期末复习专题-不等式材料阅读题2025-2026学年七年级数学下册人教版

**基本信息** 以“新定义—最值—材料阅读”为逻辑主线，通过三步法（读懂定义→数学化→求解检验）系统构建不等式材料题解题体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |新定义问题|3题（理想解/梦想解/完美解）|定义翻译→式子转化→检验取舍|从方程与不等式的解概念拓展，构建“定义—数学化—综合应用”链条| |新定义—最值|2题（符号定义/三数最值）|最值条件转化→不等式组求解|基于新符号定义，培养参数分析与逻辑推理能力| |材料阅读|7题（作差法/新运算/解集长度等）|作差比较法/分式不等式转化法|整合作差比较、解集运算等方法，提升模型意识与应用能力|

七下期末复习专题—不等式的新定义问题 姓名：______ 班级：_____ 题型一：新定义问题 题目给全新名词本质是： 用一段文字规定「满足XX条件的未知数的值/范围，叫XX解」，解题分三步：读懂定义→翻译成数学式子→解不等式/方程组→检验取舍。 1．阅读理解：定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解” 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：______（直接填写序号）； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) 【分析】（1）根据所给“理想解”的定义依次进行判断即可； （2）根据所给“理想解”的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：由得，． ①将代入，得， ∴该不等式不成立， 所以①不符合题意； ②将代入，得 ∴该不等式成立， 所以②符合题意； ③将代入得， 所以，两个不等式组成立， 所以③符合题意． （2）解：由得，， 则， 因为， 所以， 解得． 2．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 求m的取值范围，并化简； (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【答案】(1) (2)，10 (3) 【分析】（1）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （2）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，进一步计算即可求解， （3）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为列出不等式组，解得． 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵，， ∴； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，且，解得：且． 综上，． 3．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“完美解”． 例：已知方程的解为，不等式的解集为，则称“”为方程和不等式的“完美解”． (1)下列不等式（组）：①，②，③中与方程存在“完美解”的有哪些？并说明理由； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“完美解”，求m的取值范围． 【答案】(1)方程只与不等式②存在“完美解”，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程,解二元一次方程组等知识点，掌握相关解法是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可． 【详解】（1）解： 解得：； ①不等式的解集为，但不在该解集范围内； ②不等式的解集是，在该解集范围内； ③不等式组的解集是，但不在该解集范围内． 综上所述：方程只与不等式②存在“完美解”． （2）解：解方程组得： ，             ， ∵方程组的解是不等式组的“完美解”， ， ． 题型二：新定义——最值 4．阅读下面的材料： 对于实数，，我们定义符号的意义为当时，；当时，． 如：，． 根据上面的材料回答下列问题： (1)　　　． (2)当 时，求的取值范围； (3)当 时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，解一元一次方程，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． （1）比较和的大小，即可得出答案； （2）根据新定义可得关于的不等式，解不等式即可求解； （3）根据新定义，分类讨论，综合可得结果． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：． （2）解：， ， 解得． 的取值范围是． （3）解：当时，， ， 由解得与矛盾，故舍去； 当时，， ， 由解得． 综上可知，当 时，． 5．对于三个数，表示这三个数的平均数，表示这三个数中最大的数，如： ； 解决下列问题： (1)填空：__________； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）比较、、的大小，即可得解； （2）根据新定义得到关于的一元一次不等式组，求解即可； （3）计算，可得，进而得到关于的一元一次不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：， ，解得：， 的取值范围为； （3）解：，， ， ，解得：， ． 题型三：材料阅读 6．【阅读材料】用作差法比较大小： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数和比较大小，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【解决问题】制作某产品有两种用料方案．方案一：用块型钢板，块型钢板；方案二：用块型钢板，块型钢板．型钢板的面积比型钢板大．从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】从省料角度考虑，应选方案二 【分析】本题考查了整式的加减，不等式的应用，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键．设一块型钢板的面积为，一块型钢板的面积为， 利用作差法进行比较，即可解答． 【详解】解：设一块型钢板的面积为，一块型钢板的面积为， 方案一所用钢板的面积为， 方案二所用钢板的面积为， ， ， ， 从省料角度考虑，应选方案二． 7．阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，，…，都是方程的解，在解决实际问题中只需求出符合条件的解即可． 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：，根据x，y为正整数，运用尝试法可以知道， 方程的正整数解为或． 问题： (1)求方程的正整数解； (2)七年级地理科学兴趣小组共16人（男生9人，女生7人），前往云南普者黑对喀斯特岩溶地貌进行观测研究．活动期间入住当地民宿，已知民宿有两人间和三人间两种房间可供选择，其中两人间140元一天，三人间180元一天．请你运用所学知识设计出最为合理的住宿方案，并进行简要说明． 【答案】(1)或． (2)最为合理的住宿方案为入住4间三人间，2间两人间 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用： （1）仿照题意进行求解即可； （2）先求出三人间的人均费用比两人间的人均费用低，则男生入住3间三人间，设7名女生入住m间三人间，n间两人间，则，求出方程的非负整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴是正整数， ∴y一定是偶数， ∴当时，， 当时，， ∴方程的正整数解为或． （2）解：∵， ∴三人间的人均费用比两人间的人均费用低， ∴9名男生应该都入住三人间， 设7名女生入住m间三人间，n间两人间， 由题意得，， ∴， ∵m、n为非负整数， ∴当时，， 综上所述，最为合理的住宿方案为入住4间三人间，2间两人间． 8．对于有理数x，y，定义一种新运算，规定：． (1)求的值． (2)若关于正数m的不等式组恰好有3个整数解，求k的取值范围． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查新定义运算、解一元一次不等式组、由一元一次不等式组的整数解求参数，注意分情况讨论是解题的关键． （1）根据新定义，将x，y的值代入代数式即可； （2）分两种情况：，，根据新定义列不等式组，求得m的取值范围，再根据不等式组整数解的个数求k的取值范围即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ， 可变形为， 解得； 当时，解得， 此时不等式组无解，不合题意； 当时，解得， 此时可变形为， 解得， ， 原不等式组变形为， 原不等式组恰好有3个整数解， 原不等式组的解集为，3个整数解为：2，3，4， ， 解得． 9．求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”，得 ①或②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 所以原不等式的解集为或． 请你仿照上述方法求不等式的解集． 【答案】 【分析】根据“异号两数相乘，积为负”，将原不等式拆分为两个不等式组，分别求解即可． 【详解】解：根据“异号两数相乘，积为负”，得 ①或②， 解不等式组①，无解， 解不等式组②，得， 所以原不等式的解集为． 10．感知：解不等式 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或 解不等式组得，解不等式组得 原不等式的解集为或 问题解决： (1)应用：不等式的解集为 ； (2)综合：已知关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照例题的解题思路进行计算，即可解答； （2）先求解出二元一次方程组的解用含的参数表示出来，再根据，按照例题的思路进行求解即可 【详解】（1）解：根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为或， 解不等式组得：且，故不等式组无解， 解不等式组得， 原不等式的解集为； （2）解：解方程组得：， ∵ ， ∴或， 解不等式组得， 解不等式组得且，故不等式组无解， ∴的取值范围为． 11．当时，若关于的不等式组的解集为，则称为该不等式组的“解集长度”，如不等式组的解集为，则其“解集长度”为． (1)不等式组的“解集长度”是________； (2)已知关于的不等式组的“解集长度”为2，则________； (3)已知关于的不等式组的“解集长度”小于3，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）求出不等式解集，利用题目所给定义求出“解集长度”； （2）求出不等式解集，表示出其“解集长度”，结合题目条件即可求出的值； （3）求出不等式解集，表示出其“解集长度”，结合题目条件即可求的取值范围，这里注意这个条件． 【详解】（1）解：， ①移项得，解得， ②移项得，解得， 故原不等式组的解集为， 故其“解集长度”为； （2）解：， 解①得， ②移项得， 解得， 故原不等式组的解集为， 其“解集长度”为2， ， 解得； （3）解：， ①化简得，移项得，解得， 解②得， 故原不等式组的解集为， 其“解集长度”小于3， ， ①化简得，解得， ②化简得，解得， ． 12．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，如果两个不等式的解集相同，则称不等式A与B为同解不等式． (1)若关于x的不等式A：，不等式B：是同解不等式，求a的值； (2)若关于x的不等式C：，不等式D：是同解不等式，其中m，n是整数，试求m，n的值． 【答案】(1) (2)，或，或，或，． 【分析】（1）将A、B两个不等式解出，根据同解不等式的定义，即可列方程解答； （2）将C、D两个不等式解出，根据同解不等式的定义，可列方程，求出，再根据m，n是整数求解即可． 【详解】（1）解：解不等式A，得：， 解不等式B，得：． ∵不等式A与不等式B是同解不等式， ∴， 解得：； （2）解：解不等式C，得：， 解不等式D，得：． ∵不等式C与不等式D是同解不等式， ∴， ∴． ∵m，n是整数， ∴，或，或，或，． 【点睛】本题考查不等式的性质，解不等式，理解同解不等式的定义是解题的关键． 13．若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是______（填字母序号）； A．    B．   C．     D． (2)若关于x的不等式被“容纳”，求m的取值范围； (3)若关于x的不等式被“容纳”，若且，，求M的最大值． (4)已知，，，，且k为整数，关于x的不等式，，若存在k，使得P和Q存在“容纳”关系，且Q被P“容纳”，请直接写出k的值． 【答案】(1)C (2) (3) (4)或 【分析】（1）A解集为，存在不满足的解；B解集为，与无包含关系；C解集为，所有解都满足且有解，符合要求；D不等式组无解，不符合前提； （2）先解不等式，得，该不等式被“容纳”，说明的所有解都满足，则可得，进行求解即可； （3）由被容纳，可得且，解得．通过方程组消元得，，代入化简得．因随增大而增大，故时取最大值； （4）由解得，，结合、得，整数为．解得，解得，由被容纳，即的所有解都满足，逐一验证得和符合要求． 【详解】（1）解：A、 解得， ∵解集中存在如这样不满足的数， ∴不能被容纳，故该选项不符合题意； B、 解得， 解集与无容纳关系， ∴不能被容纳，故该选项不符合题意； C、 解得， 解集中所有都满足，且不等式有解， ∴能被容纳，故该选项符合题意； D、， 解得，此不等式组无解． ∵不等式（组）需均有解， ∴不符合要求，故该选项不符合题意； （2）解： 解得， ∵该不等式被容纳，即解集中所有都满足， ∴ 解得； （3）解：∵不等式被容纳， ∴，且， 解得，且， ∴的取值范围为， ∵， ∴ 解得， 将代入中， 得 解得， 将，代入中， 得 ， ∵， ∴当时，取得最大值，最大为； （4）解：∵， ∴，代入中， 得 解得， ∴， ∵，， ∴且 解得， 又∵为整数， ∴的可能值为， 由题意得，： 解得， ： ∴， ∴当时， 解得， ∴所有实数对恒成立， ∴的所有解都满足，符合要求； 当时， 解得， ∵的解集中存在这样不满足的数，不符合要求； 当时， 解得， ∵的解集中存在这样不满足的数， ∴不符合要求； 当时， 解得， ∴的所有解都满足，符合要求； 综上所述，符合条件的的值为和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七下期末复习专题—不等式的材料阅读题 姓名：______ 班级：_____ 题型一：新定义问题 题目给全新名词本质是： 用一段文字规定「满足XX条件的未知数的值/范围，叫XX解」，解题分三步：读懂定义→翻译成数学式子→解不等式/方程组→检验取舍。 1．阅读理解：定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解” 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：______（直接填写序号）； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围． 2．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 求m的取值范围，并化简； (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 3．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“完美解”． 例：已知方程的解为，不等式的解集为，则称“”为方程和不等式的“完美解”． (1)下列不等式（组）：①，②，③中与方程存在“完美解”的有哪些？并说明理由； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“完美解”，求m的取值范围． 题型二：新定义——最值 4．阅读下面的材料： 对于实数，，我们定义符号的意义为当时，；当时，． 如：，． 根据上面的材料回答下列问题： (1)　　　． (2)当 时，求的取值范围； (3)当 时，求的值． 5．对于三个数，表示这三个数的平均数，表示这三个数中最大的数，如： ； 解决下列问题： (1)填空：__________； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的值． 题型三：材料阅读 6．【阅读材料】用作差法比较大小： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数和比较大小，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【解决问题】制作某产品有两种用料方案．方案一：用块型钢板，块型钢板；方案二：用块型钢板，块型钢板．型钢板的面积比型钢板大．从省料角度考虑，应选哪种方案？ 7．阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，，…，都是方程的解，在解决实际问题中只需求出符合条件的解即可． 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：，根据x，y为正整数，运用尝试法可以知道， 方程的正整数解为或． 问题： (1)求方程的正整数解； (2)七年级地理科学兴趣小组共16人（男生9人，女生7人），前往云南普者黑对喀斯特岩溶地貌进行观测研究．活动期间入住当地民宿，已知民宿有两人间和三人间两种房间可供选择，其中两人间140元一天，三人间180元一天．请你运用所学知识设计出最为合理的住宿方案，并进行简要说明． 8．对于有理数x，y，定义一种新运算，规定：． (1)求的值． (2)若关于正数m的不等式组恰好有3个整数解，求k的取值范围． 9．求不等式的解集． 解：根据“同号两数相乘，积为正”，得 ①或②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 所以原不等式的解集为或． 请你仿照上述方法求不等式的解集． 10．感知：解不等式 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或 解不等式组得，解不等式组得 原不等式的解集为或 问题解决： (1)应用：不等式的解集为 ； (2)综合：已知关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 11．当时，若关于的不等式组的解集为，则称为该不等式组的“解集长度”，如不等式组的解集为，则其“解集长度”为． (1)不等式组的“解集长度”是________； (2)已知关于的不等式组的“解集长度”为2，则________； (3)已知关于的不等式组的“解集长度”小于3，求的取值范围． 12．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，如果两个不等式的解集相同，则称不等式A与B为同解不等式． (1)若关于x的不等式A：，不等式B：是同解不等式，求a的值； (2)若关于x的不等式C：，不等式D：是同解不等式，其中m，n是整数，试求m，n的值． 12．若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是______（填字母序号）； A．    B．   C．     D． (2)若关于x的不等式被“容纳”，求m的取值范围； (3)若关于x的不等式被“容纳”，若且，，求M的最大值． (4)已知，，，，且k为整数，关于x的不等式，，若存在k，使得P和Q存在“容纳”关系，且Q被P“容纳”，请直接写出k的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $