精品解析：2022年湖南省长沙市中考数学考前冲刺模拟预测卷

2022年湖南省长沙市中考数学考前冲刺·模拟预测卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数中，比大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两个负数比较大小，其绝对值大的反而小；据此进行比较即可求解． 【详解】解：，，，，， ∵， ∴， ∴比大的数是． 2. 来自北京市文旅局的统计信息显示，2019年国庆假日期间，北京接待游客920.7万人次,旅游总收入111.7亿元，人均花费达1213.7元.将数据9207000用科学记数法表示应为( ) A. 920.7× 104 B. 92.07× 105 C. 9.207× 106 D. 0.9207×107 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式解答即可. 【详解】解：数据9207000用科学记数法表示应为9.207× 106. 故选：C. 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列银行的标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类项的定义、幂的乘方、同底数幂的乘法和同底数幂的除法逐一判断即可． 【详解】A． 和不是同类项，不能合并，故本选项错误； B． ，故本选项正确； C． ，故本选项错误； D． ，故本选项错误． 故选B． 【点睛】此题考查的是合并同类项和幂的性质，掌握同类项的定义、幂的乘方、同底数幂的乘法和同底数幂的除法是解决此题的关键． 5. 如图，把一块含有30°角（∠A=30°）的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的顶点C处，斜边AB经过桌面另一个顶点F，若∠1=50°，则∠AFE=（ ）． A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形CDEF为矩形，得到EF与DC平行，利用两直线平行同位角相等求出∠AGE的度数，根据∠AGE为三角形AGF的外角，利用外角性质求出∠AFE的度数即可． 【详解】解：∵四边形CDEF为矩形， ∴EF∥DC， ∴∠AGE=∠1=50°， ∵∠AGE为△AGF的外角，且∠A=30°， ∴∠AFE=∠AGE-∠A=20°． 故选C． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键． 6. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠BOD＝44°，则∠C的度数是（　　） A. 44° B. 22° C. 46° D. 36° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理解答即可. 【详解】解，∵∠BOD＝44°，∴∠C＝∠BOD＝22°， 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，属于基本题型，熟练掌握圆周角定理是关键. 7. 在一次函数中，函数y的值随x的值增大而减小，那么常数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一次函数的性质求解即可． 【详解】解：一次函数，y的值随x的值增大而减小， ，解得． 8. 在一次信息技术考试中，某兴趣小组8名同学的成绩（单位：分）分别是：7、10、9、8、7、9、9、8，则这组数据的众数和中位数是（　　） A. 9、8.5 B. 7、9 C. 8、9 D. 9、9 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义即可求解. 【详解】把这组数据重新排序后7，7，8，8，9，9，9，10， ∴这组数据的中位数（8+9）÷2＝8.5， ∵9是这组数据中出现次数最多的数据， ∴这组数据的众数为9； 故选A． 【点睛】此题主要考查众数和中位数，解题的关键是熟知众数和中位数的定义. 9. 经过一T字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相同．有3人经过该路口，至少一人左拐的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用树状图列举出所有等可能的情况，去掉至少一人左拐的次数，利用概率计算公式求解． 【详解】树状图如下： 共有8种等可能的情况，其中至少一人左拐的有7种， ∴P（至少一人左拐）=， 故选：D． 【点睛】此题考查用树状图求事件的概率，概率的计算公式，正确理解题意并列举所有可能的情况是解题的关键． 10. 对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互相不同，且都不为零，将其任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n），则F（468）的值为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】按照题目规则，分别调换数字，求出三个数字，求和后除以111，即可求解． 【详解】解：n＝468，对调百位与十位上的数字得到648，对调百位与个位上的数字得到864，对调十位与个位上的数字得到486， 这三个新三位数的和为648+864+486＝1998， 1998÷111＝18， 所以F（468）＝18． 故选：D. 【点睛】本题考查有理数的计算，正确解读题意，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】运用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，准确确定公因式是解题关键． 12. 如图，在中，AD为直径，弦于点H，连接OB．已知，．动点E从点O出发，在直径AD上沿路线以1cm/s的速度做匀速往返运动，运动时间为．当时， 的值为____________． 【答案】1s或3s或6s 【解析】 【分析】根据OB=2，∠OBC=30°，，得出OH=，分三种情况当点E从O运动到D的过程中，点E运动到点H时，∠OBE=30°，1t=1，t=1s，当点E从D运动到O的过程中，点E运动到点H时，∠OBE=30°，1（t-2）=1，t=3s，可证OE=OB=2=OA，点E运动到点A时，∠EBO=30°，AD=2AO=4，列方程1（t-2）=4，解方程即可t=6s． 【详解】解：∵OB=2，∠OBC=30°，， ∴OH=， 当点E从O运动到D的过程中， 点E运动到点H时，∠OBE=30°， ∴1t=1，t=1s， 点E从点O运动到点D，则t=2÷1=2s， 当点E从D运动到O的过程中， 点E运动到点H时，∠OBE=30°， ∴1（t-2）=1，t=3s， ∵∠BOH=90°-∠OBH=90°-30°=60°， ∵∠OBE=30°， ∴∠BEO=∠BOH-∠EBO=30°， ∴OE=OB=2=OA， ∴点E运动到点A时，∠EBO=30°， ∵AD=2AO=4， ∴1（t-2）=4，t=6s， 当时， 的值为1s或3s或6s． 【点睛】本题考查圆的性质，30°直角三角形性质，等腰三角判定与性质，一元一次方程，分类思想的应用使问题完整，本题难度不大，掌握圆的性质，30°直角三角形性质，等腰三角形判定与性质，一元一次方程，分类思想的应用使问题完整是解题关键． 13. 如图，在菱形中，对角线 ，相交于点O，H为中点，，则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形性质得对角线互相垂直且平分，故，，由勾股定理求得，又 为中点，故． 【详解】解： 四边形为菱形， ， 在中，， 为中点， ． 14. 若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m﹣9的值为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义代入求值即可．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 【详解】 m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，理解一元二次方程的根的定义是解题的关键． 15. 如图，请用符号语言表示“角平分线上的点到角的两边距离相等”. 条件：_____. 结论：PC=PD 【答案】AOP BOP, PC OA, PD OB 【解析】 【分析】根据图形可知若AOP BOP，则点P为角平分线上的点，点到线的距离可以用垂直线段表示，即PC OA, PD OB. 【详解】AOP BOP, PC OA, PD OB 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，关键是要准确的把命题的文字转换成符号语音. 16. 有A、B、C、D四个学习小组，小明同学根据各小组的成员人数绘制了条形统计图（1），小华同学绘制了扇形统计图（2），其中__________． 【答案】72 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图，扇形统计图，弄清题意是解本题的关键．根据 级的人数和总人数得出 级所占的百分比，再乘以360度即可得出答案． 【详解】解：， 答：， 故答案为：72． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别利用绝对值的性质、求特殊角的三角形函数值、二次根式的乘法法则及零指数幂的运算法则进行化简计算，再合并即可得出结果． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的性质、特殊角的三角形函数值以及二次根式的乘法法则等知识是求解的关键． 18. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 19. 人教版初中数学教科书八年级上册第37～38页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：．求作：，使得．作法：如图． （1）画； （2）以点为圆心，在射线上截取，在射线 上截取； （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ， ∴　 　． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 　 　．（填序号） ①；②；③；④ 【答案】（1）见解析 （2）③ 【解析】 【分析】（1）根据作图信息，利用“”证明三角形全等即可； （2）利用（1）中证明可得结论． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴． 故答案为：； ；；；； ；； 【小问2详解】 由（1）可知两个三角形全等的依据是． 故答案为：③ 【点睛】本题考查了作图－复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20. 新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 参与度 人数 方式 0.2～0.4 0.4～0.6 0.6～0.8 0.8～1 录播 4 16 12 8 直播 2 10 16 12 （1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由． （2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？ （3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在0.4以下的共有多少人？ 【答案】（1）“直播”教学方式学生的参与度更高，理由见解析；（2）30%；（3）50人 【解析】 【分析】（1）根据表格数据得出两种教学方式参与度在0.6以上的人数，比较即可作出判断； （2）用表格中“直播”教学方式学生参与度在0.8以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率； （3）先根据“录播”和“直播”的人数之比为1：3及该校学生总人数求出“直播”、“录播”人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在0.4以下人数所占比例求出对应人数，再相加即可得出答案． 【详解】解：（1）“直播”教学方式学生的参与度更高： 理由：“直播”参与度在0.6以上的人数为28人，“录播”参与度在0.6以上的人数为20人，参与度在0.6以上的“直播”人数远多于“录播”人数， ∴“直播”教学方式学生的参与度更高； （2）12÷40=0.3=30%， 答：估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是30%； （3）“录播”总学生数为800×=200（人）， “直播”总学生数为800×=600（人）， ∴“录播”参与度在0.4以下的学生数为200×=20（人）， “直播”参与度在0.4以下的学生数为600×=30（人）， ∴参与度在0.4以下的学生共有20+30=50（人）． 【点睛】本题考查了概率的计算，弄清题意，正确分析，确定计算方法是解题关键． 21. 已知点E是中边的中点，连接 并延长交的延长线于点 ，连接 ， ，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若是等边三角形，且边长为6，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证，得，再由，证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； （2）由矩形的性质得，再由等边三角形的性质得，，然后由勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点是中边的中点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为矩形； 【小问2详解】 解：由（1）得：四边形为矩形， ， 是等边三角形， ，， ， 四边形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明是解题的关键． 22. 某市工会号召广大市民积极开展了“献爱心捐款”活动，该市拟用这笔捐款购买A，B两种物品．经过市场调查发现，今年每套A型物品的价格6万元，每套B型物品的价格0.4万元，该市准备购买A型物品50套，B型物品若干套（超过200套）． 某供应商给出以下两种优惠方案： 方案一：“买一送一”，即购买一套A型物品，赠送一套B型物品； 方案二：“打折销售”，即购买200套B型物品以上，超出的部分按原价打八折，A型物品不打折． 选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】当时，选择方案一更划算；当时，选择方案一、方案二费用相同；当时，选择方案二更划算 【解析】 【分析】设购买B型物品x（）套，分别表示出方案一和方案二的费用，再列方程和不等式求解即可． 【详解】解：设购买B型物品x（）套，则选择方案一所需费用为万元，选择方案二所需费用为万元． 当时， 解得， 又∵， ∴； 当时， 解得； 当时， 解得． 答：当时，选择方案一更划算；当时，选择方案一、方案二费用相同；当时，选择方案二更划算． 23. 中，，，，P为所在平面上一点， ，且，求 的长． 【答案】 的长为或 【解析】 【分析】分两种情况：点A、P在的同侧时，点A、P在异侧时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴点P到的距离等于点A到的距离，即 的长度，为6， ①如图1，点A、P在的同侧时， ∵点A、P到的距离相等， ∴， ∴， 过点P作于点D， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， 解得：； ②如图2，点A、P在异侧时， 过点P作于D， ∵ ， ∴， 过点D作，过点P作，并延长，交于点E， ∵点D是 的中点， ∴点E到的距离为， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 在中，， 综上所述， 的长为或． 24. 如图，抛物线与 轴交于， 两点，与 轴交于点，且．直线与抛物线交于、 两点，与 轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点 的横坐标为． （1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标． （2）连接，直接写出线段与线段 的数量关系和位置关系． （3）连接 、 ，当为何值时？ （4）在直线上是否存在一点 ，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），点的坐标为 （2），且 （3）或 （4）存在，点 的坐标为或 【解析】 【分析】（1）直线与抛物线交于、两点，可得点和点坐标，再求出点 、 的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和 的长，根据待定系数法求出直线 的解析式，即可求解； （3）根据题意将的面积和的面积表示出来，令，即可解出的值； （4）分、、三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：直线与抛物线交于、两点，则点、点． ∵，， ∴点 的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点 的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：，且，理由： ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为； ∵、点， ∴， 故； ∵直线 的解析式为，直线的解析式为， 故将直线 向上平移 个单位得到直线， ∴， 故，且． 【小问3详解】 解：∵， 解得，， ∴点 的坐标为． 如图，过点 作 轴的平行线，交于点， 设点，则点， ∴． 解得或． 【小问4详解】 解：存在，点 的坐标为或． 设点，点，，而点， ①当时， 如图，过点 作 轴的平行线，过点 、点作 轴的平行线，交过点 且平行于 轴的直线于点、 ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， ∴点． ②当时，如图： 此时，则点 、 关于抛物线的对称轴对称， 点 在抛物线上， 由抛物线的对称性可知，点 在抛物线上， 又点 在直线上， 点 与点 重合，此时纵坐标为3， ∴点． ③当时， 当点 在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点 在的下方，与题意不符，舍去； 当点 在抛物线对称轴的左侧时，如图，同理可得， 解得（舍去），． 故点． 综上可得，点 的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等、图形的面积计算等，要注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握这些性质、判定、二次函数的图象和性质是解题的关键． 25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）， 【解析】 【分析】（1）因为AE是直径，所以只需证明EFAE即可； （2）因EF∥BG，可利用，将要求的EF的长与已知量建立等量关系；因四边形ABCD是圆内接四边形，可证得，由此建立CD与已知量之间的等量关系． 【详解】（1）证明：∵AB＝AC， ． 又∵AE是O的直径， ． ． ∵AB=AC， ∴AEBC． ∴∠AHC=90°． ∵EF∥BC， ∴∠AEF=∠AHC=90°． ∴EFAE． ∴EF是O的切线． （2）如图所示，连接OC，设O的半径为r． 在Rt△COH中， ∵， 又∵OH=AH-OA=3-r， 解得，． ∵EF∥BC， ∴． ∵四边形ABCD内接于， 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂径定理及推论、相似三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质等知识点，熟知上述各类图形的判定或性质是解题的基础，寻找未知量与已知量之间的等量关系是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年湖南省长沙市中考数学考前冲刺·模拟预测卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数中，比大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 来自北京市文旅局的统计信息显示，2019年国庆假日期间，北京接待游客920.7万人次,旅游总收入111.7亿元，人均花费达1213.7元.将数据9207000用科学记数法表示应为( ) A. 920.7× 104 B. 92.07× 105 C. 9.207× 106 D. 0.9207×107 3. 下列银行的标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把一块含有30°角（∠A=30°）的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的顶点C处，斜边AB经过桌面另一个顶点F，若∠1=50°，则∠AFE=（ ）． A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 6. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠BOD＝44°，则∠C的度数是（　　） A. 44° B. 22° C. 46° D. 36° 7. 在一次函数中，函数y的值随x的值增大而减小，那么常数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在一次信息技术考试中，某兴趣小组8名同学的成绩（单位：分）分别是：7、10、9、8、7、9、9、8，则这组数据的众数和中位数是（　　） A. 9、8.5 B. 7、9 C. 8、9 D. 9、9 9. 经过一T字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相同．有3人经过该路口，至少一人左拐的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互相不同，且都不为零，将其任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n），则F（468）的值为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 因式分解：________． 12. 如图，在中，AD为直径，弦于点H，连接OB．已知，．动点E从点O出发，在直径AD上沿路线以1cm/s的速度做匀速往返运动，运动时间为．当时， 的值为____________． 13. 如图，在菱形中，对角线 ，相交于点O，H为中点，，则线段的长为_____． 14. 若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m﹣9的值为 ____． 15. 如图，请用符号语言表示“角平分线上的点到角的两边距离相等”. 条件：_____. 结论：PC=PD 16. 有A、B、C、D四个学习小组，小明同学根据各小组的成员人数绘制了条形统计图（1），小华同学绘制了扇形统计图（2），其中__________． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17. 计算：． 18. 先化简再求值：，其中． 19. 人教版初中数学教科书八年级上册第37～38页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：．求作：，使得．作法：如图． （1）画； （2）以点为圆心，在射线上截取，在射线 上截取； （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ， ∴　 　． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 　 　．（填序号） ①；②；③；④ 20. 新冠疫情期间，某校开展线上教学，有“录播”和“直播”两种教学方式供学生选择其中一种．为分析该校学生线上学习情况，在接受这两种教学方式的学生中各随机抽取40人调查学习参与度，数据整理结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 参与度 人数 方式 0.2～0.4 0.4～0.6 0.6～0.8 0.8～1 录播 4 16 12 8 直播 2 10 16 12 （1）你认为哪种教学方式学生的参与度更高？简要说明理由． （2）从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生，估计该学生的参与度在0.8及以上的概率是多少？ （3）该校共有800名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为1：3，估计参与度在0.4以下的共有多少人？ 21. 已知点E是中边的中点，连接 并延长交的延长线于点 ，连接 ， ，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若是等边三角形，且边长为6，求四边形的面积． 22. 某市工会号召广大市民积极开展了“献爱心捐款”活动，该市拟用这笔捐款购买A，B两种物品．经过市场调查发现，今年每套A型物品的价格6万元，每套B型物品的价格0.4万元，该市准备购买A型物品50套，B型物品若干套（超过200套）． 某供应商给出以下两种优惠方案： 方案一：“买一送一”，即购买一套A型物品，赠送一套B型物品； 方案二：“打折销售”，即购买200套B型物品以上，超出的部分按原价打八折，A型物品不打折． 选择哪种方案更划算？请说明理由． 23. 中，，，，P为所在平面上一点， ，且，求 的长． 24. 如图，抛物线与 轴交于， 两点，与 轴交于点，且．直线与抛物线交于、 两点，与 轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点 的横坐标为． （1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标． （2）连接，直接写出线段与线段 的数量关系和位置关系． （3）连接 、 ，当为何值时？ （4）在直线上是否存在一点 ，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $