第4章 因式分解 单元复习（5大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期培优讲义

该初中数学因式分解单元复习讲义通过分层知识点梳理构建知识体系，用表格对比平方差与完全平方公式特征，以“一提二套三分四查”口诀归纳步骤，借助思维导图呈现提公因式法、公式法等方法联系，清晰呈现重难点分布。 讲义亮点是分层题型设计，从基础概念辨析到压轴换元法应用，如几何问题中通过图形面积验证平方差公式，培养运算能力与推理意识。例题配变式题，基础生掌握方法，优生突破综合题，助力教师实施分层教学，提升复习效率。

第4章 因式分解 知识点1：因式分解的概念 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式。 2.核心特征：因式分解是恒等变形，结果为整式乘积形式，与整式乘法是互逆变形（非互逆运算）。 3.注意：单项式无需因式分解；因式分解需分解到每一个因式都不能再分解为止。 知识点2：提公因式法 1.公因式定义：多项式各项都含有的公共因式，确定公因式遵循五看原则： 看系数：提取各项系数的最大公因数； 看字母：提取各项相同的字母； 看指数：取相同字母的最低次幂； 看整体：相同的多项式整体直接作为公因式； 看首项：首项为负时，公因式符号为负，提取后括号内各项变号。 2.提公因式法步骤：①确定公因式；②提取公因式，确定另一个因式；③写成“公因式×另一个因式”的形式。 3.公式表示：。 知识点3：公式法分解因式 平方差公式 1.公式：； 2.适用条件：二项式，两项均为平方形式，且符号相反； 3.拓展：公式中的、可以是单项式、多项式（整体代换）。 完全平方公式 1.完全平方和：； 2.完全平方差：； 3.适用条件：三项式，首末两项为平方形式且符号相同，中间项为两底数积的2倍（符号可正可负）； 4.口诀：首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中央。 平方差与完全平方公式对比 公式类型 形式特征 结果形式 项数 平方差公式 两个一次式的积 二项式 完全平方公式 一个一次式的平方 三项式 知识点4：因式分解的常用辅助方法 1.分组分解法：将多项式分组后，每组能提公因式或用公式，且组间能继续分解，适用于四项及以上多项式； 2.十字相乘法：针对二次三项式，分解为，核心是“常数项分解为两数积，和为一次项系数”； 3.换元法：将多项式中重复出现的整体设为新字母，简化后分解，最后还原； 4.配方法：通过添、减项构造完全平方式，再结合平方差公式分解。 知识点5：因式分解的一般步骤 1.一提：有公因式先提取公因式（首项为负先提负号）； 2.二套：提取公因式后，根据项数和形式套用平方差、完全平方公式； 3.三分：公式无法直接套用的，用分组、十字相乘等方法分解； 4.四查：检查分解是否彻底，因式内是否还有可分解的整式。 【基础必考题型】 【题型1】因式分解的概念辨析 1.核心知识点: 因式分解的定义及核心特征 因式分解与整式乘法的逆变形关系 2.解题方法技巧: 紧扣“整式积”判断：结果不是整式相乘的一定不是因式分解（如含加减、分式）； 逆变形验证：将结果展开，与原式一致则为因式分解，否则不是； 特殊排除：单项式变形、仅提取部分公因式未分解彻底的，均不属于因式分解。 【例题1】.（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可得到结果. 【详解】解：选项A中，左边是单项式，不是多项式，不符合要求，不属于因式分解； 选项B中，右边变形后含有分式，不是整式，不符合要求，不属于因式分解； 选项C中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解； 选项D中，该变形是整式乘法，是从乘积化为多项式，不是因式分解. 【变式题1-1】.（25-26八年级上·北京密云·月考）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法运算，从整式的积转化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； B、右边不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、是整式乘法运算，从整式的积转化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； D、将多项式转化为与这两个整式的积，符合因式分解的定义，符合题意； 故选：D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，需根据此定义逐一判断． 本题主要考查了因式分解，掌握因式分解的定义是解题的关键因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，不是因式分解，故不符合题意； B．是因式分解，符合题意； C．是乘法运算，不是因式分解，故不符合题意； D．中含有分式，不是因式分解，故不符合题意； 故选：B． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）下列各式中从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：把一个多项式分解为几个整式的积的形式．逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； B. ，不是因式分解，故该选项不符合题意； C. ，是因式分解，故该选项符合题意； D. 是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意． 故选：C． 【题型2】公因式的确定与提公因式法基础分解 1.核心知识点: 公因式的五看确定原则 提公因式法的基本步骤 2.解题方法技巧: 分步确定公因式：先定系数（最大公因数），再定字母及指数（最低次幂），最后看首项符号； 整体代换提公因式：遇到相同多项式（如与），先变形为相同形式（）再提取； 验证结果：提取公因式后，括号内项数与原式一致，且无公因式可提。 【例题2】.（2026·山西临汾·一模）因式分解：________． 【答案】 【详解】解：. 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解： （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】根据多项式的结构特征，运用提公因式法进行因式分解． 【详解】解：(1) ； (2) 【变式题2-2】.（25-26八年级上·天津蓟州·月考）分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，熟练找出公因式是解题的关键． （1）提取公因式进行分解即可； （2）提取公因式进行分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，掌握找公因式的方法，提取公因式后检查括号内的项是否完整是解题的关键． （1）找出多项式各项的公因式，提取公因式后，将剩余部分整理成括号内的代数式； （2）确定两项的公因式，提取公因式，确保括号内的多项式不再有公因式； （3）观察三项的系数与字母，提取公因式，注意最后一项提取后剩余，不要遗漏． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【题型3】平方差公式的直接应用（含整体代换） 1.核心知识点: 平方差公式的形式特征 整体代换思想在公式中的应用 2.解题方法技巧: 先判断再套用：先看是否为二项式、两项是否为平方形式、符号是否相反，符合则套用公式； 整体识别和：若多项式为，则、，直接代入公式； 多次分解：分解后若因式仍符合平方差特征，继续分解（如）。 【例题3】.（25-26九年级下·辽宁沈阳·月考）下列多项式中能用平方差公式因式分解的是 _________ ．（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】②③④⑥ 【分析】能用平方差公式因式分解的多项式特征：多项式为两个符号相反的平方项的差．据此对每个多项式逐一判断即可． 【详解】解：① ，不是两个平方项的差，不能用平方差公式因式分解； ② ，符合的结构，能用平方差公式因式分解； ③ ，符合的结构，能用平方差公式因式分解； ④ ，符合的结构，能用平方差公式因式分解； ⑤ ，两项符号相同，为平方和，不符合结构，不能用平方差公式因式分解； ⑥ ，是两个平方项的差，符合的结构，能用平方差公式因式分解； 综上所述，能用平方差公式因式分解的是②③④⑥． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先识别式子为平方差公式，利用平方差公式分解，再合并同类项并提取公因式； （2）先展开多项式乘积，合并同类项化简式子，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式题3-2】.