第6章 平行四边形 单元复习（6大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学平行四边形单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了6大核心知识点，涵盖定义性质、判定定理、面积计算、中位线等内容，并用对比表格呈现平行四边形判定方法，清晰标注易错点与衍生模型，构建完整知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础边角计算到压轴动点存在性问题，融入“角平分线遇平行线得等腰三角形”等解题技巧，培养推理能力与几何直观，配套真题变式题助力学生掌握方法，教师可据此实施分层教学提升复习效率。

第6章 平行四边形 知识点1：平行四边形的定义与性质 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作。 2.四条核心性质 （1）边：对边平行且相等； （2）角：对角相等，邻角互补（和为）； （3）对角线：对角线互相平分； （4）对称性：中心对称图形，对称中心为对角线交点。 3.衍生模型：平行四边形+角平分线→等腰三角形（角平分线遇平行线，内错角相等推等角对等边）。 知识点2：平行四边形的判定 判定角度 正式判定定理（考试可直接用） 几何符号语言 图示 从边判定1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 从边判定2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 从对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 重要补充（考试不能直接用，需先证明）： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（仅作思考辅助，证明必须通过四边形内角和推两组对边平行，再用定义判定）。 易错反例：一组对边平行、另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）。 知识点3：平行线间的距离与平行四边形面积 1.平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度；性质：平行线间距离处处相等。 2.面积公式：。 3.等积变换：同底等高的平行四边形面积相等；平行四边形对角线将其分成面积相等的四个三角形。 知识点4：三角形中位线定理 1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2.定理内容：三角形中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。 3.中点四边形结论：任意四边形四边中点顺次连接，所得四边形一定是平行四边形（中位线定理直接推导）。 知识点5：多边形内角和与外角和 1.内角和公式：边形内角和（，为整数）。 2.外角和定理：任意凸多边形外角和恒为，与边数无关。 3.衍生公式： 正边形单个内角：； 正边形单个外角：； 从一个顶点引出对角线条数：；总对角线条数：。 知识点6：常用辅助线技巧 1.平行四边形连对角线，构造全等三角形； 2.出现多个中点，构造三角形中位线； 3.求高/面积，作平行线间垂线段； 4.折叠问题利用轴对称，标记相等边、相等角。 【基础必考题型】 【题型1】平行四边形边角对角线计算 1.核心知识点: 平行四边形对边相等、对角相等、邻角互补 平行四边形+角平分线→等腰三角形模型 平行四边形对角线互相平分 2.解题方法技巧: 求边长直接用“对边相等”；求角度优先用邻角互补倒角 角平分线与平行线相遇，立即找等腰三角形，转化线段相等 对角线交点平分两条对角线，拆分出4组相等线段 对角线与边长构成三角形，利用“两边之和大于第三边”列不等式 【例题1】.（上海市黄浦区2025-2026学年八年级下学期期终考试数学试卷）已知平行四边形中，，则的度数是_________． 【答案】/110度 【分析】根据平行四边形的性质，求得，结合已知求解即可； 【详解】解：平行四边形， ，， ， ， 解得， ． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，在平行四边形中，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·期末）如图，在中，的平分线交于点E，若，则的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得出，确定，再由角平分线及等量代换得出，利用等角对等边即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，． ， ， ∵是的平分线， ， ， ， ． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，的对角线与相交于点，，，的周长是． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形对角相等的性质即可得答案； （2）根据平行四边形对角线互相平分可得的长，进而根据的周长求出的长即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴． （2）解：∵的对角线与相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴． 【题型2】平行四边形判定条件辨析 1.核心知识点: 3条正式平行四边形判定定理 常见易错判定的反例（一组平行一组相等→等腰梯形） 2.解题方法技巧: 逐个匹配3条正式判定定理，排除陷阱选项 牢记：两组对角相等不能直接判定，必须推导对边平行 【例题2】.（25-26八年级下·全国·暑假作业）下列给出的条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题根据平行四边形的判定定理，逐一分析各选项，找出无法判定四边形是平行四边形的选项即可． 【详解】解：选项：，，满足该条件的四边形可以是等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 选项：，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 选项：，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 选项：， ， 又， ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·河南漯河·期末）如图，四边形的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由，，根据“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”可以判定四边形是平行四边形，故A不符合题意； B．由，不能判定四边形是平行四边形，故B符合题意； C．由，，根据“两组对边分别平行的四边形为平行四边形”可以判定四边形是平行四边形，故C不符合题意； D．由，，根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”可以判定四边形是平行四边形，故D不符合题意． 【变式题2-2】.（2026·湖北·二模）如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析； 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，通过选定组合②③，利用三角形全等，即可得到平行四边形判定的条件，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】证明如下：选择②③ ， ， 且满足，， 在和中 ， ， ， 四边形是平行四边形． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在四边形 中，，． (1)尺规作图：作的平分线 ，其中点在 上；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)所作图形如图所示： (2)证明：是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【分析】（1）利用尺规作图作出的平分线即可； （2）证明，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 【题型3】多边形内角、外角基础计算 1.核心知识点: 多边形内角和、外角和公式 正多边形内外角度数计算 2.解题方法技巧: 已知边数求内角代入 已知单个外角直接用外角度数求边数（更简便） 【例题3】.（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）若一个正多边形的每一个外角都是 ，则这个正多边形的边数为__________． 【答案】 【分析】根据任意多边形的外角和为 ，正多边形的每个外角相等，利用外角和除以单个外角的度数，即可求出该正多边形的边数． 【详解】解：任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等， 该正多边形的边数为， 则这个正多边形的边数是． 【变式题3-1】.（2026·江苏扬州·中考真题）扬州漆器造型雅致，做工精巧，色彩和谐，光泽腴润．如图，扬州漆器作品《春山畅游》的轮廓是一个正八边形，它的每个内角为_______°． 【答案】 【分析】根据多边形内角和公式求出正八边形的内角和，再根据正多边形的性质，用内角和除以边数即可求出每个内角的度数． 【详解】解：正八边形的边数根据多边形内角和公式， 该正八边形的内角和为 ， ∵正八边形的每个内角都相等， ∴每个内角的度数为． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，以为边在正六边形的内部作正方形 ，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 【变式题3-3】.（2026八年级下·山西朔州·专题练习）将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆放，公共顶点为，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是_________°． 【答案】 【分析】利用正多边形的外角和与内角和，先求出，，，即可求解． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，是正六边形的外角，是正五边形的外角， ∴，， ∴ ∵是正五边形的内角， ∴， ∵是正六边形的内角， ∴， ∴． 【题型4】三角形中位线长度计算 1.核心知识点: 三角形中位线定义与定理 双中点线段识别 2.解题方法技巧: 先确认线段连接两边中点，再直接用第三边 多个中点嵌套图形，分层拆解使用中位线定理 【例题4】.（2026·广西南宁·三模）如图，要测算池塘两端，之间的距离，先在地面上取一点，然后通过测量分别找到和的中点，，并测得的长，就可测算池塘两端，之间的距离．若的长为5米，则池塘两端，之间的距离是_______米． 【答案】10 【分析】根据题意确定，为两边，的中点，从而判定为的中位线，利用三角形中位线定理即可求得的长 【详解】解：和为和的中点， 是的中位线， ， 米， （米）． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图，平行四边形 的对角线 、 相交于点 ，点 是的中点，．若 的周长为5，则平行四边形 的周长为______． 【答案】12 【分析】利用三角形中位线，求得，结合已知，求得 求解即可． 【详解】解：平行四边形 的对角线 、 相交于点 ， ∵点 是的中点， ， ， ∵ 的周长为5， ， ， ， ， ， 故平行四边形 的周长为12． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在 中，平分，点是的中点，，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点F，证明，可得，从而得到，再根据是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【变式题4-3】.（2026·山西长治·三模）如图，在四边形中，， ， 是的中点，连接 ． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作图，找到线段的中点．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接， ，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)证明：如图，由 ， 分别是， 的中点，可知 是 的中位线， ，． 又，， ∴，， 四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据三角形中位线定理得到，，由已知，得到，，即可证明结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 【题型5】平行四边形证明 1.核心知识点: 全等三角形判定（SSS/SAS/ASA/AAS） 一组对边平行且相等证平行四边形（最常用） 2.解题方法技巧: 先证三角形全等，得到一组对边平行且相等 证明书写规范：每一步都标注依据（全等依据、判定定理依据） 【例题5】.（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】（1）根据中点的定义和平行线的性质得到条件，证明即可； （2）证明，又由已知即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：是的中点， ．     ， ，   （2）四边形是平行四边形     证明：，      又是的中线， ， ∴     又， ∴四边形是平行四边形． 【变式题5-1】.（24-25八年级下·河南·期末）如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加适当的条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． 【答案】解：可以添加条件：，理由如下： ∵的对角线与相交于点O， ∴， 又∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形．（答案不唯一） 【分析】从对角线的角度添加条件即可；利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可说明理由． 【详解】略 【变式题5-2】.（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）如图，四边形的四边长已标注，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】勾股定理求出的值，进而得到，，即可得证. 【详解】证明：， ，即，解得：， ∴， ，， 四边形是平行四边形． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，和都是等边三角形，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：连接，如图， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【分析】连接，根据等边三角形性质可得，，，再证明，所以，，证明为等边三角形，则有，，从而可得 ，因此得，即，又，最后通过平行四边形的判定方法即可求证． 【详解】略． 【培优高频题型】 【题型6】平行四边形面积与等积变换 1.核心知识点: 平行四边形面积公式 平行线间距离相等、同底等高面积不变 2.解题方法技巧: 面积已知反求高，用（注意底与高对应） 平行线内图形，同底等高直接面积相等，无需计算边长 【例题6】.（25-26八年级下·河北廊坊·期中）对进行下列操作： 操作1：如图1，是的中位线，将沿中线方向平移到△的位置，使与边重合； 操作2：作的高，将按图2所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为． 对操作1，2中阴影部分面积，下列说法正确的是（） A．操作2中阴影部分面积大 B．面积均为面积的一半 C．面积与的面积相等 D．操作1中阴影部分面积大 【答案】B 【分析】利用中位线、平移和折叠的性质，先求出空白三角形的面积，再用梯形面积减去空白面积，得到阴影部分的面积．两次操作的阴影面积都等于原三角形面积的一半． 【详解】解：设的面积为S． ∵是的中位线， ∴，且，点E、F分别是、的中点， ∴ 点A到的距离等于点A到距离的一半． ∴． ∴ ． 由平移的性质可知，与的形状、大小完全相同， ∴ ． 又∵ 落在上，与重合， ∴ 操作1中阴影部分面积． ∵是的高，折叠后点与点重合，折痕为， ∴垂直平分． 又∵， ∴，且平分， ∴是的中位线， ∴ ，． 由折叠的性质可知，与的形状、大小完全相同， ∴ ． ∴ 操作2中阴影部分面积： ∵ ，故选项A不正确，不符合题意， ∴ 两个操作中阴影部分的面积均为面积的一半． 综上所述：只有选项B正确，符合题意． 【变式题6-1】.（2026·山东滨州·二模）面积等分线是指能将图形分成面积相等两部分的直线，是平面几何中图形分割的重要概念，其背后蕴含着图形变换、转化等核心数学思想．请结合所学知识完成以下问题： (1)平行四边形有________条面积等分线； (2)如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形得到组合图形，请画出该图形的一条面积等分线； (3)如图②，四边形中，，．请分别画出四边形的两条面积等分线，并阐述构造思路． 【答案】(1)无数 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查中心对称图形的性质，组合图形的面积等分方法（割补法、分块法），梯形（特殊四边形）的面积等分方法等知识点． （1）根据平行四边形是中心对称图形，得出平行四边形有无数条面积等分线． （2）根据这种 “大矩形剪去小正方形” 的组合图形，可通过将图形分割为两个规则矩形，分别找到两个矩形的对称中心，过两个中心的直线即为面积等分线． （3）①根据连接两底中点连线，即可找到梯形的面积等分线，并在①的基础上作平行四边形，继而得到两侧等面积的三角形，再根据平行四边形的中心对称性作过对称中心且与线段相交的任意直线均可满足要求． 【详解】（1）解：∵根据平行四边形的中心对称性，过对称中心（对角线交点）的任意一条直线都能将它分成面积相等的两部分， ∴过平行四边形的对角线交点的直线都是平行四边形的面积等分线； 故答案为：无数； （2）解：如图所示，作矩形和正方形的对角线，连接两对角线的交点的直线，即为所求的面积等分线（答案不唯一）； （3）解：①如图，分别取，的中点，，作直线，直线即是四边形的面积等分线， ∵，， 分别作梯形和梯形的高和，则， ∵，， ∴， ∴直线即是四边形的面积等分线， ②如图，在图①作图的基础上，取线段的中点，在边上任选一点（不与点重合），作直线， 过点，分别作的平行线，分别交于点，， ∴四边形、、是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴根据平行四边形的中心对称性，过对称中心且与线段相交（不与重合）的直线都符合要求， ∴直线是四边形的面积等分线．（答案不唯一） 【变式题6-2】.（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，． (1)求点的坐标和的对称中心的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点运动的时间为秒，则当为何值时，的面积是面积的一半？ (3)当的面积是面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)点C的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为； (2)当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半； (3)点M的坐标为或或 【分析】（1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点的坐标；平行四边形的对称中心即是对角线的中点； （2），根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的值即可， （3）根据（2）中得出的值，找出此时点和的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点的坐标即可， 本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， 点A的坐标为，点B的坐标为，； ∴点C的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为， （2）解：根据题意得：， ∴， 即：， ，解得：， 故答案为：当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半， （3）解时，由（2）知，此时点与点重合，画出图形如下所示，    此时轴，轴，，，，， 根据平行四边形的性质，可知，， ∴，即，，即：，，即：， 故答案为：点M的坐标为或或． 【变式题6-3】.（2026八年级下·江苏·专题练习）我们知道：平行四边形的面积（底边）（这条底边上的高）．如图，四边形都是平行四边形，，，设它的面积为． (1)如图①，点为上任意一点，则的面积，的面积与的面积的数量关系是 ． (2)如图②，设、交于点，则为、的中点，试探究的面积与的面积之和与平行四边形的面积的数量关系． (3)如图③，点为平行四边形内任意一点时，记的面积为，的面积为，平行四边形的面积为，猜想得、的和与的数量关系式为 ． (4)如图④，已知点为平行四边形内任意一点，的面积为，的面积为，求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形及三角形的面积公式是解答此题的关键． （1）设中边上的高为，边上的高为，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可； （2）根据为、的中点，故可得出； （3）设中边上的高为，中边上的高为，中边上的高为，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可； （4）根据即可得出结论． 【详解】（1）解：设中边上的高为，边上的高为， ， ，， ，， 故答案为：，； （2）为、的中点， ； （3）设中边上的高为，中边上高为，中边上的高为， ， ， ， 即， 故答案为：； （4），，， ， 即． 【题型7】平行四边形多结论判断题 1.核心知识点: 平行四边形性质、全等三角形、等腰三角形综合推理 2.解题方法技巧: 逐个推导结论，在图中标注等角、等线段 举反例排除错误结论，特殊值法快速验证 【例题7】.（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，的对角线、相交于点，平分，分别交、于点，连接，，，，则下列结论：；；；，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据角平分线和平行线的性质证明是等边三角形，得出为中点，进而求出和的度数判断；利用勾股定理求出的长，再在中求出的长，从而得到的长判断；根据，再通过面积公式即可判断；根据三角形中位线定理判断． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故正确； ，， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ，， ， 在中，， ，故正确； 由知，即， ，故正确； ，， 是的中位线， ， ， ，故正确； 综上所述，正确的结论是． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·全国·暑假作业）下列说法：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形：②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍：③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形：④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等．其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】对于①，利用“”可证，即可判断；对于②，该说法未说明是哪个三角形；对于③由平行四边形对角线互相平分即可判断；对于④，过作，可证，得到即可判断． 【详解】解：① 在中，对角线相交于点， 则，又， ， 同理可得， 任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形，①正确； ② 该说法未说明是与平行四边形同底等高的三角形，平行四边形面积不一定是任意三角形面积的倍，故②错误； ③ 平行四边形对角线互相平分，相邻的小三角形为等底同高， ，故③正确； ④ 过作， 平行四边形对角线互相平分， ， ，又， ， ，即点到的距离相等， 同理可得点到的距离相等，故④正确； 综上，正确的说法共个． 【变式题7-2】.（2026·吉林长春·三模）如图，在中，，于点，于点，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③线段与互相平分；④；⑤．其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②⑤ 【分析】证明为等腰直角三角形再结合勾股定理即可判断①；利用平行四边形对角相等，直角三角形两个锐角互余以及同角或等角的余角相等即可判断②；连接，通过判断四边形是否为平行四边形即可判断③；根据和所满足的条件来判断④；利用平行四边形对边相等，以及等腰直角三角形的性质即可判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，故②正确； 如图，连接， 根据题目条件无法得出四边形是平行四边形，无法推出线段与互相平分，故③错误； 和仅满足两个角对应相等，没有对应边相等的条件，故无法证明二者全等，故④错误； ∵四边形是平行四边形， ∴， 又，， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①②⑤． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形，对角线，且平分，为中点，在上取一点，使，垂足为，取中点，连接，则下列结论：①；②；③连接，则四边形是平行四边形；④．其中正确的结论的序号是____________． 【答案】 ①②③ 【分析】①根据等腰三角形的三线合一性质证得为的中点，结合为的中点，利用三角形中位线定理即可判断①；②延长、交于点，证，利用三角形中位线定理及线段的和差关系即可判断②；③根据，O是中点，证明，由平行四边形的判定定理即可判断③；④结合②③的结论及与的关系进行判断④． 【详解】解：①平分， ∴， ∵， ∴， ， ∴为的中点， 是的中点， 是的中位线， ， 在上， ， 故①正确； ②延长、交于点， ， ， ∵， ， ∴，， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ，， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ③，即， ∴， ∵O是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故③正确； ④由③知，四边形是平行四边形， ∴， ，， ∴， 故④错误． 综上所述：①②③正确． 故答案为：①②③． 【题型8】平行四边形折叠求角度/线段 1.核心知识点: 折叠轴对称性质（对应边相等、对应角相等） 平行四边形边角性质 2.解题方法技巧: 折叠后标记全等边、等角，设未知数列方程求解 结合邻角互补、三角形内角和建立等量关系倒角 【例题8】.（2026·河北唐山·二模）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使边和重合，折痕交边于点E，展开后进行第二次折叠，第二次折叠经过点B，使边和重合，折痕交边于点F，展开后如图所示．当时，若，则的长是_______． 【答案】6 【分析】由题意易得，，则有，然后通过折叠的性质可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴． 由第一次折叠可得， ∴， ∴． 由第二次折叠可得， ∴， ∴． ， ∴， ∴． ， ∴． ， ∴， ∴． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，．若将沿折叠，点A与边的点D恰好重合，点H，G分别在，上．将沿折叠，点B与点D恰好重合．将沿折叠，点C与点D恰好重合，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线及折叠的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线及折叠的性质是解题的关键；连接，由折叠的性质可知：，，，，然后可得，则有，进而可得，则有，最后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由折叠的性质可知：，，，， ∴点E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·山西太原·期中）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以平行四边形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题．已知平行四边形纸片，，，． (1)操作证明：如图1，小聪先从特殊情形入手，折叠平行四边形纸片，使点与点重合，折痕分别交，边于点，，点的对应点为点．请猜想此时线段与的数量关系，并说明理由； (2)拓展延伸：如图2，小慧沿过点的直线折叠该平行四边形纸片，使点的对应点落在对角线的延长线上，折痕交线段于点，交于点，点的对应点为点． ①请判断图1，2两种折法中线段与的位置关系，补全示意图并写出证明过程． ②直接写出线段的长． 【答案】(1)解：，理由如下：如图所示， ∵四边形平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 由折叠可得，， ∴． (2)①，如图， 证明：由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； ② 【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠的性质即可得出； （2）①根据折叠的性质得出，，，根据等边对等角以及角度的和差关系得出，进而可得； ②根据等面积法求得，进而勾股定理求得，，即可得出，结合①的结论证明四边形是平行四边形，得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：如图，连接 ∵四边形平行四边形， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得， 垂直平分 于点 ， ∴， ∵ ∴ 在中， ∴， ∴． 由折叠可得 ∴ 由①可得 ∴四边形是平行四边形， ∴， 【变式题8-3】.（25-26八年级下·江苏扬州·期中）综合与实践：平行四边形纸片的折叠 (1)探究1：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为，延长交于点．求证：． (2)探究2：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处．猜想，之间的数量关系，并证明． (3)探究3：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在线段上，过点作，交延长线于点，其中，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，则，根据折叠得出，等量代换得出，等边对等角即可得证； （2）取的中点，连接，则是的中位线，得出，即可得证； （3）勾股定理求得，同（1）的方法证明，在中，勾股定理求得，进而求得，根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平行四边形纸片 沿过点的直线折叠，折痕交于点， 点的对应点为，延长交于点， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 如图，取的中点，连接， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是平行四边形，，， ， ∴，，， ∵，， 在中，， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 【压轴素养题型】 【题型9】平面直角坐标系平行四边形存在性 1.核心知识点: 平行四边形对角线中点重合 中点坐标公式：若，则中点 分类讨论：三点定第四点的三种情况 2.解题方法技巧: 分三类讨论：AB为对角线、AC为对角线、BC为对角线 利用中点横纵坐标分别相等，列二元一次方程求解未知点坐标 【例题9】.（25-26八年级下·广东广州·期中）已知线段平移后得到对应线段，进而可得平行四边形．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，． (1)是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (2)求平行四边形的面积． 【答案】(1)存在，点D的坐标为或或 (2) 【分析】（1）设，然后根据题意分三种情况讨论，分别根据平行四边形的性质和平移的性质求解即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：存在，设 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点D是对应点，点B和点C是对应点， ∴， ∴， ∴； 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点C是对应点，点B和点D是对应点， ∴， ∴， ∴； 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点D是对应点，点C和点B是对应点， ∴， ∴， ∴； 综上所述，存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或； （2）解：∵平行四边形的顶点坐标分别为，，，，如图 ∴平行四边形的面积． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，，点在第一象限． (1)求四边形的面积； (2)在轴上是否存在一点，使的面积等于四边形的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)四边形的面积为； (2)存在，点的坐标为或 【分析】（1）求出的长度，结合平行四边形的性质分析可知，，由此得出点的坐标，由分析可知，结合点的坐标分析可求出点的坐标，进而求出平行四边形的面积； （2）设点到的距离为根据三角形面积公式可得再结合列方程求的值，从而确定点坐标． 【详解】（1）解：，， ． 四边形是平行四边形， ，，， ． ． （2）在轴上存在一点，使．理由如下： 设点到的距离为，， 由，得， 解得， ∴点的坐标为或 【变式题9-2】.（25-26八年级下·重庆·期中）如图，直线：与轴交于点D，直线：经过定点且与轴交于点A．直线，交于点 (1)求直线的解析式； (2)在轴上是否存在一点E，使与的面积的相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)平面内是否存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标（并请写出求出其中一个点Q的过程）． 【答案】(1)； (2)存在，点E的坐标为或； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（1）先求出直线的解析式为，再求出点，利用待定系数法即可求解； （2）求出点的坐标，得到，设点，得到，再根据，求解即可； （3）分两种情况：当为平行四边形的边，当为平行四边形的对角线，分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 把点代入，得：， ∴点， 把点代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 如图： 当时，， ∴， ∴点， 当时，， ∴， ∴点， ∴， 设点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 如图： 当为平行四边形的边时，， ∴点的横坐标为或，纵坐标为， ∴点的坐标为或， 当为平行四边形的对角线时，， ∵，， ∴点向右平移5个单位，向下平移5个单位到点，则点向右平移5个单位，向下平移5个单位到点， ∴点的坐标为，即， 综上，点的坐标为或或． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B、C都在x轴上，，，，点C是线段的中点，直线交线段于点F，交x轴于点E． (1)写出点D的坐标________，点E的坐标________； (2)求直线的表达式； (3)平面内是否存在一点G，使以A、D、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）结合四边形是平行四边形，，，，可得，，求解，可得． （2）设直线的关系式为：，再利用待定系数法可得直线的关系式：； （3）求解直线为，，分三种情况讨论：①如图所示，当为平行四边形的对角线时，②如图所示，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，，， ∴，，， ∴，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴． （2）解：设直线的关系式为：， ∵直线经过点A，点E， ∴， 解得，， ∴直线的关系式：； （3）解：∵，设直线为， ∴， 解得：，即直线为， ∴，解得：， ∴， ①如图所示，当为平行四边形的对角线时， ，， ∴结合平移的性质可得：， ②如图所示，当为平行四边形的对角线时， 则，轴， 即点的坐标为：， ③当为平行四边形的对角线时， 同理可得：． 综上，点G的坐标为：或或． 【题型10】平行四边形动点存在性 1.核心知识点: 动点线段代数式表示（速度×时间） 一组对边平行且相等判定平行四边形 一元一次方程求解时间 2.解题方法技巧: 用含的代数式表示动线段长度 根据“对边相等”列方程，检验的取值范围是否符合题意 【例题10】.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)请问是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，则________． 【答案】(1)或 (2)存在， (3)或 【分析】（1）可证明和是以、、、为顶点的平行四边形的一组对边；当点在点左侧时，则四边形是平行四边形，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形，据此根据平行四边形的性质讨论求解即可； （2）求出，得到；由平行四边形的性质和平行线的性质可得，可证明，则可推出，根据建立方程求解即可； （3）分两种情况：点在点左侧和点在点右侧，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴和是以、、、为顶点的平行四边形的一组对边； 如图所示，当点在点左侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； （2）解：存在，使得 ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，设交于点O， 由题意得，， 同理可得， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 如图所示，当点在点左侧时，设点的对应点为， 由对称性可得， ∴是等边三角形， ∴， 由（2）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，设点的对应点为，点为直线上一点， ∵， ∴由轴对称的性质可得， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·吉林白山·期中）如图，在平行四边形中，．动点P从点A出发，沿以的速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t（秒）． (1)________； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，直接写出t的值． 【答案】(1)24 (2) (3)存在，或 (4)或 【分析】（1）求出，根据含30度的直角三角形的性质得出； （2）根据勾股定理得到，由平行四边形的性质和平行线的性质可得，可证明，则可推出，根据建立方程求解即可； （3）可证明和是以为顶点的平行四边形的一组对边；当点在点左侧时，则四边形是平行四边形，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形，据此根据平行四边形的性质讨论求解即可； （4）分两种情况：点在点左侧和点在点右侧，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ； （2）解：∵， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 如图所示，设交于点O， 由题意得，， ∴， ∴， ， ， ， 解得：； （3）解：由题意得，， 由（1）得． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴和是以为顶点的平行四边形的一组对边； 如图所示，当点在点左侧时，则四边形是平行四边形， ， ， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形， ， ， 解得； 综上所述，或； （4）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 如图所示，当点在点左侧时，设点的对应点为， 由对称性可得， ∴是等边三角形， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，设点的对应点为，点为直线上一点， ， ∴由轴对称的性质可得， ， ， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，或． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为t秒． (1)当时，________； (2)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）求出，得到；由平行四边形的性质和平行线的性质可得，可证明，则可推出，根据建立方程求解即可； （2）可证明和是以A、B、P、Q为顶点的平行四边形的一组对边；当点Q在点B左侧时，则四边形是平行四边形，当点Q在点B右侧时，则四边形是平行四边形，据此根据平行四边形的性质讨论求解即可； （3）分两种情况：点Q在点B左侧和点Q在点B右侧，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，设交于点O， 由题意得，， 同理可得， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）解：由题意得，， 由（1）得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴和是以A、B、P、Q为顶点的平行四边形的一组对边； 如图所示，当点Q在点B左侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点Q在点B右侧时，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 如图所示，当点Q在点B左侧时，设点P的对应点为M， 由对称性可得， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点Q在点B右侧时，设点P的对应点为M，点H为直线上一点， ∵， ∴由轴对称的性质可得， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在平行四边形中，，，，并且，满足，若动点从点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；点从点出发以每秒的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，回答下列问题： (1)______，______． (2)设、两点同时出发，设点运动的时间为秒，请问是否存在的值，使得以，，，四点组成的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，为4.8秒或8秒或9.6秒 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出，即可得到答案； （2）根据题意分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，满足，， ∴， ∵，， ∴，． （2）解：∵， ∴当时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形， ∵， ∴， 当第一次到达点B后返回时， ， 解得，符合题意； 当第一次返回点C后再向B点运动时， ， 解得，符合题意； 当第二次到达B点向点C运动时， ， 解得，符合题意； 综上可知，存在的值，使得以，，，四点组成的四边形是平行四边形，为4.8秒或8秒或9.6秒 易错点 1.判定定理误用：直接用“两组对角分别相等”判定平行四边形，未通过内角和推导对边平行。 2.概念混淆：误认为“一组对边平行，另一组对边相等”可证平行四边形，忽略等腰梯形反例。 3.对角线性质错误：普通平行四边形对角线仅互相平分，不相等、不垂直（矩形/菱形才具备）。 4.多边形计算错误：求多边形边数时，忽略单个内角的取值范围，得出非整数边数。 5.中位线概念错误：混淆中位线（两边中点连线）与中线（顶点到对边中点连线）。 6.坐标系存在性漏解：只讨论一种对角线情况，遗漏另外两种平行四边形构造方式。 7.折叠题漏条件：未利用折叠的轴对称性质，遗漏相等边、相等角的等量代换。 重点 1.平行四边形的3条正式判定定理与4条核心性质（选择、填空、证明必考）。 2.三角形中位线定理及中点四边形的推导与应用。 3.多边形内角和、外角和公式，正多边形内外角与边数的互算。 4.平行四边形面积计算与等积变换的实际应用。 5.规范的几何证明书写（全等+平行四边形判定的组合步骤）。 难点 1.平面直角坐标系中，三点确定平行四边形的分类讨论与坐标计算。 2.动点问题中，用代数式表示线段并结合平行四边形判定列方程求解。 3.折叠、旋转综合题，结合轴对称、全等、平行四边形的多步逻辑推理。 4.新定义探究题，将文字规则转化为几何语言并完成证明。 5.中点四边形与原四边形对角线长度、位置关系的综合分析。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在中，， 平分交 于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质可得，再由角平分线的定义可得，然后结合平行分线的性质即可得到的度数． 【详解】解：在中，，， ，则， 平分交 于点， ， 又， ， ． 2．