3.4 分式方程 课件 2026-2027学年青岛版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分式方程，系统涵盖概念、解法、增根及应用，通过植树、自驾等实际情景导入，从问题抽象等量关系引出分式方程，以“实际问题—概念—解法—应用”为支架衔接知识脉络。 其亮点在于以活动探究驱动学习，如小组讨论增根原因培养推理意识，用行程问题模型表达数量关系发展应用意识。采用情景导入和分步骤教学，小结聚焦核心关键词，助力学生形成数学思维，教师可借助实例提升教学效率。

3.4 分式方程 第3章 分式 22005 3.4.1 分式方程及其解法 第3章 分式 22005 1.理解分式方程的概念，能判断一个方程是否是分式方程. 2.掌握分式方程去分母的方法，会解分式方程. 学习目标 22005 活动：阅读情景材料，回答下列问题. 任务一：理解分式方程的概念，能判断一个方程是否是分式方程. 情景：甲乙两班的同学参加植树，乙班每小时比甲班多植3棵，甲班植60棵树时，乙班植了66棵树，甲乙两班每小时各植树多少棵？ 分析： 1.哪些是已知量，哪些是未知量？ 2.这个问题中的等量关系是什么？ 3.根据找到的等量关系，设未知数，列出对应的方程. 等量关系：甲植60棵用时=乙植66棵用时. 设甲每小时植树x棵，则可列方程为　 活动探究 22005 思考：观察问题3中列出的方程 ，你发现它有什么特征？ 新知生成 像这样，分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 追问：方程 与上面的方程有什么共同特征？ 22005 练一练 （1） 下列关于x的方程中，哪些是分式方程？ （2） （3） （4） √ √ （5） （6） √ 注意：分式方程必须满足：1.是方程 2.含有分母；3.分母中含有未知数. 22005 任务二：解分式方程，并检验一个数是不是原方程的解. 活动：尝试解分式方程 ，和同伴一起交流. 问题二：怎样去分母？ 问题三：在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ 问题一：如何把它转化为整式方程？ “去分母” 在方程两边都乘同一个式子， 最简公分母 22005 解：方程两边都乘最简公分母x(x+3)，得 60(x+3)=66x. 解这个一元一次方程，得x=30. x=30是原分式方程的解吗？ 检验：将x=30代入原分式方程中，左边=右边， 所以x=30是原分式方程的解. 22005 解分式方程的基本思路: 具体做法是“去分母” ，即方程两边同乘最简公分母： 注意：解分式方程后必须检验. 活动小结 分式方程 整式方程 去分母 两边都乘以最简公分母 分式方程化为整式方程. 22005 练一练 解分式方程： 解：方程两边都乘最简公分母(x+3)(x-3)，得 2=(x-3)+(x+3). 解得 x = 1. 经检验，x =1是原方程的根. 22005 1.下列关于x的方程中，不是分式方程的是（　　） A. B. C. D. D π是常数，它是一个整式方程 当堂检测 22005 2.分式方程的解是（　　） A.x=3 B.x=-3 C.x=-1 D.x=1 3.如果关于x的方程 是分式方程，那么m、n的 取值范围是 . m≠0，n为任意实数 B 22005 3.解分式方程： 解：去分母得: 3=2x+3x-3， 解得 x=1.2， 经检验x=1.2是分式方程的解. 22005 1.分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫作分式方程.  2.解分式方程的基本思路： 分式方程 整式方程 去分母 两边都乘以最简公分母 课堂总结 22005 3.4.2 分式方程的增根 第3章 分式 22005 1.理解分式方程增根的含义，并弄清分式方程产生增根的原因，知道分式方程验根的必要性. 2.掌握解分式方程的一般步骤，并能熟练的应用该步骤解分式方程. 学习目标 22005 解方程 ，并检验，你发现了什么？ 任务一：探究分式方程产生增根的原因. 活动：小组交流，思考下列问题. 方解方程得x=8，代入检验发现：分母为零. 像这样，在方程变形中产生的不适合原方程的根叫作方程的增根. x=8是不是原方程的根？ 不是，代入后分式无意义，所以原方程无解. 活动探究 22005 小组讨论 问题：1.解一元一次方程时，会出现增根吗？为什么？ 2.解分式方程(1)，为什么没有出现增根？ 3.解分式方程(2)，为什么会出现增根？ 4.解分式方程为什么必须验根？ 观察前面解过的分式方程的解题过程，思考下列问题，并与同学交流. 解题过程： x=1 两边同乘(x+3)(x-3)变形得 一元一次方程2=(x-3)+(x+3)，解得 x=8 两边同乘(x-8)变形得 一元一次方程x-9+1=9(x-8)，解得 22005 x=1 两边同乘(x+3)(x-3)变形得 一元一次方程2=(x-3)+(x+3)，解得 分式方程两边乘了同一个不为0的式子，所得整式方程的解与原分式方程的解相同. x=8 两边同乘(x-8)变形得 一元一次方程x-9+1=9(x-8)，解得 分式方程两边乘了同一个等于0的式子，所得整式方程的解使分母为0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解． 22005 活动小结 增根产生的原因: 注意：未避免增根的情况，最后必须验根. 在分式方程的两边同乘了值为0的代数式. 22005 练一练 当m为何值时，解分式方程 会出现增根？ 解：分式两边同时乘以(xー2),得x-3=-m， 当分式方程出现增根时，有xー2=0,即x=2， 将x=2,代入x-3=-m， 解得m=1， 所以当m=1时，原分式方程出现增根. 22005 任务二：掌握分式方程的一般步骤，并能熟练应用该步骤解分式方程. 活动：解分式方程 ，并与同学交流讨论如下问题. 问题：1.想一想，解分式方程时怎样验根比较简便. 2.尝试归纳解分式方程的主要步骤. 解：方程两边都乘以最简公分母(x＋3)(x-3)，得 (x-3)2-36＝(x+3)(x-3)， 整理，得6x=18，解得x=-3. 检验：当x=-3时，(x+3)(x-3)=0. 所以，x=-3是增根，原方程无解. 22005 活动小结 求解分式方程的一般步骤：一化、二解、三检验. 分式方程 整式方程 x=a a不是分式 方程的解 a是分式 方程的解 最简公分母不为0 最简公分母为0 检验 解整式方程 去分母 目标 方程两边都乘最简公分母 22005 练一练 解：(1)去分母时漏乘常数项,致使后面的解出错,而且未检验. (2)去分母,得1-x=-1-2(x-2),解得x=2. 检验:当x=2时,x-2=0,所以原方程无解. 在解分式方程 时,小亮的解题过程如下: 方程两边同乘x-2, 得1-x=-1-2，解得x=4，所以原方程的解为x=4. (1)小亮的计算过程有错误，请帮小亮找一下原因在哪里? (2)根据求解分式方程的步骤，帮小亮正确求解方程. 注意：去分母时不要漏乘常数项；牢记验根. 22005 1.解分式方程 时，去分母后变形正确的为（　　） A．2＋(x＋2)＝3(x－1) B．2－x＋2＝3(x－1) C．2－(x＋2)＝3 D．2－(x＋2)＝3(x－1) D 当堂检测 22005 2.解分式方程 的结果为（　　） A．1 B．-1 C．-2 D．无解 D 22005 3.若分式方程 有增根，则增根可能是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．0，﹣1，1 D 22005 4.已知关于x的方程 无解，求a的取值范围． 解：去分母得：ax+2=3x-3， 移项合并得：(a-3)x=-5， 当a-3=0，即a=3时，方程无解； 则a=-2或3时，分式方程无解． 当a-3≠0，即a≠3时，解得： 由分式方程无解，得到 即a=-2， 22005 针对本节课的关键词“检验分式方程是否有根”，你能说说学到了哪些知识吗？ 分式 方程 增根 产生原因:在方程两边同乘了值为0的代数式. 步骤 一化（分式方程转化为整式方程）； 二解（解整式方程）； 三检验（代入最简公分母看是否为零） 课堂总结 22005 3.4.3 分式方程的应用 第3章 分式 22005 1.能找出实际问题中的等量关系，并设出合适的未知数，通过列分式方程解决实际问题. 学习目标 22005 任务一：列分式方程解决行程问题. 活动：朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了200公里时，发现小轿车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别为多少km/h？ 0 180 200 活动探究 22005 解：设小轿车的速度为x千米/小时，则面包车速度为x+10千米/小时，依题意得 解得 x＝90 经检验，x＝90是原方程的解， 且x=90，x+10=100，符合题意. 答：面包车的速度为100千米/小时，小轿车的速度为90千米/小时. 注意两次检验: (1)是否是所列方程的解; (2)是否满足实际意义. 22005 变式：小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在S公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？ 0 180 200 S 路程 速度 时间 s-200 s-180 100 90+x 面包车 小轿车 表格法分析如图： 22005 解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得 解得 x= 表达问题时，用字母不仅可以表示未知数（量）， 也可以表示已知数（量）. 经检验： 是原方程的解，且该解满足题意. 答：小轿车的提速为 22005 行程问题中通常有三个量，它们是路程、速度、时间, 三者之间的关系: (1)路程=速度×时间；(2)速度=路程/时间； (3)时间=路程/速度. 活动小结 22005 思考：列分式方程解应用题的步骤是什么？与列整式方程解应用题的过程有什么区别？ 列分式方程解应用题的一般步骤: 1.审:分析题意，找出数量关系和等量关系; 2.设:直接设法与间接设法； 3.列:根据等量关系列出方程； 4.解:解分式方程，得未知数的值； 5.验:两次检验，①是否是分式方程的解；②是否符合题意； 6.答:注意单位和答案完整. 区别：解方程后要检验. 22005 任务一：列分式方程解决工程问题. 活动：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个的施工队速度快？ 问题一：甲队施工1个月的工程量+甲队施工半个月的工程量+乙队施工半个月的工程量=总工程量(记为1). 问题一：问题中的哪个等量关系可以用来列方程？ 问题二：根据等量关系列出方程并解答. 22005 解：设乙单独完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是 ，根据题意得 即 方程两边都乘以6x，得 解得 x=1. 检验：当x=1时，6x≠0. 所以，原分式方程的解为x=1. 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快. 工程问题：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系． 22005 练一练 某厂准备加工500个零件，在加工了100个零件后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用8天完成了任务．若设该厂原来每天加工x个零件，则由题意可列出方程（ ） A. B. C. D. D 22005 1.一艘轮船在静水中的最大航速为40km/h，它以最大航速沿河顺流航行100km所用时间，和它以最大航速沿河逆流航行80km所用时间相等，设河水的流速 v km/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． C 当堂检测 22005 2.市政某小组检修一条长1200m的自来水管道，在检修了一半的长度后，提高了工作效率，每小时检修的管道长度是原计划的1.5倍，结果共用5h完成任务，求这个小组原计划每小时检修管道的长度． 依题意得 解：设该工人原计划每小时检修煤气管道x米， 解得 x=200， 经检验x=200是原方程的解，且符合题意， 答：这个小组原计划每小时检修管道的长度是200米． 22005 3.某校服厂准备加工500套运动服，在加工200套后，改进工艺，使得工作 效率比原计划提高20%，结果共用15天完成任务．问校服厂原计划每天加工 多少套？ 解：设原计划每天加工x套运动服，则改进工艺后每天加工(1+20%)x套， 由题意得， 解得：x=30， 经检验：x=30是原分式方程的解， 答：原计划每天加工30套运动服． 22005 列分式方程解决实际问题 工程问题 路程问题 审、设、列、解、验、答 一般步骤 针对本课关键词“列分式方程解决实际问题” ，说说你学到了什么？ 课堂总结 22005 $