第7章相交线与平行线 期末综合复习优生辅导训练题 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 以辅助线构造和平行线性质为核心，系统整合概念辨析、动态变换与实际应用，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题（如第1题）|平行线传递性、位置关系分类|从相交线基本概念到平行线判定公理的逻辑推导| |性质应用|5题（如第5、7题）|辅助线构造（过拐点作平行线）、角平分线转化|平行线性质（内错角/同旁内角）与角平分线的综合应用| |动态综合|6题（如第3、11题）|平移性质、分类讨论（多平行线情况）|静态性质到动态变换（平移/旋转）的拓展延伸| |实际应用|3题（如第12、21题）|实际情境建模、方向角计算|数学与现实问题的联系，发展应用意识|

2025-2026学年人教版七年级数学下册《第7章相交线与平行线》 期末综合复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．如图，现有一张长方形纸条，将纸条沿折叠，点C落在处，点D落在处．再将纸条沿继续折叠，点A落在处，点B落在处．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在直角三角形中，，，，，将三角形沿直线平移1.5个单位得到三角形，连接．有下列结论：①三角形是直角三角形；②；③；④四边形的周长是15；⑤三角形的面积是6．其中正确的结论有（   ） A．①②④ B．②③④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 4．如图，一束激光从点D发射，首先照射到平面镜上的点A，然后反射到另一平面镜上的点B，从点B反射出来的光线BC正好与入射光线DA相交于点O．已知点A，B，C，D，O均在同一平面内，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 6．将一副三角尺按图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．其中正确的是（    ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 7．如图，，F为上一点，，且平分，于点G，且，则下列结论：①；②平分；③．其中正确的结论有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 8．如图，将沿方向平移至的位置，，点E在边上，交于点H，已知，图中阴影部分的面积为54，，则平移距离为______． 9．电影《给阿嬷的情书》火了，影片中木生给淑柔做的木单车勾起了一代人的回忆．下图是其示意图．其中，都与地面l平行，，，当为______度时，与平行． 10．如图，，E在上，，垂足为F，，平分，设，则下列四个结论中正确的结论是______．（填写正确结论的序号）： ①；②平分；③；④； 11．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式放在一起，其中，，当，且点在直线的上方时，若这两块三角尺有两条边平行，则_______________． 12．西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍．不得不调整铺设路线．新的铺设路线在的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证___________． 13．如图，，的角平分线交的角平分线的反向延长线于点，直线交于点，若，则___________． 14．将北斗七星的位置画到纸上，分别标为，，，，，，．然后将，，，，，，顺次首尾连接（如图所示）．设恰好经过点，且点，，在同一条直线上．已知，，，则的度数为__________． 三、解答题 15．在中，将线段沿直线向右平移得到线段（点D与点B对应，且不与点B，C重合），连接，和的平分线所在直线相交于点P（点P不与点C，E重合）． (1)如图1，，， ①依题意补全图1； ②求的度数； (2)如图2，，，直接写出的度数．（用含的式子表示） (3)在平移过程中，直接写出和的数量关系． 16．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．假定主道路是平行的，即．如图所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒3度，灯转动的速度是每秒1度． (1)若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动多少秒时，两灯的光束互相平行？ (2)如图2，若，两灯同时转动，在灯射线已转过但未到达时．若两灯射出的光束交于点，过作交于点，直接写出在转动过程中，的比值． 17．【课题学习】研究两条平行线间的拐点问题． (1)【模型研究】如图1，，，交于点，，，则的度数是______． (2)【深化拓展】如图2，若，点在，的外部，请写出，，之间的关系并说明理由． (3)【实际应用】爱动脑的小菲发现书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图3所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行，即时，若，，求的度数． 18．如图，直线与线段，直线交于点、，，点为直线上一点（不与点重合），连接，过点作射线，交于点（点在点之间）． (1)若点在线段上． ①如图1，若为钝角，，求的度数； ②如图2，若为锐角，判断与的数量关系，并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系． 19．已知，，直线分别交于点E、F，点H为上一点，点M在直线右侧，且在直线和之间，连接，平分． (1)如图1，，连接并延长交于点G，若，，求的度数； (2)如图2，的角平分线所在直线交于点N，探究与之间的数量关系为______． (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，判断是否平分？请说明理由． 20．综合与实践 在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，因为所以是的“4系数补角” 【概念理解】 (1)若，则的“2系数补角”的度数为 ． 【初步认识】 (2)如图1，平面内，，点、分别为直线、上一点，点为平行线间一点，连接，，已知，，完成下列问题： ①求的度数． ②是的“ 系数补角”． 【问题解决】 (3)在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点，点为平行线间一点，连接，，设与直线的夹角为，当，且是的“3系数补角”时，的度数为 ． 21．年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节 目中的机器人名为，  将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更 体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】图是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面保持水平，此时， ，则的度数是多少？ 【思考过程】依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构造新的图形． 【问题解决】 请完成下面推理过程． (1)解：如图，过点作，过点作，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴（          ）， ∴， ∵， ∴ （         ）， ∴ ． 【迁移应用】 如图，在一款手推车的平面示意图中． (2)若，，则 ； (3)写出之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 (4)如图，，直线交于点，交 于点，点是线段上的 一 点，，平分，平分，则 ． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 利用平行线的性质和判定，逐个判断得结论． 【详解】解： ①中与相交，与相交，但与可能平行（如两条平行线均与第三条直线相交），故 ①错误，符合题意； ②中，，根据平行线的传递性，有，故②正确，不符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，故 ③正确，不符合题意； ④在同一平面内，两条直线位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故④错误，符合题意； ∴ 错误的有①和④，共个． 故选：B． 2．D 【分析】由折叠得，，，设，根据平行线的性质推出，则，根据，可得，通过列方程求出的值即可． 【详解】解：由折叠得，，， 设， ∵ ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．D 【分析】根据平移的性质得到相关结论，逐项判断即可． 【详解】解：①由平移可知，， ∴三角形是直角三角形，故①正确； ②由平移可知，，故②正确； ③由平移可知，， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④∵三角形沿直线平移1.5个单位得到三角形， ∴，， ∴四边形的周长，故④正确； ⑤由平移可知，，，， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有①②③④⑤． 4．B 【分析】本题考查了邻补角的性质，对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键． 由，根据邻补角互补可求出，根据对顶角相等求出，由此即可求出的度数． 【详解】解：， ，， ， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质分别表示出、，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵射线平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角的和差运算，掌握三角尺的固定角度特征，以及平行线判定与性质的互逆关系是解题的关键． 先明确两块三角尺的固定角度，再对每个结论分别利用平行线的判定与性质、角的和差关系逐一验证其正确性． 【详解】解：由题意得，，，． ∵， ∴， ∴， ，故①结论正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，故②结论正确，符合题意； ∵，， ∴，故③结论正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴， ，故④结论正确，符合题意． 故选：D． 7．B 【分析】先根据可得，从而可得，再根据可得，再根据代入计算，即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断③；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断②. 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得，则结论①正确； ∵， ∴， ∴，则结论③正确； ∵， ∴，，但不一定等于30°， ∴平分不一定正确，综上，正确的是①③． 8． 6 【分析】根据平移的性质可得 ，从而得出阴影部分的面积等于梯形 的面积，利用梯形面积公式即可求解． 【详解】 解：由平移知， ，，， ． ，， ． ， ． ，， 四边形 为直角梯形， ． 阴影部分的面积为 ， ． 解得 ． 平移距离为6 ． 9． 【分析】根据平行线的传递性得出，利用平行线的性质求出的度数，结合已知比例关系求出的度数，最后根据平行线的性质得出的度数． 【详解】解：设底面为直线， 因为， 所以 所以（两直线平行，同旁内角互补） 因为， 所以 因为， 设， 因为， 所以 解得 所以 若， 则（两直线平行，内错角相等） 所以 所以当为度时，与平行． 10．①②③④ 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，解题的关键是利用表示各个角度． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， 即平分，故②正确； ∵，， ∴, ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④. 11．或或 【分析】分，，三类讨论结合平行线性质求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴或或， 当时，如图所示： ∵，， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵，， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵，， ∴， ∴； 故答案为或或60°． 12． 【分析】过点作，，可得：，根据平行线的性质可知，根据角之间的关系可以求出，根据平行线的性质可以求出，根据角之间的关系可以求出． 【详解】解：如下图所示，过点作，， 则有， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 13．33 【分析】过点H作，，设S为延长线上一点，则， 设，根据平行线的性质和角平分线的定义可推出；，根据，可推出，则． 【详解】解：如图所示，过点H作，，设S为延长线上一点， ∵， ∴， ∴，，， 设， ∵的角平分线交的角平分线的反向延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14． /度 【分析】过点C作，则，，由平行线的性质得到，，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作，    ∵，， ∴ ∴，． ∵， ∴， ∴． 15．(1)①见解析，② (2) (3)或 【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②过点P作，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可解答； （2）用和（1）相同的方法，即可解答； （3）根据题意分两种情况进行讨论：①当点D在点C左侧时，②当点D在点C右侧时． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ②∵线段沿直线向右平移得到线段， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵，，平分，平分， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵线段沿直线向右平移得到线段， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵，，平分，平分， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：设， ∴， ①当点D在点C左侧时， 和（2）同理可得：， ∴； ②当点D在点C右侧时， ∵线段沿直线向右平移得到线段， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上：或． 16．(1)15秒或秒 (2) 【分析】（1）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可； （2）设灯转动时间为秒，分别求出，，再求出比值即可． 【详解】（1）解：设灯转动秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图1－1， ， ， ， ， ， ， 解得； ②当时，如图1－2， ， ， ， ， ， ， 解得； ③当时，如图1－1，同理可得：， 解得（不合题意）， 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （2）解：； 设灯转动时间为秒，则， ， ， ， ， ， ， ． 17．(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作 ，由平行线的性质可得 ， ，求出 ，即可解答； （2）过点作，由平行线的性质可得，．根据 ，即可得出结论； （3）过点作，过点作，由平行线的性质同理（1）（2）即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作 ， ， ， ， ， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：，理由如下： 如图，过点作， ． ， ， ． ， ． （3）解：如图，过点作，过点作． ， ． ， ， ，，． ，， ，， ． 18．(1)①；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①作，由平行线的性质得，由垂直的定义得，进而求出，再证，根据平行线的性质可得答案；②作，同①可得； （2）作，同（1）利用平行线的判定和性质求解． 【详解】（1）解：①如图，作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②，理由如下： 如图，作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：． 证明：如图，作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 19．(1) (2) (3)平分，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）作，，根据平行线的性质和角平分线的定义，进行求解即可； （3）根据已知条件，求出，进而得到，结合，推出，平行线的性质，得到，进而得到，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：平分，理由如下： 由（2）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 20．(1) (2)①②5 (3)的度数为或 【分析】（1）设的“2系数补角”是，根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）①过点作，得，可得； ②根据几系数补角的定义列方程求解即可； （3）先求出，再分点P在之间，点在点左右两侧，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设的“2系数补角”是，根据题意，得 ， 解得： ， 所以，的“2系数补角”的度数是； （2）解：①过点作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②∵，， 根据定义得， ∴， 解得， ∴是的“5系数补角” （3）解：∵，且是的“3系数补角”， ∴， ∴， ∴， 当点P在之间，点在点右侧，如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在之间，点在点左侧，如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 又 ∴； 综上，的度数为或． 21．(1)平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等； (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（）过点作，过点作，可得，再利用平行线的性质解答即可求解； （）过点作，可得，再利用平行线的性质解答即可求解； （）过点作，可得，再利用平行线的性质解答即可求解； （）过点作，过点作，可得，再利用平行线的性质和角平分线的定义解答即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作，过点作，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等；； （2）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4）解：如图，过点作，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $