第10章二元一次方程组 期末复习优生辅导训练题 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 以二元一次方程组为核心，通过概念理解、解法应用、实际建模及拓展创新的层级设计，系统整合代入消元、加减消元、整体换元等方法，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|3题（如1、3、12题）|方程组解的意义、参数求解、整体代换|从解的定义到参数关系，构建概念与运算的关联| |解法应用|4题（如8、15、16、17题）|代入/加减消元、新定义转化|从基础解法到变式运算，强化推理意识| |实际建模|5题（如4、5、10、11、20题）|经济/行程/数字问题建模|从现实情境抽象等量关系，发展应用意识| |拓展创新|2题（如6、13题）|几何图形等量关系分析|代数与几何结合，提升空间观念与创新意识|

2025-2026学年人教版七年级数学下册《第10章二元一次方程组》 期末复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．已知和是方程的两个解，则的值（   ） A．30 B．0 C．5 D．6 2．我们定义：若整式M与N满足：（k为整数），我们称M与N为关于k的平衡整式，例如，若，我们称M与N为关于1的平衡整式．若与y为关于2的平衡整式，与为关于5的平衡整式，求的值为（   ） A．2 B． C．12 D．26 3．若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 4．学校决定用240元专项资金为获奖同学购买奖品，以资鼓励．本次竞赛设一等奖和二等奖两个奖项，一等奖奖品为单价15元的文具盲盒，二等奖奖品为单价10元钢笔套装．专项资金恰好用完，且两种奖品均有购买，则购买方案有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 5．《算法统筹》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，两家之数相当（一样多)．设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出的二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，则图中的阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 7．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 9．已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则符合条件的整数n的值为____________． 10．有一个三位数，个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，百位上的数字的2倍比个位、十位上的数字之和大4，个位十位、百位上的数字之和是14，则这个三位数为______． 11．甲种合金含铜5份，含金2份；乙种合金含铜5份，含金9份，那么取甲种合金_____克，乙种合金_____克，才能产出熔化后铜、金含量相同的合金100克． 12．三位同学根据下面的问题进行了如下对话： 若方程组的解是，求方程组的解． 甲：肯定与第一个方程组有关，但看不出有怎样的联系． 乙：把第二个方程组的两个方程进行变形，让两个方程的系数呈现，，与，，排列，这样与第一个方程组就有联系了． 丙：我好像明白乙说的意思了…… 根据三位同学的对话，这个方程组的解是____． 13．一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、图2两种方式摆放．根据图中数据，可求得小正方形边长为_____． 14．某体育用品商店销售A，B两款足球，售价和进价如表所示，该商店购进5个A款足球和12个B款足球需1120元，购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．某校在该商店一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，该商店可获利______元． 类型 进价（元/个） 售价/（元/个） A款 m 120 B款 n 90 三、解答题 15．解下列方程组： (1) (2) 16．已知关于x、y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求出a、b的值； (2)求的值． 17．规定、、、之间的运算：，如． (1)解方程：； (2)若，且，求的值． 18．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是____________（只填写序号）． ①；②；③；④． (2)若关于的方程组是“美好”方程组，求的值； (3)若对于任意的有理数，关于的方程组都是“美好”方程组，求的值． 19．阅读材料：善于思考的小语同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿小语同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，解方程组． 20．【问题情景】种植大户李大叔，通过土地流转承包了320亩农田种植沃柑．到了沃柑成熟的季节，看着满园金灿灿的果实，李大叔满心欢喜，可在租用沃柑采摘设备的问题上犯了难，请你帮李大叔设计租赁方案． 【调研发现】市场上有大型和小型两种沃柑采摘设备可供租赁，一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩． (1)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘多少亩沃柑？ (2)由于要保证新鲜成熟的沃柑能够尽快送到市场销售，李大叔要求一天把沃柑正好全部采摘完，两种采摘设备都要租用，并且租来的设备都工作满10小时，现计划租用大型采摘设备m台，小型采摘设备n台，请你帮李大叔设计一下有哪几种租赁方案． 参考答案 1．D 解：∵和是方程的两个解， ∴ ，得， ∴ 2．A 解∶根据题意，得， 整理得， ，得， ∴． 3．C 解：将方程组整理变形：， 方程组的解是， ，解得． 4．B 解：设购买一等奖奖品个，二等奖奖品个，，均为正整数． 根据题意，可得 变形，得 因为是正整数， 所以为整数，即为偶数． 因为， 所以． 所以． 所以的可取的值为，，，，，，，共个，每个对应唯一的正整数． 所以，共有种购买方案． 5．C 解：设甲有只羊，乙有只羊， ∵甲得到乙的9只羊后，甲的羊数是乙的2倍，此时甲的羊数为，乙剩余羊数为， ∴可得方程 ； ∵乙得到甲的9只羊后，两家羊数相等，此时乙的羊数为，甲剩余羊数为， ∴可得方程 ； 因此列出的二元一次方程组为 ． 6．D 解：设形状大小相等的长方形的长宽分别为，． 由题意可得：， 解得． 所以长方形的宽为：， 长方形的面积为：， 六个形状大小相同的长方形的面积和为：， 阴影部分的面积是：． 7．B 解：设桌子高度为，长方体木块的长为，宽为， 根据两个放置方式可列方程：， 将两个方程相加，得：， 解得， 即桌子高度为． 8．解： 9．解：解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得，， ∴， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，． 10．解：设这个三位数个位上的数字为x，十位上的数字为y，百位上的数字为z．由题意得 把①代入③得， 把代入①得， 代入②得 联立④⑤得， ∴， ∴这个三位数是671． 故答案为：671． 11．解：设取甲种合金克，乙种合金克， 根据题意有：， 解得：，， 答：取甲种合金40克，乙种合金60克，才能产出熔化后铜、金含量相同的合金100克． 12．解：将， 变形为， 由方程组的解是， 可得， 解得． 13．解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由图1和2列出方程组得：， 得， 解得：， 所以小正方形的边长为． 14．解：根据题意得： ， 解得：， ∵购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元， ∴， 即， ∴获利（元） 即该商店可获利元． 15．（1）解：由①②，得，解得．             把代入②，得，解得．             原方程组的解为   （2）解：原方程组化简，得         由①③，得，解得．④             将④代入①，得，解得．             原方程组的解为 16．（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； 将代入得， 解得：； （2）解：． 17．（1）解：根据运算规则，原方程可化为：， 展开整理得：， 即， 解得； （2）解：根据运算规则，可得方程组：， ，得， ，得， ，得，解得， 把代入，得， 解得， ． 18．（1）解：①解得，， ∴，故不是“美好”方程组； ②解得，， ∴，故是“美好”方程组； ③解得，， ∴，故不是“美好”方程组； ④解得，， ∴，故不是“美好”方程组； ∴是“美好”方程组的是②； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵关于x，y的方程组都是“美好”方程组， ∴， 联立得：， 解得：或， 把代入得：， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，， 解得：，， ∴； 把代入得：， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，， 解得：，， ∴； 综上所述，的值为或． 19．（1）解：对于， 令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：； （2）解：∵方程组的解是， ∴将两边同时除以3得：， ∴， 解得：． 20．（1）解：设一台大型采摘设备每小时采摘沃柑x亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑y亩， 由题意，得：，解得：； 答：大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘8亩和4亩沃柑； （2）解：由题意，得：， ∴， ∵均为正整数， ∴，，； 故共有3种租赁方案： 方案一：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案二：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案三：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台． 学科网（北京）股份有限公司 $