专题5.2 分式的运算（4大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年北师大版八年级数学下学期

本讲义聚焦初中数学分式的运算核心知识点，系统梳理分式乘除（含整式参与）、乘方（分子分母分别乘方及符号规则）、加减（同分母直接加减、异分母先通分）及混合运算顺序（先乘方再乘除后加减），构建从基础到综合的递进式学习支架。 该资料以分层题型设计为特色，基础题型巩固运算法则，培优题型提升混合运算能力，压轴题型（如规律探究、新定义运算）培养创新意识与推理能力。通过例题与变式题结合，助力教师课中分层教学，学生课后可借易错点、重点总结查漏补缺，强化数学思维与应用能力。

专题5.2 分式的运算 知识点1：分式的乘除运算 1.乘法法则：分式乘分式，分子相乘作分子，分母相乘作分母。 公式：（） 2.除法法则：分式除以分式，颠倒除式分子分母，转化为乘法。 公式：（） 3.整式参与：整式看成分母为1的分式，再按法则运算。 知识点2：分式的乘方运算 1.法则：分式乘方，分子、分母分别乘方。 公式：（为正整数，） 2.符号规则：负数偶次方为正，奇次方为负；先定符号再乘方。 知识点3：分式的加减运算 类型 法则 公式 同分母加减 分母不变，分子相加减 异分母加减 先通分，化为同分母，再加减 1.通分：把异分母分式化为同分母分式，关键找最简公分母。 2.最简公分母：各分母系数最小公倍数×相同因式最高次幂×单独因式。 知识点4：分式混合运算顺序 1.先乘方→再乘除→最后加减； 2.有括号先算括号内，同级运算从左到右； 3.结果化为最简分式/整式，分子、分母首项系数为正。 【基础必考题型】 【题型1】分式的乘法运算 1.核心知识点 分式乘法法则；单项式/多项式乘法；因式分解后约分 2.解题方法技巧 先分解因式再约分，最后相乘；结果化为最简分式 【例题1】.（2026·浙江台州·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：__________． 【变式题1-2】.（24-25九年级下·贵州铜仁·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·北京海淀·期末）化简：______． 【题型2】分式的除法运算 1.核心知识点 除法变乘法；颠倒除式；整式化分式 2.解题方法技巧 一除变乘、二颠倒、三分解、四约分、五相乘 【例题2】.（2026·山东济南·二模）化简：__________． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·江苏常州·月考）计算：________ 【变式题2-2】.（25-26八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【变式题2-3】.（2026八年级下·吉林长春·专题练习）化简：． 【题型3】分式的乘方运算 1.核心知识点 分子分母分别乘方；符号判断；积的乘方 2.解题方法技巧 先定符号，再分别乘方；多项式整体乘方 【例题3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·全国·单元复习）____． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）计算：__________． 【题型4】同分母分式的加减 1.核心知识点 分母不变；分子整体加减；括号与符号 2.解题方法技巧 分子加括号，减式要变号；结果必约分 【例题4】.（25-26八年级下·山东济南·期中）化简的结果是________． 【变式题4-1】.（2026·湖北武汉·模拟预测）计算：______． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【变式题4-3】.（25-26八年级下·山东济南·月考）计算： (1) (2) 【题型5】最简公分母与通分 1.核心知识点 最简公分母确定；分式基本性质；通分步骤 2.解题方法技巧 分母先分解，再定公分母；分子分母同乘相同因式 【例题5】.（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）求下列各式的最简公分母，并通分． ，，． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)，，； (2)，，． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）分式，的最简公分母是______． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·江苏南京·期中）分式，，的最简公分母是____________． 【培优高频题型】 【题型6】异分母分式的加减 1.核心知识点 通分转化；同分母加减；符号与括号 2.解题方法技巧 一通分、二变号、三合并、四约分 【例题6】.（2026·山东烟台·一模）计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式题6-1】.（2026·天津东丽·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（2026·四川南充·一模）计算：． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型7】分式加减乘除混合运算 1.核心知识点 运算顺序；括号优先；化简求值 2.解题方法技巧 先乘方、再乘除、后加减；括号内先算 【例题7】.（25-26八年级下·山东济南·月考）计算 (1)； (2)． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·河南周口·月考）计算: (1) (2) 【变式题7-2】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·重庆·开学考试）化简： (1) (2) 【题型8】分式化简求值 1.核心知识点 混合运算化简；代入求值；有意义条件 2.解题方法技巧 先化简再代入；选数排除使分母为0的值 【例题8】.（2026·福建三明·二模）求代数式的值，其中． 【变式题8-1】.（2026·北京昌平·一模）已知，求代数式的值． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）化简求值：，从1，2，3，中选择一个合适的数代入并求值． 【变式题8-3】.（2026·吉林长春·一模）先化简，再求值：，其中m满足． 【压轴素养题型】 【题型9】分式运算的规律探究 1.核心知识点 分式变形；拆项相消；归纳一般式 2.解题方法技巧 算前几项→找周期/拆项规律→用规律计算 【例题9】.（25-26八年级下·北京·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述等式的规律，写出第4个等式：______； (2)用含n的等式表示上述规律，并证明； (3)利用这一规律计算：． 【变式题9-1】.（23-24八年级上·湖北黄石·月考）阅读与思考：观察下列式子：，，，， (1)（探索规律）用正整数表示上述式子的规律是______； (2)（问题解决）容器里有升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，，第次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这升水能否倒完？说明理由； (3)（拓展探究）化简：． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）观察下列各式： ； ； ； … (1)你归纳出的一般结论是_________________（用含的式子表示）． (2)利用上述结论计算： ． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【题型10】新定义运算与分式结合 1.核心知识点 自定义规则翻译；分式运算；方程求解 2.解题方法技巧 按定义列式→转常规分式运算→规范检验 【例题10】.（25-26八年级上·湖南常德·期末）定义一种新运算*，规定运算法则为，则计算的结果是_______． 【变式题10-1】.（2026·河南商丘·二模）定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·广东广州·期末）对于任意有理数，定义一种新运算例如，先化简，再求值，其中满足方程． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·广东广州·期末）定义：若两个分式的和为为正整数，则称这两个分式互为“阶分式”． 例如，分式与互为“阶分式”． (1)分式与 互为“阶分式” (2)若正数，互为倒数，求证：分式与互为“阶分式”； (3)若分式与互为“阶分式”（其中，为正数），求的值． 易错点 1.除法运算只颠倒除式，误将被除式也颠倒。 2.异分母加减漏通分，或通分后分子不加括号、符号错。 3.乘方时多项式不整体乘方，符号判断错误。 4.混合运算顺序混乱，括号处理错误。 5.化简求值选取使分母为0的数代入。 6.结果不约分，未化成最简分式。 重点 1.分式乘、除、乘方、加减运算法则。 2.通分、约分与最简公分母确定。 3.分式混合运算顺序与化简求值。 4.实际问题分式建模与运算。 难点 1.多项式分母因式分解与灵活约分。 2.异分母加减符号与括号综合处理。 3.复杂混合运算简便运算与技巧。 4.新定义、规律探究等创新题型转化。 【对应练习题】 一、单选题 1．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果等于（   ） A．2 B．x C． D． 二、填空题 4．分式，的最简公分母是_____． 5．已知，则的值为________． 6．对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______． 三、解答题 7．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．先化简，再求值：，其中，且是整数，请你从中选出一个合适的数代入求值． 9．小明准备完成如图所示的这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． (1)求被墨水污染的部分； (2)小明认为当时，原分式的值为1，你同意小明的说法吗？为什么？ 10．数学课上，老师展示了一道习题及其错误的解答过程： 已知，求“△”． 解：根据题意可得，，        第一步 ，    第二步 ，            第三步 ．            第四步 (1)以上过程是从第______步开始出现错误的，请写出正确的解答过程； (2)若，，求正确的“△”的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 分式的运算 知识点1：分式的乘除运算 1.乘法法则：分式乘分式，分子相乘作分子，分母相乘作分母。 公式：（） 2.除法法则：分式除以分式，颠倒除式分子分母，转化为乘法。 公式：（） 3.整式参与：整式看成分母为1的分式，再按法则运算。 知识点2：分式的乘方运算 1.法则：分式乘方，分子、分母分别乘方。 公式：（为正整数，） 2.符号规则：负数偶次方为正，奇次方为负；先定符号再乘方。 知识点3：分式的加减运算 类型 法则 公式 同分母加减 分母不变，分子相加减 异分母加减 先通分，化为同分母，再加减 1.通分：把异分母分式化为同分母分式，关键找最简公分母。 2.最简公分母：各分母系数最小公倍数×相同因式最高次幂×单独因式。 知识点4：分式混合运算顺序 1.先乘方→再乘除→最后加减； 2.有括号先算括号内，同级运算从左到右； 3.结果化为最简分式/整式，分子、分母首项系数为正。 【基础必考题型】 【题型1】分式的乘法运算 1.核心知识点 分式乘法法则；单项式/多项式乘法；因式分解后约分 2.解题方法技巧 先分解因式再约分，最后相乘；结果化为最简分式 【例题1】.（2026·浙江台州·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式乘法法则，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，再约去公因式即可． 【详解】解：． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）计算：__________． 【答案】 【分析】先确定积的符号，再依据分式乘法法则，将分子、分母分别相乘后约分得到最简结果． 【详解】解： ． 【变式题1-2】.（24-25九年级下·贵州铜仁·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘法运算，根据分式乘法法则，将分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母，再进行约分即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·北京海淀·期末）化简：______． 【答案】 【分析】先计算分式的平方，再与另一个分式相乘，最后约分 本题考查了分式的运算，掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：计算， 然后 ， 约分得． 故答案为：． 【题型2】分式的除法运算 1.核心知识点 除法变乘法；颠倒除式；整式化分式 2.解题方法技巧 一除变乘、二颠倒、三分解、四约分、五相乘 【例题2】.（2026·山东济南·二模）化简：__________． 【答案】 【分析】先根据分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再对各多项式因式分解，约分后即可得到化简结果. 【详解】解： ． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·江苏常州·月考）计算：________ 【答案】 【分析】根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式题2-3】.（2026八年级下·吉林长春·专题练习）化简：． 【答案】1 【详解】解：原式． 【题型3】分式的乘方运算 1.核心知识点 分子分母分别乘方；符号判断；积的乘方 2.解题方法技巧 先定符号，再分别乘方；多项式整体乘方 【例题3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先约分，再利用分式的乘方法则，结合积的乘方法则化简即可得到结果． 【详解】解：． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式乘方与幂的乘方的运算，需运用“分式乘方时分子分母分别乘方”及“幂的乘方底数不变、指数相乘”的法则化简． 【详解】解：∵分式的乘方法则为，幂的乘方法则为， ∴， 故选：B． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·全国·单元复习）____． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的乘除，乘方，熟练掌握法则是解题的关键； 应用指数运算规则，先分别计算两个分式的乘方，再将除法转化为乘法运算，最后化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查负指数幂，积的乘方及分式的乘除运算，先根据积的乘方去括号再进行单项式的乘除法，最后把结果转化为正整数指数幂的形式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型4】同分母分式的加减 1.核心知识点 分母不变；分子整体加减；括号与符号 2.解题方法技巧 分子加括号，减式要变号；结果必约分 【例题4】.（25-26八年级下·山东济南·期中）化简的结果是________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式题4-1】.（2026·湖北武汉·模拟预测）计算：______． 【答案】 2 【分析】本题利用同分母分式减法法则计算，对结果因式分解后约分即可得到答案． 【详解】解： 【变式题4-2】.（25-26八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·山东济南·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【题型5】最简公分母与通分 1.核心知识点 最简公分母确定；分式基本性质；通分步骤 2.解题方法技巧 分母先分解，再定公分母；分子分母同乘相同因式 【例题5】.（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）求下列各式的最简公分母，并通分． ，，． 【答案】，， 【分析】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键． 根据确定最简公分母的方法即可判断． 【详解】解：，，的最简公分母是， 通分后为，，． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)， ， (2)，， 【分析】本题考查了通分的定义，异分母分式的通分，关键是确定它们的最简公分母． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先对原分式的分母用提公因式法、平方差公式进行因式分解，求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母为， ， ， ； （2）解：，，， 最简公分母为， ， ， ． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）分式，的最简公分母是______． 【答案】 【分析】根据最简公分母的定义，分别确定系数部分与各字母因式的最高次幂，计算得到结果即可． 【详解】解：确定最简公分母时，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作为公分母. 两个分式的分母分别为和，系数部分的最小公倍数为，的最高次幂为，的最高次幂为，因此最简公分母为 ． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·江苏南京·期中）分式，，的最简公分母是____________． 【答案】 【分析】 取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，则最简公分母为． 【培优高频题型】 【题型6】异分母分式的加减 1.核心知识点 通分转化；同分母加减；符号与括号 2.解题方法技巧 一通分、二变号、三合并、四约分 【例题6】.（2026·山东烟台·一模）计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先将分母互为相反数的分式进行变形，化为同分母分式，再根据同分母分式的加减法法则进行计算，最后化简得到结果． 【详解】解： ． 【变式题6-1】.（2026·天津东丽·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通分后利用同分母分式的运算法则进行化简． 【详解】解： ． 【变式题6-2】.（2026·四川南充·一模）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将分母因式分解后通分，合并分子并约分即可； （2）将分母因式分解后通分，合并分子并约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型7】分式加减乘除混合运算 1.核心知识点 运算顺序；括号优先；化简求值 2.解题方法技巧 先乘方、再乘除、后加减；括号内先算 【例题7】.（25-26八年级下·山东济南·月考）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·河南周口·月考）计算: (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）先对分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，最后进行约分； （2）根据同分母分式相加，分母不变，分子相加，然后对结果进行化简． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可解答； （2）先将括号内的分式通分，再进行减法运算，最后进行乘除运算即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·重庆·开学考试）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算除法，再计算加法即可； （2）先计算括号内的，再计算除法，然后计算减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【题型8】分式化简求值 1.核心知识点 混合运算化简；代入求值；有意义条件 2.解题方法技巧 先化简再代入；选数排除使分母为0的值 【例题8】.（2026·福建三明·二模）求代数式的值，其中． 【答案】 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 【变式题8-1】.（2026·北京昌平·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：原式 ， 由得， 原式． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）化简求值：，从1，2，3，中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，当时，原式＝ 【分析】先计算括号中的减法，再将除法转化为乘法进行化简原式，最后代入字母的值计算即可 【详解】解：原式 ，，， ，，． 当时，原式 【变式题8-3】.（2026·吉林长春·一模）先化简，再求值：，其中m满足． 【答案】，6 【分析】先根据分式的加法运算法则进行通分运算，再根据分式乘法运算法则，进行运算化简，求出化简后的结果为，结合已知条件，得到，运用整体代入的方法求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 原式． 【压轴素养题型】 【题型9】分式运算的规律探究 1.核心知识点 分式变形；拆项相消；归纳一般式 2.解题方法技巧 算前几项→找周期/拆项规律→用规律计算 【例题9】.（25-26八年级下·北京·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述等式的规律，写出第4个等式：______； (2)用含n的等式表示上述规律，并证明； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第4个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：由上述等式的规律得，第4个等式：； （2）解：由上述等式的规律得，第个等式为； 证明： ； （3）解： ． 【变式题9-1】.（23-24八年级上·湖北黄石·月考）阅读与思考：观察下列式子：，，，， (1)（探索规律）用正整数表示上述式子的规律是______； (2)（问题解决）容器里有升水，按如下要求把水倒出：第一次倒出升水，第二次倒出的水量是升的，第三次倒出的水量是升的，第四次倒出的水量是升的，，第次倒出的水量是升水的．按照这种倒水方式，这升水能否倒完？说明理由； (3)（拓展探究）化简：． 【答案】(1)； (2)不能倒完，理由见解析； (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，分式的化简，根据题意找出规律是解题关键． （1）观察所给式子，即可得到规律； （2）根据（1）所得规律，计算第次倒出后剩余的水量，即可得到答案； （3）根据将式子分解，再计算即可． 【详解】（1）解：观察所给式子可知，等号左边为分数，分子是1，分母为相邻两个整相邻数的积，等号右边为相同的相邻整式的倒数的差， 则用正整数表示上述式子的规律是， 故答案为：； （2）解：不能倒完，理由如下： 第次倒出后剩余的水量为 ， 即这升水不能倒完； （3）解： 【变式题9-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）观察下列各式： ； ； ； … (1)你归纳出的一般结论是_________________（用含的式子表示）． (2)利用上述结论计算： ． 【答案】(1)（为正整数） (2) 【分析】本题考查了分式的拆分与化简，掌握根据规律把分式拆成两个分式的差，通过中间项抵消简化计算是解题的关键． （1）观察式子的分子分母结构，归纳出分式拆分的一般规律，用含的式子表示； （2）利用（1）归纳出的拆分规律，把每一项拆成两个分式的差，让中间的分式相互抵消来简化计算． 【详解】（1）解：（为正整数）． （2）解：原式 ． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了运用归纳的思想方法，探究规律以及二次根式的性质． （1）根据已知条件，寻找相关规律，可写出第6个等式； （2）先写出猜想的第n个等式，再运用分式运算法则和二次根式的性质，化简等式左边，证得左边=右边即可． 【详解】（1）解：第6个等式：； （2）解：猜想第n个等式为：，证明如下： 等式左边， ∵n为正整数， ∴， ∴等式左边右边， ∴等式成立． 【题型10】新定义运算与分式结合 1.核心知识点 自定义规则翻译；分式运算；方程求解 2.解题方法技巧 按定义列式→转常规分式运算→规范检验 【例题10】.（25-26八年级上·湖南常德·期末）定义一种新运算*，规定运算法则为，则计算的结果是_______． 【答案】 【分析】先根据已知条件中的新定义，求出，，再代入，进行约分即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 【变式题10-1】.（2026·河南商丘·二模）定义新运算：对于两个非零代数式，规定，例如．则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新定义代入式子，再根据异分母分式进行加减运算即可． 【详解】解：∵ ∴ 【变式题10-2】.（25-26八年级上·广东广州·期末）对于任意有理数，定义一种新运算例如，先化简，再求值，其中满足方程． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先根据新定义得到，然后化简，再解方程，将求出的值代入化简后的代数式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， 解得 ∴原式 【变式题10-3】.（25-26八年级上·广东广州·期末）定义：若两个分式的和为为正整数，则称这两个分式互为“阶分式”． 例如，分式与互为“阶分式”． (1)分式与 互为“阶分式” (2)若正数，互为倒数，求证：分式与互为“阶分式”； (3)若分式与互为“阶分式”（其中，为正数），求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，列式，然后结合分式减法法则计算，即可作答． （2）结合倒数的性质，得，再分别化简，，则，即可作答． （3）结合“阶分式”的定义得，整理，即，又因为为正数，得，故，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴分式与互为“阶分式”； （2）解：∵正数，互为倒数， ∴， ∴， ， 则， 故分式与互为“阶分式”； （3）解：与互为“阶分式”， ． ． ， ∴ 即． ∴， 又为正数， ∴， ∴， ． 易错点 1.除法运算只颠倒除式，误将被除式也颠倒。 2.异分母加减漏通分，或通分后分子不加括号、符号错。 3.乘方时多项式不整体乘方，符号判断错误。 4.混合运算顺序混乱，括号处理错误。 5.化简求值选取使分母为0的数代入。 6.结果不约分，未化成最简分式。 重点 1.分式乘、除、乘方、加减运算法则。 2.通分、约分与最简公分母确定。 3.分式混合运算顺序与化简求值。 4.实际问题分式建模与运算。 难点 1.多项式分母因式分解与灵活约分。 2.异分母加减符号与括号综合处理。 3.复杂混合运算简便运算与技巧。 4.新定义、规律探究等创新题型转化。 【对应练习题】 一、单选题 1．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照规则分别确定系数的最小公倍数和各字母的最高次幂，相乘后即可得到结果． 【详解】解：① 取各分母系数的最小公倍数，两个分母系数均为，最小公倍数为； ② 取各分母中所有出现字母的最高次幂，出现的字母为 ，，，每个字母的最高次数都是， 将所得结果相乘，最简公分母为 ． 2．已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件整理出，再将所求分式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，可得， ∴ ． 3．计算的结果等于（   ） A．2 B．x C． D． 【答案】A 【详解】． 二、填空题 4．分式，的最简公分母是_____． 【答案】/ 【详解】解：分式，的最简公分母是． 5．已知，则的值为________． 【答案】2 【分析】先对所求分式进行通分变形，再将已知等式整体代入化简求值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 6．对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据新运算的定义写出待求式的代数形式，再利用平方差公式因式分解，结合分式的除法法则化简即可． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 三、解答题 7．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据单项式除单项式的运算法则计算即可； （2）利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算即可求解； （3）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （4）先因式分解，再将除法运算为乘法运算，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．先化简，再求值：，其中，且是整数，请你从中选出一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】首先根据分式的性质把分式化简，再根据分式有意义的条件确定或，从和中选一个数代入化简后的代数式求值． 【详解】解： ， ， ， 或或或或， ，， 或， 当时，原式． 9．小明准备完成如图所示的这样一道填空题，其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． (1)求被墨水污染的部分； (2)小明认为当时，原分式的值为1，你同意小明的说法吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不同意，理由见解析 【分析】（1）根据除数=被除数÷商列式求解即可； （2）根据除数不能等于0解答即可． 【详解】（1）解：∵ ． ∴被墨水污染的部分为． （2）解：不同意，理由如下： 时，除数，原式没意义， ∴当时，原式的值不为1． 10．数学课上，老师展示了一道习题及其错误的解答过程： 已知，求“△”． 解：根据题意可得，，        第一步 ，    第二步 ，            第三步 ．            第四步 (1)以上过程是从第______步开始出现错误的，请写出正确的解答过程； (2)若，，求正确的“△”的值． 【答案】(1)二，过程见详解 (2) 【分析】（1）根据题中的解题过程进行分析即可，再写成正确的解答过程即可； （2）根据（1）中的化简结果将a，b代入即可得出结果． 【详解】（1）解：在题中的解答过程里，第二步的移项出现错误，导致后续步骤开始出现错误，正确的解答过程如下： 根据题意可得，， ， ， ． （2）解：∵，， 由（1）得， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $