底层逻辑是旋转相似。 2.旋转相似必然会有两组相似三角形。 3.第二组相似三角形更重要，是解题的关键。 我们知道，要想确定一条直线，常考的主要有以下四种： 第一种：两点确定一条直线。即2个定点可以确定一条直线。 第二种：动点定距离。即有1个动点到一条定直线的距离始终是一定的。那么该动点的轨迹就是与定直线的平行线。 第三种：动点到两个定点的距离相等。那么此时该动点就在这两个定点的垂直平分线上运动。 第四种：定点加方向。即过一个定点，且倾斜角（与一条定边的夹角）是固定的，那么这条直线也是确定的。 而瓜豆原理中的确定直线的方式就是第四种：定点加方向。如上图，动点H经过定点F，F在定直线FG上，且∠HFG为定角，那么H的轨迹就是FH这条直线。 二、模型详解 （一）以矩形、正方形或者直角坐标系为基础形状，主动点在其边上运动。主动点、旋转中心、从动点组成等边三角形或等腰直角三角形。（有的时候题目可能以某条边旋转60度或90的形式给出，这条旋转的边往往是主动点与旋转中心的连线段） 【例1】如图，已知矩形AODE，AO=2，AE=4，点M是AE上的动点，从A出发往E点运动，以OM为边向右构造等腰直角三角形OMN，OM与ON为直角边，∠OMN=90°，求N点的轨迹。 第一步：找到主动点M、旋转中心O、从动点N 第二步：将主动点放到初始位置A，从而确定从动点的初始位置B，此时A与M点重合，N与B点重合。B点为定点。 第三步：连接旋转中心点O与从动点的初始位置点B，如原图已连接，此步可省略。构造这条线段的作用是为了后面构造相似三角形用。 第四步：将主动点M运动到任一位置，此时从动点也运动到相应的位置N。连接从动点的初始点B和新的位置点N。 第五步：识别旋转相似。此时必然会出现以旋转中心为中心点的旋转相似，而旋转相似必然会出现两组相似三角形。 第一组相似三角形是主动点的初始位置点A、旋转中心O、从动点的初始位置点B构成的△AOB与主动点的任一位置点M、旋转中心O、从动点的任一位置点N构成的△MON相似。因为他们形状完全一样。 第二组相似三角形更重要，是必须要找到的（如果主动点与从动点到旋转中心的距离相等，即OM=ON，则第二组相似就成了全等三角形，全等三角形是相似比等于1 的特殊的相似三角形）。第二组相似就是主动点的初始位置点A、旋转中心O、主动点的任一位置点M构成的△AOM与从动点的初始位置点B、旋转中心O、从动点的任一位置点N构成的△BOM相似。理由就是对应边成比例，夹角相等。 第六步：根据找到的第二组相似三角形（△AOM与△BOM），推出从动点的初始位置点B与从动点的任一位置点N的连线段（BM）与从动点的初始位置点B与旋转中心O的连线段（BO）的夹角是一个定角，等于主动点的初始位置点A与主动点的任一位置点M的连线段（AM）与主动点的初始位置点A与旋转中心O的连线段（AO）的夹角，即∠OAM=∠OBN。从而确定从动点的运动轨迹是以从动点的初始位置点B与旋转中心O的连线段（OB）为定边，经过从动点的初始位置点B的一个固定角度的直线（即BN所在的直线）。 结论：在这里我们可以得出结论，从动点的轨迹必然过从动点的初始位置点，在正方形或者矩形中，从动点的轨迹BN与从动点初始位置点B与旋转中心O的连线OB构成的定角就是90度。从而确定从动点的轨迹。 【变式一】其他条件不变。以OM为边向右构造等边三角形OMN，求N点的运动轨迹。原题为2022年广州中考填空压轴题。 步骤与上面的完全一致。 第一步：找到主动点M、旋转中心O、从动点N 第二步：将主动点放到初始位置A，从而确定从动点的初始位置B，此时A与M点重合，N与B点重合。B点为定点。 第三步：连接旋转中心点O与从动点的初始位置点B，如原图已连接此步可省略。构造这条线段的作用是为了后面构造相似三角形用。 第四步：将主动点M运动到任一位置，此时从动点也运动到相应的位置N。连接从动点的初始点B和新的位置点N。 第五步：识别旋转相似。此时必然会出现以旋转中心为中心点的旋转相似，而旋转相似必然会出现两组相似三角形。 第一组相似三角形是主动点的初始位置点A、旋转中心O、从动点的初始位置点B构成的△AOB与主动点的任一位置点M、旋转中心O、从动点的任一位置点N构成的△MON相似。因为他们形状完全一样。 第二组相似三角形（如果主动点与从动点到旋转中心的距离相等，即OM=ON，则第二组相似就成了全等三角形，在本题中，OM=ON，所以第二组相似成了全等）。第二组相似就是主动点的初始位置点A、旋转中心O、主动点的任一位置点M构成的△AOM与从动点的初始位置点B、旋转中心O、从动点的任一位置点N构成的△BOM相似。理由就是对应边成比例，夹角相等。本题中△AOM与△BOM全等。 第六步：根据找到的第二组相似三角形（本题中△AOM与△BOM全等），推出从动点的初始位置点B与从动点的任一位置点N的连线段（BM）与从动点的初始位置点B与旋转中心O的连线段（BO）的夹角是一个定角，等于主动点的初始位置点A与主动点的任一位置点M的连线段（AM）与主动点的初始位置点A与旋转中心O的连线段（AO）的夹角，即∠OAM=∠OBN。从而确定从动点的运动轨迹是以从动点的初始位置点B与旋转中心O的连线段（OB）为定边，经过从动点的初始位置点B的一个固定角度的直线（即BN所在的直线）。 【变式二】其他条件不变。以OM为边向右构造等腰直角三角形OMN，OM与ON为直角边，∠MON=90°，求N点的轨迹。 还是和上面一样的步骤。 第一步：找到主动点M、旋转中心O、从动点N 第二步：将主动点放到初始位置A，从而确定从动点的初始位置B，此时A与M点重合，N与B点重合。B点为定点。 第三步：连接旋转中心点O与从动点的初始位置点B，如原图已连接此步可省略。构造这条线段的作用是为了后面构造相似三角形用。 第四步：将主动点M运动到任一位置，此时从动点也运动到相应的位置N。连接从动点的初始点B和新的位置点N。 第五步：识别旋转相似。此时必然会出现以旋转中心为中心点的旋转相似，而旋转相似必然会出现两组相似三角形。 第一组相似三角形是主动点的初始位置点A、旋转中心O、从动点的初始位置点B构成的△AOB与主动点的任一位置点M、旋转中心O、从动点的任一位置点N构成的△MON相似。因为他们形状完全一样。 第二组相似三角形（如果主动点与从动点到旋转中心的距离相等，即OM=ON，则第二组相似就成了全等三角形，在本题中，OM=ON，所以第二组相似成了全等）。第二组相似就是主动点的初始位置点A、旋转中心O、主动点的任一位置点M构成的△AOM与从动点的初始位置点B、旋转中心O、从动点的任一位置点N构成的△BOM相似。理由就是对应边成比例，夹角相等。本题中△AOM与△BOM全等。 第六步：根据找到的第二组相似三角形（本题中△AOM与△BOM全等），推出从动点的初始位置点B与从动点的任一位置点N的连线段（BM）与从动点的初始位置点B与旋转中心O的连线段（BO）的夹角是一个定角，等于主动点的初始位置点A与主动点的任一位置点M的连线段（AM）与主动点的初始位置点A与旋转中心O的连线段（AO）的夹角，即∠OAM=∠OBN。从而确定从动点的运动轨迹是以从动点的初始位置点B与旋转中心O的连线段（OB）为定边，经过从动点的初始位置点B的一个固定角度的直线（即BN所在的直线）。 【变式三】其他条件不变。以OM为边向右构造等腰直角三角形OMN，OM为斜边，∠ONM=90°，求N点的轨迹。 步骤和上面仍然一样，大家可以根据下面的提示图自己找一下N的轨迹。 1.初始位置： 2.某一运动位置： 3.第一组相似三角形： 4.第二组相似三角形： 【变式四】已知正方形ABEO。点M在AB上运动，以OM为边向右构造等腰直角三角形OMN，OM、MN为直角边，∠OMN=90°，求N点的轨迹。 步骤和上面的仍然是一样的。请根据下面的提示图找到N点的轨迹。 1.初始位置： 2.某一运动位置： 3.第一组相似三角形： 4.第二组相似三角形： （二）以等边三角形或者含60度角的菱形、平行四边形为基础形状，主动点在其边上运动，主动点、旋转中心、从动点组成等边三角形。 【例2】在等边三角形AOC中，M为OC边一动点，从A点出发向C运动，以OM为边向右构造等腰直角三角形OMN，∠MON=90°，求N点的轨迹。 第一步：找到主动点M、旋转中心O、从动点N 第二步：将主动点放到初始位置A，从而确定从动点的初始位置B，此时A与M点重合，N与B点重合。B点为定点。 第三步：连接旋转中心点O与从动点的初始位置点B，如原图已连接此步可省略。构造这条线段的作用是为了后面构造相似三角形用。 第四步：将主动点M运动到任一位置，此时从动点也运动到相应的位置N。连接从动点的初始点B和新的位置点N。 第五步：识别旋转相似。此时必然会出现以旋转中心为中心点的旋转相似，而旋转相似必然会出现两组相似三角形。 第一组相似三角形是主动点的初始位置点A、旋转中心O、从动点的初始位置点B构成的△AOB与主动点的任一位置点M、旋转中心O、从动点的任一位置点N构成的△MON相似。因为他们形状完全一样。 第二组相似三角形更重要，是必须要找到的（如果主动点与从动点到旋转中心的距离相等，即OM=ON，则第二组相似就成了全等三角形，全等三角形是相似比等于1 的特殊的相似三角形）。第二组相似就是主动点的初始位置点A、旋转中心O、主动点的任一位置点M构成的△AOM与从动点的初始位置点B、旋转中心O、从动点的任一位置点N构成的△BOM相似。理由就是对应边成比例，夹角相等。 第六步：根据找到的第二组相似三角形（△AOM与△BOM），推出从动点的初始位置点B与从动点的任一位置点N的连线段（BM）与从动点的初始位置点B与旋转中心O的连线段（BO）的夹角是一个定角，等于主动点的初始位置点A与主动点的任一位置点M的连线段（AM）与主动点的初始位置点A与旋转中心O的连线段（AO）的夹角，即∠OAM=∠OBN。从而确定从动点的运动轨迹是以从动点的初始位置点B与旋转中心O的连线段（OB）为定边，经过从动点的初始位置点B的一个固定角度的直线（即BN所在的直线）。 结论：在这里我们可以得出结论，从动点轨迹必然过从动点的初始位置点，在等边三角形中，从动点的轨迹BN与从动点初始位置点与旋转中心的连线OB构成的定角就是60度。从而确定从动点的轨迹。 【变式一】在等边三角形AOC中，M为OC边一动点，从A点出发向C运动，以OM为边向右构造等边三角形OMN，求N点的轨迹。 请根据以下提示图找到N的轨迹。 1.初始位置: 2.某一运动位置 3.第一组相似三角形 4.第二组相似三角形 【变式二】在等边三角形AOC中，M为OC边一动点，从A点出发向C运动，以OM为边向右构造等腰直角三角形OMN，OM为斜边，求N点的轨迹。 请根据以下提示图找到N的轨迹。 1.初始位置图 2.某一运动位置 3.第一组相似三角形 4.第二组相似三角形 、 到这里，相信大家对于找瓜豆原理直线运动轨迹很熟悉了。用直白的话再总结一下的话，就是先找到从动点的初始位置点B，连接旋转中心O与B，得到OB。然后经过B点这个定点，连接B与某一运动状态的点N，BN即为轨迹，且BN与BO的夹角等于AM与AO的夹角，该夹角为一定角。如果在正方形或者矩形中，这个夹角一般是90度，如果在等边三角形中，这个夹角一般是60度。 ( 课堂随练 ) 1．如图，矩形中，，，与相交于为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是边长为5的正方形，点P为线段的上一点，，点E是直线上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转，点A的对应点为点F，连接，则的最小值为____． 4．如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____． 5．如图，矩形中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转至，且，连接，则的最小值为______． ( 巩固提高 ) 6．如图，在矩形中，，，是对角线上的一动点，连接，若以为边向右上侧作等边；点从点运动到点的过程中，连接，则线段的最小值是___________． 7．如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为__________． 8．在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为________． 9．正方形的边长为1， E为边上动点，将绕点E顺时针旋转得到线段，M为的中点，连接，则的最小值为________ 10．如图，在矩形中，对角线和相交于点，边的长为4，边的长为，在平面内绕点旋转，且始终保持，． (1)如图1，当点与点重合时，线段与线段的数量关系是_____，线段与线段的位置关系是_____． (2)如图2，我们发现在绕点旋转的程中始终保持，当点旋转至线段的中点时，求线段的长． (3)如图3，若点的运动轨迹为直线，连接，请直接写出线段的最小值和此时的面积． 11．如图，在中，． (1)如图，若，点在边上（不与，点重合）．连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求的度数； (2)如图，若，点，分别在，上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接．请用等式表示线段，，的数量关系并证明； (3)如图，若，点在上，且，点在直线上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接，．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到，连接，当取最大值时，请直接写出的值． 12．如图，在中，，，D为线段上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线于点E，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，若，过点B作，交射线于点F，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若，，过点A作的垂线，垂足为点M，当取得最小值时，直线上方有一点Q，使得，当取得最小值时，直接写出的值． 13．如图，在等腰三角形中，，点E在直线上，点D是平面内一点，连接. (1)如图1，若，点E在线段上，，连接，将绕点A逆时针旋转至，连接，点D为中点，连接，求出此时的面积； (2)如图2，若，点D在外部，点E，点F分别是，的中点，连接，将绕点F顺时针旋转至，连接，，，试猜想线段和的数量关系，并证明； (3)如图3，若，若点D是平面内一动点，连接，将沿翻折得，当B，D，Q三点共线时，在线段上取一点N，使，点E是直线上的动点，将绕点E顺时针旋转至，连接，当取最小值时，直接写出的值． 14．如图，在中，，为直线上一点，点为直线上一点，在线段上．    (1)如图1，，，平分，求的长度； (2)如图2，，以为边向上作一个等边三角形，连接，，点为的中点，连接，求证：； (3)如图3，，，点在直线上运动的过程中，将线段绕点逆时针旋转得到线段，当取最小值时，连接，，将沿所在直线翻折到所在平面内，得，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 15．已知：在菱形中，，点E为直线上的一点，连接． (1)如图1，，若，求的长； (2)如图2，与对角线交于点F，，求证：； (3)如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当取最小值时，直接写出的值． 16．在中，D为直线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接与相交于点F． (1)如图1，若D为的中点，，，，连接，求线段的长； (2)如图2，G是线段延长线上一点，D在线段上，连接，，若，，，，证明； (3)如图3，若为等边三角形，，点M为线段上一点，且，点P是直线上的动点，连接，，，请直接写出当最小时的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $