第一部分 8 培优专题八 轨迹问题中的主从联动(瓜豆原理)-【练客中考】2026年贵州新中考数学二轮重难培优PPT

该初中数学中考复习课件聚焦“主从联动（瓜豆原理）”核心考点，精准对接中考动态几何考查要求。通过分直线轨迹、圆轨迹两类梳理考点，明确条件结论，结合例题解析归纳常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题训练+模型拆解+技巧指导”模式，如正方形动点与等边三角形结合求最值题，通过旋转构造全等、定位轨迹求最小值，培养学生几何直观与推理能力。助力学生掌握动态问题解题技巧，为教师提供系统复习方案，提升中考冲刺效率。

二轮重难培优 数学 第一部分 贵州培优专题强训 培优专题八　轨迹问题中的主从联动(瓜豆原理) 深研贵州统考方向 条件：定点A，主动点P，从动点Q，∠PAQ＝α，＝k，点P在直线BC上运动 图形展示： (1)A，Q，P三点共线 新题好题 一练提优 (2)A，Q，P三点不共线 结论： (1)当点P的轨迹是直线时，点Q的轨迹也是直线 (2)P，Q两点轨迹所在直线的夹角等于α (3)P，Q两点轨迹长度之比等于AP∶AQ＝k 新题好题 一练提优 如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接 CG，则CG的最小值为____. (例题图)　 新题好题 一练提优 ➡读题干 等边△EFG→∠FEG＝60°，EF＝EG ➡配模型 定点E，主动点F，从动点G，∠FEG＝60°，＝1，点F在AB边上运 动，考虑“主从联动——线段”模型 ➡辅助线 ①将△EFB绕点E顺时针旋转60°得到△EGH ②过点C作CM⊥HG，垂足为M ③过点E作EP⊥CM，垂足为P (例题解图) 新题好题 一练提优 ➡明思路 ①旋转→△EFB≌△EGH→△EBH为等边三角形，△EGH为直角三角形 ②点G的运动轨迹为垂直EH的线段HN→CG的最小值为线段CM的长 ③四边形HEPM为矩形，△EPC是含30°的直角三角形 (例题解图) 新题好题 一练提优 【解析】∵正方形ABCD的边长为5，BE＝2，∴CE＝3.由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，∠FEG＝60°，EF＝EG，点F在线段AB上运动，则点G也一定在线段上运动.如解图，将△EFB绕点E顺时针旋转60°，使EF的对应边与EG重合，则△EFB≌ △EGH，∴BE＝HE，∠BEH＝60°，∠GHE＝90°，∴△EBH为等边三角形，△EGH为直角三角形，延长HG交CD于点N， (例题解图) 新题好题 一练提优 ∴点G的运动轨迹为垂直EH的线段HN.过点C作CM⊥HG，垂足为M，则CG的最小值为CM的长.过点E作EP⊥CM，垂足为P，则四边形HEPM为矩形，∴MP＝EH＝BE＝2，∠PEC＝180°－∠PEH－ ∠BEH＝180°－90°－60°＝30°，∴PC＝CE＝，∴CM＝MP＋PC＝2＋＝，∴CG的最小值为. (例题解图) 新题好题 一练提优 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)，点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C逆时针旋转90°至线段CB，连接AB，BO，则BO的最小值是_____. (第1题图)　 新题好题 一练提优 【解析】如解图，过点B作BH⊥y轴，垂足为点H，∴∠BHC＝90°，∴∠HCB＋∠CBH＝90°.∵线段CA绕着点C逆时针方向旋转90°得到线段CB，∴∠BCA＝90°，CB＝CA，∴∠HCB＋∠ACO＝90°，∴∠CBH＝∠ACO.∵∠AOC＝90°，∴△AOC≌△CHB(AAS)，∴HC＝OA，HB＝OC. (第1题解图) 新题好题 一练提优 设点C(0，m)，∵点A(1，0)，∴点B的坐标为(m，m＋1)，∴点B的运动轨迹是直线y＝x＋1.∵直线y＝x＋1交x轴于点E(－1，0)，交y轴于点F(0， 1)，∴OE＝OF＝1，∴EF＝.过点O作OT⊥EF于点T，则OT＝EF＝. 根据垂线段最短可知，当点B与点T重合时，OB的值最小，最小值为. (第1题解图) 新题好题 一练提优 2.如图，在△ABC中，AC＝6，D是AC上一动点，以BD为直角边向右下方作Rt△BDE，∠BDE＝90°，∠DBE＝30°，当点D由点A运动到点C时，点E运动的路径长为_______. (第2题图) 4 新题好题 一练提优 【解析】由题意得，D是主动点，在AC边上运动，是从动点，∠BDE ＝90°，∠DBE ＝30°，∴＝ cos 30°＝，∴点E的运动轨迹为线段.如解图，分 (第2题解图) 别以AB，BC为直角边作Rt△ABE1，Rt △CBE2，且∠ABE1＝∠CBE2＝ 30°，∴点E的运动轨迹为线段E1E2，△ABE1∽△CBE2，∴＝＝.∵∠ABE1＋∠E1BC＝∠E1BC＋∠CBE2，∴∠ABC＝∠E1BE2，∴△ABC∽△E1BE2，∴＝＝.∵AC＝6，∴E1E2＝4. 新题好题 一练提优 条件：定点A，主动点P，从动点Q，∠PAQ＝α，＝k，点P在⊙O上运动 图形展示： (1)A，Q，P三点共线 (2)A，Q，P三点不共线 新题好题 一练提优 结论： (1)当点P的轨迹是圆时，点Q的轨迹也是圆 (2)两圆心与定点连线的夹角等于主、从动点与定点连线的夹角，即∠PAQ＝∠OAM＝α (3)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比，也等于两圆半径之比，即AP∶AQ＝AO∶AM＝PO∶QM＝k 新题好题 一练提优 如图，已知⊙O的直径AB＝2，C为⊙O上的动点，连接OC，CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接OD，则OD的最大值为______. (例题图)　 ＋1 新题好题 一练提优 ➡读题干 将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD→△BCD为等腰直角三角形 ➡配模型 定点B，主动点C，从动点D，∠CBD＝45°，＝，点C在⊙O上运动，考虑“主从联动——圆”模型 ➡辅助线 以OB为斜边在AB的下方作等腰直角三角形OBE，连接CE，BD (例题解图) 新题好题 一练提优 ➡明思路 ①点D的运动轨迹为以点O′为圆心，O′D长为半径的圆 ②⊙O的直径AB，等腰直角三角形OBE→OB，OE长度 ③△BCD，△OBE为等腰直角三角形→△DBO∽△CBE→OD＝CE ④当C，O，E三点共线时，即点C在点C′处时，CE取得最大值，即OD取得最大值 (例题解图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，以OB为斜边在AB的下方作等腰直角三角形OBE，连接CE，BD.∵将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∴∠DBC＝45°，BD＝BC.∵△OBE是等腰直角三角形，∴OE＝BE，∠OBE＝45°，OB＝BE＝1， (例题解图) 新题好题 一练提优 ∴BE＝OE＝.∵∠DBC＝∠OBE，∴∠OBD＝∠EBC.又∵＝＝，∴△DBO∽△CBE，∴＝＝，∴OD＝CE，∴当CE有最大值时，OD有最大值.当C，O，E三点共线时，即点C在点C′处时，CE有最大值，为1＋，∴OD的最大值为＋1. (例题解图) 新题好题 一练提优 1.如图，线段AB＝2，点C为平面上一动点，且∠ACB＝90°，P是AC的中点，将AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，连接BF，则线段 BF的最大值为______. (第1题图) 新题好题 一练提优 【解析】如解图，取AB的中点D，则AD＝AB＝1，连接CD，过点A作AE⊥AB，使AE＝AD＝，连接FE，BE.∵点C是主动点，在⊙D上运动，点F是从动点，且∠CAF＝90°，AF＝AC，∴点F的 (第1题解图) 运动轨迹为以点E为圆心，EF长为半径的圆.∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AB＝1.∵∠FAC＝90°，∠EAB＝90°，∴∠FAE＝∠CAD. 新题好题 一练提优 ∵＝＝，∴△AEF∽△ADC，∴＝＝，∴EF＝CD＝.∵∠EAB＝90°，∴EB＝＝，∴当F，E，B三点共线且E在B，F之间时，BF的值最大，最大值为＋＝. (第1题解图) 新题好题 一练提优 2.如图，正方形ABCD的边长为2，点P为边AD上的动点，将正方形ABCD沿BP折叠得到△QBP，连接CQ，取CQ的中点M，连接DM，则DM的最小值为_________. (第2题图) －1 新题好题 一练提优 【解析】如解图，由折叠可知BQ＝BA.当点P在AD上运动时，点Q在以点B为圆心，AB长为半径的弧上运动.取BC的中点E，连接ME.∵M是CQ的中点，∴EM是△CBQ的中位线，∴点M在以点E为圆心，EC长为半径的弧上运动，连接DE交点M的运动轨迹圆弧于点M′. (第2题解图) 新题好题 一练提优 当E，M，D三点共线，即点M与M′重合时，DM取得最小值，为线段DM′的长.∵正方形ABCD的边长为2，∴CD＝2，EC＝1，∴DE＝＝，∴DM′＝－1，即 DM的最小值为－1. (第2题解图) 新题好题 一练提优 温馨提示 本课件由陕西炼书客图书策划有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ $