第7章相交线与平行线 期末复习优生辅导训练题 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 以“平行线性质”为核心，通过“过拐点作平行线”“平移转化”“分类讨论”等系统方法，整合相交线、角平分线、动态几何等知识，凸显逻辑推理与模型应用。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角度计算|1,5,6,10,11|过拐点作平行线，利用同位角、内错角转化|平行线性质→多拐点角度关系→规律探究| |图形变换|2,3,4,8|平移法求面积，折叠性质结合平行线|平移/折叠概念→性质应用→图形转化| |动态与综合|13,18,19,20|分类讨论点位置，构造辅助线分析动态问题|静态性质→动态拓展→实际情境应用|

2025-2026学年人教版七年级数学下册《第7章相交线与平行线》 期末复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1.如图，ab,∠1=20°，∠2=90°，则∠3的度数是() A.60° B.90° C.110° D.120 2.有一个长方形花圃，为方便行入观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图），花 圃长50米，宽30米.那么，种花的面积是()平方米. 2米 花 30米 花 50米 A.1440 B.1400 C.1344 D.120 3.如图，长方形纸片ABCD沿线EF折叠，A,D两点分别与A,D对应，若∠1=2∠2， 则 ∠CFD的度数为() R D' A.36° B.45° C.72° D.75 4.如图，△ABC沿AA方向平移3个单位长度得到△ABC,在结论①AA‖BB;② BB=3:@BC=3:④∠ABC=∠ABC中，正确的是（)· B B A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 5.2026年春晚武术节目《武BOT》以“人机共武”表演惊艳全球，首次实现机器人持武 器动态操控，成为科技与传统文化融合的典范之作.如图1是机器人在展示中国功夫时的 精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，其中AB⊥MN,∠CAB=140°，CD‖MN, 则∠DCE=( wimmmmmn》 图1 图2 A.40° B.50° C.60° D.70° 6.①如图1，AB‖CD,则∠A+∠E+∠C=180°：②如图2，AB‖CD,则 ∠E=∠A+∠C;③如图3，AB‖CD,则∠A+∠E-∠1=180°；④如图4， ABCD,则∠A=∠C+∠P.以上结论正确的个数是() 太 图1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 7.已知∠ABC和∠竺就的两边分别互相平行，且∠兽比∠ABC的3倍少20°，则 ∠ABC的度数为 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=9,将Rt△ABC沿AC方向向右平移得 到Rt△就，DE交BC于G,已知AD=2,BG=4,则阴影部分的面积为 9.如图，凸透镜的主光轴与平静水面重合，F为焦点，点光源S发出一束光，光线在水面 E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示，若∠2=140°，则∠1的 度数为 10.如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形， 其中AB‖DG,AE‖CF,∠BAC=52°，∠CDG=72°，∠EAC=78°，则 ∠DCF= 11.如图，已知直线AB‖CD‖EF,那么∠a+∠B-∠y= 度、 B D 12.如图，四边形ABCD中，ABCD,∠1=∠2，∠ABC的平分线交AD于点E,连 接CE,CE⊥BE,∠DCE的平分线交BE的延长线于点F,下列结论：①AD‖BC: ②∠F=∠1+∠3：③CE平分∠BCD;④∠4=3∠3.其中正确的结论有. A 2( B 三、解答题 13.直线AB,AC,BC两两相交，∠BAC=70°，过点A的直线MN与BC平行，点D 是直线MN上一点（不与点A重合），过点D作DE‖AC交BC于点E,∠ABC和 ∠ADE的平分线所在直线相交于点P(点P不与点B,D重合)， M P 图1 备用图 (1)如图1所示： ①依题意补全图形： ②试探究∠ABC,∠ADE,∠BPD之间的数量关系，并说明理由； (2)请直接写出∠BPD的度数一-· 14.规定：平面内任意两个角∠Q,∠B.若满足∠Q+m∠B=90°，则称∠B是∠a的 m倍欢乐余角.例如：若∠a=50°，∠B=20°，满足50°+2×20°=90°，则∠B是 ∠的2倍欢乐余角， 图1 图2 (1)∠M=30,求∠M的3倍欢乐余角度数是 2)如图1，AB‖CD,点E在AB的上方，连接BE、DE,∠E=30°，∠C是∠B的5倍 欢乐余角.求∠B的度数： (3)如图2，在(2)条件下，∠ABE是∠EBF的m倍欢乐余角，∠DCE的三等分线的反 向延长线与∠EBF交于点F,当∠EBF=∠F时，求m的值. 15.【材料】我们经常经过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问 题. 图3 (1)【问题解决】如图1，已知ABCD,∠D=28°，∠GAB=52°，求∠P的度数； (2)【类比应用】如图2，已知ABCD,点P在直线AB的上方，点E在直线CD上，连接 PB,PE,则∠BPE,∠B,∠PEC之间有何数量关系？请说明理由： (3)【联想拓展】如图3，在(2)的条件下，已知∠BPE=Q,∠PBA的角平分线和 ∠PEC的角平分线相交于点F,求∠F的度数.（用含Q的代数式表示） 16.综合与实践 图1 图2 图3 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示 的图形，弹弓支架的两边AB‖CD (1)猜想与证明：如图2，当点E在AB,CD之间时，请写出∠B,∠BED与∠D之间的 数量关系，并说明理由 (2)问题解决：如图3，点E在AB的上方，且∠BED=90°，过点B作直线FG交直线CD于 点G,使∠ABE=∠EBF,过点G作DE的平行线GH交EB的延长线于点H,①找出图3 中的弹弓模型，直接写出由(1)可以得到的结论.②求证：GH平分∠BGJ.(可直接 使用①的结论) 17.问题情境：如图1，AB‖CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数. 图1 图2 图3 (1)小明的思路是：如图2，过P作PE‖AB,通过平行线性质，可得∠APC= 问题迁移： 如图3，AD‖BC,点P在射线OM上运动，∠ADP=∠a,∠BCP=∠B, (2)当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠《、∠B之间有何数量关系？请说明理由. (3)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出 ∠CPD、∠a、∠B之间有何数量关系. 18.如图已知∠MON=a0°<a<90,有一块三角板ABC,其中∠ACB=90°， ∠BAC=30°，现将该三角板如图所示放置，使顶点B始终落在ON上，过点A作 DA‖ON交OM于点E. M M D 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠CAD=50°，则∠CBN= (2)若∠BAE的平分线AP交ON于点P; ①如图2，是否存在a,使得AP‖OM与BC‖OM同时成立，若存在请求出a,若不成立， 请说明理由. ②如图3，将三角板ABC沿直线ON从左往右平移，且在平移的过程中，始终保持 BC‖OM不变，请探究∠OPA与a之间的数量关系 19.