如图，为平行四边形内任一点，，，面积分别为3，4，5，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】过P作交于点E，交于点F，作交于点M，交于点N，根据平行四边形的性质得出，根据，，即可得出答案． 【详解】如图，过P作交于点E，交于点F，作交于点M，交于点N，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 同理：， ∴． 3．如图，，两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为16米，则，间的距离为（     ） A．8米 B．16米 C．24米 D．32米 【答案】D 【分析】先确定D、E分别是、的中点，判断是的中位线，依据三角形中位线定理，可得到和的数量关系．结合已知的长度，根据所得数量关系即可计算的长度． 【详解】由题意可知：是的中点，是的中点， ∴是的中位线． ∴． ∵米， ∴米，即、间距为32米． 二、填空题 4．如图，在中，，点 是的中点，点 在边 上，连接，．若，，，则的长为_________． 【答案】 【分析】延长交的延长线于点T，过点E作于点H．证明，求出，再求得可得结论． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点T，过点E作于点H． ∵E是的中点， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．若，的周长为，则_________． 【答案】 【分析】由作图知平分，，得到，根据平四边形的性质可得，得到，结合题意得，推出，，即可求解． 【详解】解：由作图知平分，， ， 在中，，的周长为， ，， ，， ， ． 6．如图，中，，，，，，则平行四边形的面积 ________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可得，， ，从而得到，再结合直角三角形的性质可得，，，即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ， ∴． 三、解答题 7．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，，延长至点，使得，连接．求证：． 【答案】证明：点，分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 【分析】根据中位线的性质可得，，再证明四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】略 8．如图，在平行四边形中，连接、，，点、为、上的点，且，点、分别为、的中点，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形为平行四边形， ，， ∵点、分别为、的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ∵， ，即， 在和中， ， ， ， ∵， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）证明，得到，即可证明结论； （2）连接交于点，利用等腰三角形三线合一的性质可得，求出，易证，同理求出，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点， ∵，点为的中点， ∴，即， 四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 同理求出， ∴． 9．如图，在四边形中，，是边上一点，，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴∠B＝∠C． 【分析】根据已知条件可证得四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形性质可得，根据等边对等角可得，进而证明． 【详解】略 10．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________； (2)平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________． 【答案】(1)，20 (2) (3)存在，点的坐标为或 (4)或 【分析】（1）由平行四边形的性质可得点D的坐标，平行四边形的面积等于底乘高； （2）平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点，平分其面积的直线必经过对称中心； （3）先求出直线的解析式，分三种情况：为对角线时，为边且点N在x轴的负半轴时，为边且点N在x轴的正半轴时，根据对角线中点重合列方程组，即可求解； （4）先将一次函数解析式变形，求出其图像必经过的点，再分别求出其图像经过点D，B时k的值，结合图像即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，点在轴正半轴上，，， ，，， 点D的纵坐标与点A相同，横坐标为， 点的坐标是， 平行四边形的面积； （2）解：，， 对角线，的交点坐标为，即， 设经过点且平分平行四边形面积的直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， 所求直线的解析式为； （3）解：，点在轴正半轴上，， ，即， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 设，， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，存在三种情况： 当为对角线时，如图： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的负半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的正半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即， 综上可得，存在，点的坐标为或； （4）解：， 一次函数的图象一定经过点， 当 的图象经过点时， ， 解得； 当的图象经过点时， ， 解得； 结合上图，可得当或时，的图象与平行四边形的边有2个交点． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 平行四边形 知识点1：平行四边形的定义与性质 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作。 2.四条核心性质 （1）边：对边平行且相等； （2）角：对角相等，邻角互补（和为）； （3）对角线：对角线互相平分； （4）对称性：中心对称图形，对称中心为对角线交点。 3.衍生模型：平行四边形+角平分线→等腰三角形（角平分线遇平行线，内错角相等推等角对等边）。 知识点2：平行四边形的判定 判定角度 正式判定定理（考试可直接用） 几何符号语言 图示 从边判定1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 从边判定2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 从对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 重要补充（考试不能直接用，需先证明）： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形（仅作思考辅助，证明必须通过四边形内角和推两组对边平行，再用定义判定）。 易错反例：一组对边平行、另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）。 知识点3：平行线间的距离与平行四边形面积 1.平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度；性质：平行线间距离处处相等。 2.面积公式：。 3.等积变换：同底等高的平行四边形面积相等；平行四边形对角线将其分成面积相等的四个三角形。 知识点4：三角形中位线定理 1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 2.定理内容：三角形中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。 3.中点四边形结论：任意四边形四边中点顺次连接，所得四边形一定是平行四边形（中位线定理直接推导）。 知识点5：多边形内角和与外角和 1.内角和公式：边形内角和（，为整数）。 2.外角和定理：任意凸多边形外角和恒为，与边数无关。 3.衍生公式： 正边形单个内角：； 正边形单个外角：； 从一个顶点引出对角线条数：；总对角线条数：。 知识点6：常用辅助线技巧 1.平行四边形连对角线，构造全等三角形； 2.出现多个中点，构造三角形中位线； 3.求高/面积，作平行线间垂线段； 4.折叠问题利用轴对称，标记相等边、相等角。 【基础必考题型】 【题型1】平行四边形边角对角线计算 1.核心知识点: 平行四边形对边相等、对角相等、邻角互补 平行四边形+角平分线→等腰三角形模型 平行四边形对角线互相平分 2.解题方法技巧: 求边长直接用“对边相等”；求角度优先用邻角互补倒角 角平分线与平行线相遇，立即找等腰三角形，转化线段相等 对角线交点平分两条对角线，拆分出4组相等线段 对角线与边长构成三角形，利用“两边之和大于第三边”列不等式 【例题1】.（上海市黄浦区2025-2026学年八年级下学期期终考试数学试卷）已知平行四边形中，，则的度数是_________． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，在平行四边形中，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·期末）如图，在中，的平分线交于点E，若，则的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式题1-3】.（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，的对角线与相交于点，，，的周长是． (1)求的度数； (2)求的长． 【题型2】平行四边形判定条件辨析 1.核心知识点: 3条正式平行四边形判定定理 常见易错判定的反例（一组平行一组相等→等腰梯形） 2.解题方法技巧: 逐个匹配3条正式判定定理，排除陷阱选项 牢记：两组对角相等不能直接判定，必须推导对边平行 【例题2】.（25-26八年级下·全国·暑假作业）下列给出的条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【变式题2-1】.（25-26八年级下·河南漯河·期末）如图，四边形的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式题2-2】.（2026·湖北·二模）如图，已知四边形的对角线交于点．下列三个条件：①，②，③，请从中选择两个，证明四边形是平行四边形． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在四边形 中，，． (1)尺规作图：作的平分线 ，其中点在 上；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形． 【题型3】多边形内角、外角基础计算 1.核心知识点: 多边形内角和、外角和公式 正多边形内外角度数计算 2.解题方法技巧: 已知边数求内角代入 已知单个外角直接用外角度数求边数（更简便） 【例题3】.（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）若一个正多边形的每一个外角都是 ，则这个正多边形的边数为__________． 【变式题3-1】.（2026·江苏扬州·中考真题）扬州漆器造型雅致，做工精巧，色彩和谐，光泽腴润．如图，扬州漆器作品《春山畅游》的轮廓是一个正八边形，它的每个内角为_______°． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，以为边在正六边形的内部作正方形 ，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（2026八年级下·山西朔州·专题练习）将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆放，公共顶点为，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是_________°． 【题型4】三角形中位线长度计算 1.核心知识点: 三角形中位线定义与定理 双中点线段识别 2.解题方法技巧: 先确认线段连接两边中点，再直接用第三边 多个中点嵌套图形，分层拆解使用中位线定理 【例题4】.（2026·广西南宁·三模）如图，要测算池塘两端，之间的距离，先在地面上取一点，然后通过测量分别找到和的中点，，并测得的长，就可测算池塘两端，之间的距离．若的长为5米，则池塘两端，之间的距离是_______米． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图，平行四边形 的对角线 、 相交于点 ，点 是的中点，．若 的周长为5，则平行四边形 的周长为______． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在 中，平分，点是的中点，，连接．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（2026·山西长治·三模）如图，在四边形中，， ， 是的中点，连接 ． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作图，找到线段的中点．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接， ，求证：四边形是平行四边形． 【题型5】平行四边形证明 1.核心知识点: 全等三角形判定（SSS/SAS/ASA/AAS） 一组对边平行且相等证平行四边形（最常用） 2.解题方法技巧: 先证三角形全等，得到一组对边平行且相等 证明书写规范：每一步都标注依据（全等依据、判定定理依据） 【例题5】.（2026·江苏无锡·二模）如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 【变式题5-1】.（24-25八年级下·河南·期末）如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加适当的条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）如图，四边形的四边长已标注，，求证：四边形是平行四边形． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，和都是等边三角形，．求证：四边形是平行四边形． 【培优高频题型】 【题型6】平行四边形面积与等积变换 1.核心知识点: 平行四边形面积公式 平行线间距离相等、同底等高面积不变 2.解题方法技巧: 面积已知反求高，用（注意底与高对应） 平行线内图形，同底等高直接面积相等，无需计算边长 【例题6】.（25-26八年级下·河北廊坊·期中）对进行下列操作： 操作1：如图1，是的中位线，将沿中线方向平移到△的位置，使与边重合； 操作2：作的高，将按图2所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为． 对操作1，2中阴影部分面积，下列说法正确的是（） A．操作2中阴影部分面积大 B．面积均为面积的一半 C．面积与的面积相等 D．操作1中阴影部分面积大 【变式题6-1】.（2026·山东滨州·二模）面积等分线是指能将图形分成面积相等两部分的直线，是平面几何中图形分割的重要概念，其背后蕴含着图形变换、转化等核心数学思想．请结合所学知识完成以下问题： (1)平行四边形有________条面积等分线； (2)如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形得到组合图形，请画出该图形的一条面积等分线； (3)如图②，四边形中，，．请分别画出四边形的两条面积等分线，并阐述构造思路． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·江苏无锡·阶段检测）如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，． (1)求点的坐标和的对称中心的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点运动的时间为秒，则当为何值时，的面积是面积的一半？ (3)当的面积是面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【变式题6-3】.（2026八年级下·江苏·专题练习）我们知道：平行四边形的面积（底边）（这条底边上的高）．如图，四边形都是平行四边形，，，设它的面积为． (1)如图①，点为上任意一点，则的面积，的面积与的面积的数量关系是 ． (2)如图②，设、交于点，则为、的中点，试探究的面积与的面积之和与平行四边形的面积的数量关系． (3)如图③，点为平行四边形内任意一点时，记的面积为，的面积为，平行四边形的面积为，猜想得、的和与的数量关系式为 ． (4)如图④，已知点为平行四边形内任意一点，的面积为，的面积为，求的面积． 【题型7】平行四边形多结论判断题 1.核心知识点: 平行四边形性质、全等三角形、等腰三角形综合推理 2.解题方法技巧: 逐个推导结论，在图中标注等角、等线段 举反例排除错误结论，特殊值法快速验证 【例题7】.（25-26八年级下·江西抚州·期末）如图，的对角线、相交于点，平分，分别交、于点，连接，，，，则下列结论：；；；，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·全国·暑假作业）下列说法：①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形：②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍：③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形：④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等．其中正确的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题7-2】.（2026·吉林长春·三模）如图，在中，，于点，于点，，相交于，延长交的延长线于点．下列结论：①；②；③线段与互相平分；④；⑤．其中正确的结论有________（填序号）． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形，对角线，且平分，为中点，在上取一点，使，垂足为，取中点，连接，则下列结论：①；②；③连接，则四边形是平行四边形；④．其中正确的结论的序号是____________． 【题型8】平行四边形折叠求角度/线段 1.核心知识点: 折叠轴对称性质（对应边相等、对应角相等） 平行四边形边角性质 2.解题方法技巧: 折叠后标记全等边、等角，设未知数列方程求解 结合邻角互补、三角形内角和建立等量关系倒角 【例题8】.（2026·河北唐山·二模）将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使边和重合，折痕交边于点E，展开后进行第二次折叠，第二次折叠经过点B，使边和重合，折痕交边于点F，展开后如图所示．当时，若，则的长是_______． 【变式题8-1】.（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，．若将沿折叠，点A与边的点D恰好重合，点H，G分别在，上．将沿折叠，点B与点D恰好重合．将沿折叠，点C与点D恰好重合，则的长为______． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·山西太原·期中）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以平行四边形为基本图形探究图形折叠变化中的数学问题．已知平行四边形纸片，，，． (1)操作证明：如图1，小聪先从特殊情形入手，折叠平行四边形纸片，使点与点重合，折痕分别交，边于点，，点的对应点为点．请猜想此时线段与的数量关系，并说明理由； (2)拓展延伸：如图2，小慧沿过点的直线折叠该平行四边形纸片，使点的对应点落在对角线的延长线上，折痕交线段于点，交于点，点的对应点为点． ①请判断图1，2两种折法中线段与的位置关系，补全示意图并写出证明过程． ②直接写出线段的长． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·江苏扬州·期中）综合与实践：平行四边形纸片的折叠 (1)探究1：我们将如图（1）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点为，延长交于点．求证：． (2)探究2：我们将如图（2）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在的中点处．猜想，之间的数量关系，并证明． (3)探究3：我们将如图（3）所示的平行四边形纸片沿过点的直线折叠，折痕交于点，点的对应点恰好落在线段上，过点作，交延长线于点，其中，，，求线段的长． 【压轴素养题型】 【题型9】平面直角坐标系平行四边形存在性 1.核心知识点: 平行四边形对角线中点重合 中点坐标公式：若，则中点 分类讨论：三点定第四点的三种情况 2.解题方法技巧: 分三类讨论：AB为对角线、AC为对角线、BC为对角线 利用中点横纵坐标分别相等，列二元一次方程求解未知点坐标 【例题9】.（25-26八年级下·广东广州·期中）已知线段平移后得到对应线段，进而可得平行四边形．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，． (1)是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (2)求平行四边形的面积． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，，点在第一象限． (1)求四边形的面积； (2)在轴上是否存在一点，使的面积等于四边形的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·重庆·期中）如图，直线：与轴交于点D，直线：经过定点且与轴交于点A．直线，交于点 (1)求直线的解析式； (2)在轴上是否存在一点E，使与的面积的相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)平面内是否存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标（并请写出求出其中一个点Q的过程）． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B、C都在x轴上，，，，点C是线段的中点，直线交线段于点F，交x轴于点E． (1)写出点D的坐标________，点E的坐标________； (2)求直线的表达式； (3)平面内是否存在一点G，使以A、D、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型10】平行四边形动点存在性 1.核心知识点: 动点线段代数式表示（速度×时间） 一组对边平行且相等判定平行四边形 一元一次方程求解时间 2.解题方法技巧: 用含的代数式表示动线段长度 根据“对边相等”列方程，检验的取值范围是否符合题意 【例题10】.（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)请问是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，则________． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·吉林白山·期中）如图，在平行四边形中，．动点P从点A出发，沿以的速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t（秒）． (1)________； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，直接写出t的值． 【变式题10-2】.（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，．动点从点出发沿以速度向终点运动，同时点从点出发，以速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为t秒． (1)当时，________； (2)请问是否存在的值，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出的值． 【变式题10-3】.（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在平行四边形中，，，，并且，满足，若动点从点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；点从点出发以每秒的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，回答下列问题： (1)______，______． (2)设、两点同时出发，设点运动的时间为秒，请问是否存在的值，使得以，，，四点组成的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 易错点 1.判定定理误用：直接用“两组对角分别相等”判定平行四边形，未通过内角和推导对边平行。 2.概念混淆：误认为“一组对边平行，另一组对边相等”可证平行四边形，忽略等腰梯形反例。 3.对角线性质错误：普通平行四边形对角线仅互相平分，不相等、不垂直（矩形/菱形才具备）。 4.多边形计算错误：求多边形边数时，忽略单个内角的取值范围，得出非整数边数。 5.中位线概念错误：混淆中位线（两边中点连线）与中线（顶点到对边中点连线）。 6.坐标系存在性漏解：只讨论一种对角线情况，遗漏另外两种平行四边形构造方式。 7.折叠题漏条件：未利用折叠的轴对称性质，遗漏相等边、相等角的等量代换。 重点 1.平行四边形的3条正式判定定理与4条核心性质（选择、填空、证明必考）。 2.三角形中位线定理及中点四边形的推导与应用。 3.多边形内角和、外角和公式，正多边形内外角与边数的互算。 4.平行四边形面积计算与等积变换的实际应用。 5.规范的几何证明书写（全等+平行四边形判定的组合步骤）。 难点 1.平面直角坐标系中，三点确定平行四边形的分类讨论与坐标计算。 2.动点问题中，用代数式表示线段并结合平行四边形判定列方程求解。 3.折叠、旋转综合题，结合轴对称、全等、平行四边形的多步逻辑推理。 4.新定义探究题，将文字规则转化为几何语言并完成证明。 5.中点四边形与原四边形对角线长度、位置关系的综合分析。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在中，， 平分交 于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，为平行四边形内任一点，，，面积分别为3，4，5，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，，两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为16米，则，间的距离为（     ） A．8米 B．16米 C．24米 D．32米 二、填空题 4．如图，在中，，点 是的中点，点 在边 上，连接，．若，，，则的长为_________． 5．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．若，的周长为，则_________． 6．如图，中，，，，，，则平行四边形的面积 ________． 三、解答题 7．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，，延长至点，使得，连接．求证：． 8．如图，在平行四边形中，连接、，，点、为、上的点，且，点、分别为、的中点，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 9．如图，在四边形中，，是边上一点，，．求证：． 10．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________； (2)平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $