江苏徐州市第一中学2024-2025学年高二下学期第二次阶段性测试数学试卷

高二年级第二次阶段性测试 数学试卷 时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知全集U=1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则CUMON)=() A.{5} B.{12 c.{3,4 D.1,2,3,4} 2.使不等式-3≤0成立的一个充分不必要条件为() x-1 A.1≤x≤3 B.0≤x≤3 C.x>3 D.1<x<3 3。设函数)=，则下列函数中为奇西数的是 ) A.f(x+1)+1B.f(x+1)-1 C.f(x-1)+1 D.f(x-1) 4.对于实数a,b,c有下列命题：①若a>b,则ac>bc;②若ac2>bc2,则a>b;③若 a<b0,则>h>b:④若>6，}片，则a>0,6<0,其中真命愿的个数是(） A.3 B.2 C.1 D.0 的展开式中常数项是10，则m=() A.-2 B.-3 C.2 D.3 6设4，B是一个随机试验中的两个事件，且P(B)=},P(国A)=。,P(可可)子，则 P(A)=() B. c.I 2-3 D. 7.古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱 锥称为阳马.若四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD,AB=BC=4,PA=5,则此“阳 马”外接球的表面积为() A.57π B.√57元 D.57π 2 高二数学（第1页） 8.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜制，甲在每局比赛中获胜的 概率均为二，且各局比赛结果相互独立.在甲获得冠军的条件下，比赛进行了四局就结束 的概率为() B.27 C. 2 17 D.81 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.已知f()=(2x-m)=a+ac-1Ha2c-1j++a,-1),若 +学+会-128，则下列说法正确的是「 4+ 27 A.a0+4+…+2=1 B.a=84 C.f(4)除以6所得余数为1 D.4-24+3a3-4a4+5a5-64+7a,=14 10.已知a,b为正实数，ab+a+2b=23,则下列说法正确的是() A.6 b+1 的最小值为治 B.a+b<7 1.1 C.a+4b的最小值为13 D. a+2'b+1 5 的最小值为 11.在棱长为√2的正方体ABCD-ABCD中，点P在底面ABCD内（含边界），M为棱 CC的中点，则下列说法正确的是(A A.满足C,P∥平面ABD的点P的轨迹长度为2 B.若点P在棱CD上运动，则点P到直线B,M的距离的最小值为4W5 C.P4+PM的最小值为3网 D.若PM⊥平面BDM,则点P是AC上靠近点C的四等分点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.甲、乙、丙3人排成一行，其中甲不排在第1位，乙不排在第2位，丙不排在第3位， 则共有 种不同的排法. 高二数学（第2页） 13.某工厂生产的零件长度X(单位：毫米)服从正态分布N(3,o2),且 P(X-3到≤0.5)=0.6，若对该工厂同批生产的4个零件逐一检查，则仅有1个零件的长度 大于3.5毫米的概率为 14.如图，在多面体EABCDF中，E,F分别在平面ABCD的两侧，且平面 ADE⊥平面ABCD,平面BCF⊥平面ABCD,∠AED=∠BFC=90°，若四边 形ABCD是边长为a的正方形，DE=CF=(0<1<,则二面角E-AD-F余 弦值的取值范围为 四、解答题：本题共有5题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 设f(x)=心2+(1-m)x+-2. (1)若不等式f)≥0对Vx∈R恒成立，求实数m的取值范围： (2)若m<0,解关于x的不等式f(x)<-1. 高二数学（第3页） 16.(本小题满分15分) 己知函数f(x)=nr+a(a为常数)， (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程； (2)不等式f(x)21在x 34上有解，求实数a的取位范围 高二数学（第4页） 17.(本小题满分15分) 为了了解一定范围内高中学生课后自主学习数学时间(x分钟/侮天)和他们的数学成绩(y 分)的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（如下表）· 编号 1 2 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 60 75 80 95 105 (1)求数学成绩y与学习时间x的相关系数（精确到0.001）； (2)该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，请求出y关于x的回归直线 方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为80分钟时的数学成绩 26kg- x%- i=1 (附：r= 2-含g-区-m空-) a-方主w-i行， xy=218502片=35675,2s-0=10.231091) 高二数学（第5页） 18.(本小题满分17分) 如图在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，四边形CDEF为等腰梯形， 且CD1IEF,ADL DE,Er=1cD,∠CDE=6O E 2 (1)证明：平面ABCD⊥平面CDEF; (2)求平面ADE与平面AFC所成角的正弦值： 3)求点B到平面AFC的距离. 高二数学（第6页） 19.(本小题满分17分) 一袋中共有7个乒乓球，其中有3个黄球，4个白球，这些乒乓球除颜色外完全相同.从袋 中随机取出一球，如果取出黄球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回， 并且另补一个黄球放入袋中，重复上述过程次后，袋中黄球的个数记为X, 高二数学（第7页） (1)求随机变量X,的分布列及数学期望E(X2): (2)设P(Xn=3+k)=pk,k=0,1,2,3,4,求P(X+1=3+k): (3)求随机变量X,的数学期望E(Xm)关于n的表达式. 高二数学（第8页） 高二数学（第9页）高二年级第二次阶段性测试 数学试卷 时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知全集U=1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则CUMON)=(A) A.{5} B.{12 c.{3,4 D.1,2,3,4} 2.使不等式-3≤0成立的一个充分不必要条件为(D) x-1 A.1≤x≤3 B.0≤x≤3 C.x>3 D.1<x<3 3。设爵数=，则下列函致中为奇西数的是D) A.f(x+1)+1B.f(x+1)-1 C.f(x-1)+1 D.f(x-1) 4.对于实数a,b,c有下列命题：①若a>b,则ac>bc;②若ac2>bc2,则a>b;③若 a<b<0,则r>ab>:④若a>b,台分则a>0,b<0其中真命题的个数是（A) A.3 B.2 C.1 D.0 的展开式中常数项是10，则m=(C) A.-2 B.-3 C.2 D.3 6设4，B是一个随机试验中的两个事件，且P(B)=},P(国A)=。,P(可可)子，则 P(A)=(B) A1 B.I 2 c.I 2-3 D. 7.古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱 锥称为阳马.若四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD,AB=BC=4,PA=5,则此“阳 马”外接球的表面积为(D) A.57π B.√57元 D.57π 2 高二数学（第1页） 8.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“五局三胜制，甲在每局比赛中获胜的 概率均为了且各局比赛结果相互独立。在甲我得冠军的条件下，比赛进行了四局藏结束 的概率为(C) A日 C. 2 B.27 17 D.81 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.已知f()=(2x-m)=a+ac-1Ha2c-1j++a,-1),若 4+ 号+先++428，则下列说法确的是BCD） 27 A.a0+4+…+2=1 B.4,=84 C.f(4)除以6所得余数为1 D.4-243+343-4a4+5a-6a6+7a=14 10.已知a,b为正实数，ab+a+2b=23,则下列说法正确的是(AD) A.6 b+1 的最小值为治 B.a+b<7 1.1 C.a+4b的最小值为13 D. a+2'b+1 5 的最小值为 11.在棱长为√2的正方体ABCD-ABCD中，点P在底面ABCD内（含边界），M为棱 CC的中点，则下列说法正确的是(ACD) A.满足C,P∥平面AB,D的点P的轨迹长度为2 B.若点P在棱CD上运动，则点P到直线B,M的距离的最小值为4W⑤ C.P4+PM的最小值为3网 D.若PM⊥平面BDM,则点P是AC上靠近点C的四等分点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.甲、乙、丙3人排成一行，其中甲不排在第1位，乙不排在第2位，丙不排在第3位， 则共有2 种不同的排法 高二数学（第2页） 13.某工厂生产的零件长度X(单位：毫米)服从正态分布N(3,o2),且 P(X-3到≤0.5)=0.6，若对该工厂同批生产的4个零件逐一检查，则仅有1个零件的长度 大于3.5毫米的概率为_0.4096 14.如图，在多面体EABCDF中，E,F分别在平面ABCD的两侧，且平面 ADE⊥平面ABCD,平面BCF⊥平面ABCD,∠AED=∠BFC=90°，若四边 形ABCD是边长为a的正方形，DE=CF=(0<1<a,则二面角E-AD-F余 弦值的取值范围为 5 四、解答题：本题共有5题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 设f(x)=x2+(1-)x+-2. (1)若不等式f)≥0对Vx∈R恒成立，求实数m的取值范围； (2)若m<0,解关于x的不等式f(x)<m-1. 解：(1)当m≤0时不满足题意，--------2分 所以m>0,且△=(1-m)-4m(m-2)≤0，------4分 所以.m≥3+23 3 ------6分 (2)由题设x2+1-m)x+-2<m-1,则x2+1-m)x-1=(ux+1)(x-1)<0, 若m<0则6+-》20,7分 当-1-1，即m=-1时，解集为（←mU0,+0）:…8分 当-1>1，即-1<m<0时，解集为(m.U(1+0):10分 m 当-1<1，即m<-1时，解集为(0，-马U0+四）：12分 综上，1≤m<0时解集为(oU(品：m<-1时解集为 (-0,-)U0,t0）). -13分 之 高二数学（第3页） 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=lr+a(a为常数)， (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程； (2)不等式f(x)≥1在x [店]上有解。求交藏a的取值他日 解：(1)当a=1时，fy=lnx+，f=1_=x-1 xx= 2 f2)-h2+2f'2)=4 ----2分 曲线y=f在点（2，f2》处的切线方程y}c-2)+h2+}子+h2-4分 24 (2)f(x)≥1在x∈ 一a≥x-xnx在x 4上有能6分 令e=-x54期g网1画+)h。 当xe行时，g)>0g()在5上单调递增， 当x∈(1,4时，g'(x)<0,g(x)在(1,4]上单调递减， ------8分 g(4)=4-81n2<0,- ---10分 所以g()mm=,g(4)=4-81n2, --12分 所以a≥4-812，故实数a的取值范围是4-8n2,+o).--------15分 高二数学（第4页） 17.(本小题满分15分) 为了了解一定范围内高中学生课后自主学习数学时间(x分钟/侮天)和他们的数学成绩(y 分)的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（如下表）· 编号 2 5 学习时间x 30 40 50 60 70 数学成绩y 60 75 80 95 105 (1)求数学成绩y与学习时间x的相关系数（精确到0.001）； (2)该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，请求出y关于x的回归直线 方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为80分钟时的数学成绩 26kg- xy-少 i=1 (附：r= 62--月 ∑y-x9了 -,a=y-bx. 三4 - 空g=21850,2=35675.26-可=100125=11091 解：1)因x=30+40+50+60+70=50,是y=415, 5 2=3044025046024702=1350 ，-----4分 豆以-5 5分 (∑y2-5) 21850-5×50×83 11001100 ≈0.992. V13500-5×2500)35675-5x83x83)100V1231109.1 -7分 高二数学（第5页） w-万 (2)由b=过 1100 =1.1 绿 1000 俊者6i 1100 =1.1),-------9分 240 1000 a=y-6x=83-1.1x50=28, -----11分 故得=1.1x+28,-13分 当x=80时，y=116, 故预测每天课后自主学习数学时间达到80分钟时的数学成绩为116分.15分 18.(本小题满分17分) 如图在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，四边形CDEF为等腰梯形， 且CDI/EF,AD⊥DB,ER=CD,∠CDB=60 2 (1)证明：平面ABCD⊥平面CDEF; (2)求平面ADE与平面AFC所成角的正弦值： (3)求点B到平面AFC的距离， 解：(1)，四边形ABCD是正方形，.AD⊥DC,------1分 ,AD⊥DE,DC∩DE=D,.AD⊥平面CDEF,------3分 ,ADC平面ABCD,.平面ABCD⊥平面CDEF.--------4分 (2)过点E作EO⊥DC于O,由(1)知EO⊥平面ABCD,,四边形CDEF是等腰梯形， ∠CDE=60,Er=cD,CD=4, 2 ∴.D0=1,E0=5.-----6分 作OM//DA,以O为坐标原点，分别以OM、OC、OE所在直 线为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-3z, 高二数学（第6页） ∴.O(0,0,0),A(4,-1,0),B(4,3,0),C(0,3,0),F(0,2√5) ∴.CB=DA=(4,0,0)，DE=(0,1,V3) m.DA=0「4x=0 设平面ADE的一个法向量=(x,y,z),则 。,即 m.DE=0'by+V3:=0 令z=1,.=(0,√3,1），-9分 又AC=(-4,4,0),AF=(4,3,3), 2.AC=0m∫-45+4y=0 同理设平面ACF的一个法向量n=(x,h,二)，则 。即 nAF= -4x+3y+V31=0 令x=l“n=au, 2),--------11分 -√7 ∴.cos(m,n〉 3 丽 -13分 7 7 m--=厘 故平面ADB与平面APC所成角的正弦值为V .-----14分 > (3)设点B到平面AFC的距离为d, 由(2)知c远=40,0.平面4CF的一个法向量i=0L5. 4W21 ..d= > -17分 3 19.(本小题满分17分) 一袋中共有7个乒乓球，其中有3个黄球，4个白球，这些乒乓球除颜色外完全相同.从袋 中随机取出一球，如果取出黄球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回， 并且另补一个黄球放入袋中，重复上述过程次后，袋中黄球的个数记为X 高二数学（第7页） (1)求随机变量X的分布列及数学期望E(X2): (2)设P(Xn=3+k)=pk,k=0,1,2,3,4,求P(X1=3+k): (3)求随机变量Xn的数学期望E(X,)关于n的表达式. 解：(1)当=1时，取出的是黄球的概率为， 取出的是白球的薇率为手， 由题意可知：X,的可能取值为3,4,5，则有： P(2=3)= 0P4)年P5)子8 7×749 Γ7749 所以X,的分布列为 X2 X 9 4 12 49 > 49 9 4,-12199 X,的数学期望E(X2)=3× +4x7+5x 49 4949 (2)当k=0时，即第n次操作后袋中有3个黄球，白球4个， 3 所以P(X1=3+0)=P0: 5分 当k=1,2,3,4时，第n+1次操作后袋中有3+k个黄球的可能性有两种： ①第n次操作后袋中有3+k个黄球，白球4-k个， 第n+1次取出来的也是黄球，这种情况发生的概率为十P4,k=12,34；-7分 ②第n次操作后袋中有3+(k-1)个黄球，白球5-k个， 第n+1次取出来的是白球，这种情况发生的概率为，卫1，k=1,2,3,4；-9分 故PX=3+)=3n 7P-1,k=1,2,3,4; -------10分 3 P0,k=0 7 综上所述：P(XmH=3+k)= ------11分 3+k5-k 7P+ 7P-1,k=1,2,3,4 高二数学（第8页） (3)因为P(Xn=3+)=P,k=0,1,2,3,4 所以B++乃+乃+P4=1, E(X)=3B+4R+5B+6+7P--12分 又P(KH=3)=3 ,Px=到A+A,Px=5)-3 7P, PX。A+9p,ix)+A所以 6 7 3 ,4 4 3 5 2 6 (X)=3×+4x号A+A)+5x(A+P,)+6xP+9P,） +7×(P+7PD 7 6 -=933+4R+5乃+63+7B)+(6+R+B+B+B) 6 B(X)+1.-14分 由此可知，B0X)-7-9B(K)-7刀 BK)=19 风7一号8X)-乃是以-号为首项，为公比的等比数列 E(XH)-7_6 x)-7-491-49 BCX,)=7-49 ----17分 高二数学（第9页）