第7章相交线与平行线 期末综合复习压轴题专题提升训练 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦相交线与平行线综合应用，以作辅助线转化角、角平分线性质、动态分类讨论为核心方法，构建“性质—判定—动态应用”的知识逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行线性质与判定|1-5题|过点作平行线转化角|性质（平行得角关系）→判定（角关系证平行）| |角平分线与平行|6-10题|角平分线定义+平行性质|角平分线（角的倍分）→平行（角的转移）| |动态与分类讨论|11-15题|动点位置分类讨论|静态性质→动态变化（点/线运动）→多情况分析|

2025-2026学年人教版七年级数学下册《第7章相交线与平行线》 期末综合复习压轴题专题提升训练（附答案） 1.如图，已知线段AB,点C是线段AB外一点，连接AC,∠CAB=a90°<Q<180. 将线段AC沿AB平移得到线段BD.点P是线段AB上一动点，连接PC,PD 图1 备用图 (1)依题意在图1中补全图形，并证明：∠CPD=∠PCA+∠PDB； 2过点C作直线川PD.在直线上取点M,使∠MDC=克∠CDP, ①当C=110°时，画出图形，并用等式表示∠BDM与∠BDP之间的数量关系： ②在点P运动的过程中，当点P到直线的距离最大时，∠BDP的度数是 (用含a的 式子表示). 2.直线AB与直线CD互相平行，P是射线DA上一点，且点P不在直线AB,CD上，射线 AM,DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线： B B 图1 D C 备用图1 D 备用图2D (1)如图1，若点P在线段AD上，试判断AM与DN的位置关系，并证明： (2)若点P在线段DA的延长线上， ①(I)中AM与DN的位置关系是否发生变化？并说明理由；（注：说理时不能使用没有 学过的定理) ②当∠PDC=50时，若E,F分别是直线AB,CD上的动点，且EF‖AM,请画出符 合条件的图形，并直接写出∠EFD的度数. 3.如图1.AM‖BN,点D,点C分别在射线AM,BN上，且∠BAD=∠BCD D M D M B F E 图1 图2 (1)求证：AB‖DC: (2)连接AC,作∠EAC=∠DAC,AE交BN于点E,作∠BAE的平分线AF交BN于点F (如图2)，将CD沿AM方向水平向右平移 ①在CD的移动过程中，∠AEB与∠ACB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变， 请写出它们之间的数量关系，并证明；若变化，试说明理由： ②当CD运动到∠ACD=∠AFB时，求证：∠FAE=∠ACB, 4.如图，AB‖CD,E,F是CD上的两点，点P在CD下方，PE⊥CD,H在AB与CD 之间，∠HPF=30°，∠HFP=60°.过点E作EG‖PH交AB于点G G A D (1)若∠AGE=60°，则∠HFC的度数为_ (2)当GH⊥AB时，∠EFP与∠EGH之间的数量关系为_. (3)若∠GHF=3∠AGE,∠GHP+∠EFP=140°，求∠GEP的度数. 5,【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数 学活动，如图，已知射线AM‖BN,连接AB,点P是射线AM上的一个动点（与点A不 重合)，BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,且分别交射线AM于点C,D. B M D (1)【探索发现】当∠A=60°时，求：∠CBD的度数： (2)“快乐小组”经过探索后发现：不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A始终存在某种数量 关系。 ①当∠A=40时，∠CBD=° ②当∠A=x时，∠CBD=°（用含X的代数式表示）； (3)【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间 的数量关系.他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置， ∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变.请写出它们的关系，并说明理由. 6.已知直线ABCD,点E,F分别在直线AB,CD上点P是直线AB上的动点（不与E 重合)，连接PF,∠EFD=Q,∠PEF和∠PFC的平分线所在直线交于点H. B A 图1 备用图 (1)如图1，点P在射线EA上，0°<a<90° ①当a=70°，∠PFC=50°时，∠EHF= ②探究∠PEH,∠EHF,∠HFC之间的数量关系，并证明你的结论 (2)当90°<a<180°时，请直接写出∠EPF与∠EHF的数量关系（用含a的式子表示）. 7.学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，AP平 分∠BAC,CP平分∠ACD,∠1+∠2=90°.判断AB,CD是否平行，并说明理由”， 试着“玩”起数学来： B B A B 12 图1 图2 图3 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,AB‖CD, 则∠1+∠2=90°.”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由. 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2=90°”这个结论不 成立.请帮小明完成探究： 如图2，AB‖CD,AP平分∠BAC,CP⊥AC,∠1是AP与AB的夹角，∠2是CP与 CD的夹角，若∠2=22°，求∠1的度数. 【拓展提高】 (3)如图3，若AB‖CD,AP⊥AC,CP平分∠ACD,试说明∠1+2∠2=90° 8.已知，直线AB‖CD,点E、F分别在直线AB、CD上，点H是直线AB与CD外一点， 连接HE、HF 图1 图3 (1)如图1，延长EH交CD于点K,若∠HFD=65°，∠EHF=120°，求∠BEH的度数； (2)如图2，∠BEH的角平分线的反向延长线交∠CFH的角平分线于点N,猜想∠N与 ∠H的数量关系，并说明理由： (3)如图3，若∠EHF=120°，∠BEH=n∠PEH,∠CFH=n∠HFQ,点P、瓜、O 在同一直线上，直接写出∠Q-∠P的值（用含n的式子表示）. 9.已知直线HK‖PQ,一副直角三角尺中的等腰直角三角尺△竺就（∠=45°， ∠DFE=90°)边DE在直线HK上，点F在直线HK下方：这幅三角尺中另一块为含有 30°角的直角三角尺△ABC(∠BAC=30°，∠ACB=90°)的一边AB在直线EF上， 点C在直线EF的右侧， 图1 图2 备用图 (1)如图1，当△ABC的顶点A与点E重合时，点C恰好落在直线PQ上，求∠BCP的度数. (2)设直线EF与直线PQ相交于点G; ①如图2，将△ABC沿直线EG平移，当点B与点G重合时，求∠CBQ的度数. ②将△ABC沿直线EG平移，点M是直线PQ上的动点、且∠AMQ=120时，请直接写 出此时∠EAM的度数， 10.综合与探究 问题情境：如图，AB‖CD,CA和DB的延长线交于点E,点F在CD上，AF‖BD,点 G在FA的延长线上，连接BG 图1 图2 (1)独立思考：如图1，若∠G=24°，∠ABG=50°，求∠BAF的度数， (2)问题解决：如图2，若BG平分∠ABE,BM平分∠DBG,点N在BM上，DN平分 ∠CDE ①求证：BG‖DN: ②若∠E=45°，∠EMB=25°，直接写出∠CDE的度数. 11.已知直线ABCD,P为平面内一点，连接PA、PD, 图1 图2 图3 (1)如图1，已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数； (2)如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在(2)的条件下，AP⊥PD,DN平分∠PDC,若 ∠PAN+1 ∠PAB=90°，求∠∧乙的度数 12.如图1，线段AB,BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE‖AB, 连接AE,∠B=∠E=60°」 备用图 (1)猜想AE与BC的位置关系，并说明理由， (2)将线段AE沿着直线AC上下平移到线段PQ,连接DQ ①如图2当点P在点D的下方时，探究∠EDQ与∠Q的数量关系： ②在整个运动中，当∠Q等于多少度时∠Q=2∠EDQ,请直接写出∠Q的度数. 13.按要求解决问题： 【问题探究】 (1)已知ABCD,点E在AB上，点H、F在CD上，点H在点F的左侧，点G在AB与CD 之间 ①如图①，EG⊥AB,∠G=140°，∠EFH=50°，试判断EF与GH是否平行，并说 明理由； ②如图②，∠EGH=90°，GH‖EF,∠AEG的平分线EM交HG的延长线于点M. 若∠EFH=50°，求∠AEM的度数： A B H FD 图① 图② 【问题解决】 (2)如图③，某工厂的车间内有两条互相平行的传送带（直线）AB、CD,在传送带AB上 的点E处有一个转向装置，装置的导向板EG与传送带的辅助轨道GH的夹角为90°（即 ∠EGH=90),另一条辅助传送带EF与轨道GH平行，其中点H、F在CD上，点H在 点F的左侧，点G在AB与CD之间.已知∠AEG的平分线EM交轨道HG的延长线于点M, 且∠AEG=2∠EFH,为进一步优化检测设备的参数，需要知道∠EFH的度数，请你 帮该工厂计算∠EFH的度数， 4 E B M< G H FD 图③ 14.在几何光学中，凹透镜对光线起发散作用.如图1，平行于主光轴MN的光线AB和 CD通过凹透镜后发散，发散光线BE和DF的反向延长线相交于主光轴MN上的点P, H 图1 图2 图3 【提出问题】∠ABP,∠BPD和∠CDP三个角之间有怎样的数量关系？ 【分析问题】可以利用平行线相关知识进行研究. 【解决问题】 (1)解：因为AB‖MN 根据① 所以∠ABP=∠BPN 因为CD‖MN, 所以∠CDP=∠② 因为∠BPD=∠BPN+∠DPN, 根据③ 所以∠ABP,∠BPD和∠CDP三个角的数量关系是④ 【迁移应用】 (2)如图2，已知直线AB‖CD,点E是AB,CD之间的一点，点P,Q分别在直线AB, CD上，连接EP,EQ.∠BPE和∠DQE的平分线PF和QF相交于点F. ①写出∠1，∠E和∠2之间的数量关系式： ②若∠E=144°，则∠F= 【拓展提高】 (3)如图3，AB‖CD,GP‖MN,∠FEA=2∠AEG,若∠G-∠EFH=60°，则 ∠BEG的度数为° 15.已知MNPQ,点A,点B分别在直线MN,PQ上，点C为直线MN,PQ间一点， 使得∠MAC,∠PBC都是锐角. 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠ACB=∠MAC+∠PBC: (2)分别过点A和点C作直线AG,CH,使AG‖CH,以点B为顶点作直角∠DBI,使 ∠DBI的两边分别与直线CH,AG交于点F和点E. ①如图2，求∠CFB+∠AEB的度数： ②如图3，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN,并且∠ACB=100°，直接写出 ∠CFB的度数. 16.如图1，直线MN与直线PQ互相平行，A、B分别是MN和PQ上的两个点，连接AB, 在直线AB的右侧取一点C,满足∠ABC=45°，∠BAC=30. 图 (图2 图3) (1)如图1，若∠NAC=2∠CBQ,求∠MAB的度数： (2)如图2，在直线MN上方平面内取一点F,直线AF交PQ于E,使得∠NAE和∠FBQ 的角平分线交于点C,求∠F (3)如图3，作∠MAB、∠NAC的平分线AU、AV交PQ于S、T,作射线SW和TW交于 w,且使得∠TSw=∠SU,∠STW= 5 3 ∠STV,当四边形ASWT的一边与BC平行 时，直接写出∠MAB的度数. 17.在未来的智慧城市中，A!智能巡检机器人是保障城市基础设施安全的“守护者”，这 些机器人不仅能自主导航，还能实时分析周围环境，规划最优路径. (1)【问题发现】 ①如图1，直线AB‖CD,点E,F分别在AB,CD上，点P为机器人的内部检测点，若 ∠1=30°，∠2=40°，则∠P= ②如图2，直线ABCD,点E,F分别在AB,CD上，点P为机器人的外部检测点，猜 想∠P,∠1，∠2之间的数量关系是」 ·(直接写出结论，不需要证明) 图1 图1 (2)【尝试应用】 如图3，直线ABCD,点E,F分别在AB,CD上，机器人设置了垂直检测线FG⊥EF, 同时生成检测∠BEF的角平分线与∠DFG的角平分线交于点P,求∠P的度数. 图3 (3)【拓展延伸】 如图4，直线AB‖CD,点E,F分别在AB,CD上，点P为机器人的内部检测点.A1对 检测路线进行优化，设置∠BEM=∠BEP,∠DFN=∠DFP,EM交FP的延长 4 线于点M,FN交EP的延长线于点N,请你探究∠M,∠N与∠EPF的数量关系， A C F D 图4 18.如图①所示，某江两岸的主道路MN、PQ上安装了两座可旋转射灯A、B,已知， PQ‖MN,且∠BAM=2∠BAN.灯A发出的光束从AM开始顺时针旋转至AN便立即 回转，灯B发出的光束从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，已知灯A转动的速度是每 秒2度，灯B转动的速度是每秒1度 B P O M' B B M M ① ② 备用图 (1)填空：∠BAN= 0 (2)如图②，如果灯B光束先转动30秒，灯A光束才开始转动，在转动过程中，灯A光束与 PQ交于点M,灯B光束与MN交于点P,设灯A转动t秒t>O. ①当0<t<90时，则∠MMM=一'∠PBP=一。（用含的式子表示）· ②当灯A转动 秒时，两灯发出的光束第一次互相平行： 当灯A转动 秒时，两灯发出的光束第二次互相平行. (3)已知点G在直线MN上且在点A右侧，连接BG,如果两灯同时转动，在灯B光束到达 BQ之前，两灯光束交于点O,O恰好是∠ABG与∠AGB的角平分线交点，求∠AGB的 度数 19.已知AB‖CD,点M、N分别是AB、CD上的点，点G在AB、CD之间，连接MG、 NG 4 G 图1 图2 图3 (1)如图1，若GM⊥GN,求∠AMG+∠CNG的度数： (2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP,ND平分∠GNP,已知 ∠BMG=32°，求∠MGN+∠MPN的度数： (3)如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN,且GM的延长线MF平分∠AME, NE平分∠CNG,2∠MEN+∠MGN=105°，求∠AME的度数. 20.【材料阅读】 材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组 平行线的位置关系有多种多样： B 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进 行拆分或重组从而解决问题 为此，老师给出如下问题：如图①，ABCD,EF⊥AB,交AB于点Q.FG交CD于点 P,请判断∠EFG与∠DPG有怎样的数量关系. 如图②，明明同学通过在点F处作MN‖CD,利用平行线的性质实现了角的转移.进而 解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，辟蹊径，在点Q处作QN‖FG,同样也有着 异曲同工之妙. E E A- B A M---- DN D -D G G 图① 图② 图③ 【问题解决】 (1)请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程： 【类比运用】 (2)如图@，AB‖CD,反向延长∠ABP的平分线BE,交直线CD于点F,点H在直线CD 上，连接PH,若∠EFC=50°，∠PHC=70°，求∠P的度数： D FH D 图④ 【变式探究】 (3)如图⑤，AB‖CD,DN平分∠CDP,且AP⊥PD,∠PAB+2∠PAN=180°，直 接写出∠DNA的度数 -B D 图⑤ 参考答案 1.(1)证明：补全图形如图所示， 0 δ B 图1 由平移的性质得：AC‖BD,过点P作PQ‖AC,交CD于点Q,则AC‖PQ‖BD, .∠PCA=∠CPQ,∠PDB=∠DPQ ∴.∠CPD=∠CPQ+∠DPQ=∠PCA+∠PDB: (2)①分两种情况： 第一种情况：点M在直线CD的上方时，如图所示： AC‖BD,CD‖AB B 由平移的性质得： .∠CAB+∠B=180°，∠BDC+∠B=180°， .∠BDC=∠CAB==110°， :∠MDC=∠CDP,即∠CDP=2∠MDC, .∠MDC=∠BDM-∠BDC=∠BDM-110°， .∠BDP=∠BDC-∠CDP=110°-2∠MDG=110°-2（∠BDM-110°）， 整理，得2∠BDM+∠BDP=330°： 第二种情况：点M在直线CD的下方时，如图所示： ∠MDC=∠BDC-∠BDM=110°-∠BDM M ∠BDP=∠BDC-∠CDP=110°-2∠MDC=110°-2(110°-∠BDM), 整理，得2∠BDM-∠BDP=110°： ②由平移性质得四边形ACDB是平行四边形，CD‖AB,△PCD面积为定值， ,l‖PD,点P到l的距离等于平行线与PDPD的距离， 1 由sarm2PDd(d为距离) 得：距离d=2SD PD 当PD最短时d最大， 定点D到直线AB上点的距离，垂线段最短，即PD⊥AB时PD最短，d最大，如图所示： Rt△PBD AC‖BD 此时 中， .∠PBD=180°-a, :.∠BDP=90°-(180°-a)=a-90° 2.(1)解：AM‖DN, 证明： 如图： A B M :AB‖CD: .∠BAD=∠ADC, ,射线AM,DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线， ∠AD号∠BMD,∠DA号ADC. .∠NAD=∠NDA, ..AM DN: (2)解：①AM与DN的位置关系发生变化，AM⊥DN,理由如下： 反向延长射线AM交DN于K,过K作KT‖AB,如图， M W N D AB‖CD .∠WAD+∠CDA=180°， ,射线AM,DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线， ∠CDN=克∠CDA,∠BAM=3∠BP, .∠BAM=∠WAK,∠WAD=∠BAP, ∠WAK=∠WAD, 2 ∴2wK+∠CDN=克∠WMD+3CDA=∠MD+∠CDA=x180°=90， :KT‖AB,AB CD, .AB‖KT‖CD, ,∠WAK=∠AKT,∠CDN=∠DKT, .∠AKT+∠DKT=90°，即∠AKD=90, .AM⊥DN: ②当EF在AM左侧时，如图： .AB I CD, .∠BAD=∠PDC=50, .∠BAP=180°-∠BAD=130°， :AM平分∠BAP, 2mM- ∠BAP=65°， .∠MAE=180°-∠BAM=180°-65°=115°， :EF‖AM, .∠FEA=∠MAE=115°， AB‖CD ∴.∠FEA+∠EFD=180, .∠EFD=65°： 当EF在AM右侧时，如图： M EB DF .∠ADF+∠PDC=180°，∠PDC=50°， .∠ADF=130, AB‖CD .∠BAP=∠ADF=130°. :AM平分∠BAP :∠BAM=∠BAP=65 .EF‖AM, .∠AEF=∠BAM=65°， AB‖CD ∴.∠AEF+∠EFD=180°， .∠EFD=180°-∠AEF=115°， 综上所述，∠EFD的度数为65°或115°， 3.(1)证明：.AM‖BN, ∴.∠BAD+∠ABC=180°， .:∠BAD=∠BCD, .∠BCD+∠ABC=180°， .AB‖DC: (2)①解：∠AEB与∠ACB之间的数量关系不变，∠AEB=2∠ACB.理由如下： AD‖BC, .∴.∠DAC=∠ACB, .'∠EAC=∠DAC, .∴.∠EAC=∠ACB, .∴.∠AEB=∠EAC+∠ACB=2∠ACB. ②证明：AD‖BC, .∠AFB=∠DAF, AB‖CD .∠ACD=∠BAC, ,∠ACD=∠AFB, ∴.∠BAC=∠DAF,即∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠DAC, .∠BAF=∠DAC, ,∠DAC=∠ACB ∴.∠BAF=∠ACB ,AF平分∠BAE, .∠BAF=∠FAE. ∴.∠FAE=∠ACB 4.(1)解：如图所示，过点P作PQCD, A G B H -D E ,AB‖CD,∠AGE=60°. .∠FEG=∠AGE=60, .PE⊥CD .∠PEF=90, .∠PEG=∠PEF+∠FEG=150°： .EG PH, .∠HPE+∠PEG=180°， ∴.∠HPE=30°； PQ‖CD, .∠EPQ+∠PEF=180°，∠EFP=∠QPF, .∠EPQ=90°， ∴.∠QPF=∠EPQ-∠HPE-∠HPF=30°， .∠EFP=30° ∴.∠HFC=∠HFP-∠EFP=30°： (2)解：如图所示，过点P作PQCD, G A B 夕 C --------O AB‖CD .∠FEG=∠AGE, ,PE⊥CD, .∠PEF=90, .∠PEG=∠PEF+∠FEG=90°+∠AGE: .EG PH, .∠HPE+∠PEG=180° .∠HPE=90°-∠AGE: PQ‖CD, .∠EPQ+∠PEF=180°，∠EFP=∠QPF, .∠EPQ=90°， ∴.∠QPF=∠EPQ-∠HPE-∠HPF=∠AGE-30°， .∠EFP=∠AGE-30°， GH⊥AB, .∠AGH=90, .∠EGH+∠AGE=90°， .∠EGH=90°-∠AGE, .∠EFP+∠EGH=∠AGE-30°+90°-∠AGE=60°： (3)解：如图所示，过点H作HTPF, A G -B H CE人 F .∠PHT=∠HPF=30°，∠FHT=180°-∠HFP=120°， .∠PHF=∠FHT-∠PHT=90°： 设∠AGE=X,则∠GHF=3x, .∠GHP=360°-∠GHF-∠PHF=360°-3x-90°=270°-3x, 由(2)可得∠EFP=∠AGE-30°=x-30°， ∠GEP=90°+∠AGE=90°+X ,∠GHP+∠EFP=140°， .270°-3x+x-30°=140°， 解得x=50°， .∠GEP=140°， 5.(1)解：.AM‖BN, .∴.∠A+∠ABN=180°， :∠A=60°， .∴.∠ABN=180°-60°=120°， :BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN, ·∠CBP=∠ABP,∠DBP=i∠PBN, ∠CBD=∠CBP+∠DBP=∠ABP+∠PBN)=2∠ABN=×120=60: (2)解：①当∠A=40时： .AM‖BN, .∴.∠A+∠ABN=180°， :∠A=40°， .∠ABN=180°-40°=140° ,BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN, ∠CBP-∠ABP,∠DBP-PBN, :∠CBD=∠CBP+∠DBP=∠ABP+∠PBNj=号∠ABN=3×140°=70： ②当∠A=x时： :AM‖BN, .∴.∠A+∠ABN=180°， ∠A=X°， .∠ABN=180°-x=180-x°， .·BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,, ∠CBP=∠ABP,∠DBP=i∠PBN, ∠CBD=∠CBP+∠DBP=∠ABD+∠PBN)=号∠ABN=×I80-x=S0- 故答案为：090：@00-引0 (3)解：结论：∠APB=2∠ADB: 理由如下： .AM‖BN, ∴.∠ADB=∠DBN, ,BD平分∠PBN, ∠DBN=∠DBPi∠PBN, .∠ADB= 2 ∠PBN, 又'.AM‖BN, ∴.∠APB=∠PBN, ∴.∠APB=2∠ADB 6.(1)①解：，ABCD,a=70°， .∠PEF=a=70 :EH平分∠PEF,FH平分∠PFC,∠PFC=50°， ∠AE-号<PE=35,2CH=克PC=25, 过点H作HQ‖AB,则HQ‖AB|CD, P E ·B H D .∠AEH=∠EHQ=35°，∠CFH=∠FHQ=25°， ∴.∠EHF=∠EHQ+∠FHQ=60°： ②∠EHF=∠PEH+∠HFC,证明如下： 证明：：EH平分∠PEF,H平分∠PFC, ∴∠PEH=PEF,HC=号PFC, 过点H作HQ‖AB,则HQ‖AB‖CD, ·B H -D .∠PEH=∠EHQ,∠HFC=∠FHQ, ∴.∠EHF=∠EHQ+∠FHQ=∠PEH+∠HFC: (2)解：当点P在射线EA上时，如图， E A B a 一D F .AB CD, ∴∠PEF=a,∠EPF=∠PFC, ,EH平分∠PEF,FH平分∠PFC, PEPEF HC PFC. ∠HrC=<EPr, 同理(1)②得∠EHF=∠PEH+∠HFC, ∠BHf-*吃<pF, .2∠EHF-∠EPF=a: 当点P在射线EB上，且点H在直线AB上方时，如图，过点H作HQAB,则 HQ‖AB‖CD: H…。 E A B C F 则∠PEF=180°-∠EFD=180°-a, 同，得∠AEH吃<PE=90-方，∠HPC=方<PFC, HQ‖AB‖CD, ∠AEF=∠EFD=a,∠FHQ=∠HFC,∠EHQ=∠AEH, ∠EPF+∠PFC=180°， ∠FHQ=3∠PFC,∠EHQ=90-a,∠PFC=180-∠EPF, ,∠EHF=∠FHQ-∠EHQ, 六∠EHF=180-∠EPF 90-1.1 ∠EPF' .2∠EHF+∠EPF=a; 当点P在射线EB上，且点H在直线AB下方时，如图，过点H作HQ‖AB,则 HQ‖AB CD, E A、 B D 则∠PEF=180°-∠EFD=180°-a, :EH平分∠PEF,FH平分∠PFC, 2PEI-PEr=90-支∠irc-<PrC, 2 :HQ‖AB‖CD, ∠BHQ=2PEH=90-a,∠FHQ=180°-∠HrC,∠EPr+∠PpC-1B809. ∠FHQ=1802<PFrc=180-180-∠EPF=90+号<PF, .ㄥEHF=∠EHQ+∠FHQ, EH挪90°2at90°+方EPFF180°-2a+方2PF, :∠EHF-号∠EPF=180-A 综上，∠EPF与∠EHF的数量关系为2∠EHF-∠EPF=a或2∠EHF+∠EPF=a 或∠EHF-号∠EPF=18O-。 7.(1)解：认同，理由如下： AB‖CD .∠BAC+∠ACD=180°， .AP平分∠BAC,CP平分∠ACD, .∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2， .2∠1+2∠2=180°， .∠1+∠2=90°. (2)解：CP⊥AC, .∠2+∠ACD=90°， ∠2=22°， .∠ACD=90°-∠2=68°， .AB CD .∠BAC+∠ACD=180°， .∠BAC=180°-∠ACD=112°， :AP平分∠BAC, k1-号1c, .∠1=56° (3)解：CP平分∠ACD, ∴.∠ACD=2∠2， AP⊥AC, .∠CAP=90°， AB‖CD .∠BAC+∠ACD=180°， 又.∠BAC=∠CAP+∠1=90°+∠1， .90°+∠1+2∠2=180°， .∠1+2∠2=90° 8.(1)解：过点H作HG‖AB, A E -B G .AB‖CD F K 一D ∴.GH‖CD ∴.∠1=∠HFD=65, .∠EHF=120°， .∠2=55 HG‖AB, ∴.∠BEH=∠2=55° (2)解：过点N作NQ‖AB,过点H作HPDC, N A E B M EM ∠BEH,FN ㄥCFH P.--- > 6 C D 平分 平分 .∠3=∠4，∠6=∠7， 设∠3=∠4=0，∠6=∠7=β， ,AB‖CD .AB‖CD‖NQ‖PH ∴.∠5=∠3=a,∠8=∠BEH=2a,∠QNF=∠6=B,∠PHF=180°-∠CFH, ∴.∠ENF=∠QNF-∠5=B-a,∠EHF=∠8+∠PHF=2a+180°-2B=180°-2B-a .∴.∠EHF=180°-2∠ENF, 即∠H=180°-2∠N； (3)解：过点P作PK‖AB,过点H作HL‖AB,过点Q作QR‖AB, A -B AB CD D ∴.AB‖CD‖PK‖HL‖QR ,∠BEH=n∠PEH,∠CFH=n∠HFQ, 设∠PEH=a,∠HFQ=B,则∠BEH=na,∠CFH=nB, PK‖QR, ∴.∠KPQ=∠RQP, .AB‖PK, ∴.∠BEP=∠KPE=n-1a, .QR‖CD, ∴.∠CFQ=∠RQF=n-1B, .'∠PQF=∠RQP+∠RQF,∠EPQ=∠EPK+∠QPK, ∴.∠PQF-∠EPQ=∠RQF-∠EPK=n-1川B-a, AB‖HL‖CD, ∴.∠EHL=∠BEH,∠LHF=∠HFD, .'∠EHF=∠EHL+∠LHF=120°， ∴.∠BEH+∠HFD=120°， 即nc+180°-nB=120, .·B-a=60° n ∠PQF-∠EPQ=n-160 即∠Q-∠p=n-160° n 9.(1)解：∠=45°，∠BAC=30, ∴.∠DEC=∠+∠BAC=30°+45°=75°， HK‖PQ, ∴.ECQ=∠DEC=75°， .∠ACB=90°， ∴.∠BCP=180°-∠ACB-∠ECQ=180°-90°-75°=15° (2)解：①：HK‖PQ,∠=45°，∠BAC=30°，∠ACB=90°， ∴.∠g=∠EBQ=45°， 由题意得∠CBA=60°， .∠CBQ=∠ABC-∠ABQ=60°-45°=15° ②当点A在HK和PQ之间时，过点A作AT‖KH,如图所示： D E H A P /G)C M 则AT‖KH‖PQ, ∴.∠EAT=∠g=45°，∠MAT=∠AMP, .∠AMQ=120° .∠AMP=180°-∠AMQ=180°-120°=60°， .∠EAM=∠EAT+∠MAT=105°： 当点A在PQ下方时，如图所示： D H M 同理，得∠EAT=∠=45°，∠MAT=∠AMP=60°， .∠EAM=∠MAT-∠EAT=15°， 当点A在HK上方时，如图所示： -T K G 同理，得∠EAT=180°-∠AEK=180°-∠=135°，∠MAT=∠AMP=60°， ∴.∠EAM=∠EAT-∠MAT=75°， 综上可得，∠EAM的度数为105°或15°或75°. 10.(1)解：.AF‖BD,∠G=24°， ∴.∠GBE=∠G=24°， :∠ABG=50°， .∠ABE=∠ABG+∠GBE=74°， AF‖BD .∠BAF=∠ABE=74: (2)①证明：.AB‖CD, .∠ABE=∠CDE, .BG平分∠ABE,DN平分∠CDE, GBE-号ABe,∠NDB号CDE, ∴.∠GBE=∠NDB, BG‖DN; ②过点E作EH‖BM,如图所示： G N 则∠HEM=∠EMB=25·, .∠MEB=45, ∴.∠HEB=∠HEM+∠MEB=70°， .EH‖BM, .∴∠MBD=∠HEB=70°， ,BM平分∠DBG ∴.∠GBD=2∠MBD=140, ∴.∠GBE=40°， 又.BG‖DN ∴.∠NDB=∠GBE=40°， .DN平分∠CDE ∴.∠CDF=2∠NDB=80° 11.(1)解：过点P作PQAB, A、 -B Q.---p ,∠A=50°，∠D=150°， .∠A=∠APQ=50°， AB‖CD .PQ‖CD, .∠D+∠DPQ=180°， :.∠DPQ=180°-150°=30°， .∠APD=∠APQ+∠DPQ=50+30°=80°： (2)解：∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，理由如下： 如图，作PQ‖AB, .∠PAB=∠APQ, AB‖CD :.PQ CD, .∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP, ,∠APD=∠APQ-∠DPQ, .∠APD=∠PAB-180°-∠CDP=∠PAB+∠CDP-180°： .∠PAB+∠CDP-∠APD=180°； (3)解：设PD交AN于O,如图， .AP⊥PD .∠APO=90°， :∠PAN+号∠PAB=90,∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°， ∴∠POA=克∠MB, .∠POA=∠NOD, A∠NOD=PAB. ,DN平分∠PDC, ∠0DN=4PDC. :∠A=180-∠OD-∠ODN=180-∠BAB+∠PDC, 由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°， ∴.∠PAB+∠PDC=180°+∠APD, ∠A=180-∠PAB+∠PDC=180-180+∠APD=180-2180+90=45 12.(1)解：DE‖AB,∠B=∠E=60° .∠E+∠EAB=180, .∠B+∠EAB=180, AE‖BC, 故AE与BC是平行关系； (2)解：①过D作DM‖AE, E M D 图② ∴∠E=∠EDM=60, ,AE沿着直线AC平移得到线段PQ, :.AE PQ, DM‖PQ, ∴.∠MDQ=∠Q, ∴.∠EDQ=∠EDM+∠MDQ=60°+∠Q,即∠EDQ-∠Q=60°： ②当点P在点D的下方时， E M D 由①得，∠EDQ-∠Q=60°， ,∠Q=2∠EDQ, 人)2Q-∠Q=60,解得∠Q=-60°×2=-120°（舍去 当P点在线段AD上时， A C 由①同理可证，∠EDQ+∠Q=60°， :∠Q=2∠EDQ, 号<Q+0-60,解得40=60x号40 3 当P点在射线DA上时， 同上可知，∠Q-∠EDQ=60, ,∠Q=2∠EDQ, :2Q2<Q=60,解得∠Q=60×2=120, 综上所述，∠Q的度数为40°或120°」 13.(1)解：①EF与GH平行，理由如下： .AB CD, .BEF=∠EFH=50°， 又，EG⊥AB, .∠GEB=90°， ∴.∠GEF=∠GEB-∠BEF=90°-50°=40°， .∠GEF+∠G=40°+140°=180°， .GH‖EF ②.∠EGH=90°，GH‖EF, .∠EGH+∠GEF=180°， .∠GEF=90°， AB‖CD ∴.∠EFH=∠FEB=50, .∠AEG=180°-90°-50°=40°， ,ME平分∠AEG, ∠ABM=2AEG=3×40=209 (2)解：GH‖EF, .∠EGH+∠GEF=180°， 又：∠EGH=90°. .∠GEF=90°， AB CD .∠EFH=∠FEB, ,∠AEG=2∠EFH, .∠AEG=2∠FEB, ∴.∠AEG+∠FEB=180°-90°=90°， ∴.2∠FEB+ㄥFEB=90° ∴.∠FEB=30° .∠EFH=30° 14.(1)解：因为ABMN, 根据两直线平行，内错角相等， 所以∠ABP=∠BPN. 因为CD‖MN, 所以∠CDP=∠DPN, 因为∠BPD=∠BPN+∠DPN, 根据等量代换， 所以∠ABP,∠BPD和∠CDP三个角的数量关系是∠BPD=∠ABP+∠CDP. (2)解：①，∠BPE和∠DQE的平分线PF和QF相交于点F, ∴.∠BPE=2∠1，∠DQE=2∠2 :∠APE+∠BPE=180°，∠CQE+∠DQE=180°， .∠APE=180°-2∠1，∠CQE=180°-2∠2， 由(1)可得∠E=∠APE+∠CQE, .∠E=180°-2∠1+180°-2∠2， .2∠1+∠E+2∠2=360°； ②.∠E=144°，2∠1+∠E+2∠2=360°， .∠1+∠2=108°： ,∠BPE和∠DQE的平分线PF和QF相交于点F, .∠BPF=∠1，∠DQF=∠2， .由(1)的结论可得∠F=∠BPF+∠DQF=∠1+∠2=108°： (3)解：如图所示，过点F作FT‖CD ,AB‖CD,FT‖CD .FT‖CD‖AB .∠TFE=∠AEF,∠CHF=∠IFH, ∴.∠EFH=∠TFH-∠TFE=∠CHF-∠AEF, 由(1)得∠G=∠AEG+∠CPG, PG‖MN, .∠CPG=∠CHF .∠G=∠AEG+∠CHF .∠G-∠EFH=60°， ∴.∠AEG+∠CHF-∠CHF-∠AEF=60°， .∠AEG+∠AEF=60°， .∠FEA=2∠AEG, .∠AEG+2∠AEG=60°， .∠AEG=20 .∠BEG=180°-∠AEG=160 15.(1)证明：如图所示，过点C作CK‖MN, :MN‖PQ,CK‖MN, CK‖MN‖PQ, .∠ACK=∠MAC,∠BCK=∠PBC, ∴.∠ACB=∠ACK+∠BCK=∠MAC+∠PBC M A W B 图1 (2)解：①如图所示，连接EF,过点B作WV‖EF, A G B 图2 AG‖CH, .∠CFE+∠AEF=180°： :∠DBI是直角， .∠DBI=90°， .∠FBW+∠EBV=180°-∠DBI=90°： WV‖EF, .∠BFE=∠FBW,∠BEF=∠EBV, .∠BFE+∠BEF=∠FBW+∠EBV=90°， ∴.∠CFE+∠AEF+∠BFE+∠BEF=270°， .∠CFB+∠AEB=270: ②设∠MAC=2x,则∠CAN=180°-∠MAC=180°-2x, 由(1)得∠ACB=∠MAC+∠PBC, ∴.∠PBC=∠ACB-∠MAC=100°-2x, ,BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN, ∠PBD=克PBC=50-X,∠NMG=克2CAN=90-X: .∠DBI是直角， .∠DBI=90°， .∠QBE=180°-∠DBI-∠PBD=40°+X, 同理可得∠AEB=∠NAG+∠QBE=130°， 由(2)①得∠CFB+∠AEB=270°， ∴.∠CFB=140°」 16.(1)解：设∠CBQ=x, ,∠NAC=2∠CBQ, .∠NAC=2x, .∠ABC=45°，∠BAC=30, .∠ABQ=45°+X,∠NAB=30°+2X, ∠MAB=180°-∠NAB=180°-30°+2x=150°-2x, MN‖PQ, .∠MAB=∠ABQ, 即150°-2x=45°+x, 解得x=35°， .∠MAB=150°-2×35°=80°： (2)解：如图，过点F作HPQ, F..H 设∠NAC=a,∠CBQ=B, MN‖PQ, .∠NAB+∠ABQ=180°， .∠ABC=45°，∠BAC=30°， ∴.∠NAC+∠CBQ=105°，即a+B=105°， :∠NAE和∠FBQ的角平分线交于点C, .∠EAC=∠NAC,∠FBC=∠QBC, .∠EAN=2a,∠FBQ=2B, .FH PQ,MN PQ, .∠FEQ=180°-∠EAN=180°-2a,∠BFH=180°-∠FBQ=180°-2B, ∠EFH+∠FEQ=180°， .∠BFH+∠EFB+∠FEQ=180°， .180°-2a+180°-2β+∠EFB=180°， .∠EFB=2a+B)-180°=2×105°-180°=30°： (3)解：设∠MAS=m,∠CBQ=n, ,AS平分∠MAB, ∴.∠MAB=2m, MN‖PQ, .∠AST=∠MAS=m .∠TSU=180°-∠AST=180°-m, MN‖PQ,∠ABC=45, ∴.∠MAB=∠ABQ=∠ABC+∠CBQ,即2m=45°+n, n=2m-45°， :AT平分∠NAC,∠BAC=30°， ∠MT=∠CT=号<NMG=1800-∠MAB-∠BAC=75-m, :MN‖PQ, .∠ATS=∠NAT=75°-m, .∠STV=180°-∠ATS=105°+m, 如图，当WTIBCR时，则∠CBQ=∠S7V}∠S7V, M PS TO W ÷2m-45=105+ml, 3 解得m=48°， .∠MAB=2m=96°； 如图，当AS‖BC时，则∠SAB=∠ABC=45°， M TO B .∠MAB=2∠SAB=90°： 如图，当SW‖BC时，则∠TSW=∠TBC, M P TBC=∠ABC-∠ABT,∠TSW=∠ISU :∠ABC-∠ABT=∠TSU, 5 :∠ABT=∠MAB=2m,∠TSU=180°-m, 4有0-2m号80-m, 解得m=5, .∠MAB=2m=10°： 当AT‖BC时，则∠BAT+∠ABC=∠BAC+∠CAT=180°， 即45°+30°+75°-m=180°， 解得m=-30°（不合题意，舍去）： 综上，当四边形ASWT的一边与BC平行时，∠MAB的度数为10°或90°或96°. 17.(1)解：①如图，过点P作PG‖AB, B C F .AB‖GP D .∠1=∠EPG, AB‖CD ∴GP‖CD, ∴.∠2=∠FPG, ∴.∠EPF=∠EPG+∠FPG=70°； ②如图，过点P作PG‖AB, B D,AB‖GP ∴.∠1=∠EPG, AB‖CD ∴.GP‖CD, ∴.∠2=∠FPG, .∴.∠EPF=∠EPG-∠FPG=∠1-∠2. (2)解：如图，过点P作PM‖AB,设∠BEP=∠1，∠DFP=∠2， A E B ∵EP ∠BEF FP∠DFG M ---D 平分 ,平分 ∴.∠PEF=∠1，∠PFG=∠2， ,AB‖CD ∴.∠EFD+∠BEF=180°， .∴.∠EFD=180°-2∠1， .FG⊥EF, .∴.∠EFG=∠EFD+∠DFG=180°-2∠1+2∠2=90°， 即∠1-∠2=45°， 由(1)可知，∠EPF=∠1-∠2=45°. (3)如图，过点M作MG‖AB,过点P作PIAB,过点N作NH‖AB,则 AB GM PI‖HIN CD, 设∠BEM=∠1，∠DFN=∠2， A E B G >M I.--- H--- :∠BEM=∠BEP∠DFN=号<DEP D .∠BEP=4∠1，∠DFP=4∠2， .AB‖PI‖CD, .∴.∠EPI=∠BEP=4∠1，∠FPI=∠DFP=4∠2， ∴.∠EPF=∠EPI+∠FPI=4∠1+4∠2=4∠1+∠2， .AB‖GM‖CD ∴.∠EMG=∠1，∠FMG=∠DFM=4∠2， .∴.∠EMF=∠EMG+∠FMG=∠1+4∠2， .AB‖HN‖CD ∴.∠ENH=∠BEP=4∠1，∠FNH=∠2， .∴.∠ENF=∠ENH+∠FNH=4∠1+∠2， .∠EMR+∠ENF=5∠1+5∠2=5∠1+∠2=三∠EPF. 4 18.(1)解：.∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM:∠BAN=2:1, ∠BAN=180°×360： (2)解：①设灯A转动t秒(0<t<90), 则∠MAM=(2t)'∠PBP=30+t) ②灯A发出的光束从AM开始顺时针旋转至AN时，则180°÷2=90（秒）， 灯B发出的光束从BP开始顺时针旋转至BQ时，则180°-30×1÷1=150（秒） 当0<t<90,两灯发出的光束第一次互相平行时，如图， OM' B 则AMBP, .∠MAM=∠BPA, 又.QP‖MN, ∠PBP=∠BPA, ∴.∠PBP=∠MAM, .2t=30+t, .∴.t=30: 当90≤t<150,两灯发出的光束第二次互相平行时，如图，此时AM从AN折回， MP 此时，∠MAN=2t-180o'∠PBP=30+t :AM‖BP, .∠MAN=∠BPN, 又.QP‖MN, ∠BPN=180°-∠PBP, .∠MAN=180°-∠PBP, .∴.2t-180=180-30+t, .t=110: (3)解：如图，当0<t<90时， B M -P M G -N ,点O恰好是∠ABG与∠AGB的角平分线交点， AO平分∠BAG, .∠BAG=∠BAN=60°， 1 .∠MAG= ∠BAG=30°， ∴.∠MAM=180°-∠MAG=150°， .2t=150, .t=75, .∠PBP=75°， 又QP‖MN, ∴.∠MBA=180°-∠BAN=120°， .∠ABP=∠MBA-∠PBP=45°， .∠ABG=2∠ABP=90°， .∠MBG=∠MBA-∠ABG=30°， ∴.∠AGB=∠MBG=30°： 如图，当90≤t<180时， B M' P M APG W 同理，得2t-180=30,解得t=105, ∴.∠PBP=105, 又QP‖MN, ∴.∠MBA=180°-∠BAN=120°， .∠ABP=∠MBA-∠PBP=15°， .∠ABG=2∠ABP=30°， .∠MBG=∠MBA-∠ABG=90°， .∠AGB=∠MBG=90°； 综上，∠AGB的度数为30°或90° 19.(1)解：如图1，过G作GH‖AB, M A B G -H AB CD C 一D 图1 GH‖AB CD, .∠AMG=∠HGM,∠CNG=∠HGN, ,MG⊥NG, :.∠MGN=∠MGH+∠NGH=∠AMG+∠CNG=90°： (2)解：如图2，过G作GKAB,过点P作PQ‖AB,设∠GND=a, A M ≥G D.·GK‖ABAB‖CD 图2 GK‖CD ∴.∠KGN=∠GND=a, .GK‖AB,∠BMG=32, .∴.∠MGK=∠BMG=32°， MG平分∠BMP,ND平分∠GNP, ∴.∠GMP=∠BMG=32, ∴.∠BMP=64 :PQ‖AB, ∴.∠MPQ=∠BMP=64°， ,ND平分∠GNP ∴.∠DNP=∠GND=a, :AB‖CD .PQ‖CD, ∴.∠QPN=∠DNP=a ∴.∠MGN=32°+a,∠MPN=64°-a, .∠MGN+∠MPN=32°+a+64°-a=96°： (3)解：如图3，过G作GK‖AB,过E作ET‖AB,设∠AMF=x,∠GND=y, E B K.>G AB,FG M ME ∠AME -D 图3 交于，平分 ∴.∠FME=∠FMA=∠BMG=X, .∴.∠AME=2x, GK‖AB ∴.∠MGK=∠BMG=x, :ET‖AB, ∴.∠TEM=∠EMA=2x, .GK‖AB‖CD ∴.∠KGN=ㄥGND=y, .∴.∠MGN=x+y, .∠CND=180°，NE平分∠CNG, ·∠CNG=180°-y,∠CNE=7∠CNG=90-2y .'ET‖AB‖CD .∠TEN=∠CNE=90-1 六∠MEN=∠IEN-∠TEM=900-2y-2x,∠MGN=x+y .:2∠MEN+∠MGN=105°， 290-2y-2x+x+y=105o ∴.x=25, ∴.∠AME=2x=50° 20.(1)解：∠EFG=90°+∠DPG, 选择明明同学的思路： ·AB‖CD,MN‖CD, .AB‖MN,∠DPG=∠NFG, ,EF⊥AB, .EF⊥MN,即∠EFN=90°， .∠EFG=∠EFN+∠NFG=90°+∠DPG, 即∠EFG=90°+∠DPG: 选择欣欣同学的思路： 如图，CD与QN交点M, E 、MD G .∠EFG=∠EQN,∠DPG=∠DMN, .AB CD, .∠DMN=∠BQN, ,EF⊥AB, .∠EQB=90, .∠EFG=∠EQN=90°+∠BQN=90°+∠DPG, 即∠EFG=90°+∠DPG (2)解：如图，过点P作PM‖CD, M E C 一D .AB CD AB‖PM|CD, ,∠MPH=180°-∠PHC=110°，∠ABE=∠EFC=50°， BE平分∠ABP, .∠ABP=2∠ABE=2×50°=100°. .∠MPB=180°-∠ABP=80°， .∠BPH=∠MPH-∠MPB=30° (3)解：如图，过点P作PM‖AB,过点N作NT‖CD并延长BA交DP于点O, ---Tp -----M 一B .AB‖CD .AB‖PM‖CD‖NT, .∠MPD=∠CDP,∠PAQ=∠MPA, ,∠APD=∠MPD-∠MPA=∠CDP-∠QAP, ,AP⊥PD, ∴.∠APD=90, .∠CDP-∠QAP=90°， .∠PAB+2∠PAN=180°，∠PAB+∠PAN+∠NAQ=180°， .2∠PAN=∠PAN+∠NAQ, :∠BAN=∠NAQ-克<BAQ,即∠PAQ-2∠NAQ, .ND平分∠CDP, .∠CDP=2∠NDC, .2∠NDC-2∠NAQ=90, ∴.∠NDC-∠NAQ=45°， :NT‖CD‖AB, .∠TND=∠NDC,∠ANT=∠NAQ, .∠∧=∠TND-∠TNA=∠NDC-∠NAQ=45°， 即∠DNA的度数为45°.