（2026·河北秦皇岛·一模）嘉嘉借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，淇淇发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 【答案】B 【分析】根据平方差公式分解因式的特点，多项式需为两个平方项且符号相反，据此逐一判断四个式子即可得到结果． 【详解】解：能用平方差公式分解因式的多项式需满足：可化为的形式，即两个平方项符号相反． ∵①，符合平方差形式，可以分解； ②，两个平方项符号相同，无法写成平方差的形式，不能分解； ③，符合平方差形式，可以分解； ④，符合平方差形式，可以分解． ∴不能按要求分解因式的是②题． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解： （1）__________； （2）__________； （3）__________． 【答案】 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可； （3）先去括号，然后合并同类项，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 【题型4】完全平方公式的直接应用（含配方识别） 1.核心知识点: 完全平方公式的形式特征 完全平方式的补项技巧 2.解题方法技巧: 三要素验证：首末平方、符号相同、中间项为“2×首底×尾底”，三者缺一不可； 快速识别底数：若中间项为正，底数为“首底+尾底”；中间项为负，底数为“首底-尾底”； 补项成完全平方式：已知两项为平方项，根据公式补出中间项（如，补项为）。 【例题4】.（25-26八年级上·山东德州·月考）分解因式： （1）______； （2）_______． 【答案】 【详解】（1）解： ； （2）解：设， 则 ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江西宜春·月考）下列多项式：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式因式分解的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题根据完全平方式的结构特征：两数平方和，加上（或减去）两数乘积的2倍，逐一判断每个多项式是否符合该结构，即可得出结果． 【详解】完全平方公式因式分解的结构要求为 ，逐一判断： ① 对于， ①可以用完全平方公式因式分解； ②  对于，完全平方结构要求中间项应为，不符合完全平方结构， ②不能用完全平方公式分解； ③ 对于， ③可以用完全平方公式因式分解； ④ 对于，完全平方结构要求中间项为，与原式不符，不能用完全平方公式分解； ⑤ 对于，常数项为负数，无法写成两数平方和的形式，不符合完全平方结构，不能分解； 综上，能用完全平方公式因式分解的多项式有①③共有2个． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即…… (1)题干中，因式分解的最后结果是：______； (2)运用配方法解决：若，，求的值； (3)对于，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解． ＝…… 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，重点考查配方法在因式分解中的应用． （1）先通过配方法将二次三项式转化为完全平方式，再利用平方差公式完成因式分解． （2）首先通过配方法和平方差公式分解因式，再整体代入求值． （3）在已有步骤的提示下，首先对分组后的两部分分别进行因式分解，再提取公因式，接着使用配方法，利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ∵，， ∴，即； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·江苏徐州·月考）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以． 所以当时，即时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值． (2)已知，则___________； (3)已知有理数x、y满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据配方法把原式变形为，再根据非负数的意义解答即可； （2）根据完全平方公式把原式变形为，再根据非负数的意义，可得x，y的值，即可求解； （3）根据题意可得，再根据非负数的意义解答即可． 【详解】（1）解：， 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以， 即的最小值为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0． 所以， 即的最小值为1． 【题型5】提公因式法与公式法的综合基础应用 1.核心知识点: 因式分解的“一提二套”步骤 提公因式后公式法的套用技巧 2.解题方法技巧: 先提后套原则：无论能否直接用公式，先检查是否有公因式，提取后再分析剩余因式； 简化因式再套用：提取公因式后，将剩余因式整理为公式标准形式（如）； 注意系数：提取数字公因式后，剩余因式的系数需化简，避免遗漏。 【例题5】.（2026·宁夏银川·一模）分解因式： ______． 【答案】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用完全平方公式进行二次分解，即可得到结果． 【详解】解：． 【变式题5-1】.（2022·江苏苏州·一模）分解因式：___________． 【答案】 / 【详解】解: 【变式题5-2】.（25-26八年级下·重庆·开学考试）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式即，分解即可； （2）先提公因式，再用平方差公式，分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用完全平方公式，平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【培优高频题型】 【题型6】因式分解的化简求值（整体思想应用） 1.核心知识点: 因式分解的恒等变形特征 整体代入的数学思想 2.解题方法技巧: 先分解再代入：将代数式因式分解，转化为已知条件的整体形式（如已知，，求，分解为后代入）； 构造整体：若已知条件非直接整体，通过变形构造（如已知，求，拆项构造）； 化简后约分：代数式为分式时，先对分子分母分别因式分解，再约去公因式后代入。 【例题6】.（2026·湖北十堰·一模）已知，，则（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解. 再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：对所求式子因式分解得：， ∵ ，， ∴ 原式． 【变式题6-1】.（24-25八年级上·宁夏银川·期中）已知，，则________． 【答案】 【分析】将多项式进行因式分解后，整体代入法求值即可. 【详解】解：∵，， ∴. 【变式题6-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为_______． 【答案】2 【分析】将转化为，求出，，然后代入求解． 【详解】解：， ， ， 且， ，， ． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，求下列各式的值： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式的变形公式：，把代数式化为已知的形式整体代入进行求解； （2）利用提公因式法进行因式分解，然后把和（1）中求出的，整体代入进行求解； （3）先提公因式法进行因式分解，然后利用完全平方公式进行因式分解，最后整体代入进行求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，完全平方公式，掌握将原式转化为两数和与两数积的形式，将，整体代入是解答本题的关键． 【题型7】分组分解法的应用 1.核心知识点: 分组分解法的分组原则 分组后提公因式或套公式的技巧 2.解题方法技巧: 分组策略：①“二二分组”：每组两项能提公因式，且组间有公因式（如）；②“一三分组”：其中三项能构成完全平方式，再与第四项用平方差公式（如）； 分组验证：分组后若无法继续分解，重新调整分组方式； 结合提公因式：分组后先提每组公因式，再提取组间公因式。 【例题7】.（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为___________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法，将多项式分组为完全平方式与平方差形式，然后应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长，满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形． 【分析】（1）根据分组分解法因式分解即可； （2）先将所求代数式因式分解，再代入值求解即可； （3）根据分组分解法因式分解后，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解： ． （2） ，， ． （3） ∵的三边长， ∴ ∴， ∴ ∴是等腰三角形． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）我们已经知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法．但某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两名同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） 乙： （先分成两组）． ． 甲、乙两名同学分解因式的方法叫作分组分解法．请结合甲、乙两名同学分解因式的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)若，求的值． (3)已知为等腰三角形的三边长，且，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分组分解法，因式分解的应用，等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）前两项一组，后两项一组，利用平方差公式法和提公因式法进行因式分解即可； （2）前两项一组，后两项一组，利用分组分解法进行因式分解后，整体代入法求值即可； （3）等式左边利用分组分解法，转化为两个完全平方的和的形式，根据非负性，求出的值，根据等腰三角形的定义，分类讨论进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴原式； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等腰三角形， ∴当时，，满足题意，此时等腰三角形的周长为； 当时，，不能构成三角形，不符合题意； 综上等腰三角形的周长为7． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·河南周口·期末）【问题提出】如何分解因式：？ 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学： 乙同学： 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）将原式分为与，然后根据平方差公式和提公因式法分解因式； （2）先将原式因式分解为，然后根据a，b，c为三角形的三条边，均为正数，判断出，根据等腰三角形的定义判定出三角形的形状． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ∵a，b，c均为正数， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形． 【题型8】十字相乘法分解二次三项式 1.核心知识点: 十字相乘法的核心特征（） 常数项的分解技巧 2.解题方法技巧: 步骤分解：①定常数项的所有因数对；②筛选因数对，使和等于一次项系数；③写成十字相乘形式，验证后写结果； 符号规律：常数项为正，因数对同号（与一次项系数符号一致）；常数项为负，因数对异号（绝对值大的因数与一次项系数同号）； 验证结果：将分解后的两个一次式相乘，与原式一致则正确。 【例题8】.（25-26八年级上·陕西延安·期末）若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解： ， 又∵， ∴多项式对应项系数相等， 得， 解得， 代入得． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·甘肃·期末）阅读材料： 我们把形如的多项式称为“可十字相乘”型． 尝试把多项式分解：找到两数、，使，，则，，于是． 问题： (1)分解； (2)若可分解为两个一次因式，且为整数，求的所有可能值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题主要考查了因式分解，熟知十字相乘法分解因式是解题的关键． （1）仿照题意找到两个数的和为负1，积为负12即可得到答案； （2）可分解为，其中，，根据题意可推出a、b都为整数，再把分解成两个整数的乘积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：由题意得，可分解为，其中，， ∵m为整数， ∴为整数， 又∵， ∴a、b都为整数， ∵， ∴或或或或或 ∴的可能值为，，． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·江西·期末）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】(1) (2)7或或2或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘再相加得到，据此可得答案． （2）把展开，得出，，把分解成两个整数的乘积形式，即可得到整数的所有可能值． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数，且， ∴或或或或或或或 ∴或或或或或或或 ∴整数p的所有可能值为7或或2或． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）阅读材料： 分解因式． 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量：．进行换元：将t代入原代数式，则原代数式变为，进一步化简得到．先对代数式进行因式分解： ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式，得到． 以上对代数式进行因式分解的过程叫十字相乘法，其要领可简称为“竖乘得首尾，叉乘凑中项”． 将代回原式得，进一步因式分解，得到． 上述因式分解用到了“换元法”和“十字相乘法”．请同学们根据阅读材料提供的解决问题的思想与方法以及平时所积累的学习经验，对以下式子进行因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，整体思想，换元思想，十字相乘法，掌握换元法和十字相乘法是解题的关键． （1）模仿示例方法直接利用十字相乘法进行因式分解即可； （2）模仿示例，利用换元法逐步进行因式分解即可． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式， （2）解：设，则原代数式化为， 对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解得到 所以，． 【题型9】因式分解在几何问题中的应用 1.核心知识点: 因式分解的化简求值 三角形形状的判定（等腰/等边/直角） 矩形/正方形的面积与边长关系 2.解题方法技巧: 边长/面积转化：将几何量的等式因式分解，推出边的数量关系（如已知矩形面积，周长，求，分解为代入）； 三角形形状判定：将三边的等式因式分解，转化为“边相等”或“勾股定理”形式（如，分解为，得，为等腰三角形）； 非负性结合：因式分解后得到几个平方和为0的形式，推出各边相等（如，分解为，得）。 【例题9】.（25-26八年级下·全国·课后作业）运算能力从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （填选项）． A． B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)A (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式的应用，包括图形验证、代数求值，掌握平方差公式的变形与交叉约分的技巧是解题的关键． （1）通过比较剪拼前后图形的面积，验证平方差公式； （2）利用平方差公式，代入已知值求； （3）将每个括号内的式子用平方差公式分解，再通过交叉约分简化计算． 【详解】（1）解：图①面积： 图②面积： 因为剪拼前后面积相等， 所以验证的等式是： 故选：A． （2）解：，， ， ． （3）解：原式 【变式题9-1】.（25-26八年级上·河北衡水·期末）新课标将劳动课程从综合实践活动课程中独立出来，旨在树德、增智、强体、育美．某校为培养学生的劳动能力，开辟了如图所示的劳动实践基地．下面是两块边长分别为m，n的正方形地块，它们的公共部分（图中阴影所示部分）不能使用，其面积为S，左边正方形能使用部分的面积为，右边正方形能使用部分的面积为．设两个正方形能使用部分的面积差为：． (1)求的值（用含m，n的代数式表示），并对分解因式； (2)若，且，分别求m，n的值． 【答案】(1)，分解因式为： (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用、因式分解以及二元一次方程组的解法，熟练掌握平方差公式的因式分解方法，以及通过整体代入求解方程组是解题的关键． （1）通过观察图形，用大正方形面积减去重叠部分得到左侧图形面积，用小正方形面积减去重叠部分得到右侧图形面积．两者作差即可得到面积差，再对得到的代数式进行因式分解． （2）将第（1）题得到的因式分解结果代入已知条件差，结合求出的值，再通过解二元一次方程组求出和． 【详解】（1）解：，， ， ， ； 分解因式为：； （2）解：，且， ， 解方程组：， 解得． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·陕西榆林·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是____________；（填序号） ①；②；③ (2)请你应用从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①若，求的值； ②琳琳家有一块正方形地，因为修路，把这块地的东边缩短了．村长建议在这块地（缩短后）的南边加长，变成长方形地．琳琳的父母认为得到了合理的补偿，于是就同意了，而琳琳却提出了反对意见，认为这样她家这块地的面积减少了．你认为琳琳的说法正确吗？为什么？ 【答案】(1)② (2)①；②琳琳的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，平方差公式与几何图形，平方差公式分解因式，因式分解的应用，列代数式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据图1、2分别写出阴影部分面积，再得出等式即可； （2）①将第一个式子的左边分解因式，再将代入求得； ②根据题意列出算式，用平方差公式进行计算，再合并同类项，然后作出判断． 【详解】（1）解：由图1得阴影部分面积为，由图2得阴影部分面积为， 所以可得到的等式是， 故答案为：②； （2）解：， 又，， 所以， 所以； 解：琳琳的说法正确， 理由：根据题意，原来地边长为，则面积为， 后来地的面积为， 所以她家这块地的面积减少了． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）【实践探究】在学习“因式分解”时，小安同学用如图1中编号分别为①②③④的四种长方体（含正方体）若干，进行数学实践探究． (1)若从中选取两个小长方体拼成一个如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式_____； (2)【问题解决】若要拼成一个棱长为的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由； (3)【拓展应用】如图3，从一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，直接写出因式分解的结果，并解答以下问题： 已知和分别是两个大小不同的正方体的棱长，且满足等式，若为整数时，求的值． 【答案】(1) (2)需要②号长方体个，③号长方体个，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据图2立方体的体积求法即可； （2）根据题中的给定的长方体组合把进行计算即可； （3）先把进行分解，据此分解，得，整理得，再度化简得，根据是完全平方数，可得出的可能取值． 【详解】（1）解：根据题意可知：． （2）解：∵，且，， ∴需要②号长方体12个，③号长方体6个． （3）解：； 由题意，得， 整理得， ∵， ∴． 即． ∵为整数， ∴为完全平方数，且，即 又，，故 因而存在下面两种情形： ①当时，； ②当时，． 综上所述，的值为或． 【压轴素养题型】 【题型10】换元法在复杂因式分解中的应用 1.核心知识点: 换元法的整体代换思想 提公因式法、公式法的综合应用 2.解题方法技巧: 确定换元整体：选择多项式中重复出现的代数式（如、）设为新字母（如）； 简化分解：将原式转化为关于新字母的多项式，用基础方法分解后，再将新字母还原； 多次换元：若还原后仍为复杂多项式，再次换元分解，确保分解彻底（如，设，得）。 【例题10】.（25-26七年级上·黑龙江大庆·月考）阅读材料：整体思想是数学中的重要思想，其核心是通过全局视角处理问题，将多个局部元素视为整体，简化运算或发现隐藏关系，主要有整体代入，整体运算，整体构建等方法． 例：因式分解：，把“”看成整体，即， 原式＝，原式＝． 请依据上面的材料解决有关问题： (1)因式分解：________； (2)已知，则________； (3)若，求的值，写出过程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的混合运算、因式分解、求代数式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）把看作整体，利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）把原式变形后把已知条件整体代入计算即可； （3）利用多项式乘以多项式法则分组计算后，把已知条件变形后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ ； 故答案为：． （3）解：∵， ∴， ∴ ． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题以整体换元法为背景考查了完全平方公式的应用，关键是要找到整体即可解答． （1）将看作整体换元，利用完全平方公式即可求解； （2）将看成整体换元，即可求解； （3）将中第一项与第四项结合，第二项第三相结合展开，利用整体换元即可求解． 【详解】（1）解：（1）将看成整体，令， 则原式， 再将a还原，得到原式， 故答案为：； （2）∵， ∴ ∴ ； （3）证明：设这连续整数分别为n，，，，（n为整数）， 则 将看成整体，令， 则原式 ， 再将b还原，得到原式， ∵n为整数， ∴为整数， 故式子的值一定是某一个整数的平方． ∴四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方 【变式题10-2】.（24-25八年级下·江西抚州·期中）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式 将A换元，得原式 请你应用换元法对下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则原式化为，分解因式解答即可； （2）设，则原式化为，则，分解因式解答即可． 本题考查了换元法因式分解，熟练掌握换元思想是解题的关键． 【详解】（1）设， 则， 故． （2）解：设，则原式化为，则， 设，则， 故 ． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·山东临沂·月考）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：． 【答案】(1) ； (2) 【分析】本题考查了因式分解-十字相乘法． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）材料的方法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式 【题型11】配方法分解因式（含非负性应用） 1.核心知识点: 配方法构造完全平方式的技巧 平方差公式与配方法的结合 非负数的性质（平方和为0，则各平方项为0） 2.解题方法技巧: 配方步骤：①将二次项和一次项配成完全平方式（添上一次项系数一半的平方）；②减去添上的项，保证恒等；③结合平方差公式分解（如）； 非负性应用：将等式配方为几个平方和为0的形式，求解字母值（如，配方为，得，）； 最值求解：通过配方将代数式转化为“平方项+常数”，利用平方项非负求最值（如，最小值为-9）。 【例题11】.（25-26八年级上·湖南常德·期末）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，求 ； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)132 (4)，，最小值为2016 【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征即可确定出k的值； （2）把化为的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解； （3）首先把y配方写成，根据平方的非负性得y的最大值； （4）用拆项的方法首先把多项式化为的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值． 【详解】（1）解：∵是一个完全平方式， ∴． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴． ∴当时，y有最大值，最大值为132； （4）解： ， 当，时代数式有最小值， 解得，，最小值为2016． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·河南周口·月考）阅读材料：我们知道 所以形如 的式子可以用完全平方公式因式分解． 类似地，对于 我们可以通过配方实现因式分解： 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解： (2)因式分解： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可； （2）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题11-2】.（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 【答案】(1) (2)1314 【分析】本题考查了因式分解，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可； （2）根据题例进行配方，根据平方大于等于0的性质进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 的最大值1314． 【变式题11-3】.（24-25七年级下·江苏常州·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 ； 例如：求代数式的最小值， ．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)已知，（为任意实数），求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过添加9构造完全平方式，再减去9使原式值不变，转化为平方差公式，最后分解为； （2）先计算，添加构造完全平方式，再减去，转化为，利用平方非负性得最小值为，即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）∵，为任意实数）， ∴ ， ∵， ∴ ∴当时，的最小值是． 【点睛】解决本题的关键是通过添加适当的项构造完全平方式，结合平方差公式分解因式、利用非负数性质求字母值，以及通过完全平方式的非负性求代数式的最值． 【题型12】因式分解在阅读材料新定义问题中的应用（素养型） 1.核心知识点: 因式分解的各种方法 新定义问题的信息提取与转化能力 2.解题方法技巧: 提取新定义规则：紧扣题干中“新数”“新运算”的定义，转化为因式分解问题； 结合因式分解验证：根据新定义，对代数式因式分解后验证是否符合定义要求； 分类讨论：新定义问题中若存在多种情况，结合因式分解结果分类分析，避免漏解。 【例题12】.（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中的另一个因式为，于是我们可以得到．这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式， (1)请你用试根法分解以下多项式： ①        ② (2)已知多项式是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解． 【答案】(1)①；② (2)，； 【分析】此题考查了因式分解，多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上知识点． （1）①利用试根法求解即可； ②利用试根法求解即可； （2）设另一个因式为，然后计算为，然后比较系数求解即可． 【详解】（1）解：①当时，，当时， ∴； ②当时，， 当时，， 当时，， ∴； （2）解：∵多项式是多项式的一个因式 ∴设另一个因式为 ∴ ∴ ∴ 解得． ． 【变式题12-1】.（25-26八年级上·河北邯郸·期末）阅读与理解： (1)先阅读下面的解题过程： 分解因式： 解：方法（1）原式 方法（2）原式 再请你参考上面一种解法，对多项式进行因式分解； (2)阅读下面的解题过程： 已知，试求与的值． 解：由已知得： 因此得到： 所以只有当并且上式才能成立． 因而得： 并且 请你参考上面的解题方法解答下面的问题： 已知：，试求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了因式分解，正确理解题干所给的方法是解答本题的关键． （1）参考题干提供的解题方法进行因式分解即可； （2）参考题干提供的解题方法将原式左边化为平方和，右边为零的形式，从而求出，，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：方法（1） 方法（2） （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， 即， ∴ 【变式题12-2】.（2025九年级下·海南·专题练习）综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 阅读材料1：初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．有很多小学数学学习过的结论，初中阶段可以论证结论的正确性，让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理能力，培养科学精神．（阅读材料来源于2022年版义务教育《数学课程标准》144页） 阅读材料2：华东版教材50页有一道练习题：两个连续整数的平方差必是奇数，请说明理由．师生一起研讨，理由如下： 设这两个连续整数为，其中为整数． ___________． 它必是奇数 (1)任务一：填空：上面横线上所缺内容是________； (2)任务二：证明：两个连续偶数的平方差必是4的倍数． (3)任务三：设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平方差公式的应用，因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）用平方差公式展开，即可求解； （2）设两个连续偶数为 和 （ 为整数），根据平方差公式展开即可求解． （3）四位数 可表示为：，若 能被 3 整除，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两个连续整数为，其中为整数． ∴． 它必是奇数 故答案为：． （2）证明：设两个连续偶数为 和 （ 为整数）， ∴ 是 4 的倍数； （3）解：四位数 可表示为： 其中 是 3 的倍数； 若 能被 3 整除，则整个数可表示为两个 3 的倍数之和， 因此 能被 3 整除． 【变式题12-3】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读与思考 兴趣小组在数学活动中研究了“正整数能否表示为（，均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论 … 按上表规律，完成下列问题： ① ； ② ． (2)兴趣小组还猜测：像，，，，…这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（，均为自然数）．师生一起研讨，部分分析过程如下： 假设，其中，均为自然数．分下列三种情形分析： ①若，均为偶数，设，，其中，均为自然数，则…… 请阅读以上内容，并将完整的证明过程写出来． 【答案】(1)①；；②； (2)见解析 【分析】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式等知识点，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． （1）①根据规律即可求解；②根据规律即可求解； （2）运用反证法，完全平方公式，结合题意分类讨论即可． 【详解】（1）解：观察规律，可得， ① ； ② ； 故答案为：①；；②； （2）证明：反证法：假设，其中，均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若，均为偶数，设，，其中，均为自然数， 则为的倍数， ∵不是的倍数，矛盾， ∴，不可能均为偶数． ②若，均为奇数，设，，其中，均为自然数， 则为的倍数， ∵不是的倍数，矛盾， ∴，不可能均为奇数． ③若，一个是奇数一个是偶数，则为奇数． ∵是偶数，矛盾． ∴ ，不可能一个是奇数一个是偶数．         综上所述，假设不成立，故兴趣小组的猜测正确． 易错点 1.混淆因式分解与整式乘法，将整式乘法结果当作因式分解（如，是整式乘法而非因式分解）； 2.提公因式不彻底，遗漏系数或字母的最低次幂，或未处理符号（如，而非）； 3.套用公式时忽略形式特征，如将误分解为，忽略完全平方公式的中间项为“2ab”； 4.平方差公式应用时，未识别整体代换，如对不会将、当作整体套用公式； 5.因式分解未分解彻底，如将分解为后停止，未继续分解； 6.十字相乘法中常数项分解错误，忽略因数的符号，导致一次项系数不符； 7.分组分解法分组不合理，导致分组后无法继续分解，或遗漏组间公因式。 重点 1.掌握因式分解的定义，能准确区分因式分解与整式乘法，理解二者的逆变形关系； 2.熟练运用“五看原则”确定公因式，掌握提公因式法的步骤，能正确提取含整体、负号的公因式； 3.熟记平方差、完全平方公式的形式特征，能直接套用公式分解，且能识别整体代换的情况； 4.掌握因式分解“一提二套三分四查”的一般步骤，能综合运用提公因式法和公式法分解因式； 5.会用因式分解进行代数式的化简求值，能结合几何、整除等实际问题，运用因式分解解决问题； 6.掌握分组分解法、十字相乘法的基础应用，能对四项式、基础二次三项式进行分解。 难点 1.复杂多项式的因式分解，尤其是含整体代换、多次分解的多项式，需灵活运用提公因式、公式、换元等多种方法； 2.因式分解中的数学思想应用，如整体代入、分类讨论、从特殊到一般的规律归纳，能结合题意构造整体或归纳规律； 3.配方法、换元法的灵活应用，能根据多项式结构添项配方，或选择合适的整体进行换元，简化分解过程； 4.因式分解在新定义、探究性问题中的应用，能准确提取新定义信息，将陌生问题转化为熟悉的因式分解问题； 5.多知识点融合的综合题，如因式分解与几何形状判定、非负数性质、整除问题的结合，能快速找到解题切入点，综合运用各知识点求解。 【对应练习题】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 因式分解 知识点1：因式分解的概念 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式。 2.核心特征：因式分解是恒等变形，结果为整式乘积形式，与整式乘法是互逆变形（非互逆运算）。 3.注意：单项式无需因式分解；因式分解需分解到每一个因式都不能再分解为止。 知识点2：提公因式法 1.公因式定义：多项式各项都含有的公共因式，确定公因式遵循五看原则： 看系数：提取各项系数的最大公因数； 看字母：提取各项相同的字母； 看指数：取相同字母的最低次幂； 看整体：相同的多项式整体直接作为公因式； 看首项：首项为负时，公因式符号为负，提取后括号内各项变号。 2.提公因式法步骤：①确定公因式；②提取公因式，确定另一个因式；③写成“公因式×另一个因式”的形式。 3.公式表示：。 知识点3：公式法分解因式 平方差公式 1.公式：； 2.适用条件：二项式，两项均为平方形式，且符号相反； 3.拓展：公式中的、可以是单项式、多项式（整体代换）。 完全平方公式 1.完全平方和：； 2.完全平方差：； 3.适用条件：三项式，首末两项为平方形式且符号相同，中间项为两底数积的2倍（符号可正可负）； 4.口诀：首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中央。 平方差与完全平方公式对比 公式类型 形式特征 结果形式 项数 平方差公式 两个一次式的积 二项式 完全平方公式 一个一次式的平方 三项式 知识点4：因式分解的常用辅助方法 1.分组分解法：将多项式分组后，每组能提公因式或用公式，且组间能继续分解，适用于四项及以上多项式； 2.十字相乘法：针对二次三项式，分解为，核心是“常数项分解为两数积，和为一次项系数”； 3.换元法：将多项式中重复出现的整体设为新字母，简化后分解，最后还原； 4.配方法：通过添、减项构造完全平方式，再结合平方差公式分解。 知识点5：因式分解的一般步骤 1.一提：有公因式先提取公因式（首项为负先提负号）； 2.二套：提取公因式后，根据项数和形式套用平方差、完全平方公式； 3.三分：公式无法直接套用的，用分组、十字相乘等方法分解； 4.四查：检查分解是否彻底，因式内是否还有可分解的整式。 【基础必考题型】 【题型1】因式分解的概念辨析 1.核心知识点: 因式分解的定义及核心特征 因式分解与整式乘法的逆变形关系 2.解题方法技巧: 紧扣“整式积”判断：结果不是整式相乘的一定不是因式分解（如含加减、分式）； 逆变形验证：将结果展开，与原式一致则为因式分解，否则不是； 特殊排除：单项式变形、仅提取部分公因式未分解彻底的，均不属于因式分解。 【例题1】.（25-26八年级上·湖南郴州·期中）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·北京密云·月考）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列各式从左到右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）下列各式中从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】公因式的确定与提公因式法基础分解 1.核心知识点: 公因式的五看确定原则 提公因式法的基本步骤 2.解题方法技巧: 分步确定公因式：先定系数（最大公因数），再定字母及指数（最低次幂），最后看首项符号； 整体代换提公因式：遇到相同多项式（如与），先变形为相同形式（）再提取； 验证结果：提取公因式后，括号内项数与原式一致，且无公因式可提。 【例题2】.（2026·山西临汾·一模）因式分解：________． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解： （1）______； （2）______． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·天津蓟州·月考）分解因式． (1) (2) 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【题型3】平方差公式的直接应用（含整体代换） 1.核心知识点: 平方差公式的形式特征 整体代换思想在公式中的应用 2.解题方法技巧: 先判断再套用：先看是否为二项式、两项是否为平方形式、符号是否相反，符合则套用公式； 整体识别和：若多项式为，则、，直接代入公式； 多次分解：分解后若因式仍符合平方差特征，继续分解（如）。 【例题3】.（25-26九年级下·辽宁沈阳·月考）下列多项式中能用平方差公式因式分解的是 _________ ．（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）分解因式： (1) (2) 【变式题3-2】.（2026·河北秦皇岛·一模）嘉嘉借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，淇淇发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）因式分解： （1）__________； （2）__________； （3）__________． 【题型4】完全平方公式的直接应用（含配方识别） 1.核心知识点: 完全平方公式的形式特征 完全平方式的补项技巧 2.解题方法技巧: 三要素验证：首末平方、符号相同、中间项为“2×首底×尾底”，三者缺一不可； 快速识别底数：若中间项为正，底数为“首底+尾底”；中间项为负，底数为“首底-尾底”； 补项成完全平方式：已知两项为平方项，根据公式补出中间项（如，补项为）。 【例题4】.（25-26八年级上·山东德州·月考）分解因式： （1）______； （2）_______． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江西宜春·月考）下列多项式：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式因式分解的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河北邢台·期末）利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即…… (1)题干中，因式分解的最后结果是：______； (2)运用配方法解决：若，，求的值； (3)对于，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解． ＝…… 【变式题4-3】.（25-26七年级下·江苏徐州·月考）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以． 所以当时，即时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值． (2)已知，则___________； (3)已知有理数x、y满足，求的最小值． 【题型5】提公因式法与公式法的综合基础应用 1.核心知识点: 因式分解的“一提二套”步骤 提公因式后公式法的套用技巧 2.解题方法技巧: 先提后套原则：无论能否直接用公式，先检查是否有公因式，提取后再分析剩余因式； 简化因式再套用：提取公因式后，将剩余因式整理为公式标准形式（如）； 注意系数：提取数字公因式后，剩余因式的系数需化简，避免遗漏。 【例题5】.（2026·宁夏银川·一模）分解因式： ______． 【变式题5-1】.（2022·江苏苏州·一模）分解因式：___________． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·重庆·开学考试）因式分解： (1)； (2)． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【培优高频题型】 【题型6】因式分解的化简求值（整体思想应用） 1.核心知识点: 因式分解的恒等变形特征 整体代入的数学思想 2.解题方法技巧: 先分解再代入：将代数式因式分解，转化为已知条件的整体形式（如已知，，求，分解为后代入）； 构造整体：若已知条件非直接整体，通过变形构造（如已知，求，拆项构造）； 化简后约分：代数式为分式时，先对分子分母分别因式分解，再约去公因式后代入。 【例题6】.（2026·湖北十堰·一模）已知，，则（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【变式题6-1】.（24-25八年级上·宁夏银川·期中）已知，，则________． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为_______． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，求下列各式的值： (1)． (2)． (3)． 【题型7】分组分解法的应用 1.核心知识点: 分组分解法的分组原则 分组后提公因式或套公式的技巧 2.解题方法技巧: 分组策略：①“二二分组”：每组两项能提公因式，且组间有公因式（如）；②“一三分组”：其中三项能构成完全平方式，再与第四项用平方差公式（如）； 分组验证：分组后若无法继续分解，重新调整分组方式； 结合提公因式：分组后先提每组公因式，再提取组间公因式。 【例题7】.（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为___________． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江西赣州·期末）要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长，满足，试判断的形状． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）我们已经知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法．但某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两名同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） 乙： （先分成两组）． ． 甲、乙两名同学分解因式的方法叫作分组分解法．请结合甲、乙两名同学分解因式的方法，解答下列问题： (1)分解因式：． (2)若，求的值． (3)已知为等腰三角形的三边长，且，求的周长． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·河南周口·期末）【问题提出】如何分解因式：？ 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学： 乙同学： 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【题型8】十字相乘法分解二次三项式 1.核心知识点: 十字相乘法的核心特征（） 常数项的分解技巧 2.解题方法技巧: 步骤分解：①定常数项的所有因数对；②筛选因数对，使和等于一次项系数；③写成十字相乘形式，验证后写结果； 符号规律：常数项为正，因数对同号（与一次项系数符号一致）；常数项为负，因数对异号（绝对值大的因数与一次项系数同号）； 验证结果：将分解后的两个一次式相乘，与原式一致则正确。 【例题8】.（25-26八年级上·陕西延安·期末）若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题8-1】.（25-26八年级上·甘肃·期末）阅读材料： 我们把形如的多项式称为“可十字相乘”型． 尝试把多项式分解：找到两数、，使，，则，，于是． 问题： (1)分解； (2)若可分解为两个一次因式，且为整数，求的所有可能值． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·江西·期末）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： (1)填空：________； (2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？ 【变式题8-3】.（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）阅读材料： 分解因式． 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体设定新变量：．进行换元：将t代入原代数式，则原代数式变为，进一步化简得到．先对代数式进行因式分解： ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中间项： ③横向写出两因式，得到． 以上对代数式进行因式分解的过程叫十字相乘法，其要领可简称为“竖乘得首尾，叉乘凑中项”． 将代回原式得，进一步因式分解，得到． 上述因式分解用到了“换元法”和“十字相乘法”．请同学们根据阅读材料提供的解决问题的思想与方法以及平时所积累的学习经验，对以下式子进行因式分解： (1)； (2)． 【题型9】因式分解在几何问题中的应用 1.核心知识点: 因式分解的化简求值 三角形形状的判定（等腰/等边/直角） 矩形/正方形的面积与边长关系 2.解题方法技巧: 边长/面积转化：将几何量的等式因式分解，推出边的数量关系（如已知矩形面积，周长，求，分解为代入）； 三角形形状判定：将三边的等式因式分解，转化为“边相等”或“勾股定理”形式（如，分解为，得，为等腰三角形）； 非负性结合：因式分解后得到几个平方和为0的形式，推出各边相等（如，分解为，得）。 【例题9】.（25-26八年级下·全国·课后作业）运算能力从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． (1)上述操作能验证的等式是 （填选项）． A． B． C． (2)若，，求的值． (3)计算：． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·河北衡水·期末）新课标将劳动课程从综合实践活动课程中独立出来，旨在树德、增智、强体、育美．某校为培养学生的劳动能力，开辟了如图所示的劳动实践基地．下面是两块边长分别为m，n的正方形地块，它们的公共部分（图中阴影所示部分）不能使用，其面积为S，左边正方形能使用部分的面积为，右边正方形能使用部分的面积为．设两个正方形能使用部分的面积差为：． (1)求的值（用含m，n的代数式表示），并对分解因式； (2)若，且，分别求m，n的值． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·陕西榆林·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是____________；（填序号） ①；②；③ (2)请你应用从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①若，求的值； ②琳琳家有一块正方形地，因为修路，把这块地的东边缩短了．村长建议在这块地（缩短后）的南边加长，变成长方形地．琳琳的父母认为得到了合理的补偿，于是就同意了，而琳琳却提出了反对意见，认为这样她家这块地的面积减少了．你认为琳琳的说法正确吗？为什么？ 【变式题9-3】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）【实践探究】在学习“因式分解”时，小安同学用如图1中编号分别为①②③④的四种长方体（含正方体）若干，进行数学实践探究． (1)若从中选取两个小长方体拼成一个如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式_____； (2)【问题解决】若要拼成一个棱长为的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由； (3)【拓展应用】如图3，从一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，直接写出因式分解的结果，并解答以下问题： 已知和分别是两个大小不同的正方体的棱长，且满足等式，若为整数时，求的值． 【压轴素养题型】 【题型10】换元法在复杂因式分解中的应用 1.核心知识点: 换元法的整体代换思想 提公因式法、公式法的综合应用 2.解题方法技巧: 确定换元整体：选择多项式中重复出现的代数式（如、）设为新字母（如）； 简化分解：将原式转化为关于新字母的多项式，用基础方法分解后，再将新字母还原； 多次换元：若还原后仍为复杂多项式，再次换元分解，确保分解彻底（如，设，得）。 【例题10】.（25-26七年级上·黑龙江大庆·月考）阅读材料：整体思想是数学中的重要思想，其核心是通过全局视角处理问题，将多个局部元素视为整体，简化运算或发现隐藏关系，主要有整体代入，整体运算，整体构建等方法． 例：因式分解：，把“”看成整体，即， 原式＝，原式＝． 请依据上面的材料解决有关问题： (1)因式分解：________； (2)已知，则________； (3)若，求的值，写出过程． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式． 又如：因式分解． 我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式． 请根据上面的提示和范例解决下面问题： (1)因式分解：______； (2)已知，求的值； (3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方． 【变式题10-2】.（24-25八年级下·江西抚州·期中）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式 将A换元，得原式 请你应用换元法对下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·山东临沂·月考）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：． 【题型11】配方法分解因式（含非负性应用） 1.核心知识点: 配方法构造完全平方式的技巧 平方差公式与配方法的结合 非负数的性质（平方和为0，则各平方项为0） 2.解题方法技巧: 配方步骤：①将二次项和一次项配成完全平方式（添上一次项系数一半的平方）；②减去添上的项，保证恒等；③结合平方差公式分解（如）； 非负性应用：将等式配方为几个平方和为0的形式，求解字母值（如，配方为，得，）； 最值求解：通过配方将代数式转化为“平方项+常数”，利用平方项非负求最值（如，最小值为-9）。 【例题11】.（25-26八年级上·湖南常德·期末）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，求 ； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·河南周口·月考）阅读材料：我们知道 所以形如 的式子可以用完全平方公式因式分解． 类似地，对于 我们可以通过配方实现因式分解： 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解： (2)因式分解： 【变式题11-2】.（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 【变式题11-3】.（24-25七年级下·江苏常州·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 ； 例如：求代数式的最小值， ．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)已知，（为任意实数），求的最小值． 【题型12】因式分解在阅读材料新定义问题中的应用（素养型） 1.核心知识点: 因式分解的各种方法 新定义问题的信息提取与转化能力 2.解题方法技巧: 提取新定义规则：紧扣题干中“新数”“新运算”的定义，转化为因式分解问题； 结合因式分解验证：根据新定义，对代数式因式分解后验证是否符合定义要求； 分类讨论：新定义问题中若存在多种情况，结合因式分解结果分类分析，避免漏解。 【例题12】.（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中的另一个因式为，于是我们可以得到．这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式， (1)请你用试根法分解以下多项式： ①        ② (2)已知多项式是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解． 【变式题12-1】.（25-26八年级上·河北邯郸·期末）阅读与理解： (1)先阅读下面的解题过程： 分解因式： 解：方法（1）原式 方法（2）原式 再请你参考上面一种解法，对多项式进行因式分解； (2)阅读下面的解题过程： 已知，试求与的值． 解：由已知得： 因此得到： 所以只有当并且上式才能成立． 因而得： 并且 请你参考上面的解题方法解答下面的问题： 已知：，试求的值． 【变式题12-2】.（2025九年级下·海南·专题练习）综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 阅读材料1：初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．有很多小学数学学习过的结论，初中阶段可以论证结论的正确性，让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理能力，培养科学精神．（阅读材料来源于2022年版义务教育《数学课程标准》144页） 阅读材料2：华东版教材50页有一道练习题：两个连续整数的平方差必是奇数，请说明理由．师生一起研讨，理由如下： 设这两个连续整数为，其中为整数． ___________． 它必是奇数 (1)任务一：填空：上面横线上所缺内容是________； (2)任务二：证明：两个连续偶数的平方差必是4的倍数． (3)任务三：设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除，请说明理由． 【变式题12-3】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读与思考 兴趣小组在数学活动中研究了“正整数能否表示为（，均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论 … 按上表规律，完成下列问题： ① ； ② ． (2)兴趣小组还猜测：像，，，，…这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（，均为自然数）．师生一起研讨，部分分析过程如下： 假设，其中，均为自然数．分下列三种情形分析： ①若，均为偶数，设，，其中，均为自然数，则…… 请阅读以上内容，并将完整的证明过程写出来． 易错点 1.混淆因式分解与整式乘法，将整式乘法结果当作因式分解（如，是整式乘法而非因式分解）； 2.提公因式不彻底，遗漏系数或字母的最低次幂，或未处理符号（如，而非）； 3.套用公式时忽略形式特征，如将误分解为，忽略完全平方公式的中间项为“2ab”； 4.平方差公式应用时，未识别整体代换，如对不会将、当作整体套用公式； 5.因式分解未分解彻底，如将分解为后停止，未继续分解； 6.十字相乘法中常数项分解错误，忽略因数的符号，导致一次项系数不符； 7.分组分解法分组不合理，导致分组后无法继续分解，或遗漏组间公因式。 重点 1.掌握因式分解的定义，能准确区分因式分解与整式乘法，理解二者的逆变形关系； 2.熟练运用“五看原则”确定公因式，掌握提公因式法的步骤，能正确提取含整体、负号的公因式； 3.熟记平方差、完全平方公式的形式特征，能直接套用公式分解，且能识别整体代换的情况； 4.掌握因式分解“一提二套三分四查”的一般步骤，能综合运用提公因式法和公式法分解因式； 5.会用因式分解进行代数式的化简求值，能结合几何、整除等实际问题，运用因式分解解决问题； 6.掌握分组分解法、十字相乘法的基础应用，能对四项式、基础二次三项式进行分解。 难点 1.复杂多项式的因式分解，尤其是含整体代换、多次分解的多项式，需灵活运用提公因式、公式、换元等多种方法； 2.因式分解中的数学思想应用，如整体代入、分类讨论、从特殊到一般的规律归纳，能结合题意构造整体或归纳规律； 3.配方法、换元法的灵活应用，能根据多项式结构添项配方，或选择合适的整体进行换元，简化分解过程； 4.因式分解在新定义、探究性问题中的应用，能准确提取新定义信息，将陌生问题转化为熟悉的因式分解问题； 5.多知识点融合的综合题，如因式分解与几何形状判定、非负数性质、整除问题的结合，能快速找到解题切入点，综合运用各知识点求解。 【对应练习题】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $