第8章 实数 期末复习优生辅导训练题 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 以实数概念为基础，通过概念辨析、运算应用、规律探究及综合实践模块，系统整合平方根、立方根、无理数等核心知识，提炼定义辨析、估算法、规律归纳等解题方法，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|4题（如第1、3题）|定义辨析与反例法|从实数概念生成，辨析无理数性质及平方根定义| |运算应用|6题（如第5、8题）|估算法与方程法|推导平方根、立方根运算规则，解决比较大小及方程问题| |规律探究|3题（如第13、20题）|归纳推理与模型构建|从特殊算式抽象规律，建立数学模型解决一般问题| |综合实践|1题（第21题）|数形结合与实践验证|结合几何图形，应用实数知识解决实际剪裁问题，体现空间观念|

2025-2026学年人教版七年级数学下册《第8章实数》期末复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．关于代数式的值说法正确的是（     ） A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小 3．已知a是无理数，b也是无理数，有以下3个结论：①a的相反数一定是无理数；②一定是无理数；③一定是无理数．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．在如图所示的数轴上，将表示的点向左平移个单位长度，平移后的点可能是（     ）． A．点 B．点 C．点 D．点 5．体积为80的正方体的棱长在（     ） A．8到9之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 6．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是（    ） A． B． C．5 D． 7．某计算器中有，，三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将屏幕显示的数变成它的倒数； ③：将屏幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若开始输入的数据为4，那么第356步之后，显示的结果是（   ） A． B．16 C．4 D． 二、填空题 8．比较大小：_______；________4；______（填“＞”或“＜”） 9．如果的两个平方根是a、b，那么______． 10．已知实数互为相反数，互为倒数，是的整数部分，是的小数部分，求代数式 ______． 11．已知，，均为正整数． （1）若，则___________； （2）若，，则满足条件的的个数比的个数少________． 12．小霞同学规定了一种新运算：对于任意实数，都有．按照这个规定，计算的平方根为___________． 13．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 14．一组二次根式按如下规律排列： 第1行： ． 第2行： ． 第3行： ． 第4行： ． 第5行： ． …… 请根据上述规律，解答下面的问题： 我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_____． 三、解答题 15．把下列各数的序号填在相应的大括号内：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦⑧；⑨（每两个2之间依次增加1个0）； 整数{                     } 分数{                     } 有理数{                     } 无理数{                     } 16．求下列各式中的x： (1)； (2)． 17．计算：． (1)； (2) 18．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求和的值； (2)若的立方根为，求的平方根． 19．已知的立方根是，的算术平方根为3，，且． (1)求，，的值； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 20．（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 21．综合与实践 (1)【问题发现】：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的边长为_____． (2)【知识迁移】：爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；长方形的对角线长为_____． (3)【拓展延伸】：小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 参考答案 1．B 解：A选项：，故A选项计算正确； B选项：是的算术平方根，结果只能为非负数，得，故 B选项计算错误； C选项：，故C选项计算正确； D选项：，，，故D选项计算正确． 2．B 解：∵算术平方根的值为非负数， ∴， ∵代数式中，被减数固定，越小，代数式的值越大， ∴当取最小值时，代数式取得最大值，令， 解得，又不存在最大值，因此代数式不存在最小值， 故时，代数式的值最大． 3．B 解：判断结论① ∵无理数是无限不循环小数，仅改变符号后仍然是无限不循环小数 ∴a为无理数时，a的相反数一定是无理数，故①正确． 判断结论② 令，，和均为无理数，而，是有理数，故②错误． 判断结论③ 令，，和均为无理数，而，是有理数，故③错误． 综上，只有1个正确结论． 4．C 解：∵， ∴， ∵的点向左平移个单位长度， ∴平移后的点表示的数为，即 观察数轴可知，点 M 在 1 与 2 之间，即平移后的点可能是点 M． 5．B 解：设正方体的棱长为，根据正方体体积公式，得， ∵ ，，且， ∴ ，即， 因此体积为80的正方体的棱长在4到5之间 6．B 解： 25的算术平方根为5，5是有理数 取5的平方根，是无理数 输出值是． 7．A 解：根据题意可得： 第1步：；第2步：；第3步：； 第4步：；第5步：；第6步：； 第7步：；第8步：…… ∵显示的数是六步一个循环， ∴， ∴第356步之后屏幕显示的数与第四步相同，显示的结果是． 8．解：（1）比较与 两个分数分母相同，比较分子即可. ，，， ， 不等式两边同时减得： ， ； （2）比较与 ，， 即； （3）比较与， ，， ， 即． 9．解：，是的两个平方根， ，， ， 故答案为． 10．解：∵实数、互为相反数， ∴， ∵、互为倒数， ∴， ∵， ∴的整数部分为，即， ∵， ∴的小数部分为，即， ∴ ． 11．解：（1）∵，而， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵a，b均为正整数． ∴满足条件的有个，满足条件的有个， ∴满足条件的a的个数比b的个数少（个）． 12．解：先计算括号内的运算： 根据新运算法则，得 再计算括号外的运算： 根据平方根的定义，的平方根为． 13．解：∵，，，…… 规律为 ∴． 原式 ． 14．解：∵， ∴是第行， ∵第行为偶数行，被开方数从左到右依次减小， ∴从左往右是第5个二次根式， 即位于第行第5列，记作． 15．解：，， 整数：{①}， 分数：{③⑤⑥⑧}， 有理数：{①③⑤⑥⑧}， 无理数：{②④⑦⑨}． 16．（1）解：原式变形为， ∴， ∴或， ∴或； （2）解：原式变形为， ∴． ∴． 17．（1）解： ； （2）解： ． 18．（1）解：依题意，得， 解得：， ； （2）的立方根是， ， ， ，且64的平方根为， ∴的平方根为． 19．（1）解：的立方根是， ， ； 的算术平方根为3， ， ，且， ； （2）解：由（1）可知：，，， ∴， 的平方根为； （3）解：， 的立方根为. 20．解：（） ； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由 ； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．（1）解：由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为； （2）解：由题意得：所得到的小正方形的边长为：； 大正方形的面积为：；长方形的对角线长为； （3）小思说得对，小明说得不对，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∵， ∴， 由于面积为的正方形纸片边长为， ∴ ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 学科网（北京）股份有限公司 $