3.5 分式与比 课件 2026-2027学年青岛版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“比、比例、比例线段”核心内容，通过消毒液配比、男女生人数比等情景问题导入，衔接分式知识，以具体实例为支架引导学生从实际问题抽象数学概念。 其亮点在于任务驱动式探究，如比的含义通过情景问题抽象培养数学眼光，比例性质用等式性质推导发展推理意识，实际问题应用（如运动员人数分配）强化模型意识。采用活动探究与小组合作，总结用关键词梳理知识，帮助学生构建体系，教师可直接使用活动设计提升教学效率。

3.5 分式与比 第3章 分式 22005 3.5.1 比 第3章 分式 22005 1.理解比的含义，能判断比的表示是否正确. 2.掌握化简比的方法，并能正确进行比的化简运算. 3.能应用比解决简单实际问题. 学习目标 22005 任务一：理解比的含义，能判断比的表示是否正确. 活动：解决下列情景问题. 1.某消毒液说明书注明：消毒液与所加清水的比为1∶1000.你知道1∶1000代表什么含义吗？ 2.八年级一班男、女生人数的比是m∶n.你知道m∶n代表什么含义吗？ 思考：若改变情景中的比的前后顺序为1000∶1，n∶m，含义会发生改变吗？ 两个整式A 与B (B ≠0)相除， 叫作A与B的比， 记作A∶B 或。其中， A 叫作比的前项， B 叫作比的后项. 注意：比的前项与后项是有顺序的，如，不同. 活动探究 22005 练一练 1.下列关于比的表示错误的是( ) A.5a∶2a                B.3∶0                 C.               D.3.2∶4.8 B 22005 任务二：能正确进行比的化简. 活动：尝试化简下面的比，并说说你所用的化简依据或方法. （1）18a∶16b； （2）50x∶15. 化简比的方法： 符号A:B和都读作“A比B”,可以利用分式的基本性质把化简. 22005 练一练 1.化简： (1) 7x∶35x2； (2) 2ab2∶6a2b；(3)(a－b)∶(a2－b2). 解：(1) 7x∶35x2 = = . (2) 2ab2∶6a2b= = . (3)(a－b)∶(a2－b2) = = = . 22005 2.b,c都是不为0的数，则： （1）a：b等于(ca):(cb)吗？为什么？ （2）a：b等于(a+c)：(b+c)吗？举例说明. （3）a:b等于a2：b2吗？举例说明. 解:（1）因为c不等于0，根据分式的基本性质可知，a：b等于(ca):(cb). （2）当a=c=1,b=2时，a：b不等于(a+c)：(b+c). （3）当a=1，b=2时，a:b不等于a2：b2. 22005 任务三：能应用比解决实际问题. 活动：小组合作解决下列实际问题. 1.某年全运会共有 m 名运动员参赛。已知男、女运动员人数的比是 a∶ b，那么参赛的男、女运动员各有多少名？ 2.已知 a m 布料能做 b 件上衣， 2a m 布料能做 3b 条裤子，求做一件上衣所用布料与做一条裤子所用布料的比. 分析：1.先分别求出男、女运动员人数占总人数的比，再乘总人数即可得解. 2.先 分 别 求 出 做 一 件 上 衣 所 用 的 布 料 和 做 一 条裤子所用的布料，再求比即可. 22005 1.解： 因为男、女运动员人数的比是 a∶ b， 所以男运动员的人数为总人数的 ，女运动员的人数为总人数的 . 因为 m· = ， m· = ， 所以参赛的男运动员有名，女运动员有名. 2.解： 因为 a m 布料能做 b 件上衣，所以做一件上衣所用布料是m. 因为 2a m 布料能做 3b 条裤子，所以做一条裤子所用布料是m. 因为∶= · = ， 所以做一件上衣所用布料与做一条裤子所用布料的比是 3∶ 2. 22005 练一练 1.我班有学生50人，女学生30人，男生与女生的人数之比是 . 2.小亮家每月的收入为2800元，如果日常生活开支的款项与储蓄款项的比例是3:2，那么小亮家每月储蓄 元. 2:3 1120 22005 如图，两个圆心相同的圆，大圆和小圆的半径分别为3和2，则圆环(图中阴影)与小圆的面积之比为( ) A.3:2           B.9:4            C.5:4           D.2 C 当堂检测 22005 2.如果a是b的2倍，b是c的3.5倍，那么a:c是( ) A.                  B.                  C. 7             D.   C 3.一 个 直 角 三 角 形 的 两个 锐 角 的 度 数 的 比 是1:2，则 较 小 锐 角 的度数为 .   30° 22005 4.化简： 22005 针对本节课的关键词“比”，你能说说学到了哪些知识吗？ 比 含义:两个整式A 与B (B ≠0)相除， 叫作A与B的比， 记作A∶B 或。其中，A 叫作比的前项， B 叫作比的后项. 比的应用 化简：利用分式的基本性质把化简. 课堂总结 22005 3.5.2 比例 第3章 分式 22005 1.理解比例的概念，能判断式子是否成比例. 2.掌握比例的基本性质，会应用其求值. 3.会运用比例的基本性质解决实际问题. 学习目标 22005 任务一：理解比例的概念，能判断式子是否成比例. 活动：已知⊙O1的半径r1=2，⊙O2 的半径r2=3,独立解决下列问题： r1∶r2=l1∶l2 （1）⊙O1、⊙O2的周长l1、l2分别是多少？ （2）比较r1∶r2，l1∶l2，你发现了什么？ 新知生成 表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例. 活动探究 22005 如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，那么就说 a， b，c， d 四个数成比例. 可以写成 a∶ b=c∶ d 或. 在比例中， a， b， c， d 叫作组成比例的项， 其中 a 与 d 叫作比例的外项， b 与 c 叫作比例的内项。 当比例的两个内项相等时，即当时， b 叫作 a 和 c 的比例中项。 22005 练一练 判断下面各组比能不能组成比例,若成比例，指出比例的外项和内项. (1)6∶10 和 9∶15 (2) (3) 注意：判断两个比能不能组成比例，关键看它们的比值是否相等. 外项 内项 外项 外项 内项 内项 22005 任务二：掌握比例的基本性质，会应用其求值. 活动1：利用等式的基本性质，思考下列问题. 比例 ，其中a,d是比例的外项，b,c是比例的内项，若在比例 的两边同乘bd（bd≠0），你发现比例内项和外项之间有怎样的关系？ 比例的基本性质:在比例里，两个外项的积等于两个内项的积. 即：如果 ，那么ad=bc(bd≠0). 思考：反过来，若ad=bc(bd≠0),你能得出什么等式关系？为什么? 如果ad=bc(bd≠0)，那么a：b=c:d或者a:c=b:d. 22005 小组讨论 各小组就所学知识(如比和比例含义等)，探讨比和比例有什么区别？ 区别 比 比 例 定义 两个数相除又叫两个数的比 表示两个比相等的式子叫比例 构成 由两个数组成，分别是比的前项和后项 由四个数组成，分别是比例的外项，比例的内项 基本性质 比的前项和后项同乘或除以相同的数(0除外)，比值不变 在比例里，内项积=外项积 22005 活动2：比一比，看谁做的又快又对！ 已知: ，求 的值. 解： 因为 = ，所以5(a － 2b) =3( 3b－a )， 即 5a － 10b=9b－3a，解得 8a=19b， 所以 =. 22005 练一练 1.若 =－， 则的值为________. 2.已 知=，那么=_________. 22005 任务三：应用比例的基本性质解决实际问题. 活动：已知在一张放大的蜻蜓图片上，量得蜻蜓双翼伸展开的宽度是40厘米，该图片的比例尺是1∶0.2，那么蜻蜓双翼伸展开的实际宽度是多少？ 解：设蜻蜓双翼伸展开的实际宽度为x厘米， 由题意，得40∶x=1∶0.2， 利用比例的基本性质，解得x=8， 所以蜻蜓双翼伸展开的实际宽度是8厘米. 22005 1.填空： （1）在比例里，两个内项的积是18，其中一个外项是2，另一个外项是 . （2）已知3是x与4的比例中项，写成比例式应为 ，其中x= . （3）如果5a=3b，那么 = . （4）已知 ，则 = . 9 当堂检测 22005 2.将6本相同厚度的书叠起来，它们的高度为14cm，如果将21本这样相同厚度的书继续叠在上面，那么新的高度是多少？(用比例的方法求解) 解：设新的高度是x cm， 由题意得14∶6＝x∶(21＋6)，解得x＝63， 答：新的高度是63 cm. 22005 3.学校购进图书800册，高年级分配其中的 ，余下的按3：1的比例分配给中、低年级，其中求中、低年级各分得图书多少本？ 解：由题意，得中、低年级共分得图书 设中年级分得图书x本，则低年级分得图书600-x本， 得x：600-x=3：1， 利用比例的基本性质，得 x=1800-3x,解得x=450,y=150， 所以中年级分得图书450本、低年级分得图书150本. 22005 针对本节课的关键词“比例”，你能说说学到了哪些知识吗？ 比例 定义：表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例. 定义和性质的应用 性质：内项积=外项积，即若 ，则ad=bc(bd≠0). 课堂总结 22005 3.5.3 比例线段 第3章 分式 22005 1.理解线段的比、比例线段的概念，能判断线段是否成比例. 2.理解连比的概念，能运用其解决相关实际问题. 学习目标 22005 活动1：在七年级学过线段的度量.当单位长度确定后，就可以量出一条线段的长度.请同学们按照如下要求，动手做一做，并回答问题. 任务一：理解线段的比、比例线段的概念，能判断线段是否成比例. 画一画：在纸上任意画两条大小不同的线段AB和CD： 问题： (1)选用cm为单位长度，用刻度尺分别度量线段AB和CD的长度，计算AB:CD. (2)选用mm为单位长度，用刻度尺分别度量线段AB和CD的长度，计算AB:CD. (3)由问题(1)、(2)，尝试说说什么是线段的比？你发现两条线段的比与选用的单位长度有关吗？与同学交流. 活动探究 22005 新知生成 在同一单位长度下， 两条线段长度的比， 叫作这两条线段的比. 如果四条线段 a， b， c， d 的长成比例，我们就把这四条线段 a， b， c， d称为成比例线段，简称比例线段。 注意：成比例线段是有顺序的，不能随意颠倒顺序 22005 注意： 1.两条线段的比与所选用的单位长度无关，但必须使用同一单位长度. 2.因为线段的比就是数的比，所以比例的基本性质也适合于比例线段. 22005 活动2：运用线段比例知识，解决下列问题. 下列各组不同长度的线段成比例的是( ) A. 3 cm， 6 cm， 7 cm， 9 cm B.2 cm， 5cm， 0.6dm， 8cm C. 3 cm， 9 cm， 1.8 dm， 6 cm D. 1 cm， 2 cm， 3 cm， 4 cm ≠ ，不成比例 0.6 dm=6 cm， ≠ ，不成比例 1.8 dm=18 cm， = ，成比例 ≠ ，不成比例 C 22005 判断四条线段是否成比例的方法 先将线段长度统一单位并按长度的大小排序，然后判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等，或判断最长线段与最短线段的乘积是否与另两条线段的乘积相等。若相等，则成比例；若不相等，则不成比例。 归纳总结 22005 判 断 下 列 线 段 是否 成 比 例，若 成 比 例，请写出比例式. (1) a=2 cm， b=6 cm，c=4.5 cm， d=13.5 cm； (2)a=1.1 cm， b=2.2 cm，c=3.3 cm， d=5.5 cm； (3) a=20 mm， b=8 m，c=28 m， d=7 cm。 练一练 解：(1)将四条线段的长度从小到大排列，2 cm，4.5 cm，6 cm，13.5 cm， 因为2×13.5＝4.5×6，所以四条线段成比例， 比例式为2∶6＝4.5∶13.5. (2)因为1.1×5.5≠2.2×3.3，所以四条线段不成比例. (3)将四条线段的长度从小到大排列， a＝20 mm＝0.02 m，d＝7 cm＝0.07 m，b＝8 m，c＝28 m， 因为0.07×8＝28×0.02，所以四条线段成比例，比例式为0.07∶28＝0.02∶8. 22005 任务二：了解连比的概念，能运用其解决相关实际问题. 活动1：运用线段比例知识，解决下列问题. 如图，已知 ，且AD=18，AB=48，AC=28，求AE的长. 解: 因为AD =15， AB =40， AC=28， 所以DB =AB -AD =40-15=25， EC=AC-AE =28-AE。 因为 = ，所以 = ， 所以15(28-AE ) =25AE 。 解关于AE的方程， 得AE =10.5。 经检验， AE =10.5 是原方程的解，所以AE 的长为10.5。 22005 在前面活动的三角形中，AD=18，DB=30，AB=48，思考下列问题： (1)AD：DB= . DB：AB= . (2)按上面结果，思考是否能把线段AD,DB,AB的比写成AD：BD：AB呢？若能，AD:DB:AB=____:____:____，与同学交流. 前一个比的后项与后一个比的前项相同，可以把这两个比连起来写在一起，得到AD:DB:AB=3:5:8, 这种形式叫作连比. 3：5 5：8 3 5 8 22005 活动2：小组交流，解决下列求值问题. 今 年 植 树 节，七、八、九年级的同学共植树 480 棵. 已 知 三 个年 级 植 树 棵 数 的 比 为4∶ 5∶ 7，那 么 三 个 年级各植树多少棵？ 解：设七年级植树4x棵，则八年级植树5x棵，九年级植树7x棵，根据题意，得4x＋5x＋7x＝480，解得x＝30， 所以4x＝120，5x＝150，7x＝210， 所以七年级植树120棵，八年级植树150棵，九年级植树210棵. 22005 练一练 已知a:b=2:3, b:c=4:5, 求连比a:b:c. 解：a:b=2:3=8:12 b:c=4:5=12:15 所以a:b:c=8:12:15. 注意：写成连比形式的关键是把前一个比的后项和后一个比的前项化为相同的数. 22005 1.填空： (1)线段a=36cm,b=1.8m,则a:b= . (2)a，b，c，d四条线段是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，则d= . (3)已知x:y:z=2:3:4，则 = . 4cm 1:5 当堂检测 22005 2.设 a∶ b=2:3，3c=5b，则a∶ b∶ c = . 3.已 知 △ ABC 的三 边 a=3， b=5， c=6，则 三 边 上 的 高 的 比ha∶ hb∶ hc= . 2∶3∶5　 10∶6∶5　 22005 4.某三角形三个内角的度数之比是3∶ 4∶ 5，求这三个内角的度数. 解： 设该三角形三个内角的度数分别是 3x，4x，5x， 根据三角形的内角和是 180° ，得 3x+4x+5x=180° ， 解方程，得 x=15° ， 所以 3x=45° ，4x=60° ，5x=75° ， 所以这三个内角的度数分别是 45° ，60° ，75° . 22005 针对本节课的关键词“线段的比”，你能说说学到了哪些知识吗？ 比 线段的比：选用同一单位长度表示两条线段长度，则它们量数的比，叫作两条线段的比. 连比：前一个比的后项与后一个比的前项相同，把两个比连起来写，这种形式叫做连比. 比例线段:若四条线段a:b=c:d，则线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段. 应用它们解决相关计算问题 课堂总结 22005 $