问题情境： 某农业科技园设计了一款智能温室，其屋顶结构由一块可调节的遮光板△ABC构成.已知 ∠ABC=60°，∠ACB=30°，∠BAC=90°.为了均匀采光，设计师在屋顶上安装了 一条平行于BC的可移动轨道AE,并在轨道上设置一个可移动的光传感器E.初始时，传 感器E满足DE‖AB,其中D是AC上的一个固定支架点（如图1）， B 图1 图2 图3 知识初探： (1)设计师测量了初始状态下传感器与遮光板的夹角∠AED的度数，请你直接写出 ∠AED= 深入探究： (2)在实际运行中，轨道AE会沿AC的方向平移（即线段AE沿射线AC方向平移），平移 后的传感器E的位置记为Q,A点的位置记为P,为固定传感器，连接DQ.设计师研究了 两种位置情况，请你帮忙解决，并写出解答过程. ①如图2，当点P在线段AD上时，若∠PQD=28°，求∠EDQ的度数： ②如图3，当点P在线段DC上时，若∠PQD=12°，求∠EDQ的度数. 拓展延伸： (3)设计师发现：在上述平移过程中，当系统调节到某一理想光照状态时，满足 ∠EDQ=3∠PQD,请直接写出∠EDQ的度数为 20.在综合与实践课上，同学们以“一个含60的直角三角尺和两条平行线”为背景开展 数学活动， B C C 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，两直线，n和直角三角形ABC,其中mn,∠BCA=90°，∠ABC=60°， 若∠1=37°，则∠2的度数为 【实践探究】 (2)如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2-∠1是一 个定值，这个定值是 为了说明理由，同学们根据“过拐点作平行线”的思路，很快想到辅助线的作法，如图 3,过B作BHm,请你完成后面的过程， 【拓展延伸】 (3)如图4，ABCD,点E在CD上，BG平分∠ABF,2∠CEG+∠FED=180°，设 ∠BGE=a,请直接用含a的代数式表示∠BFE. 参考答案 1.解：如图，过拐点作BD‖b, A -a 4 .alb, ..a b BD, ,∠1=∠ABD,∠4+∠CBD=180°， .∠1=20°，∠2=90， ∴.∠ABD=20° ∴.∠CBD=∠2-∠ABD=70°， .∠4=180°-∠CBD=110°， ∠3=∠4， .∠3=110° 2.解：利用平移的思想，将人行道路横向和纵向分别平移到长方形花圃的边上， .花圃长50米，宽30米，道路宽2米， ∴.种花部分可拼接为长50-2=48（米），宽30-2=28（米）的长方形， .∴.种花的面积是48×28=1344（平方米）. 3.解：.·四边形ABCD是长方形， .AB‖CD D ∴.∠AEF=∠1. 由折叠的性质可知，∠AEF=∠AEF,∠EFD=∠EFD .∠AEF=∠AEF=∠1. .∠1=2∠2，且∠AEF+∠A'EF+∠2=180°， ∴.2∠1+∠2=180， 即2×2∠2+∠2=180°， 5∠2=180°， ∴.∠2=36°， .∴∠AEF=∠1=2∠2=72° ∴.∠EFD=∠EFD=180°-∠AEF=108° ∴.∠CFD=∠EFD-∠1=108°-72°=36°. 4.解：，△ABC沿AA方向平移3个单位长度得到△ABC, AA‖BB‖CC,AA=BB=CC=3,故①、②正确，符合题意， ∠ABC=∠ABC故④正确，符合题意， ③无法证明， 不符合题意。 ∴，符合题意的有①②④. 5.解：如图，过点A作AF‖MN, E D A .'AB⊥MN M B .∠ABM=90°， .AF‖MN, ∴.∠BAF=180°-∠ABM=90, :∠CAB=140°， ∴.∠CAF=∠CAB-∠BAF=50°， .CD‖MN, ∴.CD‖AF, .∴.∠DCE=∠CAF=50° 6.解：如图，过点E作EP‖AB,则EP‖CD, B ---------P EP‖AB D .∴.∠A+∠AEP=180°， .EP‖CD .∴∠C+∠CEP=180°， .·∠E=∠AEP+∠CEP .∴.∠A+∠AEP+∠C+∠CEP=360°，即∠A+∠E+∠C=360°， 故①错误： 如图，过点E作EP‖AB,则EP‖CD, B .EP‖AB ∴.∠A=∠AEP, .EP‖CD .∠C=∠CEP, ∠E=∠AEP+∠CEP, .∴.∠A+∠C=∠AEP+∠CEP=∠E, 故②正确： 如图，过点E作EP‖AB,则EP‖CD, B .EP‖AB ∴.∠A+∠AEP=180°，即∠AEP=180°-∠A, EP‖CD ∴.∠1=∠CEP .·∠E=∠AEP+∠CEP=180°-∠A+∠1， .∴.∠A+∠E=∠A+180°-∠A+∠1=180°+∠1， 即∠A+∠E-∠1=180°， 故③正确： 如图，过点P作MP‖AB,则MP‖CD, .'AB‖CD‖MP M--p D ∴.∠A=∠MPA,∠C=∠MPC, .'∠MPA=∠MPC+∠CPA, ∴.∠A=∠C+∠CPA, ∴.∠A=∠C+∠P, 故④正确】 综上，正确结论的个数为3个. 7.解：设∠ABC的度数为x°，则∠乙的度数为3x-20°， .∠ABC和∠些乙的两边分别互相平行， .分两种情况讨论： 情况1：当∠ABC=∠乙时，x=3X-20, 解得x=10 情况2：当∠ABC+∠g=180时，x+3x-20=180, 解得x=50, 综上，∠ABC的度数为10或50°， 故答案为10°或50， 8.解：，△ABC沿着点A到点C的方向平移到△乙的位置， S△ABc=S△兰8， ∴.S阴影+S△CDG=S形EFcG+S△cDG, ∴阴影部分面积等于梯形EFCG的面积， 由平移的性质得，EF=BC=9,DF=AC, .DF-CD=AC-CD ..CF=AD=2, ,BG=4, ..CG=BC-BG=5, 二梯形EFCG的面积为)×9+5×2=14 ∴.阴影部分的面积为14。 9.解：AB‖EF, .∠2+∠AEF=180°， ∠2=140°， .∠AEF=40°， :入射角=反射角， .∠1=∠AEF=40o S B A F E---- 10.解：如图，过点C作CM‖AB, (○AB M-- G .ABDG, .AB‖DG‖CM, .∠ACM=∠BAC=52°，∠DCM=∠CDG=72°， ∴.∠ACD=∠ACM+∠DCM=124°， AE‖CF, ∴.∠ACF=180°-∠EAC=180°-78°=102°， .∠DCF=∠ACD-∠ACF=22°. 11.解：，ABCD EF, .∠a=∠ADC,∠CDF=180°-∠Y, .∠ADC+∠B+∠CDF=360°， .∠a+∠β+180°-∠y=360°， .∠c+∠B-∠y=180° 12.解：BE平分∠ABC ∠1=∠CBE 又∠1=∠2， 六∠2=∠CBE' AD BC' O正确， “CE⊥BE ∠BEC=90' 六∠EBC+∠ECB=90' 六∠1+∠ECB=90' 又AB‖CD, 六∠ABC+∠BCD=180' 2∠1+∠BCD=180 六∠BCD=180°-2∠1=290°∠∠1=2∠ECB CE平分∠BCD' ‘③正确， CF平分∠DCE ∠ECF=∠3'∠DCE=2∠3' AD‖BC' 六∠4=∠ECB "CE平分∠BCD 六∠BCE=∠DCE ∠DCE=∠4' 六24=2∠3 ④错误， CE⊥BE' 六∠2+∠4=90'∠3+∠F=∠ECF+∠F=90°' 六∠1+2∠3=∠3+∠F' 六∠F=∠1+2∠3-∠3=∠1+∠3 ②正确。 13.(1)解：①补全图形如图： B E ②∠BPD-<ABcC+号<ADE,提由如下： 过点P向左作PT‖AD, :DP,BP分别平分∠ADE,∠ABC ∠ADP-ADE,∠PC- ∠ABC, :AD‖BC .AD‖BC‖PT .∠ADP=∠DPT,∠PBC=∠BPT :∠BPD=∠DPT+∠BPT=∠ADP+∠PBC=号∠ADE+号∠ABC, 即∠BPD∠ABC+ ADE: (2)解：①点D在点A左侧，且点P在△ABC内时，如图： M- B :AD‖BC ∴.∠ABC+∠BAN=180° ∴.∠ABC+∠BAC+∠CAN=180° :∠BAC=70° ∴.∠ABC+∠CAN=110° DE‖AC ∴.∠ADE=∠CAN .∠ABC+∠ADE=110, 由a)知<BPD-∠ABC+3∠ADE, ∠BPD-∠ABC+zADE=X1I0=55: ②点D在点A左侧，且点P在△ABC外时，如图： M D 过点P作直线m‖BC .AD I BC .AD‖BC‖m .∠1=∠2，∠3=∠4， ÷∠BPD=180-∠2+∠4=180°-∠1+∠3=180-∠ADE+∠ABC, AD‖BC ∴.∠ABC+∠BAN=180° .∴.∠ABC+∠BAC+∠CAN=180° .∠BAC=70° .∠ABC+∠CAN=110 :DE‖AC ∴.∠ADE=∠CAN .∠ABC+∠ADE=110, A∠BPD=180-ADE+∠ABC=1259, ③点D在点A右侧，且点P在△ABC内时，如图： M A D 47y B 过点P作直线m‖BC .AD BC .AD‖BC‖m .∠1+∠2=180°，∠3=∠4， :∠BPD=∠2+∠4=180°-∠1+∠3=180°-∠ADE-∠ABC, .AD‖BC ∴.∠ABC+∠BAN=180° .∴∠ABC+∠BAC+∠CAN=180° .∠BAC=70 .∠ABC+∠CAN=110° :DE‖AC ∴.∠ADE=180°-∠CAN .∠ABC+180°-∠ADE=110°， ∴.∠ADE-∠ABC=70 ∠BPD=180©-2∠ADE-∠AC=145: ④当点D在点A右侧，且点P在△ABC外时，如图： R m M B E 过点P作直线m‖BC ·AD‖BC ∴AD‖BCIm .∠1=∠2，∠3=∠RPD, ∠BPD=∠RPD-∠2=∠3-∠1=|∠ADE-∠ABC, 'AD‖BC ∴.∠ABC+∠BAN=180° .∴.∠ABC+∠BAC+∠CAN=180° :∠BAC=70 ∴.ABC+∠CAN=110° :DE‖AC ∴.∠ADE=180°-∠CAN .∠ABC+180°-∠ADE=110°， ∴.∠ADE-∠ABC=70° :∠BPD=|∠ADE-∠ABC=35°， 综上：∠BPD的度数为55°或35°或125°或145°， 14.(1)解：设∠M的3倍欢乐余角度数为x, 则∠M+3x=90°，即30°+3x=90°， 解得x=20°， 即∠M的3倍欢乐余角度数是20°； (2)解：过点E作EK‖AB, D A 图1 :AB‖CD,EK‖AB, ∴.AB‖EK‖CD, ∴.∠ABE=∠BEK,∠CEK=∠DCE, .∴.∠BEC=∠BEK-∠CEK=∠B-∠C=30°， :∠C是∠B的与倍欢乐余角， ∠B+号∠C=90°， 3 ∴.∠B=75°，∠C=45°： (3)解：由(2)得∠C=45°， 又.CG是∠DCE的三等分线， .∴.∠GCD=15°或∠GCD=30°， 当∠GCD=15时，∠FCD=165°， 过点F作FH‖AB, G D B .AB‖FH‖CD 图2 ∴.∠DCF+∠CFH=180°， ∠ABF+∠BFH=180°， .∴∠DCF+∠CFB+∠ABF=360, 由(2)知∠ABE=75°， .75°+EBF+∠CFB+165°=360°， ,∠EBF=∠CFB, ∴∠EBF=60, :∠ABE是∠EBF的m倍欢乐余角， .∴.∠EBF+m∠ABE=90°， 即60°+m75°=90°， 解得：m=0.4: 如图3，当∠GCD=30°，∠FCD=150°， 过点F作FH‖AB, G、N D-H.---- F .AB‖FH CD 图3 ∴.∠DCF+∠CFH=180°， ∠ABF+∠BFH=180°， .∴.∠DCF+∠CFB+∠ABF=360°， 由(2)知∠ABE=75°， .75°+∠EBF+∠CFB+150°=360°， .'∠EBF=∠CFB, .∴∠EBF=67.5, ,'∠ABE是∠EBF的m倍欢乐余角， .∠EBF+m∠ABE=90, 即67.5°+75°m=90°， 解得：m=0.3 综上所述：m=0.4或m=0.3, 15.(1)解：如图1，过点P作PQAB, ∴.∠APQ=∠GAB=52°， ,AB‖CD ∴PQ‖CD, ∴.∠DPQ=∠D=28°， .∴.∠APD=∠APQ+∠DPQ=52°+28°=80°： G B -------0 D 图1 (2)∠BPE=∠PEC-∠B,理由如下： 如图2，过点P作PM‖AB, ∴.∠BPM=∠B, :AB‖CD, .PM CD, ∴.∠EPM=∠PEC, .·∠EPM=∠BPE+∠BPM, .∠PEC=∠BPE+∠B ∴.∠BPE=∠PEC-∠B: --------M C D E 图2 (3)如图3，.·∠PBA的角平分线和∠PEC的角平分线相交于点F, ∴.BF平分∠PBA,EF平分∠PEC, .∠FBA=I∠PBA,∠FEC=∠PEC, 由(2)知∠BPE=∠PEC-∠B, :∠BPE=a, ∴.∠PEC-∠PBA=a, 同(2)理，可知∠F=∠FEC-∠FBA, ∠F=号∠PEC-∠PBA=∠PEC-∠PBAl=a -D E 图3 16.(1)答：∠BED=∠B+∠D,理由如下： 过点E作EF‖AB, .∠BEF=∠B, .AB CD :.EF CD, .∠FED=∠D, ∴.∠BEF+∠FED=∠B+∠D, .∠BED=∠B+∠D: E (2)①解：∠ABG=∠BOE+∠BGH,理由如下： 过点B作BM‖DE, ∴.∠BOE=∠MBO, .DE‖GH, .BM GH, .∠BGH=∠MBG, ∴.∠NBO+∠MBG=∠BOE+∠BGH, 即：∠ABG=∠BOE+∠BGH; ②证明：：∠BED=90°，DE‖GH, .∠GHB=180°-∠BED=90°，∠HGJ=∠EDG, :∠ABE=∠EBF,∠EBF=∠GBH(对顶角相等)， ,∠ABE=∠GBH, .90°-∠ABE=90°-∠GBH, ∴.∠BOE=∠BGH, .AB CD, .∠BOE=∠EDG, .BGH=∠EDG, ,∠HGJ=∠EDG, .∠BGH=∠HGJ, 即：GH平分∠BGJ, 17.(1)解：过P作PE‖AB,AB‖CD .AB‖PE‖CD, ∠PAB=130°，∠PCD=120°， .∠APE=180°-130°=50°，∠CPE=180°-120°=60°， ∴.∠APC=∠APE+∠CPE=110° (2)解：∠CPD=∠a+∠B,理由如下： 如图，过点P作PE‖AD M D E PE‖AD,∠ADP=∠a, .∠DPE=∠ADP=∠a, PE‖AD,AD‖BC, PE‖BC, 又.∠BCP=∠B, .∠CPE=∠BCP=∠B, .∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠&+∠β： (3)解：当点P在B、O两点之间时∠CPD=∠a-∠B,点P在射线AM上时 ∠CPD=∠B-∠a;理由如下： 如图，过点P作PE‖AD, B NE D PE‖AD,∠ADP=∠a, .∠DPE=∠ADP=∠a&, :PE‖AD,AD‖BC, PE‖BC, 又：∠BCP=∠B ∴.∠CPE=∠BCP=∠B ∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠B-∠a 如图，当点P在B、O两点之间时，如图，过点P作PE‖AD M B N D :PE‖AD,∠ADP=∠a, .∠DPE=∠ADP=∠， PE‖AD,AD‖BC, PE‖BC, 又∠BCP=∠B, .∠CPE=∠BCP=∠B, .∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠a-∠β： 综上所述：∠CPD=∠C-∠B或∠CPD=∠B-∠. 18.(1)解：根据题意得：∠ABC=60°，∠BAC=30°， .∠CAD=50°， .∠BAD=∠BAC+∠CAD=80°， DA‖ON, ∴.∠BAD+∠ABN=180°， .∠ABN=100, ,∠CBN=100°-60°=40°： (2)解：①存在a=60°，使得AP‖OM与BC‖OM同时成立； .AP‖OM,BC‖OM,DA‖ON ∴.∠APB=∠MON=C,∠BAP=∠ABC=60°，∠PAE=∠APB, .∠PAE=a, ,AP是∠BAE的平分线， ∴.∠BAP=∠PAE, .0=60°； ②如图3，当点A在点E左侧时，若点P在点O左侧， M E N B 图3 .BC‖OM,DA‖ON .∠CBN=∠MON=a, .∠ABN=a+60°=∠BAE, .∠ABP=180°-∠ABN=120°-a, ,AP是∠BAE的平分线， ∠BAE=∠AB=∠B4E- 0+30, ·∠0PA=180°-∠PAE=180°- +30=150- 如图，当点A在点E左侧时，若点P在点O右侧， M D OP 'AP是∠BAE的平分线，DA‖ON ∠PAE=∠PAB=1 BAE=1 +30, ·∠OPA=∠PAE= 20+30: 如图4所示，当点A在点E右侧时，点P在点O的左侧， M N P B 图4 BC‖OM,DA‖ON, .∠CBN=∠MON=a, ,∠ABN=∠CBN+∠ABC=a+60, ∴.∠BAE=180°-∠ABN=180°-a+60=120°-a, ,AP是∠BAE的平分线， &∠EAP=120°-al=60-号a, 2 "ja, .∠OPA=∠EAP=60° 如图当点A在点E右侧时，点P在点O的右侧， M E N OP B 同理∠ABN=∠CBN+∠ABC=a+60°，∠EAP=号120-a=60-a. :AD‖BN, 20A=1800-<EAp-180-60-20-1200+3 综上所述，∠0的度数为150-20或a+30°或60-2a或120°+号9 19.(1)解：.AE‖BC, ∴.∠BAE+∠ABC=180. .DE‖AB, ∴.∠AED+∠BAE=180°， .∴.∠AED=∠ABC=60°： (2)解：①过点D作DF‖AE,则∠EDF=∠AED=60°， A PQ AE B C 线段 是由线段 平移得到， .PQ‖AE, .DF‖PQ, ∴.∠QDF=∠PQD=28° ∴.∠EDQ=∠EDF-∠QDF=60°-28°=32°： ②过点D作DF‖AE,则∠EDF=∠AED=60°， 06 H PQ AE C线段是由线段平移得到， .PQ‖AE, .DF PQ, .∠QDF=∠PQD=12°： ∴.∠EDQ=∠EDF+∠QDF=60°+12°=72： (3)解：如图2，当∠EDQ=3∠PQD时， 由①知，∠EDQ=∠EDF-∠QDF, 即3∠PQD=60°-∠PQD,解得∠PQD=15, .∴.∠EDQ=45°： 如图3，当∠EDQ=3∠PQD时， 由②知，∠EDQ=∠EDF+∠QDF, 即3∠PQD=60°+∠PQD,解得∠PQD=30°， ∴.∠EDQ=90°. 综上，∠EDQ=45°或∠EDQ=90°. 20.（1)解：如图1， A B -m :∠1=37°，∠ACB=90° n C 图1 ∴.∠3=180°-∠1-∠ACB=53°， .mn, ∴.∠3+∠2=180°， .∠2=180°-53°=127°； (2)解：∠2-∠1=120°，理由如下，如图，过B作BHm, A m C 之 .mln, .BH mln, 则∠1=∠CBH,∠2+∠ABH=180°， .∠ABH=180°-∠2， ,∠ABC=60°， .∠CBH+∠ABH=60°，即∠1+180°-∠2=60°， .∠2-∠1=120°： (3)解：如图，过点G作GHAB,延长AB, 、H 图4 设∠ABG=x,∠CEG=y, .AB‖CD,GH‖AB, .AB CD GH, ∴.∠ABG=∠BGH=x,∠CEG=∠HGE=y, ∴.∠BGE=x+y=C, ,BG平分∠ABF,2∠CEG+∠FED=180°， .∠ABF=2x,∠FED=180°-2y, .∠FBK=180°-∠ABF=180°-2x, 同理：∠BFE=∠FBK+∠FED=180°-2x+180°-2y=360°-2a