2025-2026学年人教版七年级下册数学期末复习 专题二 几何压轴题型

**基本信息** 聚焦几何压轴题三大核心模块，以辅助线构造和动态问题分析为抓手，系统培养逻辑推理与空间观念 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行角度关系|5题|过拐点作平行线、角平分线模型、方程思想|从基础平行性质到多拐点综合，构建"平行-角转化-方程求解"逻辑链| |平行旋转问题|5题|旋转分类讨论、三角板组合模型、平移性质|结合动态变换，强化"静态性质-动态轨迹-临界状态"思维路径| |坐标系压轴题|5题|新定义迁移、坐标变换、面积法|融合代数运算与几何直观，形成"坐标表示-图形性质-综合应用"能力体系|

专题二 几何压轴题型 题型一 平行角度关系问题 1．如图，已知AB∥CD． （1）如图1，若∠E＝100°，求∠B+∠D的度数； （2）若∠B＝30°，∠D＝110°，如图2，请探索∠F﹣∠E的度数是否为定值，请说明理由． 2．如图1，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图2是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照明角度，此时支架BC与水平线BE的夹角∠CBE＝135°，两支架BC和CD的夹角∠BCD＝108°．求此时支架CD与底座MN的夹角∠CDM的度数及灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE的度数？ （1）小明在解决问题时，过点C作CF∥BE，如图3，则可以得到CF∥MN，其理由是　 　 ； （2）如图3，根据小明的思路求∠CDM和∠ABE的度数； （3）小明在解题中发现∠CDM和∠ABE的度数永远是相等的，与∠CBE和∠BCD的度数无关．小明的说法对吗？请结合图4说明理由． 3．已知AB∥CD，点E在AB上，点G在CD上，点F在直线AB，CD之间，分别连接EF，FG． （1）如图1，求证：∠AEF+∠CGF＝∠EFG； （2）如图2，若∠EFG＝120°，作∠FGC的角平分线GH，GH的反向延长线上有一点M，连接EM，若∠MEF：∠MEB＝2：3，∠M＝40°，求∠AEF的度数； （3）如图3，若∠EFG＝100°，点P在FG的延长线上，点K在CD上，点N在∠PGC内，分别连接NG，NK．若NK∥EF，∠PGN＝3∠NGC，请直接写出的值为　 　 ． 4．如图1，G，H分别是直线AB、CD上两点，点P是直线AB、CD外一点，连结PH交AB于点E（点G在点E左侧），∠PEG+∠PHD＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图1，若∠P＝30°，求∠PHD﹣∠PGB的度数； （3）如图2，点Q在直线AB，CD之间，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，点F，G，Q在同一直线上，且2∠Q+∠P＝120°，求∠PHD的度数． 5．已知AB∥CD，将一块含30°的三角板EFG（∠G＝30°、∠GEF＝60°、∠F＝90°）如图所示摆放在直线AB与直线CD之间，GE、GF分别与AB交于点A、H，点E在CD边上，且ET平分∠FED． （1）如图1，求证：∠GAB＝2∠FET+60°； （2）如图2，在ET的反向延长线上取一点M，连接HM，求证：∠AHM＝∠HME+∠DET； （3）如图3，在（2）的条件下，AN平分∠GAB交直线HM于点N，当∠HME＝45°时，求∠ANM的度数． 题型二 平行旋转问题 6．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°． （1）若三角板如图1摆放时，则∠α＝　 　 °，∠β＝　 　 °． （2）现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，作∠PEA和∠MBC的角平分线交于点H，求∠EHB的度数； （3）将（2）中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程中，当△ABC的BC边与△DEF的一条边平行时，请求出符合条件t的值． 7．如图，直线MN∥PQ，直线l与MN，PQ分别交于点G，H，∠GHP＝α（0°＜α＜90°）．将一个含30°角的直角三角板ABC按如图1放置，使点B，C在直线l上，∠ABC＝90°，∠BCA＝60°，直线AB与直线MN交于点D． （1）如图1，∠MDB＝ 　 　 ．（用含α的式子表示）； （2）直线AC分别与直线MN，PQ交于点F，E． ①如图2，作∠CFN的平分线FK交直线PQ于点K，若恰有FK∥GH，求a的度数； ②从图1的位置开始，将三角板ABC沿直线l平移，直接写出∠GDB与∠AEH的数量关系：　 　 ． 8．已知AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点M，N，∠AMN＝120°，ME平分∠BMN交CD于点E．将线段MN沿AB方向平移得到线段PQ（点M的对应点为P，点N的对应点为Q）．直线PQ与射线ME交于点K，连接NK．（1）当点K在线段ME上时． ①请在图1中补全图形，求∠PKE的值； ②已知NK⊥ME，求证：NK平分∠MND． （2）在线段MN平移的过程中，当∠EKN＝2∠ENK时，直接写出∠PKN的度数为　 　 ． 9．综合与实践 【问题情境】 如图1，在长方形ABCD中，AD＝7，AB＝2，点E在边AD上，且DE＝DC． 【初步探究】 （1）如图2，连接CE，将长方形ABCD沿CE方向平移，得到长方形GHEF，连接CF，BG，则四边形BCFG的面积是 　 　 ，∠FGB与∠EFC的数量关系是 　 　 ； 【拓展延伸】 （2）如图3，将长方形ABCD绕点E顺时针旋转α°（0＜α＜360），得到长方形A′B′C′D′． ①若旋转过程中，长方形A′B′C′D′与长方形ABCD重叠部分的图形为轴对称图形，请利用直尺与圆规在图4和图5中分别作出点C′（不写作法，保留作图痕迹，作出其中的2种情况），并写出对应的旋转角； ②若旋转过程中，边B′C′与边BC相交于点P，且∠B′PC＝130°，求α的值． 10．一副三角板△ABC、△DEF按如图1方式摆放，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠DEF＝60°，∠EFD＝30°，直线a∥b．点A在直线a上，点B、点C与点D均在直线b上，DE∥AC，EF与直线a交于点P． （1）求∠APE的度数； （2）连接CE，CG为∠ECD的角平分线． ①如图2，当点F在CG上，证明∠ACE﹣2∠CFD＝45°； ②将△DEF沿着直线b平移，记∠ECA＝α（0＜α＜105°），若射线CG与直线EF交于点Q且夹角为β（0＜β＜90°），探究在平移过程中α与β的关系． 题型三 平面直角坐标系压轴题 11．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），记dx＝|x1﹣x2|，dy＝|y1﹣y2|，将|dx﹣dy|称为点A，B的横纵偏差，记为μ（A，B），即μ（A，B）＝|dx﹣dy|．若点B在线段PQ上，将μ（A，B）的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为μ（A，PQ）． （1）A（﹣1，0），B（4，2）， ①μ（A，B）的值是 　 　 ； ②点K在y轴上，若μ（B，K）＝0，则点K的坐标是 　 　 ． （2）点P，Q在x轴上，点P在点Q的左侧，PQ＝5，点M的坐标为（0，﹣4），求线段PQ在x轴上运动时，算出μ（M，PQ）的最小值． 12．在平面直角坐标系中，点P（x，y）的坐标满足4y﹣3x＝4时，我们称P（x，y）为“大同点”， （1）判断（4，4）是否是大同点，并说明理由． （2）A（m，n）点B（0，b）都是大同点，将线段AB平移到线段DE，点E（m，t），点D（a，b）不在y轴上，a﹣m＜0，若S△ADB为12，求m，a，t的值． （3）在（2）的条件下，直线DE交y轴于G点，在线段BA延长线上取点F使得∠AEF＝∠AFE，射线BM平分∠GBA交EF于点P，比较AD与PB的大小关系，并说明理由．（要求画出示意图） 13．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），将|x1﹣x2|+|y1﹣y2|的值叫做点A与点B的“纵横距离”，记为dAB，即dAB＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若点P在线段CD上，将dAP的最大值与最小值之差称为线段CD关于点A的“视差”，记为S（A，CD）．已知点A（0，1），B（﹣1，0）． （1）点A与点B的“纵横距离”dAB的值为 　 　 ； （2）已知点C在x轴上，线段BC关于点A的“视差”为3，则点C的坐标为 　 　 ； （3）若点E与点A的“纵横距离”为4． ①S（A，OE）的最小值为 　 　 ，最大值为 　 　 ； ②当S（A，OE）取最小值时，请在平面直角坐标系中画出所有符合题意的点E组成的图形． 14．已知，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A（a，b）满足，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，点C坐标为　 　 ； （2）如图1，点D（m，n）是射线CB上一个动点，过点A作直线l∥x轴，在l上取点M，使得MA＝2，若△CDM的面积为4，请求出点D的坐标． （3）如图2，以OB为边作∠BOG＝∠AOB，交线段BC于点G，E是线段OB上一动点，连接CE交OG于点F，当点E在线段OB上运动过程中，的值是否发生变化？若变化请说明理由，若不变，求出其值． 15．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和长度为a的线段MN给出如下定义：若线段MN平行于x轴（或与x轴重合），则将线段MN向下平移a个单位长度，得到线段M′N′；若线段MN平行于y轴（或与y轴重合），则将线段MN向右平移a个单位长度，得到线段M′N′．若点P在以M，N，M′，N′为顶点的正方形的边上，则称点P是线段MN的“方田点”． 已知点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（﹣1，1）． （1）在P1（0，1），，P3（1，0），P4（﹣1，﹣2）这四个点中，　 　 是线段AB的“方田点”； （2）点，D（m+2，1），若线段CD上存在线段AB的“方田点”，则m的取值范围是 　 　 ； （3）点G（t，t），，点P是线段AB的“方田点”，将点P向下平移3个单位长度，得到点Q．若线段GH的“方田点”都是线段PQ的“方田点”，直接写出t的取值范围． 参考答案 1．如图，已知AB∥CD． （1）如图1，若∠E＝100°，求∠B+∠D的度数； （2）若∠B＝30°，∠D＝110°，如图2，请探索∠F﹣∠E的度数是否为定值，请说明理由． 【分析】（1）延长BE交CD于点M，再结合平行线的性质进行计算即可； （2）根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：（1）延长BE交CD于点M， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠EMD． ∵∠BED＝∠EMD+∠D且∠E＝100°， ∴∠EMD+∠D＝100°， ∴∠B+∠D＝100°； （2）∠F﹣∠BEF为定值40°，理由如下： 延长BE交CD于点N， ∵AB∥CD，∠B＝30°， ∴∠END＝∠B＝30°． ∵∠END+∠D+∠F+∠NEF＝360°，∠D＝110°， ∴30°+110°+∠F+180°﹣∠BEF＝360°， 整理得，∠F﹣∠BEF＝40°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质及平行公理及推论，熟知平行线的性质是解题的关键． 2．如图1，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图2是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照明角度，此时支架BC与水平线BE的夹角∠CBE＝135°，两支架BC和CD的夹角∠BCD＝108°．求此时支架CD与底座MN的夹角∠CDM的度数及灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE的度数？ （1）小明在解决问题时，过点C作CF∥BE，如图3，则可以得到CF∥MN，其理由是　如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行　 ； （2）如图3，根据小明的思路求∠CDM和∠ABE的度数； （3）小明在解题中发现∠CDM和∠ABE的度数永远是相等的，与∠CBE和∠BCD的度数无关．小明的说法对吗？请结合图4说明理由． 【分析】（1）根据平行公理的推论，即“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”即可求解； （2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由∠DCF求解∠CDM；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解； （3）根据平行线的性质可得∠ABE＝∠FCD，再根据CF∥MN即可求解． 【解答】解：（1）理由是：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）如图，过点C作CF∥BE， ∴∠BCF+∠CBE＝180°， ∵∠CBE＝135°， ∴∠BCF＝45°， ∵∠BCD＝108°， ∴∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF＝63°， ∵BF∥MN， ∴CF∥MN， ∴∠CDM＝∠DCF＝63°， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝108°， ∴∠ABC＝72°， ∵∠CBE＝135°， ∴∠ABE＝∠CBE﹣∠ABC＝63°； （3）对，理由如下： ∵CF∥BE， ∴∠BCF+∠CBE＝180°， ∴∠BCF+∠CBA+∠ABE＝180°， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠ABC+∠BCF+∠FCD＝180°， ∴∠ABE＝∠FCD， ∵CF∥MN， ∴∠CDM＝∠DCF， ∴∠CDM＝∠ABE． 【点评】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的性质，根据平行线的性质得到角度相等是求解本题的关键． 3．已知AB∥CD，点E在AB上，点G在CD上，点F在直线AB，CD之间，分别连接EF，FG． （1）如图1，求证：∠AEF+∠CGF＝∠EFG； （2）如图2，若∠EFG＝120°，作∠FGC的角平分线GH，GH的反向延长线上有一点M，连接EM，若∠MEF：∠MEB＝2：3，∠M＝40°，求∠AEF的度数； （3）如图3，若∠EFG＝100°，点P在FG的延长线上，点K在CD上，点N在∠PGC内，分别连接NG，NK．若NK∥EF，∠PGN＝3∠NGC，请直接写出的值为　40°　 ． 【分析】（1）过点F作FQ∥AB，利用平行线的传递性得到FQ∥CD，再根据“两直线平行，内错角相等”拆分∠EFG即可证明； （2）由 （1）得∠AEF+∠CGF＝120°，设∠AEF＝x，用x表示相关角，再结合∠M＝40°列方程求解； （3）由NK∥EF得∠AEF＝∠NKG，结合∠PGN＝3∠NGC和 （1）的结论，用∠NGC表示∠AEF和∠GNK，再代入化简． 【解答】解：（1）过点F作FQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴FQ∥AB∥CD． ∴∠AEF＝∠EFQ，∠CGF＝∠GFQ（两直线平行，内错角相等）， ∵∠EFG＝∠EFQ+∠GFQ， ∴∠AEF+∠CGF＝∠EFG； （2）由（1）得：∠AEF+∠CGF＝120°， 设∠MEF＝2x，∠MEB＝3x，则∠AEF＝180°﹣5x， ∴∠CGF＝120°﹣（180°﹣5x）＝5x﹣60°， ∵GH平分∠CGF， ∴∠CGH， 过M作平行线，得∠M＝∠MEF﹣∠CGH＝40°， 2x40°， 解得x＝20°， ∠AEF＝180°﹣5×20°＝80°； （3）设∠NGC＝α， 则∠PGN＝3α，∠PGC＝4α，∠CGF＝180°﹣4α， 由 （1）得∠AEF+∠CGF＝100°， ∴∠AEF＝100°﹣（180°﹣4α）＝4α﹣80°， ∵NK∥EF， ∴∠AEF＝∠NKG＝4α﹣80°， ∵∠NKG＝∠NGC+∠GNK， ∴4α﹣80°＝α+∠GNK， 解得∠GNK＝3α﹣80°， 代入表达式：∠AEF﹣2∠GNK（4α﹣80°）﹣2（3α﹣80°）＝6α﹣120°﹣6α+160°＝40°结果为定值40°． 故答案为：40°． 【点评】本题考查平行线的性质与角度计算的综合应用，核心是通过作辅助线构造平行线，熟练掌握平行线的性质和辅助线的构造方法，是解决这类问题的关键． 4．如图1，G，H分别是直线AB、CD上两点，点P是直线AB、CD外一点，连结PH交AB于点E（点G在点E左侧），∠PEG+∠PHD＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图1，若∠P＝30°，求∠PHD﹣∠PGB的度数； （3）如图2，点Q在直线AB，CD之间，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，点F，G，Q在同一直线上，且2∠Q+∠P＝120°，求∠PHD的度数． 【分析】（1）根据平行线的判定定理进行证明即可； （2）根据平行线的性质进行计算即可； （3）根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】（1）证明：∵∠PEG+∠PHD＝180°，∠PEG+∠PEB＝180°， ∴∠PHD＝∠PEB， ∴AB∥CD； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠PHD＝∠PEB． ∵∠P＝30°， ∴∠PEB﹣∠PGB＝∠P＝30°， ∴∠PHD﹣∠PGB＝30°； （3）解：∵PH平分∠QHD，GF平分∠PGB， ∴令∠QHE＝∠DHE＝α，∠PGF＝∠BGF＝β． ∵AB∥CD， ∴∠FEB＝∠DHE＝α， ∴∠GFE＝α﹣β， ∴∠P＝α﹣β﹣β＝α﹣2β． ∵∠QHE＝α，∠GFE＝α﹣β， ∴∠Q＝180°﹣α﹣（α﹣β）＝180°﹣2α+β． ∵2∠Q+∠P＝120°， ∴2（180°﹣2α+β）+α﹣2β＝120°， 解得α＝80°， ∴∠PHD＝80°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． 5．已知AB∥CD，将一块含30°的三角板EFG（∠G＝30°、∠GEF＝60°、∠F＝90°）如图所示摆放在直线AB与直线CD之间，GE、GF分别与AB交于点A、H，点E在CD边上，且ET平分∠FED． （1）如图1，求证：∠GAB＝2∠FET+60°； （2）如图2，在ET的反向延长线上取一点M，连接HM，求证：∠AHM＝∠HME+∠DET； （3）如图3，在（2）的条件下，AN平分∠GAB交直线HM于点N，当∠HME＝45°时，求∠ANM的度数． 【分析】（1）由题意易得∠FED＝2∠FET，∠GAB＝∠AED，然后问题可求解； （2）过点M作PQ∥CD，则有AB∥CD∥PQ，然后可得∠EMQ＝∠CEM＝∠DET，∠AHM＝∠HMQ，进而根据角的和差关系可进行求证；（3）过点N作OK∥AB，由题意易得∠AHM＝∠ONH，∠ONA＝∠BAN，由（1）（2）可知：∠GAB＝2∠FET+60°＝2∠DET+60°，∠AHM＝∠HME+∠DET，然后可得，∠AHM＝45°+∠DET＝∠ONH进而问题可求解． 【解答】（1）证明：∵ET平分∠FED， ∴∠FED＝2∠FET， ∵AB∥CD， ∴∠GAB＝∠AED， ∵∠AED＝∠GEF+∠FED＝60°+2∠FET， ∴∠GAB＝2∠FET+60°； （2）证明：过点M作PQ∥CD，如图所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PQ， ∴∠EMQ＝∠DET，∠AHM＝∠HMQ， ∵∠HMQ＝∠HME+∠EMQ， ∴∠AHM＝∠HME+∠DET； （3）解：过点N作OK∥AB，如图所示： ∴∠AHM＝∠ONH，∠ONA＝∠BAN， 由（1）（2）可知：∠GAB＝2∠FET+60°＝2∠DET+60°，∠AHM＝∠HME+∠DET， ∵AN平分∠GAB，∠HME＝45°， ∴，∠AHM＝45°+∠DET＝∠ONH， ∵∠ONH＝∠ONA+∠ANM， ∴∠ANM＝∠ONH﹣∠ONA＝45°+∠DET﹣（∠DET+30°）＝15°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定及性质，三角形的内角等，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解决本题的关键． 6．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°． （1）若三角板如图1摆放时，则∠α＝　15　 °，∠β＝　150　 °． （2）现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，作∠PEA和∠MBC的角平分线交于点H，求∠EHB的度数； （3）将（2）中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程中，当△ABC的BC边与△DEF的一条边平行时，请求出符合条件t的值． 【分析】（1）如图1中，过点E作EJ∥PQ，证明∠DEA＝α+∠BAC，可得结论； （2）如图2中，同法可证∠EHB＝∠PEH+∠MBH．利用角平分线的定义求出∠PEH，∠MBH，可得结论； （3）分五种情形：如图3﹣1，当BC∥DE时．如图3﹣2，当BC∥EF时．如图3﹣3，当BC∥DF时．如图3﹣4，当AB∥DF时．如图3﹣5中，当AB∥DE时，分别求出∠MBA的度数， 【解答】解：（1）如图1中，过点E作EJ∥PQ， ∵PQ∥MN，PQ∥EJ， ∴EJ∥MN， ∴∠α＝∠DEJ，∠JEA＝∠BAC＝45°， ∴∠DEF＝α+∠BAC， ∵∠DEF＝60°， ∴α＝60°﹣45°＝15°， ∵∠DFE＝30°， ∴β＝180°﹣30°＝150°， 故答案为：15，150； （2）如图2中，同法可证∠EHB＝∠PEH+∠MBH． ∵PQ∥MN， ∴∠QEA＝∠BAC＝45°， ∴∠AEP＝180°﹣45°＝135°， ∵∠CBA＝45°， ∴∠CBM＝180°﹣45°＝135°， ∵HE，HB分别平分∠AEP，∠CBM， ∴∠PEH∠PEA＝67.5°，∠MBH∠CBM＝67.5°， ∴∠EHB＝∠PEH+∠MBH＝135°； （3）如图3﹣1，当BC∥DE时， 此时∠CAE＝∠DFE＝30°， ∴∠BAM+∠BAC＝∠MAE+∠CAE，∠BAM＝∠MAE+∠CAE﹣∠BAC＝45°+30°﹣45°＝30°， ∴t＝2； 如图3﹣2，当BC∥EF时， 此时∠BAE＝∠ABC＝45°， ∴∠BAM＝∠BAE+∠EAM＝45°+45°＝90°， ∴t＝6； 如图3﹣3，当BC∥DF时， 此时，AC∥DE，∠CAN＝∠DEG＝15°， ∴∠BAM＝∠MAN﹣∠CAN﹣∠BAC＝180°﹣15°﹣45°＝120°． ∴t＝8． 满足条件的t的值为2或6或8． 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 7．如图，直线MN∥PQ，直线l与MN，PQ分别交于点G，H，∠GHP＝α（0°＜α＜90°）．将一个含30°角的直角三角板ABC按如图1放置，使点B，C在直线l上，∠ABC＝90°，∠BCA＝60°，直线AB与直线MN交于点D． （1）如图1，∠MDB＝ 　90°﹣α　 ．（用含α的式子表示）； （2）直线AC分别与直线MN，PQ交于点F，E． ①如图2，作∠CFN的平分线FK交直线PQ于点K，若恰有FK∥GH，求a的度数； ②从图1的位置开始，将三角板ABC沿直线l平移，直接写出∠GDB与∠AEH的数量关系：　∠BDG+∠AEH＝150°或∠AEH﹣∠BDG＝30°　 ． 【分析】（1）过点B作BL∥PQ，即可得到BL∥PQ∥MN，进而得到∠HBL＝∠BHP＝α，∠ABL＝∠GDB，燃弧根据角的和差解答即可； （2）①过点A作AJ∥MN，可以得到AJ∥MN∥PQ，进而得到∠GDB＝∠JAD＝90°α，∠JAF+∠AFG＝180°，然后解答即可； ②分为点E在H的左侧和点E在H的右侧两种情况，过点A作A∥MN，即可得到A∥MN∥PQ，然后根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：（1）过点B作BL∥PQ， ∵MN∥PQ， ∴BL∥PQ∥MN， ∴∠HBL＝∠BHP＝α，∠ABL＝∠GDB， 又∵∠ABC＝90°， ∴∠MDB＝∠ABL＝∠ABC﹣∠HBL＝90°﹣α， 故答案为：90°﹣α； （2）①过点A作A∥MN， ∵MN∥PQ， ∴AJⅡMN∥PQ，若∠GDB＝∠JAD＝90°﹣α． ∠JAF+∠AFG＝180°， ∴∠JAF＝∠JAB+∠BAC＝90°﹣α+30°＝120°﹣α． ∴∠NFE＝∠AFD＝180°﹣∠JAB＝180°﹣（120°﹣α）＝60°+α， 又∵FK平分∠NFE， ∴∠NFK∠NFE＝30°α． ∵FK∥GH， ∴∠NGH＝∠NFK，即α＝30°， 解得α＝60°； ②当点E在H的左侧时，如图，过点A作AJ∥MN，则AJⅡMN∥PQ， ∴∠JAD＝∠BDG，∠JAF＝∠AEH， ∴∠AEH﹣∠BDG＝∠JAF﹣∠JAD＝∠DAE＝30°； 当点E在点H的右侧时，如图，过点A作AⅡMN，则AⅡMN∥PQ， ∴∠JAD＝∠BDG，∠JAF+∠AEH＝180°， ∴∠JAF＝∠JAD+∠BAC＝30°+∠JAD＝30°+∠BDG， ∴30°+∠BDG+∠AEH＝180°，即∠BDG+∠AEH＝150°， 故答案为：∠BDG+∠AEH＝150°或∠AEH﹣∠BDG＝30°． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 8．已知AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点M，N，∠AMN＝120°，ME平分∠BMN交CD于点E．将线段MN沿AB方向平移得到线段PQ（点M的对应点为P，点N的对应点为Q）．直线PQ与射线ME交于点K，连接NK．（1）当点K在线段ME上时． ①请在图1中补全图形，求∠PKE的值； ②已知NK⊥ME，求证：NK平分∠MND． （2）在线段MN平移的过程中，当∠EKN＝2∠ENK时，直接写出∠PKN的度数为　130°或70°　 ． 【分析】（1）先求∠BMN＝60°，ME平分得∠BME＝30°；由PQ∥MN，AB∥CD，得∠PKE＝∠BME＝30°；②先证∠MNE＝∠BME＝30°，得∠MND＝120°；由NK⊥ME，证∠KNM＝60°，得∠KND＝60°，故NK平分∠MND；（2）根据点K在射线ME上的不同位置（在线段ME上或延长线上）进行分类讨论． 【解答】解：（1）①如图，补全图形， ∵AB∥CD，∠AMN＝120°， ∴∠BMN＝180°﹣120°＝60°， ∵ME平分∠BMN， ∴∠EMN∠BMN＝30°， ∵线段PQ是由线段MN平移得到的， ∴PQ∥MN， ∴∠PKE＝30°， 答：∠PKE的值为30°； ②证明：∵AB∥CD， ∴∠MND+∠AMN＝180°， ∴∠MND＝180°﹣120°＝60°， ∵NK⊥ME， ∴∠MKN＝90°， 在△MNK中，∠EMN＝30°， ∴∠MNK＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠MNK＝∠MND， ∴NK平分∠MND； （2）由（1）知∠MEN＝30°， 分两种情况讨论：当点K在线段ME上时： 在△ENK中，∠KEN＝30°， 设∠ENK＝x，则∠EKN＝2x， ∴30°+x+2x＝180°，解得x＝50°， ∴∠EKN＝100°， ∵PQ∥MN， ∴∠PKE＝∠EMN＝30°， ∴∠PKN＝∠PKE+∠EKN＝30°+100°＝130°， 当点K在线段ME的延长线上时： ∵∠MEN＝30°， ∴∠KEN＝∠MEN＝30°（对顶角相等）， 设∠ENK＝x，则∠EKN＝2x， ∴30°+x+2x＝180°，解得x＝50°， ∴∠EKN＝100°， ∵PQ∥MN， ∴∠PKE＝∠EMN＝30°， ∴∠PKN＝∠EKN﹣∠PKE＝100°﹣30°＝70°， 答：∠PKN的度数为130°或70°． 故答案为：130°或70°． 【点评】本题考查了平行线的性质（两直线平行，内错角相等；同旁内角互补）、角平分线的定义、平移的性质（平移前后的对应线段平行且相等）以及三角形内角和定理，解题的关键在于利用平移性质得出MN∥PQ，从而转化角度，以及分类讨论思想． 9．综合与实践 【问题情境】 如图1，在长方形ABCD中，AD＝7，AB＝2，点E在边AD上，且DE＝DC． 【初步探究】 （1）如图2，连接CE，将长方形ABCD沿CE方向平移，得到长方形GHEF，连接CF，BG，则四边形BCFG的面积是 　28　 ，∠FGB与∠EFC的数量关系是 　∠FGB+∠EFC＝90°　 ； 【拓展延伸】 （2）如图3，将长方形ABCD绕点E顺时针旋转α°（0＜α＜360），得到长方形A′B′C′D′． ①若旋转过程中，长方形A′B′C′D′与长方形ABCD重叠部分的图形为轴对称图形，请利用直尺与圆规在图4和图5中分别作出点C′（不写作法，保留作图痕迹，作出其中的2种情况），并写出对应的旋转角； ②若旋转过程中，边B′C′与边BC相交于点P，且∠B′PC＝130°，求α的值． 【分析】（1）根据旋转的性质可知四边形BCFG的相关的量，再根据面积公式计算；然后证明△BGH≌△CFE，根据全等三角形的对应角相等得出答案； （2）①以点E为圆心，CE为半径画弧，使点C落在BC上，旋转角为∠DED'＝90°，此时重叠部分是轴对称图形；以点E为圆心，CE为半径画弧，使点C落在AD上，旋转角为∠DED'＝180°﹣∠C'ED'＝180°﹣45°＝135°此时重叠部分是轴对称图形； ②（Ⅰ）根据长方形的性质得∠1+∠B'PC＝180°，即可求出答案； （Ⅱ）根据∠2+∠B'PC＝180°，可得∠2，再根据长方形的性质得∠3＝∠D′ED，即可得出答案． 【解答】解：（1）根据平移的性质可得BC∥FG，BC＝FG，且BC＝AD＝7，四边形BCFG的高为4， ∴四边形BCFG的面积是4×7＝28； 连接BH，根据平移的性质得GH＝EF，BH＝CE，BG＝CF， ∴△BGH≌△CFE（SSS）， ∴∠EFC＝∠BGH． ∵∠BGH+∠BGF＝90°， ∴∠FGB+∠EFC＝90°， 故答案为：28，∠FGB+∠EFC＝90°； （2）①点C'位置如下，答案不唯一； ②（Ⅰ）∵在长方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠1+∠B'PC＝180°， ∴∠1＝180°﹣∠B'PC＝50°， ∵∠1＝∠DED'＝50°，即α＝50． （Ⅱ）∵∠2+∠B'PC＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠B'PC＝50°， ∵在长方形ABCD中，AD∥BC， ∴∠3＝∠2＝50°， ∴∠3＝∠DED＝50°， ∴α＝360﹣50＝310． ∴α＝50或310． 【点评】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 10．一副三角板△ABC、△DEF按如图1方式摆放，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠DEF＝60°，∠EFD＝30°，直线a∥b．点A在直线a上，点B、点C与点D均在直线b上，DE∥AC，EF与直线a交于点P． （1）求∠APE的度数； （2）连接CE，CG为∠ECD的角平分线． ①如图2，当点F在CG上，证明∠ACE﹣2∠CFD＝45°； ②将△DEF沿着直线b平移，记∠ECA＝α（0＜α＜105°），若射线CG与直线EF交于点Q且夹角为β（0＜β＜90°），探究在平移过程中α与β的关系． 【分析】（1）延长DE交直线a于点H，求出∠EHP＝45°，由三角形外角的性质可求出∠APE 的度数； （2）①由平行线的性质得出∠MDF＝45°，设∠DCF＝x，可得∠ECF＝x，x＝45°﹣∠CFD由三角形外角的性质得出∠ACE＝135°﹣2x再代入计算可得结论；②设∠QCD＝y，则∠ECQ＝y，得∠ACE＝135°﹣2y，y＝67.5°，由DE∥AC得∠CED＝∠ACE＝α，再根据三角形定理可得结论． 【解答】解：（1）延长DE交直线a于点H，如图， ∵a∥b， ∴∠CAP＝∠ACB＝45°， 又∵DE∥AC， ∴∠DHP＝∠CAP＝45°， ∵∠EHP+∠HPE＝∠DEP， ∴∠HPE＝∠DEP﹣∠EHP＝60°﹣45°＝15°，即∠APE＝15°； （2）①如图， ∵∠ACB＝45°， ∴∠ACD＝135°， ∵DE∥AC， ∴∠EDM＝∠ACD＝135°， ∵∠EDF＝90°， ∴∠FDM＝45°； 设∠FCD＝x， ∵CF平分∠ECD， ∴∠ECF＝∠FCD＝x， ∴∠ACE＝135°﹣∠ECD＝135°﹣2x， 又∵∠FCD+∠CFD＝∠FDM， ∴∠FCD＝∠FDM﹣∠CFD＝45°﹣∠CFD， ∴∠ACE＝135°﹣2（45°﹣∠CFD）＝135°﹣90°+2∠CFD＝45°+2∠CFD， ∴∠ACE﹣2∠CFD＝45°； ②如图， 设∠QCD＝y，则∠ECQ＝y，同理可得，∠ACE＝135°﹣2y，， ∵DE∥AC， ∴∠CED＝∠ACE＝α， 又∵∠DEF＝60°， ∴∠ECQ+∠CED+∠DEQ+∠EQC＝180°，y+α+60°+β＝180°， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查平分线的性质，三角形外角的性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 11．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），记dx＝|x1﹣x2|，dy＝|y1﹣y2|，将|dx﹣dy|称为点A，B的横纵偏差，记为μ（A，B），即μ（A，B）＝|dx﹣dy|．若点B在线段PQ上，将μ（A，B）的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为μ（A，PQ）． （1）A（﹣1，0），B（4，2）， ①μ（A，B）的值是 　3　 ； ②点K在y轴上，若μ（B，K）＝0，则点K的坐标是 　（0，﹣2）或（0，6）　 ． （2）点P，Q在x轴上，点P在点Q的左侧，PQ＝5，点M的坐标为（0，﹣4），求线段PQ在x轴上运动时，算出μ（M，PQ）的最小值． 【分析】（1）①根据μ（A，B）的定义，代入A，B的坐标，先求出dx和dy的值，再求μ（A，B）的值． ②根据点K在y轴上及μ（B，K）的值，设点K的坐标，并代入式子中求解，注意有绝对值时要分类讨论． （2）根据题干中μ（A，PQ）的定义，数形结合，正确求出μ（M，PQ）的最小值，即可得到点P的位置． 【解答】解：（1）①∵A（﹣1，0），B（4，2）， ∴dx＝|x1﹣x2|＝|﹣1﹣4|＝5，dy＝|0﹣2|＝2， ∴μ（A，B）＝|dx﹣dy|＝|5﹣2|＝3． 故答案为：3． ②∵点K在y轴上， ∴设点K的坐标为（0，a）． ∵μ（B，K）＝0， ∴4﹣|a﹣2|＝0， ∴|a﹣2|＝4， ∴a＝﹣2或a＝6， ∴点K的坐标为（0，﹣2）或（0，6）． 故答案为：（0，﹣2）或（0，6）． （2）设PQ上的点T的坐标为（t，0），点P的坐标为（p，0），则Q（p+5，0）， ∵点M的坐标为（0，﹣4）， ∴μ（M，T）＝||t|﹣4|． 当p≥1.5时，当t＝p+5时，μ（M，T）取最大值， ∴μ（M，PQ）＝|p+5﹣4|＝|p+1|≥2.5， 当p≤﹣6.5时，当t＝p时，μ（M，T）取最大值， ∴μ（M，PQ）＝|﹣p﹣4|＝|p+4|≥2.5， 当﹣5≤p≤0时，当t＝0时，μ（M，T）取最大值， ∴μ（M，PQ）＝|﹣4|＝4， 当﹣6.5＜p＜5时，t＝p+5时，μ（M，T）取最大值， ∴μ（M，PQ）＝|﹣p﹣5﹣4|＝|p+9|， ∴2.5＜μ（M，PQ）＜4， 当0＜p＜1.5时，t＝p时，μ（M，T）取最大值， ∴μ（M，PQ）＝|p﹣4|， ∴2.5＜μ（M，PQ）＜4， 综上所述，μ（M，PQ）的最小值为2.5． 【点评】本题考查了对于横纵偏差这一新定义的理解与运用，要注意数形结合及分类讨论．解答第（2）问的关键是求出μ（M，PQ）的最小值． 12．在平面直角坐标系中，点P（x，y）的坐标满足4y﹣3x＝4时，我们称P（x，y）为“大同点”， （1）判断（4，4）是否是大同点，并说明理由． （2）A（m，n）点B（0，b）都是大同点，将线段AB平移到线段DE，点E（m，t），点D（a，b）不在y轴上，a﹣m＜0，若S△ADB为12，求m，a，t的值． （3）在（2）的条件下，直线DE交y轴于G点，在线段BA延长线上取点F使得∠AEF＝∠AFE，射线BM平分∠GBA交EF于点P，比较AD与PB的大小关系，并说明理由．（要求画出示意图） 【分析】（1）根据大同点的定义求解即可； （2）根据大同点的定义可推出b＝1，，根据平移中点的坐标变化规律可得点D的坐标为，则有，BD＝﹣a＝﹣2m，再证明BD∥x轴，据此根据三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）由平移的性质可得BE＝AD，再证明AE∥y轴，即AE∥BG，得到∠AEB＝∠EBG，导角证明∠BPE＞∠BEP，得到BE＞BP（大角对大边），则AD＞PB． 【解答】解：（1）（4，4）是大同点，理由如下： ∵4×4﹣3×4＝16﹣12＝4， ∴（4，4）是大同点； （2）如图， ∵A（m，n）点B（0，b）都是大同点， ∴4n﹣3m＝4，4b＝4， ∴b＝1，， ∴， ∵将线段AB平移到线段DE，点E（m，t）， ∴点D的横坐标为m+m﹣0＝2m，点D的纵坐标为， ∴点D的坐标为， ∵D（a，b），即D（a，1）， ∴， ∵D（a，1），B（0，1）， ∴BD∥x轴， ∴BD＝﹣a＝﹣2m，点A到BD的距离为， ∵S△ADB为12， ∴， 解得m＝﹣4或m＝4（舍去）， ∴a＝2m＝﹣8， ∵， ∴t＝4； （3）AD＞PB，理由如下： 如图， 由平移的性质可得BE＝AD， ∵A（m，n），E（m，t）， ∴AE∥y轴，即AE∥BG， ∴∠AEB＝∠EBG， ∵射线BM平分∠GBA， ∴∠FBP＝∠GBP， ∵∠BPE＝∠BFP+∠FBP，∠BEP＝∠AEF+∠AEB， ∴∠BPE﹣∠BEP＝∠BFP+∠FBP﹣∠AEF﹣∠AEB， ∵∠AEF＝∠AFE， ∴∠BPE﹣∠BEP＝∠FBP﹣∠AEB＝∠GBP﹣∠GBE＝∠EBP＞0， ∴∠BPE＞∠BEP， ∴BE＞BP（大角对大边）， ∴AD＞PB． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，三角形外角的性质，平移的性质，大角对大边等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 13．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），将|x1﹣x2|+|y1﹣y2|的值叫做点A与点B的“纵横距离”，记为dAB，即dAB＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若点P在线段CD上，将dAP的最大值与最小值之差称为线段CD关于点A的“视差”，记为S（A，CD）．已知点A（0，1），B（﹣1，0）． （1）点A与点B的“纵横距离”dAB的值为 　2　 ； （2）已知点C在x轴上，线段BC关于点A的“视差”为3，则点C的坐标为 　（﹣4，0）或（3，0）　 ； （3）若点E与点A的“纵横距离”为4． ①S（A，OE）的最小值为 　3　 ，最大值为 　4　 ； ②当S（A，OE）取最小值时，请在平面直角坐标系中画出所有符合题意的点E组成的图形． 【分析】（1）根据“纵横距离”的定义：dAB＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|计算即可； （2）当点C在x轴上，根据点C的位置不同分两种情况：在点B的左侧或右侧讨论其最大值与最小值，根据线段BC关于点A的“视差”为3，列方程即可求解； （3）①根据点E与点A的“纵横距离”为4，可知点A到线段OE上一点的“纵横距离”的最大值始终是 dAE＝4，讨论点A到线段OE上一点的“纵横距离”的最小值取最小和最大时的两种情况即可求解；②根据当S（A，OE）取最小值时，此时点A到线段OE上一点的“纵横距离”的最大值始终是dAE＝4，在平面直角坐标系中找出所有可能的点E，画出点E组成的图形即可． 【解答】解：（1）∵点A（0，1），B（﹣1，0）， ∴dAB＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝|0﹣（﹣1）|+|1﹣0|＝2， 故答案为：2； （2）设点C坐标为C（xC，0）， 当点C在x轴上，并且在点B的左侧时，如图：xC＜0， 此时点A到线段BC上一点的“纵横距离”的最大值是dAC＝|0﹣xc|+|1﹣0|＝1﹣xc，最小值为dAB＝2， ∴1﹣xC﹣2＝3， 解得xC＝﹣4， 当点C在x轴上，并且在点B的右侧时，如图： ∵S（A，BC）＝3，最大值不能为dAB＝2， ∴点C在x轴正半轴，xC＞0， 此时点A到线段BC上一点的“纵横距离”的最大值是dAC＝|0﹣xc|+|1﹣0|＝1+xc，最小值为dAO＝1， ∴1+xC﹣1＝3， 解得xC＝3， 综上所述：点C的坐标为（﹣4，0）或（3，0）， 故答案为：（﹣4，0）或（3，0）； （3）①点E的轨迹是图中正方形． 若点E与点A的“纵横距离”为4，此时点A到线段OE上一点的“纵横距离”的最大值始终是 dAE＝4， 此时点A到线段OE上一点的“纵横距离”的最小值最大为dAO＝1，最小为OE过点A，dAA＝0， ∴S（A，OE）的最小值为4﹣1＝3，最大值为4﹣0＝4， 故答案为：3；4； ②当S（A，OE）取最小值时，点E的坐标可能是E1（4，1）、E2（0，﹣3）、E3（﹣4，1）、E4（﹣2.5，﹣2.5）、E5（2.5，2.5），在平面直角坐标系中画出所有符合题意的点E组成的图形是折线 E5E1E2E3E4， 如图所示． 【点评】本题属于新定义问题，考查了平面直角坐标系中点与坐标的知识，有一定的难度，理解题目中“纵横距离”及“视差”的意义是解题的关键． 14．已知，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A（a，b）满足，平移线段AB使点A与原点重合，点B的对应点为点C． （1）a＝　6　 ，b＝　3　 ，点C坐标为　（0，﹣3）　 ； （2）如图1，点D（m，n）是射线CB上一个动点，过点A作直线l∥x轴，在l上取点M，使得MA＝2，若△CDM的面积为4，请求出点D的坐标． （3）如图2，以OB为边作∠BOG＝∠AOB，交线段BC于点G，E是线段OB上一动点，连接CE交OG于点F，当点E在线段OB上运动过程中，的值是否发生变化？若变化请说明理由，若不变，求出其值． 【分析】（1）利用二次根式，绝对值的定义即可求解； （2）①作辅助线DM、DN，用“面积和差（S△BOC＝S△BOD+S△COD）”建立等式，推导m、n关系；②分M在A左、右侧，用面积法列方程求解D坐标． （3）利用平行线的性质、三角形外角的性质证明即可． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于点B，点A（a，b）满足， ∴b﹣3＝0，a﹣6＝0， ∴b＝3，a＝6， ∵AB＝OC＝3，且C在y轴负半轴上， ∴C（0，﹣3） 故答案为：6，3，（0，﹣3）． （2）①如图，DN⊥y轴于N，过D作DH⊥x轴于H，连接OD． ∵D（m，n），C（0，﹣3），A（6，3），AB⊥x轴， ∴OB＝6，OC＝3，ND＝m，MD＝﹣n（D纵坐标为负 ）， △BOC面积：． 又S△BOC＝S△BOD+S△COD，其中： ， ． ∴， ∴m﹣2n＝6． 如图1﹣1，设直线AM交y轴于T，连接DT、CM、CM′． 当M在A左侧时： 由m﹣2n＝6，得，即． 根据S△CDM＝S△CTD+S△MTD﹣S△CTM＝4，代入坐标关系列方程： ， 解得m＝2，则D（2，﹣2）． 当M在A右侧时： 同上述面积法思路，可得D（4，﹣1）． 综上，D坐标为（2，﹣2）或（4，﹣1）． （3）的值不变，值为2．理由如下： ∵线段OC是由线段AB平移得到， ∴BC∥OA， ∴∠AOB＝∠OBC， 又∵∠BOG＝∠AOB， ∴∠BOG＝∠OBC， 根据三角形外角性质，可得∠OFC＝∠FCG+∠OGC，∠OGC＝2∠OBC， ∴∠OFC+∠FCG＝2∠FCG+2∠OBC ＝2（∠FCG+∠OBG） ＝2∠OEC， ∴． 【点评】本题考查了二次根式、绝对值的意义，平行线的性质及平移的性质，解决问题的关键是作出辅助线，用面积法、角的和差关系、以及平行线的性质求解． 15．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和长度为a的线段MN给出如下定义：若线段MN平行于x轴（或与x轴重合），则将线段MN向下平移a个单位长度，得到线段M′N′；若线段MN平行于y轴（或与y轴重合），则将线段MN向右平移a个单位长度，得到线段M′N′．若点P在以M，N，M′，N′为顶点的正方形的边上，则称点P是线段MN的“方田点”． 已知点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（﹣1，1）． （1）在P1（0，1），，P3（1，0），P4（﹣1，﹣2）这四个点中，P1，P3 是线段AB的“方田点”； （2）点，D（m+2，1），若线段CD上存在线段AB的“方田点”，则m的取值范围是 　﹣3≤m≤1　 ； （3）点G（t，t），，点P是线段AB的“方田点”，将点P向下平移3个单位长度，得到点Q．若线段GH的“方田点”都是线段PQ的“方田点”，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）由题意得，AB＝2，ABlx轴，将线段AB向下平移2个单位长度得到线段A′B′，在坐标系中画出图形，再根据线段AB的“方田点”的定义即可得出结论； （2）结合点C和点D的坐标可得，点C在直线上，点D在直线y＝1上，根据线段CD上存在线段AB的“方田点”，得到线段CD与正方形ABB′A′有交点，再结合图形对线段CD的位置进行分析即可求解； （3）由题意得，，GH∥ly轴，将线段GH向右平移个单位长度得到线段G′H′；再根据题意分析出线段PQ的“方田点”所在的区域，记此时的区域为区域M，根据线段GH的“方田点”都是线段PQ的“方田点”，得到正方形GHH'G'的边都落在区域M，再结合图形对正方形GHH'G'的位置进行分析即可求解． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（﹣1，1）， ∴AB＝2，AB∥x轴，由题意得，将线段AB向下平移2个单位长度得到线段A′B′， ∴A′（﹣1，1），B′（﹣1，﹣1），画图如下： 由图可知，点P1（0，1）和P3（1，0）是线段AB的“方田点”； 故答案为：P1，P3； （2）∵点，D（m+2，1）， ∴点C在直线上，点D在直线y＝1上， ∴线段CD介于直线和直线y＝1之间， 当点D恰好落在点B上，则m+2＝﹣1，解得m＝﹣3， 当点D恰好落在点A上，则m+2＝1，解得m＝﹣1， 当点C恰好落在线段BB′上，则m＝﹣1， 当点C恰好落在线段AA′上，则m＝1， ∴由图可得，当﹣3≤m≤1时，线段CD与正方形ABB′A′有交点， ∴若线段CD上存在线段AB的“方田点”，则m的取值范围是﹣3≤m≤1； 故答案为：﹣3≤m≤1； （3）∵点G（t，t），， ∴，GH∥y轴，由题意得，将线段GH向右平移个单位长度得到线段GH， ∴，， ∴线段GH的“方田点”在正方形GHH'G'的边上， ∵点P是线段AB的“方田点”， ∴点P在正方形ABB′A的边上，将正方形ABB′A′向下平移3个单位长度，得到正方形A1′B1′B1A1， ∵点P向下平移3个单位长度，得到点Q， ∴点Q落在正方形A1′B1′B1A1的边上，将正方形ABBA和正方形A1′B1′B1A1，分别向右平移3个单位长度，得到正方形A2B2B2'A2'和正方形A3B3B3'A3′由题意得，将线段PQ向右平移3个单位长度得到线段PQ， ∴点P和点Q分别落在正方形A2B2B2'A2'和正方形A3B3B3'A3′的边上， ∴由图可得，线段PQ的“方田点”组成正方形A2BB1A3内部区域及边界，且不含正方形A1B3B2′A内部区域，记此时的区域为区域M； 当点G恰好落在点B′上，正方形GHH'G'的边都恰好落在区域M， ∵B′（﹣1，﹣1），G（t，t）， ∴t＝﹣1； 当点H'恰好落在点A1上，正方形GHH'G'的边都恰好落在区域M， ，A1（1，﹣2），，解得：， 当点H′恰好落在点B2'上，正方形GHH′G′的边都恰好落在区域M， ，A1（2，﹣1）t1，解得：； 当点G恰好落在点B2'上，正方形GHH'G'的边都恰好落在区域M， ∵A（1，1），G（t，t）， ∴t＝1；结合图形可得，若线段GH的“方田点”都是线段PQ的“方田点”， 则t的取值范围为或． 【点评】本题考查了新定义、坐标与图形变化一平移、一元一次方程的应用，理解线段的“方田点”的定义，运用数形结合思想是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $